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1、6.2群的定义群的定义 6.2.1半群半群6.2.2群群6.2.3群的性质群的性质2021/6/302021/6/301 16.2.1半群半群定义定义6.2.1设设G是一个非空集合，若是一个非空集合，若为为G上的二元代数运算，且满足上的二元代数运算，且满足结合律结合律，则称该代数系统则称该代数系统(G,)为为半群半群。2021/6/302021/6/302 2例：例：设设S是是一一个个非非空空集集合合，(S)是是S的的幂幂集集，和和是是(S)上上的的交交运运算算和和并并运运算算，则则(S),),(S),)都为半群。都为半群。设设Z为整数集，为整数集，+、-、 是数的加法、是数的加法、减法和乘法
2、，则减法和乘法，则(Z，+)、(Z,)都是都是半群半群; ( (Z, , -) )不是半群。不是半群。2021/6/302021/6/303 3例：例：设设N为为自自然然数数集集，规规定定N上上的的运运算算“ ”如如下下：a b=a+b+ab，显显然然， 为为N上上的的二二元元代代数数运运算。对算。对N中任意三个元素中任意三个元素a，b，c，有：，有：(a b) c=(a+b+ab) c=(a+b+ab)+c+(a+b+ab)c=a+b+c+ab+bc+ac+abc，a (b c)=a (b+c+bc)=a+(b+c+bc)+a(b+c+bc)=a+b+c+ab+bc+ac+abc，故，故，(
3、a b) c=a (b c).因此，因此，(N, )为半群。为半群。2021/6/302021/6/304 4定定义义6.2.2设设(G,)为为半半群群，如如果果满满足足下面条件：下面条件：1)有有壹壹(单单位位元元素素)：G中中有有一一个个元元素素1，适适 合合 对对 于于 G中中 任任 意意 元元 素素 a， 都都 有有1a=a1=a;2)有有逆逆(逆逆元元素素)：对对于于G中中任任意意a，都都可可找找 到到 G中中 一一 个个 元元 素素 a-1， 满满 足足 aa-1=a-1a=1，则称则称(G,)为为群群。如果群如果群G包含的元素个数有限，则称包含的元素个数有限，则称G为为有限群有限
4、群，否则称，否则称G为为无限群无限群。6.2.2群群2021/6/302021/6/305 5例：例：设设Z为为整整数数集集,+、是是数数的的加加法法和和乘乘法法,则则1)半半群群(Z,+)是是群群，称称为为整整数数加加法法群群。因因为为存存在在元元素素0，适适合合对对于于Z中中任任意意元元素素a，都都有有0+a=a+0=a；且且对对于于Z中中任任意意a，都都 可可 找找 到到 Z中中 一一 个个 元元 素素 -a， 满满 足足a+(-a)=(-a)+a=0。2)半群半群(Z,)不是群。因为虽然存在单位不是群。因为虽然存在单位元素元素1，适合对于，适合对于Z中任意元素中任意元素a，都有，都有1
5、a=a1=a，但除了，但除了1和和-1外，其它元素外，其它元素均无逆元素。均无逆元素。11=1；(-1)(-1)=1。2021/6/302021/6/306 6设设Q为为所所有有有有理理数数组组成成的的集集合合，R为为所所有有实实数数组组成成的的集集合合，C为为所所有有复复数数组组成成的的集集合合，Q*为为所所有有非非零零有有理理数数组组成成的的集集合合，R*为为所所有有非非零零实实数数组组成成的的集集合合，C*为为所所有有非非零零复复数数组组成成的的集集合合，+、是是数数的的加法和乘法，则加法和乘法，则(Q,+)、(R,+)、(C,+)都是群；都是群；(Q,)、(R,)、(C,)都不是群；都
6、不是群；(Q*,)、(R*,)、(C*,)都是群。都是群。例：例：因为因为0无逆元素。无逆元素。存在单位元素存在单位元素1：1a=a1=a对所有非零元素对所有非零元素a，有：，有：a(1/a)=12021/6/302021/6/307 7设设S是是一一个个非非空空集集合合，(S)是是S的的幂幂集集，和和是是(S)上的交运算和并运算，则：上的交运算和并运算，则：1)半半群群(S),)不不是是群群。存存在在单单位位元元素素S；但除了；但除了S，其它元素都不存在逆元素；，其它元素都不存在逆元素；2)半群半群(S),)也不是群。存在单位元也不是群。存在单位元素素 ；但除了；但除了 ，其它元素都不存在逆
7、元，其它元素都不存在逆元素。素。例：例：aS=a;S=SS=S;aS=a;S=a=a;S=S=;a=a;S=S2021/6/302021/6/308 8设设N为自然数集，规定为自然数集，规定N上的运算上的运算“ ”如下：如下：a b=a+b+ab。已证：已证：(N, )为半群。但为半群。但(N, )不是群。不是群。反证法：若不然，反证法：若不然，(N, )是群，则一定是群，则一定有单位元素，设为有单位元素，设为e，则对，则对N中任意元素中任意元素a，都有：，都有：e a=a，即，即e+a+ea=a，即，即e+ea=0。因此，因此，e=0，但，但0 N，矛盾。因此，矛盾。因此，(N, )无单位元
8、素，故不是群。无单位元素，故不是群。例：例：2021/6/302021/6/309 9设设A是是实实数数域域上上所所有有n阶阶非非奇奇异异矩矩阵阵的的集合，集合，*为矩阵的乘法，则为矩阵的乘法，则(A，*)是群。是群。设设S=0,1,2,m-1，规规定定S上上的的运运算算 如下：如下：a b= 其其中中a,b是是S中中任任意意元元素素，+、-为为数数的的加加与与减减。则则(S, )是是群群，称称为为模模m的的整整数加法群。数加法群。例：例：单位元素单位元素0：0 a=a 0=a+0=a;逆元素逆元素m-a：a (m-a)=a+(m-a)-m=0;0的逆元素是的逆元素是0。2021/6/3020
9、21/6/301010设设S=a,b，使用乘法表定义，使用乘法表定义S上的上的运算运算如下：如下：abaabbba问问(S,)是否为群？是否为群？思考题：思考题：2021/6/302021/6/301111设设R是实数，是实数，是数的普通乘法，定是数的普通乘法，定义义R上的一个元算上的一个元算*，对，对R中任意元素中任意元素a，b，有，有a*b=|a|b，问，问(R,*)上是上是否有单位元？否有单位元？答：没有。答：没有。思考题：思考题：2021/6/302021/6/301212理解群的定义理解群的定义1.单位元是群中唯一的等幂元。单位元是群中唯一的等幂元。证明：证明：设设(G,*)是群，其
10、单位元是是群，其单位元是1，显然，由于显然，由于1*1=1，1是等幂元。是等幂元。设设x是是G中的等幂元，即中的等幂元，即x*x=x，则：，则：x=1*x=(x-1*x)*x=x-1*(x*x)=x-1*x=1(或由：或由：x*x=x，得，得x-1*x*x=x-1*x，即即x=1)2021/6/302021/6/301313理解群的定义理解群的定义2.群中不可能有零元。群中不可能有零元。证明：证明：设设(G,*)是群，其单位元是是群，其单位元是1，当当|G|=1，它的唯一元素视为单位元。，它的唯一元素视为单位元。当当|G|1，用用反反证证法法。假假设设(G,*)有有零零元元 ，则则对对 x G
11、，都都有有x* = *x=1，即即不不存存在在x G，使使得得x* = *x=1，亦亦即即， 无无逆逆元元，这与这与G是群矛盾。是群矛盾。2021/6/302021/6/301414理解群的定义理解群的定义3.群中消去律一定成立。群中消去律一定成立。证明：证明：设设(G,*)是群，其单位元是是群，其单位元是1，对于对于G中任意三个元素中任意三个元素a，b，c，1)若若a*b=a*c，则，则a-1*(a*b)=a-1*(a*c)，即，即(a-1*a)*b=(a-1*a)*c，亦即，亦即1*b=1*c，故故b=c。2)同理可证：若同理可证：若b*a=c*a，则，则b=c。2021/6/302021
12、/6/301515在群在群(G,)中，中，(ab)-1是否等于是否等于a-1b-1？解：解：不一定。不一定。设群设群(G,)的单位元素为的单位元素为e，则有：，则有：(ab)-1(ab)=ea-1ab-1b=ee=e所以，所以，(ab)-1(ab)=a-1ab-1b但群中交换律不一定成立，但群中交换律不一定成立，所以所以(ab)-1=a-1b-1不一定成立。不一定成立。思考题：思考题：2021/6/302021/6/301616理解群的定义理解群的定义元数为元数为1的群仅有的群仅有1个。个。元数为元数为2的群仅有的群仅有1个个。*eee*e ea ae ee ea aa aa ae e2021
13、/6/302021/6/301717习题习题1设设Mk=1,2,3,k-1，k是模是模k乘法运乘法运算，当算，当k=19时，时，(Mk,k)是群吗？当是群吗？当k=20时呢？时呢？答：当答：当k=19时，时，(Mk,k)是群。是群。当当k=20时，时，(Mk,k)不是群。不是群。2021/6/302021/6/301818习题习题2设设G=0,1,n-1，n是自然数，是自然数，n2，定义，定义G上的二元运算上的二元运算*为为a*b=(ab)(modn)，其中，其中为普通意义下为普通意义下的乘法运算。请问的乘法运算。请问(G,*)是群吗？是群吗？答：答：(G,*)不是群。不是群。1是单位元，但是
14、因为是单位元，但是因为0*x=01，所以，所以0无无逆元。逆元。2021/6/302021/6/301919作业作业11.设设Z为整数集，定义为整数集，定义a*b=a+b-2，其中，其中+，-是是Z上的加、减运算，上的加、减运算，a,b是任意整是任意整数，证明：数，证明：(Z,*)是一个群。是一个群。2.设设Q为有理数，其上利用数的加、乘、为有理数，其上利用数的加、乘、减定义一个运算减定义一个运算*如下：如下：a*b=a+b-ab1)(Q,*)是半群吗？是半群吗？2)求单位元。求单位元。3)Q中元素有逆元吗？如果有，请给出。中元素有逆元吗？如果有，请给出。2021/6/302021/6/302
15、020定理定理6.2.1群的单位元素是唯一的群的单位元素是唯一的, ,任意任意元素的逆也是唯一的。元素的逆也是唯一的。即即, ,设设(G,)是一个群，则是一个群，则G中中恰有一个恰有一个元素元素1适合适合1a=a1=a，而且对于任意，而且对于任意a恰恰有一个有一个元素元素a-1适合适合aa-1=a-1a=1。证明：证明：若若1和和1都是单位元素，则都是单位元素，则1=11=1，故，故1=1。若若b和和c都有都有a-1的性质，则的性质，则b=b1=b(ac)=(ba)c=1c=c，故，故b=c。6.2.3群的性质群的性质-(1)2021/6/302021/6/302121结论结论1)(a-1)-
16、1=a因为因为aa-1=a-1a=12)(ab)-1=b-1a-1因为因为abb-1a-1=1b-1a-1ab=13)1-1=1因为因为11=12021/6/302021/6/302222定定理理6.2.2群群定定义义中中的的条条件件(1)和和(2)可可以减弱如下：以减弱如下：1)有有左左壹壹：G中中有有一一个个元元素素1，适适合合对对于于G中任意元素中任意元素a，都有，都有1a=a;2)有有左左逆逆：对对于于G中中任任意意a，都都可可找找到到G中一个元素中一个元素a-1，满足，满足a-1a=1。证明：证明：只需证明只需证明a1=a和和aa-1=1。6.2.3群的性质群的性质-(2)2021/
17、6/302021/6/302323证法一证法一先证先证aa-1=1。因为因为(a-1a)a-1=1a-1=a-1，故，故(a-1a)a-1=a-1。由由2)，a-1也应该有一个左逆适合也应该有一个左逆适合ba-1=1。于是，一方面有：。于是，一方面有：b(a-1a)a-1)=ba-1=1，另一方面有：另一方面有：b(a-1a)a-1)=(ba-1)(aa-1)=1(aa-1)=aa-1，因此，因此，aa-1=1。2021/6/302021/6/302424再证再证a1=a。a1=a(a-1a)=(aa-1)a=1a=a。证毕。证毕。注意：注意：把把1)，2)中对于左边的要求一律中对于左边的要求
18、一律改成对于右边的要求也是一样。改成对于右边的要求也是一样。但是只但是只满足左壹、右逆未必成群，只满足右壹、满足左壹、右逆未必成群，只满足右壹、左逆也未必成群。左逆也未必成群。2021/6/302021/6/302525证法二证法二1)往证往证a1=a。由由1) ，知有，知有11=1，由，由2) ，知有，知有a-1a=1，用其部分代替上式中的用其部分代替上式中的1，得到，得到(a-1a)1=a-1a，由由2) 知知a-1有左逆，令其为有左逆，令其为b，并用，并用b左左乘上式，两端得到乘上式，两端得到b(a-1a)1=b(a-1a)，即即(ba-1)(a1)=(ba-1)a，亦即，亦即1(a1)
19、=1a，即，即(1a)1=1a，由由1) 1a=a，所以所以a1=a。2021/6/302021/6/3026262)往证往证aa-1=1。由由2) ，知，知a-1有左逆，令其为有左逆，令其为b，于是，于是ba-1=1，用用a右乘等式两端得到右乘等式两端得到(ba-1)a=1a，即，即b(a-1a)=1a，亦即，亦即b=a。故故aa-1=1。证毕。证毕。2021/6/302021/6/302727定理定理6.2.3群定义中的条件群定义中的条件1)和和2)等于下等于下列可除条件：对于任意列可除条件：对于任意a、b，有，有x使使xa=b，又有，又有y使使ay=b。证明：证明：首先证明在任一群中可除
20、条件成立首先证明在任一群中可除条件成立。因为：取因为：取x=ba-1，y=a-1b，即得，即得xa=b，ay=b，故：由，故：由1)和和2)可以推出可以推出可除条件成立。可除条件成立。6.2.3群的性质群的性质-(3)2021/6/302021/6/302828证明：证明：再证明由可除条件也可以推再证明由可除条件也可以推1)，2)，因，因而可以推出而可以推出1)，2)。取任意取任意cG，命，命1为适合为适合xc=c的的x，则，则1c=c。今对于任意。今对于任意a，有，有y使使cy=a，故，故1a=1(cy)=(1c)y=cy=a，即即1)成立。成立。令令a-1为适合为适合xa=1的的x，则，则
21、a-1a=1，故故2)成立。成立。证毕。证毕。2021/6/302021/6/302929定定理理6.2.4设设G是是一一个个群群，在在一一个个乘乘积积a1an中可以任意加括号而求其值。中可以任意加括号而求其值。证明：证明：因为群满足结合律，所以要证定因为群满足结合律，所以要证定理，只要证明任意加括号而得的积等于理，只要证明任意加括号而得的积等于按次序由左而右加括号所得的积按次序由左而右加括号所得的积(a1a2)a3)an-1)an(1)用数学归纳法证明。用数学归纳法证明。n=1、2、3，命题显然。假定对少于，命题显然。假定对少于n个个因子的乘积因子的乘积(1)式成立，以下证对式成立，以下证对
22、n个因个因子的乘积子的乘积(1)式也成立。式也成立。6.2.3群的性质群的性质-(4)2021/6/302021/6/303030设设A为为由由a1an任任意意加加括括号号而而得得到到的的乘乘积积，往证往证A等于等于(1)式。式。设设在在A中中最最后后一一次次计计算算是是前前后后两两部部分分B与与C相乘：相乘：A=(B)(C)C的因子个数小于的因子个数小于n，故由归纳假设，故由归纳假设，C等于按次序自左而右加括号所得的乘积等于按次序自左而右加括号所得的乘积(D)an。由结合律，。由结合律，A=(B)(C)=(B)(D)an)=(B)(D)an。证明：证明：2021/6/302021/6/303
23、131(B)(D)的的因因子子个个数数小小于于n，再再由由归归纳纳假假设设，(B)(D)等等于于按按次次序序由由左左而而右右加加括括号所得的乘积：号所得的乘积：(B)(D)=(a1a2)a3)an-2)an-1因而因而A=(B)(D)an=(a1a2)a3)an-2)an-1)an即即A等于等于(1)式。式。证毕。证毕。证明：证明：2021/6/302021/6/3032326.2.3群的性质群的性质-(5)n个个a连连乘乘所所得得的的积积称称为为a的的n次次方方，记记为为an。规定：规定：a0=1，a-n=(an)-1。对于任意整数对于任意整数m，n，下面定律成立：，下面定律成立：第一指数律
24、：第一指数律：aman=am+n，第二指数律：第二指数律：(am)n=amn但一般群中第三指数律但一般群中第三指数律(ab)n=anbn不成立。不成立。2021/6/302021/6/303333定义定义6.2.3若群若群(G,)的运算的运算适合适合交换律，则称交换律，则称(G,)为为Abel群或交换群。群或交换群。例：例：1)(Z,+),(Q,+),(R,+),(C,+)都是无限都是无限Abel群。群。2)(Q*,),(R*,),(C*,)都是无限都是无限Abel群。群。3)实数域上所有实数域上所有n阶非奇异矩阵的集合在矩阶非奇异矩阵的集合在矩阵的乘法下不是阵的乘法下不是Abel群。群。4)
25、元数为元数为1、元数为、元数为2的群都是有限的群都是有限Abel群。群。Abel群群2021/6/302021/6/303434天才的挪威数学家天才的挪威数学家Abel2021/6/302021/6/303535设设(G,)是一个群，则是一个群，则(G,)是是Abel群的充要条件是对群的充要条件是对 a,b G，有，有(ab)2=a2b2。证明：证明：必要性。必要性。若若(G,)是是Abel群群，即即对对 a,b G，有有ab=ba。故：。故：(ab)2=(ab)(ab)=a(ba)b=a(ab)b=(aa)(bb)=a2b2充充分分性性。对对 a,b G，由由(ab)2=a2b2，得，得a-
26、1(ab)(ab)b-1=a-1(aa)(bb)b-1故，故，ba=ab，因此，因此，(G,)是是Abel群。群。例：例：2021/6/302021/6/303636定理定理6.2.5在一个在一个Abel群群(G,)中，一中，一个乘积可以任意颠倒因子的次序而求其个乘积可以任意颠倒因子的次序而求其值。值。证明：证明：考虑一个乘积考虑一个乘积a1an。设。设是是1,n上的一个一对一变换，欲证上的一个一对一变换，欲证a(1)a(n)=a1an对对n用用数数学学归归纳纳法法，n=1时时定定理理显显然然成成立立。假定假定n-1时定理已真，证明时定理已真，证明n时定理亦真。时定理亦真。6.2.3群的性质群
27、的性质-(6:Abel群中的性质群中的性质)2021/6/302021/6/303737设设将将a1an中中各各因因子子任任意意颠颠倒倒次次序序而而得一式：得一式：P=a(1)a(n)因因子子an必必在在P中中某某处处出出现现，因因而而P可可以以写写成：成：P=(P)an(P)P或或P中中可可能能没没有有元元素素，但但照照样样适适用用以以下的论证，由交换律：下的论证，由交换律：P=P(anP)=P(Pan)=(PP)an，证明：证明：2021/6/302021/6/303838现现在在PP中中只只有有n-1个个元元素素a1,an-1，只不过次序有颠倒，故由归纳法假定，只不过次序有颠倒，故由归纳
28、法假定，PP=a1an-1。因此，因此，P=(PP)an=a1an-1an，从而归纳法完成，定理得证。从而归纳法完成，定理得证。证明：证明：2021/6/302021/6/303939在在Abel群中，群中，第三指数律第三指数律成立：成立：(ab)m=ambm，m为任意整数。为任意整数。6.2.3群的性质群的性质-(6:Abel群中的性质群中的性质)2021/6/302021/6/304040加法群：加法群：(G,+)。永远假定加法群永远假定加法群是一个是一个Abel群。群。加法群中三个指数定律：加法群中三个指数定律：(m+n)a=ma+na，m(na)=(mn)a，m(a+b)=ma+mb思考：乘法群中思考：乘法群中ab-1在加法群中写作？在加法群中写作？6.2.3群的性质群的性质-(6:Abel群中的性质群中的性质)乘法群乘法群加法群加法群1a-1an0：a+0=a-a：a+(-a)=0na2021/6/302021/6/304141作业作业2P202-5增加一问：如果是群，说明单位元和每增加一问：如果是群，说明单位元和每个元素的逆元；如果不是群，如何更改个元素的逆元；如果不是群，如何更改此二元运算表使之成为群？此二元运算表使之成为群？2021/6/302021/6/304242 结束语结束语若有不当之处，请指正，谢谢！若有不当之处，请指正，谢谢！
