电磁场与电磁波第2章

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1、第2章电磁场基本理论主要内容主要内容 场的定义和计算、场的定义和计算、 麦克斯韦方程组的建立及其积分微分形式麦克斯韦方程组的建立及其积分微分形式2.12.1、场量的定义和计算、场量的定义和计算1 1、 电场电场2 2、 电位电位3 3、 磁场磁场4 4、 矢量磁位矢量磁位 2.22.2、麦克斯韦方程组的建立麦克斯韦方程组的建立1 1、安培环路定律、安培环路定律2 2、法拉第电磁感应定律、法拉第电磁感应定律3 3、电场的高斯定律、电场的高斯定律4 4、磁场的高斯定律、磁场的高斯定律5 5、电流连续性方程、电流连续性方程2.32.3、麦克斯韦方程组的积分形式和微分形式、麦克斯韦方程组的积分形式和微

2、分形式2.12.1、场量的定义和计算、场量的定义和计算1 1、电场、电场（1 1）什么是电场？）什么是电场？ 存在于电荷周围，能对其他电荷产生作用力的特殊的物质存在于电荷周围，能对其他电荷产生作用力的特殊的物质称为电场。可见电荷是产生电场的源。称为电场。可见电荷是产生电场的源。（2 2）电场强度的定义）电场强度的定义 单位正电荷在电场中某点受到的作用力称为该点的电场强度。单位正电荷在电场中某点受到的作用力称为该点的电场强度。电场强度严格的数学表达式为：电场强度严格的数学表达式为： 在此要求实验电荷足够小，以使该电荷产生的电场不致使原在此要求实验电荷足够小，以使该电荷产生的电场不致使原电场发生畸

3、变。电场发生畸变。（3 3）库仑定律）库仑定律 其中：其中： 为真空中介电常数。为真空中介电常数。（4 4）电场强度的计算）电场强度的计算. .点点电荷周围电场强度的计算公式：电荷周围电场强度的计算公式：其中：其中： 是源电荷指向场点的方向。是源电荷指向场点的方向。解：解：如图如图 点的坐标矢量为：点的坐标矢量为：点的坐标矢量为：点的坐标矢量为：点电荷点电荷电场强度的计算公式电场强度的计算公式其中：其中：所以所以: :例例1 1：在直角坐标系中，设一点电荷：在直角坐标系中，设一点电荷q q 位于点位于点 ，计，计算空间点算空间点 的电场强度。的电场强度。结论：结论：多个电荷产生的电场多个电荷产

4、生的电场 如果有多个点电荷源如果有多个点电荷源, ,场域中某点的电场强度应该是所场域中某点的电场强度应该是所有点电荷在该场中产生的电场强度的矢量和。有点电荷在该场中产生的电场强度的矢量和。 在直角坐标系中，若源电荷在直角坐标系中，若源电荷 所在点的坐标为所在点的坐标为 ，场点场点P P 的坐标为的坐标为 ，则，则P P 点的电场强度为：点的电场强度为：qq1q2q3q4q5q6q7 真空中的真空中的N个点电荷个点电荷q1 、 q2、 、qN （分别位于（分别位于 、 、 、 ）对点电荷对点电荷q（位于（位于 ）的作用力为）的作用力为. .连续分布的电荷源产生的电场连续分布的电荷源产生的电场a.

5、a.线电荷分布：电荷沿某一曲线连续分布线电荷分布：电荷沿某一曲线连续分布 。 线电荷密度定义：线电荷密度定义： 单位长度上的电荷量。单位长度上的电荷量。 上所带的电荷量：上所带的电荷量：产生的电场强度为：产生的电场强度为：该线电荷在空间产生的电场强度：该线电荷在空间产生的电场强度： b.b.面电荷分布：电荷沿空间曲面连续分布。面电荷分布：电荷沿空间曲面连续分布。 面电荷密度定义：面电荷密度定义： 单位面积上的电荷量。单位面积上的电荷量。 上所带的电荷量：上所带的电荷量：产生的电场强度为：产生的电场强度为：该面电荷在空间产生的电场强度：该面电荷在空间产生的电场强度： c.c.体电荷分布体电荷分布

6、: : 电荷在某空间体积内连续分布电荷在某空间体积内连续分布 。体电荷密度定义：体电荷密度定义： 单位体积内的电荷量。单位体积内的电荷量。 上所带的电荷量：上所带的电荷量：产生的电场强度为：产生的电场强度为：该体电荷在空间产生的电场强度该体电荷在空间产生的电场强度: : 解：根据题意，选取圆柱坐标系解：根据题意，选取圆柱坐标系面元：面元：面元上的面元上的电荷量为：电荷量为：从此电荷源到从此电荷源到 z z 轴上轴上 P P 点的距点的距离矢量为：离矢量为：距离距离大小为：大小为：根据面分布电荷在空间一点所产生的电场强度公式：根据面分布电荷在空间一点所产生的电场强度公式： 例例2 2：设有一无限

7、大的均匀带电平面，面电荷密度为：设有一无限大的均匀带电平面，面电荷密度为 , ,求：求：距平面距平面h h高处的电场强度高处的电场强度E E。 n n 可见：无限大均匀带电平面产生的电场是均匀的可见：无限大均匀带电平面产生的电场是均匀的, ,与与距离距离 h h无关，方向为该平面的法线方向。无关，方向为该平面的法线方向。由于电荷分布的对称性，对每一个面元由于电荷分布的对称性，对每一个面元 ，将有一个对称面元将有一个对称面元 与之对应，这两个面与之对应，这两个面元上的电荷在元上的电荷在P P点产生的电场强度的径向分点产生的电场强度的径向分量相互抵消，因此量相互抵消，因此P P点的电场强度的径向分

8、点的电场强度的径向分量为零。量为零。 2 2、电位、电位 电荷电荷 在电场中受力为：在电场中受力为：电荷电荷在静电场中由在静电场中由P P点移动到点移动到A A点，外力所做的功为：点，外力所做的功为： 电位差定义：电位差定义： 单位正电荷由单位正电荷由P P点移动到点移动到A A点，外力所做的功称为点，外力所做的功称为A A点和点和P P点之间的电位差。点之间的电位差。 （1 1） 电位差电位差电荷电荷 在电场中要保持静止，在电场中要保持静止，需受外力作用为：需受外力作用为：结论：结论：空间两点的电位差只与两点空间两点的电位差只与两点所在位置有关，而与积分路所在位置有关，而与积分路径无关。径无

9、关。例例3 3：计算原点处一点电荷：计算原点处一点电荷q q 产生的电场中产生的电场中APAP之间的电位差。之间的电位差。解：选取球坐标系，点电荷解：选取球坐标系，点电荷q q 产生的电场产生的电场所以：所以：o o电位定义：电位定义： 外力将单位正电荷是由无穷远处移到外力将单位正电荷是由无穷远处移到A A点，则点，则A A点和无穷点和无穷远处的电位差称为远处的电位差称为A A点的电位。点的电位。（2 2）电位）电位以无穷远处为零电位参考点，以无穷远处为零电位参考点， 为电荷源到为电荷源到A A点的距离。点的距离。电位物理意义：电位物理意义： 静电场中某点的电位，其物理意义是静电场中某点的电位

10、，其物理意义是单位正电荷单位正电荷在在电电场力场力的作用下，自该点沿任一条路径移至无限远处过程中的作用下，自该点沿任一条路径移至无限远处过程中电场力作的电场力作的功功。 应应该该注注意意，这这里里所所说说的的电电位位实实际际上上是是该该点点与与无无限限远远处处之之间间的的电电位位差差，或或者者说说是是以以无无限限远远处处作作为为参参考考点点的的电电位位。原原则则上上，可可以以任任取取一一点点作作为为电电位位参参考考点点。显显然然，电电位位的的参参考考点点不不同同，某某点点电电位位的的值值也也不不同同。但但是是任任意意两两点点之之间间的的电电位位差差与与电电位位参参考考点点无无关关，因因此此电电

11、位位参参考考点点的的选选择择不不会会影影响响电电位位差差的的值值。当当电电荷荷分分布布在在有有限限区区域域时时，通通常常选选择择无无限限远远处处作作为为电电位位参参考考点点，因因为为此此时时无无限限远远处处的的电位为零。电位为零。 根据定义，任意一点根据定义，任意一点A A的电位等于把单位正电荷从该点的电位等于把单位正电荷从该点移到电位参考点移到电位参考点P P（零电位点）电场力所做的功。（零电位点）电场力所做的功。也就是外也就是外力克服电场力把单位正电荷从电位参考点（零电位点）移力克服电场力把单位正电荷从电位参考点（零电位点）移到该点所做的功。到该点所做的功。数值上也就是单位正电荷所具有的势

12、能数值上也就是单位正电荷所具有的势能。 因此我们才可以说（在静电场条件下）电位是单位正因此我们才可以说（在静电场条件下）电位是单位正电荷的势能。势能本身就意味着它只与状态有关，与过程电荷的势能。势能本身就意味着它只与状态有关，与过程无关。无关。 （3 3）电位计算）电位计算. .点电荷的电位计算：点电荷的电位计算：多个点电荷的电位计算：多个点电荷的电位计算：其中：其中： 为第为第i i个电荷源到个电荷源到A A点的距离。点的距离。. .连续分布的电荷源的电连续分布的电荷源的电位计算位计算线电荷分布：线电荷分布：面电荷分布：面电荷分布：体电荷分布：体电荷分布：. . . .场源电荷分布至无限远时

13、，电位的计算场源电荷分布至无限远时，电位的计算场源电荷分布至无限远时，电位的计算场源电荷分布至无限远时，电位的计算电荷分布到无穷远，不能选无限远处为零电位点。只能在有电荷分布到无穷远，不能选无限远处为零电位点。只能在有电荷分布到无穷远，不能选无限远处为零电位点。只能在有电荷分布到无穷远，不能选无限远处为零电位点。只能在有限区域非源点处任选一点作参考点。限区域非源点处任选一点作参考点。限区域非源点处任选一点作参考点。限区域非源点处任选一点作参考点。电位参考点不能位于无穷远点。电位参考点不能位于无穷远点。取取R=1R=1柱面为电位参考面，即柱面为电位参考面，即得：无限长线电流的电位无限长线电流的电

14、位例：无限长线电荷电位例：无限长线电荷电位. .电位参考点的选择：电位参考点的选择：a.a.选择参考点尽可能使电位表达式比较简单，且要有意义。选择参考点尽可能使电位表达式比较简单，且要有意义。b.b.电荷在有限区域，无穷远点为参考点。电荷在有限区域，无穷远点为参考点。c.c.电荷分布到无穷远，在有限区域任选一点作参考点。电荷分布到无穷远，在有限区域任选一点作参考点。d.d.同一物理问题，参考点应该统一。同一物理问题，参考点应该统一。e.e.场中任意两点的电位差与参考点无关。场中任意两点的电位差与参考点无关。f.f.参考点的选择不会影响电场，电场只与电位差有关，绝对参考点的选择不会影响电场，电场

15、只与电位差有关，绝对电位没有意义，只有电位差才有意义。电位没有意义，只有电位差才有意义。（4 4）电位与电场强度关系）电位与电场强度关系 在静电场中，任意一点的电场强度在静电场中，任意一点的电场强度E E的方向总是沿着电位的方向总是沿着电位减少的最快方向，其大小等于电位的最大变化率。减少的最快方向，其大小等于电位的最大变化率。在直角坐标系中：在直角坐标系中：根据根据E E与与 的微分关系，试问静电场中的某一点的微分关系，试问静电场中的某一点？ ( )( )？ ( )( )1 1）电位作辅助量，简化求解过程，矢量变标量。）电位作辅助量，简化求解过程，矢量变标量。2 2）静电场电位有物理意义：电位

16、是单位正电荷的势能。）静电场电位有物理意义：电位是单位正电荷的势能。3 3）电位比电场易测量。）电位比电场易测量。为什么要引入电位：为什么要引入电位：例例4: 4: 有一对等量异号相距很近的电荷构成电偶极子，如图，有一对等量异号相距很近的电荷构成电偶极子，如图，求：求：P P点的电位和电场强度点的电位和电场强度 。解：取球坐标系，解：取球坐标系， P P点的电位点的电位因为：因为：则：则：电场强度：电场强度：（5 5）等位面）等位面 由于电场强度的方向为电位梯度的负方向，而梯度由于电场强度的方向为电位梯度的负方向，而梯度方向总是垂直于等位面，因此，电场线与等位面一定处方向总是垂直于等位面，因此

17、，电场线与等位面一定处处保持垂直。若规定相邻的等位面之间的电位差保持恒处保持垂直。若规定相邻的等位面之间的电位差保持恒定，那么等位面密集处表明电位变化较快，因而场强较定，那么等位面密集处表明电位变化较快，因而场强较强。这样，等位面分布的疏密程度也可表示电场强度的强。这样，等位面分布的疏密程度也可表示电场强度的强弱。强弱。式中常数式中常数 C C 等于电位值。等于电位值。 电位相等的曲面称为等位面，其方程为电位相等的曲面称为等位面，其方程为电场线等位面E 点电荷与接地导体的电场点电荷与接地导体的电场 电偶极子的等位线和电力线电偶极子的等位线和电力线 点电荷与不接地导体的电场点电荷与不接地导体的电

18、场点电荷位于一块介质上方的电场点电荷位于一块介质上方的电场3 3、磁场、磁场产生磁场的源：产生磁场的源：a.a.永久磁铁永久磁铁 b.b.变化的电场变化的电场 c.c.电流周围，即运动的电荷电流周围，即运动的电荷（1 1）什么是磁场？）什么是磁场？ 存在于载流回路或永久磁铁周围空间，能对运动电荷施存在于载流回路或永久磁铁周围空间，能对运动电荷施力的特殊物质称为磁场。力的特殊物质称为磁场。可见：可见： 磁场力磁场力 、运动速度、运动速度 和磁感应强度和磁感应强度 三者相互垂三者相互垂直，且满足右手螺旋法则。直，且满足右手螺旋法则。（2 2）磁感应强度）磁感应强度B B的定义的定义 实验发现，运动

19、电荷在磁场中受到的作用力不仅与电实验发现，运动电荷在磁场中受到的作用力不仅与电荷量及运动速度的大小成正比，而且还与电荷的运动方向荷量及运动速度的大小成正比，而且还与电荷的运动方向有关。电荷沿某一方向运动时受力最大，而垂直此方向运有关。电荷沿某一方向运动时受力最大，而垂直此方向运动时受力为零。我们定义，受力为零的方向为零线方向，动时受力为零。我们定义，受力为零的方向为零线方向，如图所示。如图所示。 矢量矢量 B B 称为磁感应强度，单位为称为磁感应强度，单位为T T（特斯拉特斯拉）。）。 F FB Bv v 零线零线方向方向设最大作用力为设最大作用力为 Fm Fm ，沿偏离零线方，沿偏离零线方向

20、向 角度运动时，受力为角度运动时，受力为 ，作，作用力用力 F F 的大小与电荷量的大小与电荷量 q q 及速度及速度大小大小 v v 的乘积成正比。的乘积成正比。 我们定义一个矢量我们定义一个矢量 B B ，令其大小为，令其大小为 ，其方向为零线方，其方向为零线方向，那么矢量向，那么矢量B B 与电荷量与电荷量 q q ，运动速度，运动速度v v 以及作用力以及作用力F F 的关系的关系为为 电流元电流元电流元电流元 在空间所产生的磁感应强度为：在空间所产生的磁感应强度为： 该式称为毕奥该式称为毕奥萨伐尔定律。萨伐尔定律。安培力实验定律：安培力实验定律： （3 3）磁感应强度的计算）磁感应强

21、度的计算其中：其中： 为真空磁导率。为真空磁导率。得到：得到：比较比较 电流分类：电流可以分布在体积中，也可分布在表电流分类：电流可以分布在体积中，也可分布在表面上或细导线中。面分布的电流称为表面电流，表面电面上或细导线中。面分布的电流称为表面电流，表面电流密度流密度 J Js s 的单位为的单位为 A/mA/m。细导线中电流称为线电流，线细导线中电流称为线电流，线电流无密度可言。电流无密度可言。各种电流之间的关系为各种电流之间的关系为 例例5 5：求如图所示的电流线：求如图所示的电流线 I I 在在O O点产生的磁感应强度。点产生的磁感应强度。解：取圆柱坐标系解：取圆柱坐标系将电流线分成将电

22、流线分成 三段分别求这三段电流在三段分别求这三段电流在O O点点产生的磁感应强度。产生的磁感应强度。. .闭合电流回路在空间所产生的磁感应强度：闭合电流回路在空间所产生的磁感应强度：特斯拉特斯拉(T)(T)（1 1） 段在段在O O点产生的点产生的（2 2） 段在段在O O点产生的点产生的（3 3） 段在段在O O点产生的点产生的O O点产生的磁感应强度点产生的磁感应强度: :例例6 6：求长为：求长为l,l,载有电流载有电流I I的细直导线在的细直导线在P P点产生的磁感应强度点产生的磁感应强度. .解：如图所示，选用圆柱坐标系解：如图所示，选用圆柱坐标系式中：式中：所以：所以： 式中：式中

23、：于是得：于是得：有限长度电流线磁感应强度：有限长度电流线磁感应强度：无限长载流直导线周围磁感应强度：无限长载流直导线周围磁感应强度： 即：即：. .面电流情况面电流情况: : 电流在某一曲面上流动。电流在某一曲面上流动。面电流密度：面电流密度： 定义为在与电流线垂直的方向上单位定义为在与电流线垂直的方向上单位长度流过的电流。长度流过的电流。 上流过的电流量：上流过的电流量：产生的磁感应强度为：产生的磁感应强度为：整个面电流产生的磁场：整个面电流产生的磁场：(A/m)(A/m)解：如图，选用直角坐标系解：如图，选用直角坐标系 上流过的电流为上流过的电流为例例7 7：设一面电流密度为：设一面电流

24、密度为 的无限大均匀导流面，求：距该平的无限大均匀导流面，求：距该平 面面h h高处的磁感应强度？高处的磁感应强度？与与 对称的取线元对称的取线元其中：其中：该面电流在该面电流在P P点产生的磁感应强度：点产生的磁感应强度：无限大均匀导流面两侧的磁感应强度：无限大均匀导流面两侧的磁感应强度：. .体体电流情况电流情况: : 电流在某一体积内流动。电流在某一体积内流动。体电流密度：体电流密度： 定义为在与电流线垂直的方向上平面定义为在与电流线垂直的方向上平面内单位面积流过的电流。内单位面积流过的电流。 上流过的电流量：上流过的电流量：产生的磁感应强度为：产生的磁感应强度为：整个体电流产生的磁场：

25、整个体电流产生的磁场：(A/m(A/m2 2) )4 4、矢量磁位、矢量磁位(1) (1) 磁通量磁通量 磁感应强度对一个曲面的面积分磁感应强度对一个曲面的面积分称为穿过该曲面的磁通量。称为穿过该曲面的磁通量。若曲面闭合：若曲面闭合：磁感应强度：磁感应强度：根据梯度规则：根据梯度规则：则有：则有：根据高斯定律：根据高斯定律：利用矢量恒等式：利用矢量恒等式：已知：已知：和和结论：结论： 穿过空间任意闭合曲面的磁通量恒为零。这就是磁通穿过空间任意闭合曲面的磁通量恒为零。这就是磁通连续性原理。它说明磁感线是连续的闭合矢线，磁场是无连续性原理。它说明磁感线是连续的闭合矢线，磁场是无散场。散场。 为了简

26、化磁场的求解，通常采用间接方法。为了简化磁场的求解，通常采用间接方法。由磁场的散度为零，引入矢量磁位。由磁场的散度为零，引入矢量磁位。（2 2）矢量磁位的引入）矢量磁位的引入根据矢量恒等式：根据矢量恒等式：引入矢量引入矢量 ，令，令 则：则：该矢量该矢量 称为矢量磁位，称为矢量磁位，单位为韦伯单位为韦伯/ /米（米（Wb/mWb/m）。）。 矢量磁位与电位不同，它没有任何物理意义，仅是一个计矢量磁位与电位不同，它没有任何物理意义，仅是一个计算辅助量。算辅助量。（3 3）矢量磁位的计算）矢量磁位的计算规范条件：规范条件：对线电流的情况：对线电流的情况：已知：已知：. .线电流矢量磁位计算线电流矢

27、量磁位计算利用矢量恒等式：利用矢量恒等式：则：则：为零！为零！矢量磁位：矢量磁位：该式为线电流产生的磁场中的该式为线电流产生的磁场中的矢量磁位计算公式矢量磁位计算公式。. .面面电流矢量磁位计算电流矢量磁位计算面电流密度：面电流密度：(A/m)(A/m)矢量磁位：矢量磁位：. .体体电流矢量磁位计算电流矢量磁位计算体电流密度：体电流密度：矢量磁位：矢量磁位：(A/m(A/m2 2) )例例8 8：计算半径为：计算半径为a a ，电流为电流为 I I 的小电流环产生的磁感应强度。的小电流环产生的磁感应强度。 解解：取取球球坐坐标标系系，令令坐坐标标原原点点位位于于电电流流环环的的中中心心，且且电

28、电流流环环的的平平面面位位于于xyxy 平平面面内内，如如图图示示。由由于于结结构构对对称称，场场量量一一定定与与 无无关关。为为了了计计算算方方便便起起见见，令令所所求求的的场场点点位位于于xzxz 平平面，即面，即 = 0= 0平面内。平面内。经过一系列演算，求得经过一系列演算，求得式中式中 为小电流环的面积。为小电流环的面积。 rzyxarr - rexyOare-exeye根据根据 ，求得，求得可见，小电流环产生的矢量磁位可见，小电流环产生的矢量磁位 A A 与距离与距离 r r 的平方成反的平方成反比，磁感应强度比，磁感应强度 B B 与距离与距离 r r 的立方成反比。而且，两者的

29、立方成反比。而且，两者均与场点所处的方位有关。均与场点所处的方位有关。 2.2 2.2 麦克斯韦方程组的建立麦克斯韦方程组的建立1 1、安培环路定律、安培环路定律麦克斯韦第一方程麦克斯韦第一方程 （1 1）安培环路定律）安培环路定律已知：无限长载流直导线周围的磁感应强度为：已知：无限长载流直导线周围的磁感应强度为：引入一个新矢量引入一个新矢量 ，令，令 则：则： 矢量矢量 称为磁场强度，单位为安培称为磁场强度，单位为安培/ /米（米（A/mA/m）。）。 安培环路定律：安培环路定律： 在真空中，磁场强度在真空中，磁场强度沿任意回路的线积分，等于该回沿任意回路的线积分，等于该回路所限定的曲面上穿

30、过的总电流。路所限定的曲面上穿过的总电流。若积分回路中包含多个电流则：若积分回路中包含多个电流则：例例9: 9: 如图所示，一无限长同轴电缆芯线通有均匀分布的电流如图所示，一无限长同轴电缆芯线通有均匀分布的电流I I，外导体通有均匀的等量反向电流，求各区域的磁感应强度。，外导体通有均匀的等量反向电流，求各区域的磁感应强度。 解解: : 根据题意，取圆柱坐标系。根据题意，取圆柱坐标系。（1 1） 区域区域内导体的电流密度为内导体的电流密度为: :取半径为取半径为 r r 的圆环为积分回路，的圆环为积分回路，根据安培环路定律根据安培环路定律: : 磁感应强度为磁感应强度为: : 同理取半径为同理取

31、半径为r r 的圆为积分回路，则有的圆为积分回路，则有: : （2 2） 区域区域该区域的磁感应强度为该区域的磁感应强度为: :（3 3） 区域区域外导体的电流密度为外导体的电流密度为: :同理，取半径为同理，取半径为r r 的圆为积分回路，则有的圆为积分回路，则有: : 可得：可得：（4 4） 区域区域（2 2）位移电流）位移电流 传导电流连续是安培环路定律成立的前提。传导电流连续是安培环路定律成立的前提。 位位移电流的提出：移电流的提出： 在电容器两极板间，由于电场随时间的变化而存在位移在电容器两极板间，由于电场随时间的变化而存在位移电流，其数值等于流向正极板的传导电流。电流，其数值等于流

32、向正极板的传导电流。如图：如图：穿过穿过 的传导电流为的传导电流为 ，则：，则： 穿过穿过 的传导电流为的传导电流为 ，则：，则： 矛盾？矛盾？S S平板电容器极板上的电荷：平板电容器极板上的电荷： 位移电流的计算位移电流的计算 传导电流：传导电流：位移电流：位移电流：位移电流密度：位移电流密度：引入一个新矢量引入一个新矢量 ，在真空中令，在真空中令 ，则位移电流密度表示为：则位移电流密度表示为： 某曲面上的位移电流：某曲面上的位移电流：电位移矢量电位移矢量 3. 3. 全电流定律全电流定律 引入位引入位移电流之后，穿过移电流之后，穿过 S S 面的总电流为：面的总电流为：总电流密度为：总电流

33、密度为：某曲面上全电流某曲面上全电流 I I 为：为： 全电流定律：全电流定律： 该方程称为麦克斯韦第一方程。该方程称为麦克斯韦第一方程。该式的物理意义：它表明磁场不仅由传导电流产生，也能由该式的物理意义：它表明磁场不仅由传导电流产生，也能由随时间变化的电场，即位移电流产生。随时间变化的电场，即位移电流产生。 2 2、法拉第电磁感应定律、法拉第电磁感应定律麦克斯韦第二方程麦克斯韦第二方程（1 1）法拉第电磁感应定律）法拉第电磁感应定律 磁场中的一个闭合导体回路的磁通量发生变化时，磁场中的一个闭合导体回路的磁通量发生变化时，回路中就产生了感应电流，表示回路中感应了电动势，回路中就产生了感应电流，

34、表示回路中感应了电动势，且感应电动势的大小正比于磁通对时间的变化率且感应电动势的大小正比于磁通对时间的变化率 。数学表达式为：数学表达式为： E E该闭合回路中的感应电动势为：该闭合回路中的感应电动势为：闭合回路中的磁通量为：闭合回路中的磁通量为：可得：可得：引起磁通变化的原因：引起磁通变化的原因： 闭合回路与恒定磁场之间存在相对运动闭合回路与恒定磁场之间存在相对运动, ,这时回路中的感这时回路中的感 应电动势称为动生电动势。应电动势称为动生电动势。 既存在时变磁场又存在回路的相对运动，则总的感应电动既存在时变磁场又存在回路的相对运动，则总的感应电动 势为：势为： 闭合回路是静止的，但与之交链

35、的磁场是随时间变化的，闭合回路是静止的，但与之交链的磁场是随时间变化的，这是回路中产生的感应电动势称为感生电动势。这是回路中产生的感应电动势称为感生电动势。（2 2）法拉第电磁感应定律的推广）法拉第电磁感应定律的推广 当空间某曲面内的磁通随时间变化时，意味着空间存在着当空间某曲面内的磁通随时间变化时，意味着空间存在着感应电场，感应电场，感应电场沿曲面边界的积分为该曲线上的感应电动感应电场沿曲面边界的积分为该曲线上的感应电动势势。经麦克斯韦推广的电磁感应定律为：经麦克斯韦推广的电磁感应定律为：该方程称为麦克斯韦第二方程。该方程称为麦克斯韦第二方程。该式说明：变化的磁场产生电场。即电场不仅由电荷源

36、产生，该式说明：变化的磁场产生电场。即电场不仅由电荷源产生， 也可由时变的磁场产生。也可由时变的磁场产生。 3 3、电场的高斯定律、电场的高斯定律麦克斯韦第三方程麦克斯韦第三方程 若以该点电荷为中心，做一半径为若以该点电荷为中心，做一半径为R R 的球面，则电场强度的球面，则电场强度穿出该球面的通量为穿出该球面的通量为如果闭合曲面内包含如果闭合曲面内包含n n个点电荷，则：个点电荷，则：如果闭合曲面内含有连续分布的电荷，则：如果闭合曲面内含有连续分布的电荷，则： 该方程称为麦克斯韦第三方程。该方程称为麦克斯韦第三方程。该式表明：穿过任何闭合曲面的电通量等于该闭合曲面所包围该式表明：穿过任何闭合

37、曲面的电通量等于该闭合曲面所包围 的净电荷。的净电荷。 解：如图，选球坐标系，由于球壳内均匀解：如图，选球坐标系，由于球壳内均匀 带电，所产生的电场具有中心对称性。带电，所产生的电场具有中心对称性。（1 1） 区域区域取半径为取半径为 R R 的球面为高斯面，根据电高斯定律的球面为高斯面，根据电高斯定律: : 可得：可得：例例1010：一均匀带电球壳，电荷密度为：一均匀带电球壳，电荷密度为 ，球壳内外半，球壳内外半径分别为径分别为a a、b b，求各区域中的电位移矢量，求各区域中的电位移矢量 。（2 2） 区域区域取半径为取半径为 R R 的球面为高斯面，根的球面为高斯面，根据电高斯定律据电高

38、斯定律: : 可得：可得：同理取半径为同理取半径为 R R 的球面为高斯面，的球面为高斯面，根据电高斯定律根据电高斯定律: : 可得：可得：（3 3） 区域区域数学表达式为：数学表达式为：该式表明：该式表明： 通过任何闭合曲面的磁通过任何闭合曲面的磁通量恒为零。磁力线总是连通量恒为零。磁力线总是连续的，它不会在闭合曲面内积累或中断，故称磁通连续续的，它不会在闭合曲面内积累或中断，故称磁通连续性原理。性原理。 该方程称为麦克斯韦第四方程。该方程称为麦克斯韦第四方程。4 4、磁场的高斯定律、磁场的高斯定律麦克斯韦第四方程麦克斯韦第四方程5 5、电流连续性方程电流连续性方程（麦克斯韦第五方程）（麦克

39、斯韦第五方程）从封闭曲面流出的电流，必然等于封闭曲面内正从封闭曲面流出的电流，必然等于封闭曲面内正电荷的减少率：电荷的减少率：设流出封闭曲面的电流为：设流出封闭曲面的电流为：该封闭曲面内的总电荷为：该封闭曲面内的总电荷为：则：则：（该方程称为麦克斯韦第五方程）（该方程称为麦克斯韦第五方程）该式表明：该式表明： 从封闭曲面流出的电流，必然等于封闭曲面内正电荷的从封闭曲面流出的电流，必然等于封闭曲面内正电荷的减少率，反之亦然。减少率，反之亦然。 1.1.麦克斯韦方程组的积分形式：麦克斯韦方程组的积分形式： 一般情况：一般情况：无源的情况：无源的情况：2.32.3、麦克斯韦方程组的积分形式和微分形式

40、、麦克斯韦方程组的积分形式和微分形式恒定电磁场恒定电磁场( (存在直流电流存在直流电流) ) 正弦电磁场正弦电磁场（存在时间因子（存在时间因子 ） 注意：利用积分形式的麦克斯韦方程可直接求解具有对称注意：利用积分形式的麦克斯韦方程可直接求解具有对称性的场。性的场。如：中心对称性场，轴对称性场，平面对称性场。如：中心对称性场，轴对称性场，平面对称性场。例例11 11 ：一无限长均匀带电直导线，线电荷密度为：一无限长均匀带电直导线，线电荷密度为 ， 求：该导线周围的电场强度。求：该导线周围的电场强度。解：解：该导线周围的电场具有轴对称性，该导线周围的电场具有轴对称性， 选柱坐标系，高斯面选柱面。选

41、柱坐标系，高斯面选柱面。可得：可得：电场强度：电场强度：已知：已知：2 2、麦克斯韦方程组的微分形式、麦克斯韦方程组的微分形式 积分形式积分形式: :微分形式微分形式: :注意：麦克斯韦方程的微分形式只适用于媒体的物理性质注意：麦克斯韦方程的微分形式只适用于媒体的物理性质 不发生突变的区域。不发生突变的区域。 微分形式的麦克斯韦方程组给出了空间某点场量之间微分形式的麦克斯韦方程组给出了空间某点场量之间及场量与场源之间的关系。及场量与场源之间的关系。 麦克斯韦方程组在麦克斯韦方程组在电磁学电磁学中的地位，如同中的地位，如同牛顿运动定律牛顿运动定律在力学中的地位一样。以麦克斯韦方程组为核心的在力学

42、中的地位一样。以麦克斯韦方程组为核心的电磁理论电磁理论，是经典物理学最引以自豪的成就之一。它所揭示出的是经典物理学最引以自豪的成就之一。它所揭示出的电磁相电磁相互作用互作用的完美统一，为物理学家树立了这样一种信念：物质的完美统一，为物理学家树立了这样一种信念：物质的各种相互作用在更高层次上应该是统一的。另外，这个理的各种相互作用在更高层次上应该是统一的。另外，这个理论被广泛地应用到技术领域。论被广泛地应用到技术领域。 任何一个能把这几个公式看懂的人，一定会感到背后有凉风任何一个能把这几个公式看懂的人，一定会感到背后有凉风如如果没有上帝，怎么解释如此完美的方程？这组公式融合了电的高斯定律、果没有

43、上帝，怎么解释如此完美的方程？这组公式融合了电的高斯定律、磁的高斯定律、磁的高斯定律、法拉第定律法拉第定律以及安培定律。比较谦虚的评价是：以及安培定律。比较谦虚的评价是：“一般一般地，宇宙间任何的地，宇宙间任何的电磁现象电磁现象，皆可由此方程组解释。，皆可由此方程组解释。”到后来麦克斯韦到后来麦克斯韦仅靠纸笔演算，就从这组公式预言了电磁波的存在。我们不是总喜欢编仅靠纸笔演算，就从这组公式预言了电磁波的存在。我们不是总喜欢编一些故事，比如一些故事，比如爱因斯坦爱因斯坦小时候因为某一刺激从而走上了发奋学习、报小时候因为某一刺激从而走上了发奋学习、报效祖国的道路么？事实上，这个刺激就是你看到的这个方程组。也正是效祖国的道路么？事实上，这个刺激就是你看到的这个方程组。也正是因为这个方程组完美统一了整个电磁场，让爱因斯坦始终想要以同样的因为这个方程组完美统一了整个电磁场，让爱因斯坦始终想要以同样的方式统一引力场，并将宏观与微观的两种力放在同一组式子中：即著名方式统一引力场，并将宏观与微观的两种力放在同一组式子中：即著名的的“大一统理论大一统理论”。爱因斯坦直到去世都没有走出这个隧道，而如果一。爱因斯坦直到去世都没有走出这个隧道，而如果一旦走出去，我们将会在隧道另一头看到上帝本神。旦走出去，我们将会在隧道另一头看到上帝本神。 - -摘自摘自“百度百科百度百科”