10.4.210.4.210.4.210.4.2 布莱克布莱克布莱克布莱克- - - -舒尔斯期权定价模型舒尔斯期权定价模型舒尔斯期权定价模型舒尔斯期权定价模型 一、 证券价格的变化过程一、 证券价格的变化过程一、 证券价格的变化过程一、 证券价格的变化过程 （一）弱式效率市场假说与马尔可夫过程（一）弱式效率市场假说与马尔可夫过程 l1965年，法玛（（Fama））提出了著名的效率市场假说该假说认为，投资者都力图利用可获得的信息获得更高的报酬；证券价格对新的市场信息的反应是迅速而准确的，证券价格能完全反应全部信息；市场竞争使证券价格从一个均衡水平过渡到另一个均衡水平，而与新信息相应的价格变动是相互独立的 l效率市场假说可分为三类：弱式、半强式和强式 l弱式效率市场假说可用马尔可夫随机过程（（Markov Stochastic Process））来表述l随机过程是指某变量的值以某种不确定的方式随时间变化的过程可分为离散型的和连续型的马尔可夫过程是一种特殊类型的随机过程 l如果证券价格遵循马尔可夫过程，则其未来价格的概率分布只取决于该证券现在的价格 （二）布朗运动（二）布朗运动 1.标准布朗运动标准布朗运动l设 代表一个小的时间间隔长度， 代表变量z z在时间 内的变化，遵循标准布朗运动的 具有两种特征：l特征特征1 1： 和 的关系满足（10.1）： （10.1）l其中， 代表从标准正态分布（即即均均值值为为0 0、、标标准准差差为为1.01.0的的正正态态分布分布）中取的一个随机值。
特征特征2 2：：对于任何两个不同时间间隔， 和 的值相互独立 l考察变量z在一段较长时间T中的变化情形，我们可得： l l(10.2)式均值为0 0，方差为 （ 是相互独立的 ）l当 时，我们就可以得到极限的标准布朗运动： （10.3） （10.2） 2.2.普通布朗运动普通布朗运动 l我们先引入两个概念：漂移率和方差率l标准布朗运动的漂移率为0，方差率为1.0 l我们令漂移率的期望值为a,方差率的期望值为b2，就可得到变量x 的普通布朗运动普通布朗运动： （10.4）l其中，a和b均为常数，dz遵循标准布朗运动。
l( (三三) )伊藤过程伊藤过程l普普通通布布朗朗运运动动假定漂移率和方差率为常数，若把变量x的漂移率和方差率当作变量x和时间t的函数，我们可以从公式(10.4)得到伊藤过程伊藤过程（（Ito Process）：）： (10.5）l其中，dz是一个标准布朗运动，a、b是变量x和t的函数，变量x的漂移率为a，方差率为b2 ( (四四) )证券价格的变化过程证券价格的变化过程l证券价格的变化过程可以用漂移率为μS、方差率为 的伊藤过程来表示：l两边同除以S得：（（10.6）） l从（10.6）可知，在短时间后，证券价格比率的变化值为：l可见， 也具有正态分布特征 (10.7) 例6.1l设一种不付红利股票遵循几何布朗运动，其波动率为每年18%，预期收益率以连续复利计为每年20%，其目前的市价为100元，求一周(0.0192年)后该股票价格变化值的概率分布。
∆S服从均值为0.384元，标准差为2.49元的正态分布的随机抽样 ( (五五) )伊藤引理伊藤引理★★★★★★ 若变量x遵循伊藤伊藤过程，则变量x和 t 的函数G ，则G将遵循如下过程： 根据伊藤引理，衍生证券的价格 f 应遵循如下过程： 具体到股票价格具体到股票价格（10.8）（10.9）(10.10) ( (六六) )证券价格自然对数变化过程证券价格自然对数变化过程 令 ，由于代入式（10.10）: （10.11）上式说明证券价格对数 f 遵循普通布朗运动。
由式：可知 例例10.210.2l设A股票价格的当前值为50元,预期收益率为每年18%,波动率为每年20%,该股票价格遵循几何布朗运动,且该股票在6个月内不付红利，请问该股票6个月后的价格ST的概率分布例例10.310.3l请问在例6.2中，A股票在6个月后股票价格的期望值和标准差等于多少？ 二、布莱克二、布莱克————舒尔斯微分方程舒尔斯微分方程 （一）布莱克（一）布莱克————舒尔斯微分方程的推导舒尔斯微分方程的推导 我们假设证券价格S遵循几何布朗运动：考虑短时间内，则有： （10.12） 假设 f 是依赖于 S S 的衍生证券的价格，则由依藤引理： （10.13） 为了消除 ，我们可以构建一个包括一单位衍生证券空头和 单位标的证券多头的组合。
令 代表该投资组合的价值， 则： (10.15) （10.14） 在 时间后： （10.16）将式（10.12）和（10.14）代入式（10.16），可得： （10.17）在没有套利机会的条件下：把式（10.15）和（10.17）代入上式得： 布莱克布莱克————舒尔斯微分分程舒尔斯微分分程l化简为： (10.18) l这就是著名的布莱克这就是著名的布莱克————舒尔斯微分分程，它适用于其舒尔斯微分分程，它适用于其价格取决于标的证券价格价格取决于标的证券价格S S的所有衍生证券的定价。
的所有衍生证券的定价 （二）风险中性定价原理（二）风险中性定价原理 l我们知道，厌恶风险程度越高，则预期收益率μ越高但在B-S模型中并没有涉及到μ所以可以断言衍生产品定价与投资者的风险偏好无关这就引出所谓风险中性假设即：l在风险中性世界里，投资者承担风险不需要额外补偿所有证券的预期收益都是无风险利率那么所有现金流量都可以通过无风险利率进行贴现求得现值l 根据B-S方程不含μ的特点，简化B-S方程求解，而作出风险中性假设，获得了方程解这个解与预期收益率μ无关，即与投资者风险偏好无关所以这个解对任何风险世界都是适用的 不仅适用于投资者风险中性情况，也适用于投资者厌恶风险的所有情况当我们从风险中性世界走入风险厌恶世界时会发生两件事情：①股票价格的期望收益率改变了；②在衍生证券任何损益中所使用的贴现率也变了然而这两件事情的效果总和正好相互抵消 例：例：l假设一种不支付红利股票目前的市价为10元，我们知道在3个月后，该股票价格要么是11元，要么是9元假设现在的无风险年利率等于10%，现在我们要找出一份3个月期协议价格为10.5元的该股票欧式看涨期权的价值 l为了找出该期权的价值， 可构建一个组合l 一单位看涨期权空头l N单位的标的股票多头l为了使该组合在期权到期时无风险到期时无风险，即无论3 3个月后个月后股票是上涨还是下跌，其组合价值都相同。
N必须满足下式： 11 N －（11－10.5）=9 N －0N=0.25即该组合无套利的均衡价值为2.25(2.25(9 9××0.25)0.25) l该无风险组合的现值现值应为：l由于该组合中有一单位看涨期权空头和0.25单位股票多头，而目前股票市场为10元，因此： 期权定价为：期权定价为： 这就是说，该看涨期权的价值应为0.31元，否则就会存在无风险套利机会 从该例子可以看出，在确定期权价值时，我们并不需要知道股票价格上涨到11元的概率和下降到9元的概率但这并不意味着概率可以随心所欲地给定 事实上，只要股票的预期收益率给定，股票上升和下降的概率也就确定了例如，在风险中性世界风险中性世界中，无风险利率为10％，则股票上升的概率P可以通过下式来求： 又如，现实世界现实世界中股票的预期收益率预期收益率为15％，则股票的上升概率可以通过下式来求： P = 69.11P = 69.11％％ 可见： 投资者厌恶风险程度 股票预期收益率 股票升跌的概率然而，无论投资者厌恶风险程度如何，无论该股票上升或下降的概率如何，该期权的价值都等于0.31元。
（三）布莱克（三）布莱克——舒尔斯期权定价公式舒尔斯期权定价公式l在风险中性的条件下，欧式看涨期权到期时（T时刻）的期望值为：l其现值为 （10.19）l对数股票价格的分布为： （10.20）l对式（10.19）求解： （（10.2110.21）） 其中， l我们可以从三个角度来理解这个公式的金融含义：lN(d2)是在风险中性世界中ST大于E的概率，或者说是欧式看涨期权被执行的概率， le-r(T-t)EN(d2)是 E E 的风险中性期望值的现值 lSN(d1)= e-r(T-t)ST N(d1)是 ST 的风险中性期望值的现值 l其次， 是复制交易策略中股票的数量，SN（d1)就是股票的市值, -e-e-r(T-t)-r(T-t)EN(dEN(d2 2) )则是复制交易策略中负债的价值。
l最后，从金融工程的角度来看，欧式看涨期权可以分拆成资产或资产或无无价值看涨期权（（Asset-or-nothing call option））多头和现金或现金或无价值无价值看涨期权（（cash-or-nothing option））空头，SN(dSN(d1 1) )是资产或无价值看涨期权的价值，-e-e-r(T-t)-r(T-t)EN(dEN(d2 2) )是E E份现金或无价值看涨期权空头的价值 l在标的资产无收益情况下，由于C（欧式）=c（美式），因此式（10.21）也给出了无收益资产美式看涨期权的价值l根据欧式看涨期权和看跌期权之间存在平价关系，可以得到无收益资产欧式看跌期权的定价公式 ： （10.22）l由于美式看跌期权与看涨期权之间不存在严密的平价关系，所以要用蒙特卡罗模拟、二叉树和有限差分三种数值方法以及解析近似方法求出 （四）有收益资产的期权定价公式（四）有收益资产的期权定价公式 1.1.有收益资产欧式期权的定价公式有收益资产欧式期权的定价公式l当标的证券已知收益的现值为I时，我们只要用（（S－－I））代替式（10.21）和（10.22）中的 S 即可求出固定收益证券欧式看涨和看跌期权的价格。
l当标的证券的收益为按连续复利计算的固定收益率q（单位为年）时，我们只要将 代替式（10.21）和（10.22）中的S就可求出支付连续复利收益率证券的欧式看涨和看跌期权的价格 l对于欧式期货期权，其定价公式为： （10.23） （10.24）l其中： 例例6.46.4l假设当前英镑的即期汇率为$1.5000，美国的无风险连续复利年利率为7%，英国的无风险连续复利年利率为10%，英镑汇率遵循几何布朗运动，其波动率为10%，求6个月期协议价格为$1.5000的英镑欧式看涨期权价格 l3.05美分 2.2.有收益资产美式期权的定价有收益资产美式期权的定价 (1)(1)美式看涨期权美式看涨期权 l当标的资产有收益时，美式看涨期权就有提前执行的可能，我们可用一种近似处理的方法该方法是先确定提前执行美式看涨期权是否合理若不合理，则按欧式期权处理；若在t 提前执行有可能是合理的，则要分别计算在T时刻和 t 时刻到期的欧式看涨期权的价格，然后将二者之中的较大者作为美式期权的价格。
例例6.56.5 l假设一种1年期的美式股票看涨期权，标的股票在5个月和11个月后各有一个除权日，每个除权日的红利期望值为1.0元，标的股票当前的市价为50元，期权协议价格为50元，标的股票波动率为每年30%，无风险连续复利年利率为10%，求该期权的价值l近似为7.2824元 (2)(2)美式看跌期权美式看跌期权 l由于收益虽然使美式看跌期权提前执行的可能性减小，但仍不排除提前执行的可能性，因此有收益美式看跌期权的价值仍不同于欧式看跌期权，它也只能通过较复杂的数值方法来求出 三、三、Black－－Scholes定价公式中各种变量对期权价格的影响定价公式中各种变量对期权价格的影响 在在布莱克-斯科尔斯定价公式中，影响期权价格的因素的包括：股票价格S、执行价格E、无风险利率r、股票价格波动的方差 和到期日 T 用函数形式表示就是： 在下面的叙述中假设公式是连续可微的，因而每一种因素对C的影响都可以通过求偏导数的方式得出， （（1）股票价格对欧式看涨期权价格的影响）股票价格对欧式看涨期权价格的影响 这种影响被称为 （小写为 ），即： 由于N（（d1））是一个概率函数，所以 。
这也就是说，当 S 增加或减少 1 个单位时，期权价格增加或减少的绝对量不超过 1 这个概念很重要，在理论和实践中常常被用于构造证券组合在一个无风险且无套利的证券组合中，常常被称作是 “ 套期保值率 ” 我们转而讨论一下关于 问题 例如构造如下一个证券组合，该组合包括一个价格为 C 的欧式看涨期权多头和 h 股价格为 S 的股票空头因此，该组合的现期价值为则 dV = dC - hdS依前分析有： 其中 z 是随机变量；由依藤引理可知：把 dS 和 dC 的值代入 dV，整理后得： 为使证券组合V 能取得一个无风险收益，即 dV=0从而可以得到最佳的套期保值率： 显而易见，影响 的一个最大变量是股票价格我们把股票价格 S 对△△的影响称为ГГ，即 由上式可知：如果Г的值越大，说明对股票价格的变化越敏感， △△中性的位置也就越难以维持；反之亦然。
（（2）执行价格的影响）执行价格的影响 通过求解，执行价格对欧式看涨期权的影响为：由于N（（d2））>0，所以： 它说明：执行价格越大，欧式看涨期权的价格越低；执行价格越小，欧式看涨期权的价格越高 （（3）无风险利率的影响）无风险利率的影响 在布莱克-斯科尔斯定价公式中，无风险利率是以连续复合利率的公式出现的，它对期权价格的影响被称作ρρ，它反映了期权价格对无风险利率变化的敏感程度即：显然， ρρ >0 （（4）方差的影响）方差的影响 期权价格对方差变化的敏感程度被称作ΛΛ（小写为λλ），它的具体值是： （（5）到期日的影响）到期日的影响 到期日的影响被称为ΘΘ（小写为θθ），其具体值是： 单只期权的θ总是小于 0 的，因为随着到期日的临近，期权的时间价值越来越小，直至等于0 金金融工程师在构建包含期权的金融产品时，选择期权品种的标准就是看该期权对其基础资产价格、无风险利率和基础资产收益方差等因素变动的敏感程度另外，在构建套期保值功能的证券组合时，也必须考虑△△ 、ΛΛ、、ГГ等因素，以构建出具有不同需要及 △△ 中性中性、 Λ中性中性或Г中性中性的金融产品（由于技术的复杂性，我们忽略了ΛΛ套期保值和ГГ套期保值）。