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1、中考数学中的最短问题 -线段和的最小值问题线段和的最小值问题 A AB B如如图图,要要在在街街道道旁旁修修建建一一个个奶奶站站P P,向向居居民民区区A A、B B提提供供牛牛奶奶,奶奶站站P P应应建建在在什什么么地地方方,才才能能使使从从A A,B B到到它它的的距距离离之之和最短?为什么?和最短?为什么?街道街道 P PP PA AB BA A P P如如图图,要要在在街街道道旁旁修修建建一一个个奶奶站站P P,向向居居民民区区A A、B B提提供供牛牛奶奶,奶奶站站P P应应建建在在什什么么地地方方,才才能能使使从从A A,B B到到它它的的距距离离之之和最短?为什么?和最短?为什么
2、?街街道道 P P求线段和最小值的一般步骤:求线段和最小值的一般步骤:连结对称点连结对称点A与与B之间的线段,交直线之间的线段,交直线l于点于点P,点点P即为所求的点,线段即为所求的点,线段AB的长就是的长就是AP+BP的最的最小值。小值。选点选点P所在直线所在直线l为对称轴;画出点为对称轴;画出点A的对称点的对称点A; B BA AP PL LA A基本图形基本图形:两点一线两点一线B BB BP PL LA A基本解法基本解法:利用对称性利用对称性,将将“折折”转转“直直”1 1、如图,正方形、如图,正方形ABCDABCD的边长为的边长为2 2,E E为为ABAB的中点,的中点,P P是是
3、ACAC上一动上一动点连结点连结BDBD,由正方形对称性可知,由正方形对称性可知,B B与与D D关于直线关于直线ACAC称连称连结结EDED交交ACAC于于P P,则,则PB+PEPB+PE的最小值等于线段的最小值等于线段_ 的长度,的长度,最小值等于最小值等于_;2、小聪根据实际情况,以街道旁为、小聪根据实际情况,以街道旁为x轴,建立了如图轴,建立了如图1所示的所示的平面直角坐标系,测得平面直角坐标系,测得A点的坐标为(点的坐标为(0,3),),B点的坐标为点的坐标为(6,5),求从),求从A、B两点到奶站两点到奶站P距离之和的最小值。距离之和的最小值。练习练习APCBAEPDCDE5出题
4、背景变式有出题背景变式有:角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等。坐标轴、抛物线等。解题思路解题思路:找点关于线的对称点,实现找点关于线的对称点,实现“折折”转转“直直”。变式变式1 1(湖北荆门市中考题)(湖北荆门市中考题) 如图,菱形如图,菱形ABCDABCD 的两条对角线分别长的两条对角线分别长6 6 和和8 8,点点P P是对角线是对角线AC AC 上的一个动点,点上的一个动点,点M M、N N 分别是分别是边边ABAB、BCBC 的中点,则的中点,则PMPM+ +PNPN 的最小值是的最小值是_A AD DC CB BM
5、MN NP PM MP P5 5练习练习 ( (广西中考试题改编)广西中考试题改编) 如图所示,在边长为如图所示,在边长为2 2的正三角形的正三角形ABCABC中,中,E E、F F、G G分分别为别为ABAB、ACAC、BCBC的中点,点的中点,点P P线段线段EFEF上一个动点,连上一个动点,连接接BPBP、GPGP,则则(1 1)PB+PGPB+PG的最小值是的最小值是 (2 2)BPGBPG周长的最小值是周长的最小值是 。 F FE EP PG GC CB BA AP P32变式变式2 2如图,在直角坐标系中,点如图,在直角坐标系中,点A A的坐标是(的坐标是(2,42,4),点),点
6、B B的坐标是(的坐标是(6,26,2),在),在y y轴和轴和x x轴上找两点轴上找两点P P、Q Q,使得,使得A A,B B,P P,Q Q四点组成的四边形周长最小,请画出示意图,四点组成的四边形周长最小,请画出示意图,并求出周长最小值。并求出周长最小值。B BA AP PQ Q.PQ.课堂小结课堂小结不管在什么背景下,有关线段之和最短问题,不管在什么背景下,有关线段之和最短问题,总是化归到总是化归到“两点之间的所有连线中,线段最短两点之间的所有连线中,线段最短”,而转化的方法大都是借助于,而转化的方法大都是借助于“轴对称点轴对称点”,实现实现“折折”转转“直直”本节课我们学习了本节课我
7、们学习了 问题,问题,这类问题的解题方法是怎样的?这类问题的解题方法是怎样的?线段和的最小值线段和的最小值数学思想:转化思想数学思想:转化思想2 2、( (鄂州中考试题鄂州中考试题) )已知直角梯形已知直角梯形ABCDABCD中,中,ADADBCBC,ABABBCBC,ADAD=2=2,BCBC= =DCDC=5=5,点,点P P在在BCBC上移动,则当上移动,则当PAPA+ +PDPD取取最小值时,最小值时,APDAPD中边中边APAP上的高为(上的高为( )A A、 B、 C C、 D D、3 3APDBC.拓展拓展(20122012台州市中考题)台州市中考题)如如图图,菱形,菱形ABCD中,中,AB=2,A=120,点,点P,Q,K分别为线段分别为线段BC,CD,BD上的任意一点,则上的任意一点,则PK+QKPK+QK的最小的最小值为(值为( )A、1 B、 C、 2 D、+1A AQ QB BP PK KC CD DP PQ QK KBE