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1、第二讲 CFD数学模型及物理意义屠基元 教授清华大学墨尔本皇家理工大学CFD综述综述计算流体力学非稳态稳态无粘流粘性流传热可压缩流动层流湍流热传导热对流热辐射可压缩流动不可压缩流动内流外流CFD - 问题问题 （ I ）CFD问题中的物理流动过程有哪些？流动的物理现象是如何在数学方程式中描述的？ 流体流动和热传递的控制方程式是什么？为什么边界条件非常重要？如何应用边界条件？边界条件的物理意义是什么？如何求解数学方程？ 为什么需要把流体域分割为许多不重叠的子区域即计算网格？如何应用计算方法？CFD 问题（问题（ II ）监控曲线的物理意义是什么？计算步骤如何终止？求解误差是什么？ 怎么评价计算结
2、果是否正确，是否具有物理意义？ 当处理更加复杂的流动问题时，是否有其它的技术方法、实践经验或通用准则可以用来克服收敛困难？是否有其它CFD的实例？如何更好的分析求解？CFD未来发展的方向是什么？引言引言数值计算的出发点：数学模型数学模型（Mathematical model)控制方程（Governing equations)基于基本原理与定律偏微分方程组定解条件（Boundary conditions） 坐标系不同，控制方程的形式不尽相同适当选取坐标系可以简化分析必要的简化与化简我们需要什么信息？我们需要什么信息？空间变化(x,y,z)&时间(t) ：速度(笛卡尔坐标内为u,v,w)压力 (P
3、)密度温度 (T)物质的浓度 (C)湍流性质湍动能 (k), 耗散率 () 或频率 ()我们如何得到这些信息？我们如何得到这些信息？基于以下守恒的控制方程质量守恒动量守恒能量守恒基于局部在一个有限的体积内将体积划分为无限小，趋近于0偏微分（控制）方程质量守恒动量守恒定律 x-mom: y-mom:能量守恒基本控制方程基本控制方程通用方程通用方程由来及意义The Equationn 通用变量，generalized dependent variablen 广义密度，universal densitynU 速度向量（场），velocity vector (field)n 广义扩散系数，univer
4、sal diffusivitynS 广义源项，（universal) source termUnsteady termConvection termDiffusion termSource term基本方程的通用形式基本方程的通用形式如果 质量:如果 动量:如果 能量: 热源通用方程的意义通用方程的意义对流-扩散方程（Convection-diffusion)适当选择 、 、U、 、S T， c，U=0， 导热微分方程 1， ，S 0连续性方程为什么需要通用方程?各类问题的共同特征深化理论研究（numerical）编制通用程序（universal program for all problem
5、s)控制方程的数学特征控制方程的数学特征守恒特性（Conservation & non-conservation)守恒型方程 Conservation form对流项是以散度的形式给出的非守恒型方程对流项不是以散度的形式给出的对不可压流动,n具有守恒特性n但是，对于同一方程，采用变换后，就成为非守恒型方程 对于理论分析，采用守恒或非守恒变量，守恒方程或非守恒方程，通常没有本质的差别，但在离离散散的的数数值值计计算算中中，守守恒恒型型与与非非守守恒恒型型将将可可能能导导致致很很大大的的差差别别，尤尤其其是是求求解解含含激激波波等等弱弱解解问问题题时时。故方程的守恒性是计算流体力学中，必须特别注意
6、的问题。控制方程的数学特征控制方程的数学特征椭圆型偏微分方程椭圆型偏微分方程第一类边界条件：第一类边界条件：Dirichlet Dirichlet 问题问题第二类边界条件：第二类边界条件：NeumannNeumann问题问题第三类边界条件：第三类边界条件：RobinRobin问题问题抛物型偏微分方程抛物型偏微分方程第一类边界条件第一类边界条件第二类边界条件第二类边界条件第三类边界条件第三类边界条件双曲型偏微分方程双曲型偏微分方程 解域中存在特征线，提纯初值问题可以，提解域中存在特征线，提纯初值问题可以，提边值问题要结合特征线走向。边值问题要结合特征线走向。定解条件定解条件数学模型数学模型 Ma
7、thematical model/description恰当的控制方程 Governing equations定解条件 physical boundary conditions定解条件定解条件物理条件 physical conditions几何条件 geometry conditions初始条件 initial conditions边界条件 boundary conditions初始条件初始条件对系统的影响： 不同时间阶段内的表现不尽相同不同时间阶段内的表现不尽相同不同时间阶段内的表现不尽相同不同时间阶段内的表现不尽相同：初始阶段：较为明显随着时间的推移：影响逐渐减弱时间无限长时：完全消失，进
8、入新的状态边界条件与时间无关：稳态边界条件与时间有关：非稳态n初始状态特征：非稳态过程开始时n设定：给定系统待求变量在初始时刻的分布初始条件初始条件稳态问题与非稳态问题稳态问题与非稳态问题与时间无关边界条件作用下非稳态问题的特例稳态问题的状态将唯一地由边界条件确定稳态问题的状态与初始条件无关二者统一起来在计算传热学中的意义统一于一个程序通过求解非稳态问题求解稳态问题容易收敛，抑制发散保证得到物理上真实的解常用的方法边界条件边界条件提法：最重要、最复杂的定解条件规定了系统的状态特征反映了系统与环境之间的联系与相互作用分类： 第一类边界：第一类边界：第一类边界：第一类边界：Dirichlet co
9、nditionDirichlet conditionThe 1st kind of boundary conditions给定边界上待求变量的分布 第二类边界：第二类边界：第二类边界：第二类边界：Newmann conditionNewmann conditionThe 2nd kind of boundary conditions给定边界上待求变量的梯度值边界条件边界条件分类（续） 第三类边界第三类边界第三类边界第三类边界：The 3rd kind of boundary conditions待求变量与梯度值之间的函数关系 混和边界：混和边界：混和边界：混和边界：说明：稳态问题稳态问题稳态问
10、题稳态问题必须在边界上给出待求变量的值边界上给出待求变量的值边界上给出待求变量的值边界上给出待求变量的值才能得到唯一解唯一解唯一解唯一解。边界条件边界条件流固耦合边界（fluid-solid coupling boundary)粘性流体应满足非滑移条件No-slip condition流体在固体边界上的速度应该等于固体表面的速度流体在固体边界上的温度应该等于固体表面的温度。入口、出口边界Inflow and out flow boundaries入口边界：给定出口边界：待求恒压罐恒压罐恒压罐恒压罐高压气体高压气体高压气体高压气体Laval喷管入口参数：给定入口参数：给定出口参数出口参数？边界条
11、件边界条件出口边界的确定：非常重要例例 3.2 (连续性方程连续性方程) L = 0.05 mH = 0.01 mU = 0.01 m/s = 1.2 kg/m3 (air) = 2 x 10-5 kg/m.s(a) 速度矢量图速度矢量图(b) U 速度云图速度云图(c) V 速度云图速度云图例例 3.5 (动量方程动量方程)案例案例1 (as above)L = 0.05 mH = 0.01 mU = 0.01 m/s = 1.2 kg/m3 (air) = 2 x 105 kg/m.s图图 3.5.1 3.5.1 层流速度矢量图层流速度矢量图 = 2 x 10 5 kg/m.s 案例案例
12、2 n = 2 x 107 kg/m.sRe = 600图图 3.5.23.5.2层流速度矢量图层流速度矢量图 = 2 x 10 7 kg/m.s图图 3.5.33.5.3层流速度矢量图层流速度矢量图 = 2 x 10 7 kg/m.s 流道加长至 L = 0.1 m Re = 6例例 3.7 (能量方程能量方程) 案例案例 1 L = 0.05 mH = 0.01 mU = 0.01 m/s = 1.2 kg/m3(air) = 2 x 105 kg/msk = 0.026 W/mc (导热率导热率)Tw = 50 cTin = 20 c图图 3.7.1 3.7.1 温度云图温度云图 k =
13、 0.026 W/m.c (导热率)案例案例 2 nk = 0.00026 W/mc (导热率导热率) 图 3.7.23.7.2温度云图温度云图k = 0.00026 W/m.c (导热率)Re = 6Re = 6 例 3.8 (层流和湍流层流和湍流) 观察层流和湍流的速度矢量图观察层流和湍流的速度矢量图图 3.8.1 层流速度矢量图Re = 5 x 105图 3.8.2 湍流速度矢量图Re = 6 例例 3.9 (层流和湍流热传递比较层流和湍流热传递比较)观察层流和湍流中的温度分布Re = 1000 图 3.9.1 层流中的温度云图Re = 5 x 104图 3.9.2 湍流中的温度云图例例 3.10 (背台阶的湍流结果背台阶的湍流结果) l观察层流和湍流中的速度矢量图 3.10.1 速度矢量图 3.10.2 湍流动能云图
