第四章 线性系统的能控性与能观性4.84.8 能控标准形和能观标准形能控标准形和能观标准形4.8.14.8.1 系统的能控标准形系统的能控标准形 第四章 线性系统的能控性与能观性 式式(4.8.2)中中, ,系统矩阵和输入矩阵对系统矩阵和输入矩阵对(A , B)具有标具有标准结构准结构(列向量列向量B中最后一个元素为中最后一个元素为1,而其余元素为零而其余元素为零; A为友矩阵为友矩阵),易证与其对应的能控性判别矩阵易证与其对应的能控性判别矩阵Uc是一个是一个主对角元素均为主对角元素均为1的右下三角阵的右下三角阵,故故det(Uc)≠0,rank(Uc)=n,即系统一定能控因此即系统一定能控因此,若单输入若单输入系统状态空间表达式中的系统矩阵和输入矩阵对系统状态空间表达式中的系统矩阵和输入矩阵对(A , B)具有形如式具有形如式(4.8.2)中的标准形式中的标准形式,则称其为则称其为能控标准型能控标准型,且该系统一定是状态完全能控的且该系统一定是状态完全能控的 一个能控系统一个能控系统, ,当其系统矩阵和输入矩阵对当其系统矩阵和输入矩阵对( (A , B) )不具有能控标准型时不具有能控标准型时, ,一定可以通过一定可以通过适当的线性非奇异变适当的线性非奇异变换换化为能控标准型。
化为能控标准型 第四章 线性系统的能控性与能观性定定理理4.8.14.8.1 如如果果系系统统 是是能能控控的的，，那那么么必必存存在在一一非非奇奇异异变变换换 使使其其变变换换成成能能控控标标准准形形 线性变换矩阵线性变换矩阵 第四章 线性系统的能控性与能观性例例4.8.14.8.1 线性定常系统线性定常系统能控性矩阵能控性矩阵 逆矩阵逆矩阵 第四章 线性系统的能控性与能观性 第四章 线性系统的能控性与能观性推论推论1 1：：设单输入线性定常系统设单输入线性定常系统 （4.8.1） 能控能控,式中式中A, ,b分别为分别为 矩阵矩阵,且系统的特征且系统的特征多项式为多项式为 则可通过非奇异线性变换则可通过非奇异线性变换 第四章 线性系统的能控性与能观性将式（将式（4.8.1）变换为能控标准型）变换为能控标准型 式中式中 第四章 线性系统的能控性与能观性 , 第四章 线性系统的能控性与能观性 实现能控标准型变换的核心在于构造非奇异变实现能控标准型变换的核心在于构造非奇异变换阵换阵。
可以证明可以证明, ,引入非奇异变换引入非奇异变换 , ,将状态完将状态完全能控的单输入系统式全能控的单输入系统式(4.8.1)(4.8.1)变换为能控标准型式变换为能控标准型式(4.8.2)(4.8.2)的变换矩阵的变换矩阵 的逆矩阵可表达为的逆矩阵可表达为 第四章 线性系统的能控性与能观性【【例例】】试将下列状态空间表达式变换成能控标准型试将下列状态空间表达式变换成能控标准型, ,并求系统的传递函数并求系统的传递函数 解解 ：：变换前系统能控判别矩阵变换前系统能控判别矩阵 因为因为 , ,故系统是能控的，可化为能控标故系统是能控的，可化为能控标准型 第四章 线性系统的能控性与能观性 又因为系统的特征多项式为又因为系统的特征多项式为 故故 , , ，， 引入引入 , , 其中非奇异变换阵其中非奇异变换阵 由推论中得由推论中得 第四章 线性系统的能控性与能观性 也可根据定理也可根据定理8.18.1先求变换阵先求变换阵 的逆矩阵的逆矩阵 第四章 线性系统的能控性与能观性则则 变换后所得能控标准型为变换后所得能控标准型为 其中其中 , 第四章 线性系统的能控性与能观性4.8.2 4.8.2 系统的能观标准形系统的能观标准形， 第四章 线性系统的能控性与能观性式式(4.8.19)中中,系统矩阵和输出矩阵对系统矩阵和输出矩阵对(A , C)具有标具有标准结构准结构(行向量行向量C中最后一个元素为中最后一个元素为1,而其余元素为而其余元素为零零; A为友矩阵的转置为友矩阵的转置), 易证与其对应的能观测性判易证与其对应的能观测性判别矩阵别矩阵UO的行列式的行列式 ,故故 ,即系统即系统一定能观测。
若单输出系统状态空间表达式中的系一定能观测若单输出系统状态空间表达式中的系统矩阵和输出矩阵对统矩阵和输出矩阵对(A ,C) 具有形如式具有形如式(4.8.19)中中的标准形式的标准形式,则称其为则称其为能观测标准型能观测标准型,且该系统一定且该系统一定是状态完全能观测的是状态完全能观测的 一个能观测系统一个能观测系统,当其系统矩阵和输出矩阵对当其系统矩阵和输出矩阵对(A , C) 不具有能观测标准型时不具有能观测标准型时,一定可以通过适当的一定可以通过适当的非奇异变换化为能观测标准型非奇异变换化为能观测标准型 第四章 线性系统的能控性与能观性定定理理 4.8.24.8.2 如如果果系系统统是是能能观观测测的的，，那那么么必必存存在在一非奇异变换 将系统变换为能观标准形一非奇异变换 将系统变换为能观标准形 第四章 线性系统的能控性与能观性例例4.8.24.8.2 能观性矩阵能观性矩阵 第四章 线性系统的能控性与能观性 第四章 线性系统的能控性与能观性推论推论2 2：：设单输出线性定常系统设单输出线性定常系统 （4.8.15） 能观测能观测,式中式中A, ,C分别为分别为 矩阵矩阵,且系统的特且系统的特征多项式为征多项式为 则存性非奇异变换则存性非奇异变换 第四章 线性系统的能控性与能观性变换矩阵变换矩阵 的逆矩阵的逆矩阵 将式（将式（4.8.15）变换为能观测标准型（）变换为能观测标准型（4.8.194.8.19）。
第四章 线性系统的能控性与能观性其中其中 第四章 线性系统的能控性与能观性 与能控的单输入系统能控标准型变换对应与能控的单输入系统能控标准型变换对应,可以证明可以证明，，引入非奇异变换引入非奇异变换 ,将状态完将状态完全能观测的单输出系统全能观测的单输出系统(4.8.15)变换为能观测标变换为能观测标准型式准型式(4.8.193)的变换矩阵的变换矩阵 ，由定理，由定理8.28.2中中的构造方法与推论的构造方法与推论2 2中的构造方法是等效的即中的构造方法是等效的即 第四章 线性系统的能控性与能观性【【例例】】试将状态空间表达式变换为能观测标准型试将状态空间表达式变换为能观测标准型 解 因为因为 ,故系统是能观测的，可化为能故系统是能观测的，可化为能观测标准型观测标准型 第四章 线性系统的能控性与能观性则则 也可根据定理也可根据定理8.28.2先确定变换阵先确定变换阵 ,再由矩阵求逆再由矩阵求逆得得 。
引入引入 ,其中非奇异变换阵其中非奇异变换阵 的逆矩阵的逆矩阵 第四章 线性系统的能控性与能观性 第四章 线性系统的能控性与能观性变换后所得能观测标准型为变换后所得能观测标准型为 其中其中, , 。