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1、曲线的极坐标曲线的极坐标方程的意义方程的意义1、直角坐标系和极坐标系中怎样描述点的位置？、直角坐标系和极坐标系中怎样描述点的位置？2、曲线的方程和方程的曲线（直角坐标系中）定义？、曲线的方程和方程的曲线（直角坐标系中）定义？3、求曲线方程的步骤。、求曲线方程的步骤。复习回顾复习回顾1. 情境：情境：以极点以极点O为圆心为圆心, 1为半径的圆上任意一点极径为半径的圆上任意一点极径 为为1，反过来，极径为，反过来，极径为1的点都在这个圆上。的点都在这个圆上。 知识探究知识探究2. 问题：问题：曲线上的点的坐标都满足这个方程吗？曲线上的点的坐标都满足这个方程吗？因此因此, 以极点为圆心以极点为圆心,
2、 1为半径的圆可以用方程为半径的圆可以用方程=1来表来表示示.3、定义：、定义：一般地一般地, 如果一条曲线上任意一点都有一个如果一条曲线上任意一点都有一个极坐标适合方程极坐标适合方程f (r r , q q )0 ； 反之反之, 极坐标适合方程极坐标适合方程f (r r , q q )0的点在曲线上的点在曲线上, 那么这个那么这个方程方程称为这条曲线称为这条曲线的的极坐标方程极坐标方程, 这条这条曲线曲线称为这个称为这个极坐标方程的曲线极坐标方程的曲线. 在直角坐标平面上在直角坐标平面上,曲线可以用曲线可以用 x、y的二元方的二元方程程f (x , y)=0来表示，这种方程也称为曲线的直角坐
3、来表示，这种方程也称为曲线的直角坐标方程。标方程。 同理，在极坐标平面上同理，在极坐标平面上, 曲线也可以用关于曲线也可以用关于r r、q q 的的二元方程二元方程f (r r , q q )0来表示来表示, 这种方程称为曲线的极坐这种方程称为曲线的极坐标方程。标方程。由于点的极坐标表示不唯一，因此，在极坐标由于点的极坐标表示不唯一，因此，在极坐标系中，曲线上的点的极坐标中只要有满足曲线方程系中，曲线上的点的极坐标中只要有满足曲线方程的坐标，但不要求曲线上的点的任意一个极坐标都的坐标，但不要求曲线上的点的任意一个极坐标都满足方程。满足方程。由于点的极坐标表示不唯一，导致曲线的极坐由于点的极坐标
4、表示不唯一，导致曲线的极坐标方程也不唯一。标方程也不唯一。 如：以极点如：以极点O为圆心，为圆心，1为半径的圆可以用方程为半径的圆可以用方程r r =1表示，也可以用方程表示，也可以用方程r r =-1表示表示.说明：说明：例例1、求过点、求过点A(2,0)且垂直于极轴的直线的极坐标方程且垂直于极轴的直线的极坐标方程解：如图所示，在所求直线解：如图所示，在所求直线 l 上任取一点上任取一点P( r r , , q q )， 连结连结OP, 则则 OPr r ，POAq q在在Rt POA中，由于中，由于OPcosq q = =OA，所以所以 r r cosq q = =2, 所以所以 r r
5、cosq q = =2为所求直线的极坐为所求直线的极坐标方程。标方程。OxP(, )A(2,0)求曲线的极坐标方程：求曲线的极坐标方程：类似于曲线直角坐标方程的求法，可以求曲线的极坐标方程。类似于曲线直角坐标方程的求法，可以求曲线的极坐标方程。变式训练变式训练1：已知点已知点P的极坐标为的极坐标为(1,)，那么过点，那么过点P且且垂直于极轴的直线极坐标方程。垂直于极轴的直线极坐标方程。例例2 2、求圆心在、求圆心在C(r,0),C(r,0),半径为半径为r r的圆的极坐标方程。的圆的极坐标方程。解：如图所示，解：如图所示，则则|OP|OA|cos POA 所以，所求圆的极所以，所求圆的极坐标方
6、程为坐标方程为r r 2rcos q q设设P ( ( r r , , q q ) )为圆上任意一点，设圆与极轴另一为圆上任意一点，设圆与极轴另一交点为交点为A(2r,0)，则，则OP AP即即 r r 2rcos q q|OA|=2r，POA q q变式训练变式训练2：求圆心在求圆心在C(r,/2), 半径为半径为r的圆的极坐标的圆的极坐标方程。方程。解：解：如图所示，由题意可知，所求圆的圆心在垂直于极轴且位于如图所示，由题意可知，所求圆的圆心在垂直于极轴且位于极轴上方的射线上，而圆周经过极点。极轴上方的射线上，而圆周经过极点。设圆与垂直于极轴的射线的另一交点为设圆与垂直于极轴的射线的另一交
7、点为A，则，则A点的极坐标为点的极坐标为（r, /2)。设圆上任意一点为设圆上任意一点为P（，），连结），连结PA，则，则OP，POx在在Rt POA中，由于中，由于cos POA=|OP|/|OA|，所以所以 2rsin为所求圆的极坐标方程。为所求圆的极坐标方程。特别地特别地, 我们知道我们知道,在直角坐标系中，在直角坐标系中，x=k(k为常数为常数)表示表示一条平行于一条平行于y轴的直线；轴的直线；y=k(k为常数为常数)表示一条平行表示一条平行于于x轴的直线。轴的直线。 我们可以证明（具体从略），在极坐标系中，我们可以证明（具体从略），在极坐标系中，r rk(k为常数为常数)表示圆心在极
8、点、半径为表示圆心在极点、半径为k的圆；的圆；k(k为常数为常数)表示极角为表示极角为k的一条直线（过极点）。的一条直线（过极点）。第一步建立适当的极坐标系；第一步建立适当的极坐标系；第二步在曲线上任取一点第二步在曲线上任取一点P( ( r r , , q q ) )第三步根据曲线上的点所满足的条件写出等第三步根据曲线上的点所满足的条件写出等 式；式；第四步用极坐标第四步用极坐标r r 、q q表示上述等式，并化简表示上述等式，并化简 得极坐标方程；得极坐标方程；第五步证明所得的方程是曲线的极坐标程。第五步证明所得的方程是曲线的极坐标程。求曲线极坐标方程的基本步骤：求曲线极坐标方程的基本步骤：
9、例例3、（1）化直角坐标方程）化直角坐标方程x2+y2-8y=0为极坐标方程；为极坐标方程；（2）化极坐标方程）化极坐标方程=6cos(q q -/3) 为直角坐标方程。为直角坐标方程。数学运用数学运用1、把下列下列极坐标方程化为直角坐标方程：、把下列下列极坐标方程化为直角坐标方程： (1) r r cosq q=4 (2) r r = 5 (3) r r = 2r sinq q（1）解：把代入上式，得它的直角坐标方程）解：把代入上式，得它的直角坐标方程 x=4 把把r r 2=x2+y2代入上式，得它的直角坐代入上式，得它的直角坐标方程标方程x2+y2=25变式训练变式训练3：（2）解：两边
10、同时平方，得）解：两边同时平方，得r r 2=25（3）解：两边同时乘以）解：两边同时乘以r r，得，得r r 2=2rr r sinq q，把，把r r 2=x2+y2, r r sinq q =y代入上式，得它的直角坐标方程代入上式，得它的直角坐标方程x2+y2=2ry 即即x2+(y-r)2=r2 1. 在极坐标系中在极坐标系中,我们可以用一个角度和一个距离来我们可以用一个角度和一个距离来确定点的位置确定点的位置. 2. 极坐标系和直角坐标系是两种不同的坐标系，同一极坐标系和直角坐标系是两种不同的坐标系，同一个点可以用极坐标表示，也可以用直角坐标表示，这个点可以用极坐标表示，也可以用直角坐标表示，这样就需要掌握两种坐标在一定条件下的互化方法样就需要掌握两种坐标在一定条件下的互化方法.课堂小结课堂小结
