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1、人口与社会的数学模型人口与社会的数学模型vv1 1. . 人口增长和预测模型人口增长和预测模型人口增长和预测模型人口增长和预测模型MalthusMalthus模型模型模型模型LogisticLogistic模型模型模型模型中国特色人口模型中国特色人口模型中国特色人口模型中国特色人口模型Leslie Leslie 离散模型离散模型离散模型离散模型中中国国药药科科大大学学 言方荣言方荣言方荣言方荣 等等等等 编制编制编制编制人口增长和预测模型人口增长和预测模型vMalthus模型模型vLogistic模型模型v中国特色人口模型中国特色人口模型vLeslie 离散模型离散模型当今人类面临的五大问题当
2、今人类面临的五大问题v(1)人口问题人口问题v(2)工业化的资金问题工业化的资金问题v(3)粮食问题粮食问题v(4)不可再生的资源问题不可再生的资源问题v(5)环境污染问题环境污染问题(即生态平衡问题即生态平衡问题)。v 建立人口增长数学模型，用以描述人口建立人口增长数学模型，用以描述人口增长过程，通过分析对人口增长进行预测，增长过程，通过分析对人口增长进行预测，制定相应的人口政策以控制人口增长，于国制定相应的人口政策以控制人口增长，于国于民均有利。于民均有利。 人口模型的研究人口模型的研究v1798年年 Malthus出版了出版了人口原理人口原理，书中提出了，书中提出了著名的影响深远的著名的
3、影响深远的Malthus人口人口模型模型v1838年年 P.F.Verhust 对对Malthus模型进行了修正，模型进行了修正，得出了得出了Logistic模型模型v1924年年G.V.Yule引入概率观点对人口问题进行了研引入概率观点对人口问题进行了研究，究，v1945年年P.H.Leslie完成了按龄离散型人口模型。完成了按龄离散型人口模型。v1959年年Van.H.Fpoerster提出现代按龄连续型人口提出现代按龄连续型人口模型模型v近年来我国学者为了解决我国人口迅猛增长问题，近年来我国学者为了解决我国人口迅猛增长问题，建立了有关中国人口预测和控制模型，为我国制定建立了有关中国人口预
4、测和控制模型，为我国制定人口政策提供依据。人口政策提供依据。 影响人口增长的因素影响人口增长的因素v人口的基数，人口的基数，v出生率和死亡率的高低，出生率和死亡率的高低，v人口男女比例大小，人口男女比例大小，v人口年龄组成情况，人口年龄组成情况，v工农业生产水平的高低，营养条件，医疗水平，工农业生产水平的高低，营养条件，医疗水平， 人口素质，环境污染情况。人口素质，环境污染情况。v另外还涉及到各民族的风俗习惯，传统观念，另外还涉及到各民族的风俗习惯，传统观念， 自然灾害，战争，人口迁移等等。自然灾害，战争，人口迁移等等。建模总的思路建模总的思路v如果一开始把众多因素都考虑，则无从下手。如果一开
5、始把众多因素都考虑，则无从下手。v先把问题简化，只考虑影响人口增长的主要因素先把问题简化，只考虑影响人口增长的主要因素 增长率增长率(出生率死亡率出生率死亡率)及人口基数。其余因素及人口基数。其余因素的影响暂不考虑，建立一个较粗的数学模型。的影响暂不考虑，建立一个较粗的数学模型。v在这个模型的基础上逐步考虑次要因素的影响，进在这个模型的基础上逐步考虑次要因素的影响，进而建立与实际情况更吻合的人口模型。而建立与实际情况更吻合的人口模型。用微分方程描述人口增长过程用微分方程描述人口增长过程v初看起来，人口增长是不能用微分方程来描述的，初看起来，人口增长是不能用微分方程来描述的，因为人口总数是按整数
6、变化的而不是时间的可微函因为人口总数是按整数变化的而不是时间的可微函数。数。v然而，如果总数很大时，可以近似认为它是时间的然而，如果总数很大时，可以近似认为它是时间的连续函数，甚至是可微函数。连续函数，甚至是可微函数。v这即离散变量连续化处理，这一点应能很好地理解这即离散变量连续化处理，这一点应能很好地理解和掌握。和掌握。一、一、Malthus模型模型Malthus与人口指数增长模型与人口指数增长模型v 英国人口统计学家英国人口统计学家Malthus(1766一一1834)在担任在担任牧师期间，查看了教堂牧师期间，查看了教堂100多年人口出生统计资料，多年人口出生统计资料，他发现这样一个现象，
7、即人口的增长率是常数，或他发现这样一个现象，即人口的增长率是常数，或者说，单位时间内人口的增长量与当时的人口总数者说，单位时间内人口的增长量与当时的人口总数成正比。成正比。v于是在于是在1798年年人口原理人口原理一书中，提出了闻名于一书中，提出了闻名于世的世的Malthus人口指数增长模型人口指数增长模型模型的构成模型的构成v 设设N(t) 表示表示t时刻人口总数，时刻人口总数， r(t，N(t)表示表示t时刻人时刻人口增长率，口增长率，v假设只考虑人口增长率，其他因素的影响暂不考虑。假设只考虑人口增长率，其他因素的影响暂不考虑。则在则在t到到t+t这段时间内人口增长为这段时间内人口增长为
8、N(t+t) N(t)=r(t，N)N(t) tv两端同除以两端同除以t，并令并令t0，有有 dN/dt=r(t,N)N(t) (1）v模型模型(1)看似简单，其实由于出生率看似简单，其实由于出生率r(t，N)的不确定的不确定性，给性，给(1)的求解带来困难。的求解带来困难。v下面将逐步深入地讨论模型下面将逐步深入地讨论模型(1)。Malthus模型的构成模型的构成v根据根据Malthus基本假设，在上述模型中令基本假设，在上述模型中令 r(t,N)= r(常数常数)v得得 dN(t)/dt=rN(t) N(t0)=N0 (2)v其解为其解为 N(t)=N0er(t-t0) (3)v (2)是
9、是(常微分常微分)线性方程，称为线性方程，称为Malthus人口模人口模型。即人口型。即人口以以er为公比，按几何级数增加。为公比，按几何级数增加。v因为这时因为这时r表示年增长率，通常表示年增长率，通常r1，所以可所以可用近似关系用近似关系er l+r将将(3)式写作式写作 N(t) N0(l+r)t-t0 (4)Malthus模型的检验模型的检验v 据估计据估计1961年全世界人口总数为年全世界人口总数为3.06109，而在此之前的而在此之前的10年人口按每年年人口按每年2%的速率增长。的速率增长。因此因此 t0=1961，N0=3.06109， r =0.02v 于是于是 N(t)=3.
10、06109e 0.02(t-1961) (5)v 这个公式非常准确地反映了在这个公式非常准确地反映了在1700-1994年年期间世界估计人口总数。期间世界估计人口总数。v 因为在这期间地球上人口大约每隔因为在这期间地球上人口大约每隔35年增加年增加一倍，而上述方程断定每隔一倍，而上述方程断定每隔34.6年增加一倍年增加一倍。 (人口倍增时间人口倍增时间)人口倍增时间人口倍增时间T的计算的计算v 设设在在T=t-t0时间段内地球上的人口增加一倍。即时间段内地球上的人口增加一倍。即 当当T=t-t0时，时，2N0=N0e rT e rT=2v 两端取对数，得两端取对数，得 rT=ln2 即即 T=
11、 ln2/r = 0.6931/r = 34.6 与现有的数据吻合得较好与现有的数据吻合得较好Malthus模型不符合未来长期预测模型不符合未来长期预测v因为因为当当t+ lim N(t)=lim N0e r(t-t0)= +v由由Malthus模型模型(5)式可以推出式可以推出2510年世界人口总数将是年世界人口总数将是21014人人(如果将全世界如果将全世界所有陆地，海洋面积均算在内的话，每人平均仅有所有陆地，海洋面积均算在内的话，每人平均仅有0.864m2(9.3平方英尺平方英尺)，2635年将为年将为1.81015人人(每人平均有每人平均有0.093m2(1平方平方英尺英尺)，2670
12、年将是年将是3.61015人人(3600万亿万亿)。v显然，这些数字说明显然，这些数字说明Malthus人口模型对长期人口模型对长期预测是不正确的。预测是不正确的。二、二、Logistic人口模型人口模型二、二、Logistic模型模型v Malthus模型为什么只符合人口的过去而不能模型为什么只符合人口的过去而不能用来预测未来人口总数呢用来预测未来人口总数呢?v究其原因，人口总数不太大时，人口总数增长究其原因，人口总数不太大时，人口总数增长的线性数学模型的线性数学模型(即即Malthus模型模型)是正确的，是正确的，v但当人口总数非常大时，地球上的各种资源，但当人口总数非常大时，地球上的各种
13、资源，环境条件等因素对人口增长的限制作用将越来环境条件等因素对人口增长的限制作用将越来越显著。此时人口增长率就要随人口的增加而越显著。此时人口增长率就要随人口的增加而减小。减小。v即应该即应该对对Malthus模型中关于人口增长率为常模型中关于人口增长率为常数这一假设作修改。数这一假设作修改。Logistic模型的构成模型的构成v我们在线性方程我们在线性方程(2)的右端加上一项的右端加上一项-bN2。(对于一般的生物，这一项称为竞争项对于一般的生物，这一项称为竞争项)。此时。此时r(t,N)= r-bN,方程方程(2)变成变成 dN/dt=rN-bN2 N(t0)=N0 (5) 这称为这称为L
14、ogistic模型，其中模型，其中r、b称为称为生命系数生命系数生命系数生命系数v其解为其解为 N=b/r+(1/N0-b/r)e -r(t-t0)-1 (6)v这个模型是荷兰数学家这个模型是荷兰数学家Verhulst首先发现的。首先发现的。 Logistic模型的分析模型的分析v一般来说，常数一般来说，常数b同同r相比是很小的。因此，如相比是很小的。因此，如果果N不太大，竞争项不太大，竞争项“-bN2”同同rN相比可以略相比可以略去。人口总数将按指数方式增长。当去。人口总数将按指数方式增长。当N很大时，很大时，竞争项竞争项“-bN2”就不能忽略了，这样就会使人就不能忽略了，这样就会使人口总数
15、急剧增长的速度减缓下来。口总数急剧增长的速度减缓下来。 v由由Logistic模型模型(6)式可以得出式可以得出N(t)具有如下规具有如下规律律:v (1)当当t时，时，N(t)r/b。 结论是不管其初值如何，人口总数最终将趋结论是不管其初值如何，人口总数最终将趋向于极限值向于极限值r/b。模型分析模型分析v (2)当当0N00 所以所以N(t)是时间的单调递增函数。是时间的单调递增函数。v 又又 d2N/dt2= rdN/dt-2bNdN/dt =(r-2bN)N(r-bN)v 显然，当显然，当N0，曲线向上凹。，曲线向上凹。 当当Nr/2b时，时， d2N/dt2 0，曲线向下凹，曲线向下
16、凹v曲线曲线N(t)的形状如图的形状如图1所示，这种曲线称为所示，这种曲线称为S形曲线形曲线(Logistic曲线曲线)。 图图1 S形曲线形曲线(Logistic曲线曲线) N(t) r/b r/2b O t Logistic曲线的形状说明曲线的形状说明 由曲线的形状，可以得出如下结论由曲线的形状，可以得出如下结论:v 在人口总数达到极限值一半在人口总数达到极限值一半(即即r/2b)以前，是加速以前，是加速增长时期，过这一点以后，增长的速度逐渐减小，增长时期，过这一点以后，增长的速度逐渐减小，并且迟早会达到零，这是减速增长时期。并且迟早会达到零，这是减速增长时期。Logistic模型预测未来
17、人口总数模型预测未来人口总数v就必须先估计生命系数就必须先估计生命系数r和和b。v据生物学家估计，据生物学家估计，r的自然值为的自然值为0.029，又在，又在1961年人年人口总数为口总数为3.06109时，人口的增长速率为时，人口的增长速率为2%。v 由由 N-1 dN/dt=r-bN 即即 0.02=0.029-b(3.06109) 得得 b=2.94110-12v按照按照Logistic模型，地球上人口总数极限值为模型，地球上人口总数极限值为 r/b=0.029/2.94110-12=9.86109(近近100亿亿)模型预测说明模型预测说明v1961年世界人口总数为年世界人口总数为30亿
18、左右，尚未达到地球所亿左右，尚未达到地球所能养活人口极限能养活人口极限100亿的一半。因此世界人口总数亿的一半。因此世界人口总数将处于加速增长时期。将处于加速增长时期。v这与这与1961年以后的一段时期世界人口增长很快确实年以后的一段时期世界人口增长很快确实是吻合的。是吻合的。Logistic模型：美国人口增长模型：美国人口增长v皮尔皮尔(Pearl)和里德和里德(Reed)1920年提出的美国人口增年提出的美国人口增长长的的Logistic模型为模型为 N(t)= 1972682000/1+e-0.03134(t-1914.3) v由该模型公式算出的美国人口总数的理论值与实际由该模型公式算出
19、的美国人口总数的理论值与实际人数比较见表人数比较见表1.1v由表由表1.1对照可以看出，美国实际人口总数从对照可以看出，美国实际人口总数从1790年到年到1950年这段时间与预测人数是比较吻合的年这段时间与预测人数是比较吻合的.表表11790-1950年美国人口总数年美国人口总数年份年份实际数值实际数值预言数值预言数值误差误差%179018001810182018301840185018601870188018901900191019201930194019503929000530800072400009638000128660001706900023192000314430003855800
20、0501560006294800075995000919720001057110001227550001316690001506970003929000533600072280009757000131090001750600023192000304120003937200050177000627690007687000091972000107559000123124000136653000149053000028000-120001190002430004370000-103100081400021000-179000875000018480003490004984000-16440000.0
21、0.5-0.21.21.92.60.0-3.32.10.4-0.31.20.01.70.33.8-1.1Logistic模型的应用模型的应用v1845年年Verhulst曾曾预言比利时人口的最大值为预言比利时人口的最大值为660万人，法国人口的最大值为万人，法国人口的最大值为4000万人。万人。v但在但在1930年比利时人口已经达到年比利时人口已经达到809万人，二万人，二者相差很大。这似乎表明者相差很大。这似乎表明Logistic模型对于比模型对于比利时的人口来说很不精确。利时的人口来说很不精确。v经过分析，因为在当时比利时的工业飞速发展，经过分析，因为在当时比利时的工业飞速发展，使得比利时
22、有足够的财富供养更多的人口。因使得比利时有足够的财富供养更多的人口。因此，对比利时的此，对比利时的Logistic人口模型中的生命系人口模型中的生命系数数b应作适当调整，即减小应作适当调整，即减小b值。值。v 法国法国1930年人口总数同年人口总数同Verhulst的预测十分的预测十分一致。这又证明了一致。这又证明了Logistic人口模型的正确性人口模型的正确性。三、中国特色的简单人口模型三、中国特色的简单人口模型 模型背景模型背景v问题问题:1994年年3月月7日日扬子晚报扬子晚报登载登载“ 中国社会中国社会科学院最近预测，今年我国总人口将超过科学院最近预测，今年我国总人口将超过12亿亿，
23、据国家计生委估计，中国总人口峰值年是据国家计生委估计，中国总人口峰值年是2044年，年，峰值人口达峰值人口达15.6亿或亿或15.7亿。人口增长到亿。人口增长到顶峰顶峰后，就有可能走后，就有可能走下坡路下坡路，出现下降趋势。，出现下降趋势。”v即即2044年后我国总人口数将减少。年后我国总人口数将减少。v则前面的数学模型都不合适，因为它们都是单调上则前面的数学模型都不合适，因为它们都是单调上升的（只要升的（只要N00 tt*=2044 r(t)=N(t)-1dN/dt =0 t=t* t* v而前面的模型中而前面的模型中dN/dt0,v为此我们修改模型，最简单的是选取为此我们修改模型，最简单的
24、是选取 dN(t)/dt=r(t)N(t)中的中的r为为 r(t)=r-B(t-t0)，v 其中其中r,B为参数。这样得到新的数学模型为参数。这样得到新的数学模型: dN/dt=r-B(t-t0)N(t) N(t0)=N0 特色模型求解特色模型求解 v 下面根据下面根据t0=1994时时N0=12亿及到亿及到2044年人口达年人口达高峰并开始下降来估算高峰并开始下降来估算r，B，并预测今后一些年的，并预测今后一些年的人口总量人口总量v 在在2044年人口达最大值时，年人口达最大值时，dN(t)/dt|t=2044=0，由，由此算出此算出 r-B(2044-1994)=0, B=r/50 v代入
25、模型公式解得代入模型公式解得: N(t)=Cexprt-(t-t0)2/100,v代人初始条件得到：代人初始条件得到： N(t)=N0expr(t-t0)1-(t-t0)/100人口预测人口预测v以以t0=1994，N0=12亿，及亿，及t=2044代入得代入得 N(2044)=N0e 25r=12e25rv取取r=0.01，算得算得 N(2044)=15.41亿亿v取取r=0.011，得得 N(2044)=15.8亿。亿。 这个数值与计划生育委员会的预测基本一致。这个数值与计划生育委员会的预测基本一致。v由由r=0.011，B=r/50，预测预测1995，2000，2054，2094年的人口
26、为年的人口为 N(1995)=1213亿亿 N(2000)=12768亿亿 N(2054)=15626亿亿 N(2094)=12亿亿评评 注注:v (1) 解决一个实际问题所建立的数学模型不是一解决一个实际问题所建立的数学模型不是一成不变的，应随情况的改变而改变。一个国家工业成不变的，应随情况的改变而改变。一个国家工业化的发展，环境污染状况以及社会风尚，人口素质化的发展，环境污染状况以及社会风尚，人口素质等因素都对生命系数等因素都对生命系数r和和b有重大影响。因此，这些有重大影响。因此，这些系数随着时间的推移每过几年都应重新估计一次。系数随着时间的推移每过几年都应重新估计一次。v (2) 在上
27、述模型中，把人口总数在上述模型中，把人口总数看作处于看作处于同等地同等地位的成员组成的。严格说来是不对的。位的成员组成的。严格说来是不对的。 模型的进一步考虑模型的进一步考虑v建立更精确的数学模型，应当根据成员的年龄分组。建立更精确的数学模型，应当根据成员的年龄分组。因为小于育龄阶段的成员和大于育龄阶段的成员均因为小于育龄阶段的成员和大于育龄阶段的成员均不能生育，而在育龄阶段的成员在不同的年龄段的不能生育，而在育龄阶段的成员在不同的年龄段的生育能力也有大小之分。生育能力也有大小之分。v 另外还应当把人口总数的成员按男性和女性分另外还应当把人口总数的成员按男性和女性分开，因为总数增长率在较大程度
28、上取决于女性的数开，因为总数增长率在较大程度上取决于女性的数目而不是取决于男性的数目。因而得到目而不是取决于男性的数目。因而得到Leslie模型模型和女性繁殖模型。和女性繁殖模型。 四、四、Leslie 离散人口模型离散人口模型四、四、Leslie 离散模型离散模型v前面的模型没有考虑到社会成员之间的个体差异，即前面的模型没有考虑到社会成员之间的个体差异，即不同年龄、不同体质的人在死亡、生育方面存在的差不同年龄、不同体质的人在死亡、生育方面存在的差异。完全忽略这些差异显然是不合理的。异。完全忽略这些差异显然是不合理的。v但我们不可能对每个人的情况逐个加以考虑，故仅考但我们不可能对每个人的情况逐
29、个加以考虑，故仅考虑年龄的差异对人口变动的影响，即假设同一年龄的虑年龄的差异对人口变动的影响，即假设同一年龄的人有相同的死亡概率和生育能力。这样建立的模型不人有相同的死亡概率和生育能力。这样建立的模型不但使我们能够更细致的预测人口总数，而且能够预测但使我们能够更细致的预测人口总数，而且能够预测老年人口、劳动力人口、学龄人口等不同年龄组的人老年人口、劳动力人口、学龄人口等不同年龄组的人口信息。口信息。 1. 模型建立模型建立v 设设xk(t)为第为第t年年龄为年年龄为k的人口数量的人口数量, k=0，1，2，100， 即忽略百岁以上的人口。即忽略百岁以上的人口。v如果知道了第如果知道了第t年各年
30、龄组的人口数，各年龄组年各年龄组的人口数，各年龄组人口的生育及死亡状态，就可以根据人口发展人口的生育及死亡状态，就可以根据人口发展变化规律推得变化规律推得第第t+l年各年龄组的人口数。年各年龄组的人口数。 k岁人口死亡率岁人口死亡率 和和k岁育龄妇女年生育岁育龄妇女年生育率率 首先引入首先引入k岁人口的死亡率岁人口的死亡率和和k岁育龄妇女的岁育龄妇女的年生育率这两个概念年生育率这两个概念vk岁人口的年死亡率岁人口的年死亡率dk =一年内一年内k岁的死亡人数岁的死亡人数/这年内这年内k岁的人口数岁的人口数vk岁妇女的年生育率岁妇女的年生育率bk=一年内一年内k岁妇女生育婴儿数岁妇女生育婴儿数/这
31、年内这年内k岁妇女人数岁妇女人数Leslie人口模型公式人口模型公式v第第t+l年年k+1岁的人口数就是岁的人口数就是第第t年年k岁的人口数扣除它岁的人口数扣除它在该年的死亡人数在该年的死亡人数，即即 xk+1(t+1)=(1-dk)xk(t)，v 令令pk=1-dk称为称为k岁人口的存活率，故各年龄组人口岁人口的存活率，故各年龄组人口随时间变化规律可用递推公式随时间变化规律可用递推公式 x k+1(t+l)=pkxk(t) (k=0，1，99) 来表示。再考虑到零岁的人数来表示。再考虑到零岁的人数 x0(t+l)=bkxk(t)/2, 其中其中xk(t)/2为第为第t年年k岁妇女数。岁妇女数
32、。v由此得到的人口模型是由此得到的人口模型是 x0(t+1) = bkxk(t)/2 x k+1(t+1) = pkxk(t), k=0，1，99 (1)人口模型的矩阵形式人口模型的矩阵形式v根据人的生理特征，妇女的育龄区间一般取为根据人的生理特征，妇女的育龄区间一般取为15岁至岁至49岁，岁，v即当即当k49时，时，bk=0。v令令 Xk(t)=(x0(t),x1(t),，xk(t)，,x100(t)T b0/2 b1/2 b2/2 . . b99/2 b100/2 p0 0 0 0 0 L= 0 p1 0 0 0 0 0 0 p99 0v则人口模型则人口模型(1)的矩阵形式为的矩阵形式为
33、X(t+1)=LX(t) (2) 其中其中L称为称为Leslie矩阵。矩阵。v当第当第t0年人口已知时，就可以推得年人口已知时，就可以推得第第第第t t年人口为年人口为年人口为年人口为 X(t)=L t-t0 X(t0) 2.人口预测人口预测v 利用模型利用模型(2)及及1982年人口普查数据对我国的年人口普查数据对我国的人口数量进行预测所得的结果如表人口数量进行预测所得的结果如表2所示，从所示，从1983年到年到1990年这年这8年的对比看来，用模型年的对比看来，用模型(2)预测的结果还是令人满意的。预测的结果还是令人满意的。表表2我国人口预测我国人口预测年年份份Malthus模型预测模型预
34、测Logistic模型预测模型预测Leslie模型预测模型预测实际实际统计值统计值19821983198419851986198719881989199020002010202020302040205010.154110.297210.442410.589610.738910.890311.043911.119611.357513.064215.027417.285619.883222.871126.308110.154110.256410.359410.463110.567310.672110.777510.883510.990112.087113.235714.427615.652916.
35、900918.159510.154110.305810.456110.606810.761510.923011.096111.281211.475713.562015.090516.796418.494019.751921.262210.154110.249510.347510.453210.572110.724010.897811.067611.336812.9533v 但长期发展下去，人口数量仍然偏多，不甚合但长期发展下去，人口数量仍然偏多，不甚合理。理。v其主要原因是在预测过程中，始终用其主要原因是在预测过程中，始终用1982年生育年生育率与死亡率来代替以后各年的生育率与死亡率。率与死亡
36、率来代替以后各年的生育率与死亡率。而而1982年育龄妇女的生育率很高，按照年育龄妇女的生育率很高，按照1982年的年的生育状况，每对夫妇一生中平均要生育生育状况，每对夫妇一生中平均要生育2.63个孩个孩子，且生育高峰集中在子，且生育高峰集中在25岁左右，这势必导致人岁左右，这势必导致人口的大量增加，因而得到人口的预测值比较大。口的大量增加，因而得到人口的预测值比较大。 3.3.人口控制人口控制v人口预测的反问题是人口控制问题人口预测的反问题是人口控制问题:应调节哪些因素，应调节哪些因素，才能使我国人口发展到一个合理水平才能使我国人口发展到一个合理水平?v从模型从模型(2)看，各年龄组人口的数量
37、由看，各年龄组人口的数量由x(t0),bk,dk所所确定，其中确定，其中x(t0)是人口的现实状态，人们无法改变，是人口的现实状态，人们无法改变，死亡率死亡率dk己经到了较低水平，改变也不会太多，现己经到了较低水平，改变也不会太多，现实可行途径是调节生育率实可行途径是调节生育率bk。v在这儿我们采取一个比较简单的方法，即假设各年在这儿我们采取一个比较简单的方法，即假设各年龄组妇女的生育率均在龄组妇女的生育率均在1982年人口普查数据的基础年人口普查数据的基础上同乘一个比例常数上同乘一个比例常数r，看长期发展下去这个常数取看长期发展下去这个常数取多大，才能使人口发展到一个稳定状态，且进一步多大，
38、才能使人口发展到一个稳定状态，且进一步讨论到达稳定人口分布时，各年龄组的人口有什么讨论到达稳定人口分布时，各年龄组的人口有什么关系。关系。比例系数比例系数r的确定的确定v这个问题的数学提法是用这个问题的数学提法是用rbk/2代替莱斯利矩阵的第代替莱斯利矩阵的第一行对应元素一行对应元素bk/2，记代替以后的矩阵记代替以后的矩阵L(r)，如何选如何选取取r,使使 lim tX(t)=lim t L( r) t-t0 X(t0) 存在。存在。 记记X0=lim t X(t)，对，对X(t+l)=L(r) X(t)两边取极限，两边取极限，可以得到可以得到X0=L(r)X0。v 这意味着要选取这意味着要
39、选取r,使矩阵使矩阵L(r)有特征值有特征值1，且，且X0就是就是特征值特征值1所对应的所对应的L(r)的特征向量。经过代人计算后的特征向量。经过代人计算后可知，矩阵可知，矩阵L(r)仅有一个正特征值，且当这特征值为仅有一个正特征值，且当这特征值为1时时,r必须满足必须满足 r = 2/(b0+p0b1+p0p1b2+p0p1.p99b100)v代人代人1982年生育率年生育率bk和留存率和留存率pk,得得 r = 0.7942。控制生育时我国人口预测值控制生育时我国人口预测值v用用r = 0.7942去乘以去乘以1982年各年龄组妇女的生育率年各年龄组妇女的生育率后可以得到，要达到稳定的人口
40、分布，一个妇女一后可以得到，要达到稳定的人口分布，一个妇女一生中应该生育生中应该生育2.09个孩子。个孩子。v按照按照X(t+l)=L(0.7942)X(t)重新推算我国人口变化的重新推算我国人口变化的结果如表结果如表2所示。所示。表表2控制生育时我国人口预测值控制生育时我国人口预测值(亿亿)年份年份预预 测测值值年份年份预预 测测值值年份年份预预 测测值值年份年份预测值预测值198210.154198610.583199011.095203014.685198310.260198710.698200012.588204014.617198410.367198810.822201013.505205014.436198510.473198910.955202014.183206014.222预测结果注释预测结果注释v从表从表2看出，当一对夫妇生看出，当一对夫妇生2.09个小孩时，我国人口个小孩时，我国人口在近在近50年内还是要不断增长的，到年内还是要不断增长的，到2050年前后才能年前后才能慢慢稳定下来，出现这一现象的原因是我国现在的慢慢稳定下来，出现这一现象的原因是我国现在的人口中，青少年所占的比例很大，在短期内进入婚人口中，青少年所占的比例很大，在短期内进入婚育期的人数较多，故人口现在还必须经历一个增长育期的人数较多，故人口现在还必须经历一个增长过程。过程。
