高中数学：三角函数

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1、第三章三角函数、解三角形高考目标定位高考目标定位 目标了然于胸，让讲台见证您的高瞻远瞩内容分析命题热点1.弧度制和角的概念的推广是三角函数的基础，弧度制的引入，也简化了弧长公式、面积公式等2三角函数同二次函数、幂函数、指数函数、对数函数一样，其图象、性质和应用是考查的重点，其中yAsin(x)的图象是研究函数图象变换的代表3三角恒等式的化简、求值和证明，是培养学生分析问题、解决问题能力和提升学生思维品质的良好载体公式的逆用和变形都需要较强的应变能力4解三角形进一步体现了数学的应用性，正弦定理和余弦定理的推导和应用，有利于培养学生的建模、解模能力5本章概念多、公式多(如同角三角函数关系式、诱导公

2、式、两角和与差的正余弦、正切、正余弦定理等)、符号变化多，这几多决定了学习本章要加强记忆本章与其他章节联系也很密切，是综合应用所学知识的一章.近几年的高考中，对本章内容的考查多以选择题和填空题的形式出现，解答题独立命题的情形也有，主要是三角与其他知识的综合渗透，如与数列、不等式综合；独立命题，考查三角函数性质及图象变换从高考试题分析，高考对本章考查侧重于：1三角函数的性质、图象及其变换，主要是yAsin(x)的性质、图象及变换2已知三角函数值求角3灵活运用公式，通过简单的三角恒等变换解决三角函数的化简、求值或证明问题，借助三角变换解与三角形有关的问题根据高考的最新动态，我们预测今后有关三角函数

3、高考命题的趋势是：试题的题型、题量及难度将基本保持稳定三角函数是重要的基本初等函数，是研究其他知识的重要工具，高考将注重基础知识、基本技能、基本思想和方法的考查考查的重点仍是三角函数的定义、图象和性质新教材更加突出了应用问题的地位，这也是今后的命题方向.第一节任意角、弧度制及任意角的三角函数1.了解任意角的概念2了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化3理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义，能由三角函数的定义求其定义域、函数值的符号4理解单位圆、正弦线、余弦线、正切线的概念及意义.基础自主梳理梳理基础知识 检测自身能力1终边相同的角(1)所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合

4、_ 或_ (2)终边相同的角的同一三角函数的值 _，即sin(k2) _ (其中kZ)；cos(k2) _ (其中kZ)；tan(k2) _ (其中kZ)2弧长及扇形的面积公式知知 识识 梳梳 理理|k360，kZ|2k，kZsincostan相等3三角函数的定义已知P(x，y)是角终边上任一点，|OP|r，则4.各象限角的三角函数值的符号可用口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦来判断三角函数定义式定义域正弦函数sin _R余弦函数cos _R正切函数tan _5三角函数线图1图中有向线段MP、OM、AT分别表示 _、 _、 _ 正弦线余弦线正切线课课 前前 自自 测测1点P(tan2007，

5、cos2007)位于()A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限解析：20073606153，2007与153的终边相同，2007是第三象限角，tan20070，cos20070.P点在第四象限，故选D.答案：D2已知角的余弦线是单位长度的有向线段，那么角的终边在()Ax轴上By轴上C直线yx上D直线yx上解析：由角的余弦线长度为1分析可知，角的终边与x轴重合答案：A3已知扇形的周长是6 cm，面积是2 cm2，则扇形的圆心角的弧度数是()A1或4B1C4D8答案：A4已知点P(sincos，tan)在第一象限，则在0,2内的取值范围是_5设asin(1)，bcos(1)，ctan(1)，则a

6、，b，c的大小关系为_解析：asin1，bcos1，ctan1，a0，c0.又sin1tan1，cab.答案：ca0)，当为多少弧度时，该扇形有最大面积思维拓展涉及弧长和扇形面积的计算可用的公式有角度和弧度表示的两种，其中弧度表示的公式结构简单，易记好用，在使用前，应将圆心角用弧度表示即时训练： 已知扇形OAB的圆心角为4弧度，其面积为2平方厘米，求扇形周长和弦AB的长热点之三三角函数的定义1已知角终边上一点P的坐标，则可先求出点P到原点的距离r，然后用三角函数的定义求解2已知角的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后用三角函数的定义来求相关问题，若直线的倾

7、斜角为特殊角，也可直接写出角的值例3已知角的终边在直线3x4y0上，求sin，cos，tan的值思路探究本题求的三角函数值依据三角函数的定义，可在角的终边上任取一点P(4t，3t)(t0)，求出r，由定义得出结论答案：A热点之四三角函数的符号判定1判断三角函数值的符号就是要判断角所在的象限2对于已知三角函数的符号判断角所在的象限，可先根据三角函数式的符号确定三角函数值的符号，再判断角所在的象限例4(1)判断下列各式的符号：sin340cos265；sin4tan.(2)判断下列各式中角的终边所在的象限sintan0且sincos0.思路探究确定符号，关键是确定每个因式的符号，而要分析因式的符号

8、，则关键是看角所在的象限课堂记录(1)340是第四象限角，265是第三象限角，sin3400，cos2650.答案：(1)二、四(2)2高考动态研究感悟高考真题 检验实战技能直直 指指 考考 向向 三角函数的概念是三角函数的基础，也是高考对于基础知识和基本技能考查的重要内容之一，试题经常出现且多为选择题、填空题，难度一般不高，主要考查角的范围，判定三角函数值的符号经经 典典 考考 题题答案A自自 主主 体体 验验1(2008全国)若sin0，则是()A第一象限角B第二象限角C第三象限角D第四象限角解析：由sin0得是第三象限角，选C.答案：C2(2007北京卷)已知costan热点分类讲练点击

9、重点难点 关注热点题型热点之一三角函数的定义域问题三角函数的定义域是研究其他一切性质的前提，求三角函数的定义域事实上就是解最简单的三角不等式(组)，通常可用三角函数的图象或三角函数线来求解，注意数形结合思想的应用热点之二三角函数的值域与最值问题求解涉及三角函数的值域(最值)的题目一般常用以下方法：(1)利用sinx、cosx的值域；(2)形式复杂的函数应化为yAsin(x)k的形式逐步分析x的范围，根据正弦函数单调性写出yAsin(x)的值域；(3)换元法：把sinx、cosx看作一个整体，可化为二次函数提醒：换元后注意新元的范围课堂记录(1)cosx1,1，当a0时，yb，无最值；当a0时，

10、函数的最大值为ab，最小值为ab.当x2k，kZ时取得最大值当x2k，kZ时取得最小值当a0，0，|0)或向 _ (0)把ysin(x)图象上各点横坐标变为原来的_ 倍(3)振幅变换：ysin(x)yAsin(x)(A0)把ysin(x)图象上各点的纵坐标变为原来的 _ 倍知知 识识 梳梳 理理振幅周期频率相位初相左右|A3函数yAsin(x)，xR(A0，0)的图象可以看作用下面的方法得到：先把正弦曲线上所有的点向左(当0时)或 _ (当1时)或 _ (当01时)或 _ (当0A0)最大值A和最小值A；(4)列出一个周期的五个特殊点思路探究欲画f(x)的图象求f(x)的周期和最大值，需把f(

11、x)化成一个角的一个三角函数的形式热点之二三角函数的图象变换(1)平移变换沿x轴平移，按“左加右减”法则；沿y轴平移，按“上加下减”法则(2)伸缩变换沿x轴伸缩时，横坐标x伸长(01)为原来的1,倍(纵坐标y不变)；沿y轴伸缩时，纵坐标y伸长(A1)或缩短(0A1)为原来的A倍(横坐标x不变)思路探究根据三角函数图象变换规律，写出变换后的函数解析式，与另一个函数解析式比较即可答案：B热点之三求函数yAsin(x)的解析式确定yAsin(x)b的解析式的步骤：(1)求A，b，确定函数的最大值M和最小值m，(3)求，常用方法有：代入法：把图象上的一个已知点代入(此时，A，b已知)或代入图象与直线y

12、b的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)最值法：代入取得最值点的坐标求.答案：D热点之四三角函数模型的简单应用将实际问题转化为三角函数有关问题应注意以下几点：(1)审题：把问题提供的“条件”逐条地“翻译”成为“数学语言”；(2)描点画图，建立数学模型；(3)求出三角函数解析式；(4)利用函数的性质进行解题例4如下图1所示为一个缆车示意图，该缆车半径为4.8米，圆上的最低点与地面的距离为0.8米，且每60秒转一圈，图中OA与地面垂直，以OA为始边，逆时针转动角到OB，设B点与地面的距离为h.(1)求h与间的函数关系式；(2)设从OA开始转动，经过t秒到达OB，求h与t之间的函数

13、关系式，并求该缆车首次到达最高点时所用的时间即时训练： 如右图所示，一个摩天轮半径为10米，轮子的底部在地面上2米处，如果此摩天轮每20秒转一圈，且当摩天轮上某人经过点P处(点P与摩天轮中心高度相同)时开始计时(1)求此人相对于地面的高度关于时间的关系式；(2)在摩天轮转动的一圈内，约有多长时间此人相对于地面的高度不超过7米高考动态研究感悟高考真题 检验实战技能直直 指指 考考 向向 从近两年的高考试题来看，函数yAsin(x)的图象的平移和伸缩变换以及根据图象确定A、问题是高考的热点，题型既有选择题、填空题，又有解答题，难度中低档，主要考查识图、用图能力，同时考查了利用三角公式进行三角恒等变

14、换的能力经经 典典 考考 题题自自 主主 体体 验验答案：C答案：B 为方便教学使用，本部分单独装订成活页装，请做课时作业(19) 第五节两角和与差的正弦、余弦和正切公式1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式2能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式3能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系.基础自主梳理梳理基础知识 检测自身能力1两角和与差的正弦、余弦和正切公式C()：cos() _；C()：cos() _ ；S()：sin() _ ；S()：sin() _ ；T()：tan() _ ；由此可得公式的变形：tan

15、tan _ T()：tan() _ ；由此可得公式的变形：tantantan()(1tantan)知知 识识 梳梳 理理coscossinsincoscossinsinsincoscossinsincoscossintan()(1tantan)2二倍角的正弦、余弦、正切公式S2：sin2 _ ；C2：cos2 _ _ _ ；由此可得变形公式sin2 _ ，cos2 _ ，它的双向应用分别起到缩角升幂和扩角降幂的作用，应用广泛T2：tan2 _.3形如asinbcos的化简asinbcossin()其中cos _ ，sin _.2sincoscos2sin22cos2112sin2课课 前前 自

16、自 测测答案：B答案：D答案：D答案：acb5tan20tan60tan60tan10tan10tan20_.答案：1热点分类讲练点击重点难点 关注热点题型热点之一基本公式的应用应熟悉公式的逆用和变形应用，公式的正用是常见的，但逆用变形应用则往往容易被忽视，公式的逆用和变形应用更能开拓思路，培养从正向思维向逆向思维转化的能力，只有熟悉了公式的逆用和变形应用后，才能真正掌握公式的应用思路探究注意角之间的关系，切化弦，从题设代数式联系与三角函数公式结构的差异，寻找解题思路，同时将非特殊角转化为特殊角或通过约分消掉热点之二角的变换(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差

17、的形式(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后用诱导公式把“所求角”变成“已知角”(3)常见的配角技巧热点之三公式的灵活运用思路探究条件式中含角、，而待求式中只有与，故可运用消元思想，先通过sin2cos21消去.答案：C高考动态研究感悟高考真题 检验实战技能直直 指指 考考 向向 高考对本节的考查，主要集中在对公式的变换能力上，以选择题、填空题、解答题的形式出现，重点考查对公式进行逆用、变形用和配凑用的能力经经 典典 考考 题题自自 主主 体体 验验解析：sin43cos13cos43sin13sin(4313)sin301/2.选A.答案：A 为方

18、便教学使用，本部分单独装订成活页装，请做课时作业(20) 第六节简单的三角恒等变换能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角的正弦、余弦和正切公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆).基础自主梳理梳理基础知识 检测自身能力1半角公式知知 识识 梳梳 理理2形如asinxbcosx的化简课课 前前 自自 测测答案：C答案：D答案：C4函数f(x)2sinx2cosx的值域是_答案：2009热点分类讲练点击重点难点 关注热点题型热点之一三角函数式的化简1化简的思路对于和式，基本思路是降次、消项和逆用公式；对于三角分式，基本思路是分子与分母约分或

19、逆用公式；对于二次根式，注意二倍角公式的逆用另外，还可以用切化弦、变量代换、角度归一等方法2化简的方法弦切互化，异名化同名，异角化同角；降幂或升幂等思路探究要先化简再求值，将所给关系式尽可能化成最简式或化成含有已知式子的形式，运用整体代入的方法求值热点之二三角函数式的求值已知三角函数式的值，求其他三角函数式的值，一般思路为：(1)先化简所求式子；(2)观察已知条件与所求式子之间的联系(从三角函数名及角入手)；(3)将已知条件代入所求式子，化简求值热点之三三角函数式的证明1证明三角恒等式的方法观察等式两边的差异(角、函数、运算的差异)，从解决某一差异入手(同时消除其他差异)，确定从该等式的哪边证

20、明(也可两边同时化简)，当从解决差异方面不易入手时，可采用转换命题法或用分析法等2证明三角条件等式的方法首先观察条件与结论的差异，从解决这一差异入手，确定从结论开始，通过变换，将已知表达式代入得出结论，或通过变换已知条件得出结论，如果这两种方法都证不出来，可采用分析法；如果已知条件含参数，可采用消去参数法；如果已知条件是连比的式子，可采用换元法等例3已知tan()2tan，求证：3sinsin(2)课堂记录证明：由已知tan()2tan可得sin()cos2cos()sin而sin(2)sin()sin()coscos()sin2cos()sincos()sin3cos()sin.又sinsi

21、n()sin()coscos()sin2cos()sincos()sincos()sin.故sin(2)3sin.思维拓展三角式的化简或证明，主要从三方面寻求思路：一是观察函数特点，已知和所求中包含什么函数，它们可以怎样联系；二是观察角的特点，它们之间可经过何种形式联系起来；三是观察结构特点，它们之间经过怎样的变形可达到统一高考动态研究感悟高考真题 检验实战技能直直 指指 考考 向向 高考对三角恒等变换的考查一般与三角函数的图象与性质相结合，有时也会在三角形中综合考查三角恒等变换，考查学生运算求解能力经经 典典 考考 题题自自 主主 体体 验验 为方便教学使用，本部分单独装订成活页装，请做课时

22、作业(21) 第七节正弦定理和余弦定理掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题 基础自主梳理梳理基础知识 检测自身能力1正弦定理、余弦定理设ABC的三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，R是ABC的外接圆半径(1)正弦定理：_.(2)正弦定理的变式a _ ，b _ ，c _ .sinA_，sinB_，sinC_.a：b：c _.(3)余弦定理a2 _，b2 _ ，c2 _知知 识识 梳梳 理理2RsinA2RsinB 2RsinC sinA：sinB：sinC b2c22bccosA c2a22cacosB a2b22abcosC (4)余弦定理的变式cosA_；cosB_

23、；cosC_.2解斜三角形的类型(1)已知两角和任一边，求其他两边和一角；(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，进而求得其他边、角；(3)已知三边，求三个角；(4)已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角在ABC中，已知a、b和A时，解的情况如下：A为锐角A为钝角或直角图形关系式absinAbsinAab解的个数 _ _ _ _一解两解一解一解课课 前前 自自 测测答案：C答案：D答案：B热点分类讲练点击重点难点 关注热点题型热点之一利用正、余弦定理解三角形1已知两边和一边的对角解三角形时，可有两解、一解、无解三种情况，应根据已知条件判断解的情况，主要是根据图形或由“大边对大角”作

24、出判断2应熟练掌握余弦定理及其推论解三角形时，有时可用正弦定理，也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷3三角形中常见的结论(1)ABC.(2)在三角形中大边对大角，反之亦然(3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边思路探究(1)可直接使用正弦定理求解，注意解的个数的判断，也可利用余弦定理求解(2)题目条件是已知两边及一边的对角，这种情况一般用正弦定理解，但本题不求B，并且求出sinB后发现B非特殊角，故用正弦定理不是最佳选择，而应直接用余弦定理列出关于c的方程求解即时训练： 在ABC中，已知a7，b3，c5，求最大角和sinC.热点之二利用正、余弦定理判断三角形形状依据已知条

25、件中的边角关系判断时，主要有如下两种方法：1利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状；2利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间关系，通过三角函数恒等变形，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用ABC这个结论例2在ABC中，已知acosAbcosB，则ABC为()A等腰三角形B直角三角形C等腰三角形或直角三角形D等腰直角三角形热点之三三角形面积公式的应用1三角形面积公式的选取取决于三角形中的哪个角可求，或三角形的哪个角的正弦值可求热点之四正、余弦定理的综合应用正弦定理和余弦定理往往和同角三角函数的基本关系式、诱

26、导公式、两角和与差的三角函数等相联系，成为高考所考查的重要内容思路探究本小题主要考查同角三角函数间的关系、两角和差的三角函数、二倍角公式、正弦定理等基础知识及基本运算能力思维拓展(1)正弦定理和余弦定理并不是孤立的，解题时要根据具体题目合理运用，有时还需要交替使用(2)条件中出现平方关系多考虑余弦定理，出现一次式，一般要考虑正弦定理高考动态研究感悟高考真题 检验实战技能直直 指指 考考 向向 分析近几年的高考试题，有关三角形求解问题是必考内容，分值大约为4分17分试题主要包括以下两个方面：(1)直接考查正弦定理、余弦定理及三角形的面积公式，这类题目常以选择题和填空题的形式出现，难度不大(2)以

27、正、余弦定理为框架，以三角形为载体，综合考查三角问题，一般以解答题的形式出现，属于中档题经经 典典 考考 题题自自 主主 体体 验验答案：60 为方便教学使用，本部分单独装订成活页装，请做课时作业(22) 第八节正弦定理和余弦定理应用举例能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.基础自主梳理梳理基础知识 检测自身能力1仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线 _的角叫仰角，在水平线 _的角叫俯角(如下图)2方位角从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为(如上图)知知 识识 梳梳 理理上方下方3方向角相对于某一正方向的水平角，(如右图)

28、(1)北偏东即由指北方向顺时针旋转到达目标方向(2)北偏西即由指北方向逆时针旋转到达目标方向(3)南偏西等其他方向角类似4坡度坡面与水平面所成的二面角的度数(如右图，角为坡角)坡比：坡面的铅直高度与水平长度之比(如右图，i为坡比)课课 前前 自自 测测1从A处望B处的仰角为，从B处望A处的俯角为，则，之间的关系是()ABC90D180解析：根据仰角与俯角的含义，画图即可得知答案：B2如右图所示，为了测量某障碍物两侧A、B间的距离，给定下列四组数据，不能确定A、B间距离的是()A，a，bB，aCa，b，D，b解析：选项B中由正弦定理可求b，再由余弦定理可确定AB.选项C中可由余弦定理确定AB.选

29、项D同B类似答案：A3在200 m高的山顶上，测得山下一塔的塔顶与塔底的俯角分别是30、60，则塔高为_ m.5某观察站C在A城的南偏西20方向，由A城出发有一条公路，走向是南偏东40，距C处31千米的公路上的B处有一人正沿公路向A城走去，走了20千米后到达D处，此时CD距离为21千米，则此人还需走_千米才能到达A城答案：15热点分类讲练点击重点难点 关注热点题型热点之一测量距离问题有关距离测量问题，主要是测量从一个可到达的点到一个不能到达的点之间的距离问题，如海上、空中两地测量，隔着某一障碍物两地测量等由于该问题不能采取实地测量，解决它的方法是建立数学模型，即构造三角形，转化为解三角形问题通

30、常是根据题意，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过解这些三角形，得到所求的量，从而得到实际问题的解解题时应认真审题，结合图形去选择定理，使解题过程简捷例1如右图，南山上原有一条笔直的山路BC，现在又新架了一条索道AC，小李在山脚B处看索道，发现张角ABC120，从B处攀登400米到达D处，回头看索道，发现张角ADC160，从D处再攀登800米到达C处，问索道AC长多少？(精确到米，使用计算器计算)思维拓展解答过程中抓不住AD的桥梁作用导致无法求解，其原因是对题意不理解所致热点之二测量高度问题测量高度问题一般是利用地面上的观测点，通过测量仰角、俯角等数据计算物体的高度，这类问题一般用到立

31、体几何知识，先把立体几何问题转化为平面几何问题，再通过解三角形加以解决例2如下图1所示，在一个奥运场馆建设现场，现准备把一个半径为 m的球形工件吊起平放到高为6 m的平台上，工地上有一个吊臂DF长为12 m的吊车，吊车底座FG高1.5 m当物件与吊臂接触后，钢索CD的长可通过顶点D处的滑轮自动调节并保持物件始终与吊臂接触求物件能被吊车吊起的最大高度，并判断能否将该球形工件吊到平台上？思路探究本题中吊车能把球形工件吊起的高度y取决于吊臂的张角，即DFA，因此用来表示图中各边之长，再由导数法求其最值即时训练： 某人在塔的正东沿着南偏西60的方向前进40米后，望见塔在东北方向，若沿途测得塔的最大仰角

32、为30，求塔高热点之三测量角度问题首先应明确方位角的含义，在解应用题时，分析题意，分清已知与所求，再根据题意正确画出示意图，这是最关键、最重要的一步，通过这一步可将实际问题转化成可用数学方法解决的问题，解题中也要注意体会正、余弦定理“联袂”使用的优点思路探究根据题意和图形及方位角等概念，确定所求的角在哪个三角形中，该三角形中已知哪些量，需要哪些量即时训练： (2010合肥质检一)如右图，一船在海上由西向东航行，在A处测得某岛M的方位角为北偏东角，前进m km后在B处测得该岛的方位角为北偏东角，已知该岛周围n km范围内(包括边界)有暗礁，现该船继续东行当与满足条件_时，该船没有触礁危险答案：m

33、coscosnsin()高考动态研究感悟高考真题 检验实战技能直直 指指 考考 向向 在高考试题中，解三角形常作为工具解决实际问题.2009年宁夏、海南卷(理)就考查了这一点该题最大的创新是让考生自己组织语言描述解题的步骤，这是一大难点同时考生经历了现实生活中从已知到未知的解题过程，能发挥数学的价值，这最能体现新课标的意图，还能有效考查考生的能力，代表了一种新的考查方向经经 典典 考考 题题例4(2009海南、宁夏卷)为了测量两山顶M、N间的距离，飞机沿水平方向在A、B两点进行测量A、B、M、N在同一个铅垂平面内(如示意图)飞机能够测量的数据有俯角和A、B间的距离设计一个方案，包括：指出需要测量的数据(用字母表示，并在图中标出)；用文字和公式写出计算M、N间的距离的步骤自自 主主 体体 验验 为方便教学使用，本部分单独装订成活页装，请做课时作业(23) 本课结束请同学们下课后认真复习 结束语结束语若有不当之处，请指正，谢谢！若有不当之处，请指正，谢谢！