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1、 明考纲明考纲知考情知考情考考 什什 么么1.理解直线的方向向量与平面的法向量理解直线的方向向量与平面的法向量2.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平 面的垂直、平行关系面的垂直、平行关系3.能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理 (包括三垂线定理包括三垂线定理)4.能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平 面的夹角的计算问题，了解向量方法在研究立体几何问面的夹角的计算问题，了解向量方法在研究立体几何问 题中的应用题中的应
2、用.怎怎 么么 考考 从高考内容上来看，利用向量法求空间角的大小是从高考内容上来看，利用向量法求空间角的大小是命题的热点题型多为解答题，难度中档着重考查学生命题的热点题型多为解答题，难度中档着重考查学生建立空间坐标系及空间向量坐标运算的能力建立空间坐标系及空间向量坐标运算的能力.v1v2v1v2 n1n2 n1n2 vn vn 直线直线l1和和AB 在该平面内的投影在该平面内的投影 直线直线l1和和l2的夹角的夹角 n1，n2 n1，n2 答案：答案：A1若直线若直线a，b的方向向量分别为的方向向量分别为a(1，1,2)， b(2,2，4)，则，则() Aab或或a与与b重合重合Bab Ca与
3、与b相交但不垂直相交但不垂直 Da与与b异面但不垂直异面但不垂直解析：解析：a(1，1,2)，b(2,2，4)，b2a，a与与b共线即共线即a b或或a与与b重合重合2(教材习题改编教材习题改编)已知已知a(1,1,1)，b(0,2，1)，cmanb(4，4,1)若若c与与a及及b都垂直，则都垂直，则m，n的的值分别为值分别为()A1,2B1，2C1,2 D1，2答案：答案： A答案：答案： A4在四棱锥在四棱锥PABCD中，底面中，底面ABCD为直角梯形，为直角梯形，ABCD，BAAD，PA平面平面ABCD，ABAPAD3，CD6 ，则直线则直线PD与与BC所成的角为所成的角为_解析：解析：
4、以以A为坐标原点，为坐标原点，AD、AB、AP所在的直线分别为所在的直线分别为x轴、轴、y轴、轴、z轴，建轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0)，P(0,0,3)，B(0,3,0)，D(3,0,0)，C(3,6,0)答案：答案： 601平面的法向量的求法平面的法向量的求法设出平面的一个法向量设出平面的一个法向量n(x，y，z)，利用其与该平面，利用其与该平面内的两个不共线向量垂直，即数量积为内的两个不共线向量垂直，即数量积为0，列出方程组，列出方程组，两个方程，三个未知数，此时给其中一个变量恰当赋值，两个方程，三个未知数，此时给其中一个变量恰当赋值，
5、求出该方程组的一个非零解，即得到这个法向量的坐标求出该方程组的一个非零解，即得到这个法向量的坐标注意，赋值不同得到法向量的坐标也不同，法向量的注意，赋值不同得到法向量的坐标也不同，法向量的坐标不唯一坐标不唯一2利用向量法求空间角利用向量法求空间角利用向量法求空间角时，要注意空间角的取值范围利用向量法求空间角时，要注意空间角的取值范围与向量夹角取值范围的区别，特别地，二面角的大与向量夹角取值范围的区别，特别地，二面角的大小等于其法向量的夹角或其补角，应注意二面角的小等于其法向量的夹角或其补角，应注意二面角的范围范围巧练模拟巧练模拟(课堂突破保分题，分分必保！课堂突破保分题，分分必保！)冲关锦囊冲
6、关锦囊1用向量证明线面平行的方法有：用向量证明线面平行的方法有：(1)证明该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直；证明该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直；(2)证明该直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行；证明该直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行；(3)证明该直线的方向向量可以用平面内的两个不共线的向量证明该直线的方向向量可以用平面内的两个不共线的向量 线性表示线性表示2用向量法证垂直问题用向量法证垂直问题(1)证明线线垂直，只需证明两直线的方向向量数量积为证明线线垂直，只需证明两直线的方向向量数量积为0；(2)证明线面垂直，只需证明直线的方向向量与平面的法向证明线面垂直，只需
7、证明直线的方向向量与平面的法向 量共线，或利用线面垂直的判定定理转化为证明线线垂量共线，或利用线面垂直的判定定理转化为证明线线垂 直；直；(3)证明面面垂直，只需证明两平面的法向量的数量积为证明面面垂直，只需证明两平面的法向量的数量积为0， 或利用面面垂直的判定定理转化为证明线面垂直或利用面面垂直的判定定理转化为证明线面垂直.精析考题精析考题 例例2 (2011大纲版全国高考大纲版全国高考)如图，四棱如图，四棱锥锥SABCD中，中，ABCD，BCCD，侧面侧面SAB为等边三角形为等边三角形ABBC2，CDSD1.(1)证明：证明：SD平面平面SAB；(2)求求AB与平面与平面SBC所成的角的正
8、弦值所成的角的正弦值2(2011郑州质检郑州质检)如图，正方如图，正方形形ADEF和等腰梯形和等腰梯形ABCD垂直，垂直，已知已知BC2AD4，ABC60，BFAC.(1)求证：求证：AC平面平面ABF；(2)求异面直线求异面直线BE与与AC所成的角的余弦值所成的角的余弦值解：解：(1)证明：因为平面证明：因为平面ADEF平面平面ABCD，平面，平面ADEF平面平面ABCDAD，AFAD，AF 平面平面ADEF，所以所以AF平面平面ABCD.故故AFAC，又，又BFAC，AFBFF，所以所以AC平面平面ABF.3.(2012广州调研广州调研)如图所示，在四棱锥如图所示，在四棱锥 PABCD中，
9、底面中，底面ABCD是矩形，是矩形， PA平面平面ABCD，PAAD2， AB1，BMPD于点于点M. (1)求证：求证：AMPD； (2)求直线求直线CD与平面与平面ACM所成角的余弦值所成角的余弦值解：解：(1)证明：证明：PA平面平面ABCD，AB平面平面ABCD，PAAB.ABAD，ADPAA，AB平面平面PAD.PD 平面平面PAD，ABPD，BMPD，ABBMB，PD平面平面ABM.AM 平面平面ABM，AMPD.冲关锦囊冲关锦囊2利用向量法求线面角的方法利用向量法求线面角的方法 一是分别求出斜线和它在平面内的投影直线的方向向一是分别求出斜线和它在平面内的投影直线的方向向 量，转化
10、为求两个方向向量的夹角量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角或其补角)； 二是通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量二是通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量 与平面的法向量所夹的锐角或钝角的补角，取其余角与平面的法向量所夹的锐角或钝角的补角，取其余角 就是斜线和平面的夹角就是斜线和平面的夹角.解：解：如图，以如图，以D为坐标原点，线段为坐标原点，线段DA的长为单位长度，射线的长为单位长度，射线DA为为x轴轴的正半轴建立空间直角坐标系的正半轴建立空间直角坐标系Dxyz.巧练模拟巧练模拟(课堂突破保分题，分分必保！课堂突破保分题，分分必保！)4. 一个几何体是由如图所示的圆柱一个几何体
11、是由如图所示的圆柱 ADD1A1和三棱锥和三棱锥E ABC组合组合 而成，点而成，点A、B、C在圆柱上底面在圆柱上底面 圆圆O的圆周上，的圆周上， 且且BC过圆心过圆心O，EA平面平面ABC. (1)求证：求证：ACBD； (2)求锐二面角求锐二面角ABDC的大小的大小解：解：(1)证明：因为证明：因为EA平面平面ABC，AC 平面平面ABC，所，所以以EAAC，即，即EDAC.又因为又因为ACAB，ABEDA，所以所以AC平面平面EBD.因为因为BD 平面平面EBD，所以所以ACBD.冲关锦囊冲关锦囊冲关锦囊冲关锦囊巧练模拟巧练模拟(课堂突破保分题，分分必保！课堂突破保分题，分分必保！)冲关
12、锦囊冲关锦囊1开放性问题是近几年高考的一种常见题型，这类问题具有开放性问题是近几年高考的一种常见题型，这类问题具有 一定的思维深度，用向量法较容易解决一定的思维深度，用向量法较容易解决2对于探索性问题，一般先假设存在，设出空间点的坐标，对于探索性问题，一般先假设存在，设出空间点的坐标， 转化为代数方程是否有解的问题，若有解且满足题意则存转化为代数方程是否有解的问题，若有解且满足题意则存 在，若有解但不满足题意或无解则不存在在，若有解但不满足题意或无解则不存在答题模板答题模板 向量法求空间角的规范解答向量法求空间角的规范解答高手点拨高手点拨1本题中易忽略的步骤为本题中易忽略的步骤为(2)中求出中求出cosm，n而直接下而直接下结论，但本题求其正弦值结论，但本题求其正弦值2本题易错点是学生在建立坐标系时，不能明确指出坐标本题易错点是学生在建立坐标系时，不能明确指出坐标原点和坐标轴，导致建系不规范同时，将向量的夹角原点和坐标轴，导致建系不规范同时，将向量的夹角转化成空间角时，要注意根据角的概念和图形特征进行转化成空间角时，要注意根据角的概念和图形特征进行转化，否则易错转化，否则易错
