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1、 1第第5章章 大数定律和中心极限定理大数定律和中心极限定理5.1 大数定律大数定律5.2 中心极限定理中心极限定理 2 概率论与数理统计是研究随机现象统计概率论与数理统计是研究随机现象统计规律性的学科规律性的学科. 随机现象的规律性只有在相随机现象的规律性只有在相同的条件下进行大量重复试验时才会呈现出同的条件下进行大量重复试验时才会呈现出来来. 也就是说，要从随机现象中去寻求必然也就是说，要从随机现象中去寻求必然的法则，应该研究大量随机现象的法则，应该研究大量随机现象. 3 研究大量的随机现象，常常采用极限研究大量的随机现象，常常采用极限形式，由此导致对极限定理进行研究形式，由此导致对极限定
2、理进行研究. 极极限定理的内容很广泛，其中最重要的有两限定理的内容很广泛，其中最重要的有两种种: 与与大数定律大数定律中心极限定理中心极限定理5.1 大数定律大数定律一、依概率收敛的概念一、依概率收敛的概念二、二、切比雪夫不等式切比雪夫不等式三、切比雪夫大数定律三、切比雪夫大数定律四、伯努利大数定律四、伯努利大数定律五、辛钦大数定律五、辛钦大数定律 5定义定义一、依概率收敛的概念一、依概率收敛的概念依概率收敛不是通常微积分中的收敛依概率收敛不是通常微积分中的收敛因此因此 6设设随机变量随机变量 的期望值的期望值 方差方差则则对于任意给定的正数对于任意给定的正数有有二、二、切比雪夫不等式切比雪夫
3、不等式注注: (1)切比雪夫不等式也可以写成切比雪夫不等式也可以写成(2)切切比雪夫比雪夫不等式表明：不等式表明：则则事件事件发生的概率越大，发生的概率越大，即，即，随机变量随机变量集中在期望附近集中在期望附近的可能性越大的可能性越大.随机变量随机变量的的方差越小，方差越小， 7(3)在方差已知的情况下，在方差已知的情况下，它的期望的偏差不小于它的期望的偏差不小于的的概率的估计式概率的估计式.如如取取则有则有切比雪夫切比雪夫不等式给出了不等式给出了与与故对任给的故对任给的分布，分布，只要期望和方差存在，只要期望和方差存在，则则随机变随机变量量取值取值偏离偏离超过超过3倍均方差的概率小于倍均方差
4、的概率小于 8例例1 已知正常男性成人血液中已知正常男性成人血液中, , 每一毫升白细胞每一毫升白细胞数平均是数平均是 7300, 均方差是均方差是 700. 利用切比雪夫不利用切比雪夫不等式估计每毫升白细胞数在等式估计每毫升白细胞数在 5200 9400 之间的之间的概率概率. .解解 设每毫升白细胞数为设每毫升白细胞数为依题意依题意, ,所求概率为所求概率为 9由切比雪夫不等式由切比雪夫不等式即每毫升白细胞数在即每毫升白细胞数在 5200 9400 之间的概率不之间的概率不小于小于 8/9. . 10例例2 在每次试验中在每次试验中, , 事件事件发生的概率为发生的概率为 0.75,利用切
5、比雪夫不等式求利用切比雪夫不等式求: : 独立试验次数独立试验次数最小取最小取何值时何值时, ,事件事件 出现的频率在出现的频率在 0.74 0.76 之间的之间的概率至少为概率至少为 0.90?解解 设设为为 次试验中次试验中, ,事件事件出现的次数出现的次数, ,则则 11在切比雪夫不等式中取在切比雪夫不等式中取则则依题意依题意, ,取取使使解得解得即即取取 18750 时时, , 可以使得在可以使得在次独立重复试验次独立重复试验中中, ,事件事件出现的频率在出现的频率在之间的概率之间的概率至少为至少为 0.90. 12三、切比雪夫大数定律三、切比雪夫大数定律切比雪夫切比雪夫 13切比雪夫
6、大数定律说明：在定理的条件下，当切比雪夫大数定律说明：在定理的条件下，当n充充分大时，分大时，n个独立随机变量的平均数这个随机变量个独立随机变量的平均数这个随机变量的离散程度是很小的的离散程度是很小的. .这意味着只要这意味着只要n充分大，尽充分大，尽管管n个随机变量可以各有其分布，但其算术平均以个随机变量可以各有其分布，但其算术平均以后得到的随机变量后得到的随机变量 将比较密地聚集在它将比较密地聚集在它的数学期望的数学期望 的附近，不再为个别随机变的附近，不再为个别随机变量所左右量所左右. .作为切比雪夫大数定律的特例，我们有作为切比雪夫大数定律的特例，我们有下面的推论下面的推论. . 14
7、推论推论这一推论使算术平均值的法则有了理论根据这一推论使算术平均值的法则有了理论根据 15四、伯努利大数定律四、伯努利大数定律切比雪夫大数定律的另一个推论通常称为伯努切比雪夫大数定律的另一个推论通常称为伯努利大数定律利大数定律 n重重伯努利伯努利试验中事件试验中事件A发生发生 n次次, 每次试验每次试验A发生的概率为发生的概率为 p，则对任意，则对任意 0, 有有 伯努利大数定律伯努利大数定律表明事件发生的表明事件发生的频率依概率频率依概率收敛于事件的概率收敛于事件的概率。由由实际推断原理实际推断原理,在实际应用在实际应用中中, 当试验次数很大时当试验次数很大时,可以用事件发生的频率来代可以用
8、事件发生的频率来代替事件的概率。替事件的概率。 16进一步研究表明，切比雪夫大数定律推论中的方进一步研究表明，切比雪夫大数定律推论中的方差存在这个条件并不是必要的，下面给出一个独差存在这个条件并不是必要的，下面给出一个独立同分布场合下的立同分布场合下的辛钦辛钦大数定律。大数定律。 17作业作业P139 练习5.11. 2.5.2 中心极限定理中心极限定理一、莱维一、莱维中心极限定理中心极限定理二、棣莫佛拉普拉斯中心极限定理二、棣莫佛拉普拉斯中心极限定理 19 在实际问题中，常常需要考虑许多随机因素在实际问题中，常常需要考虑许多随机因素所产生总影响所产生总影响.例如：炮弹射击的落点与目标的偏差，
9、就受着许多例如：炮弹射击的落点与目标的偏差，就受着许多随机因素的影响随机因素的影响.重要的是这些重要的是这些随机因素的随机因素的总影响总影响. 如瞄准时的误差，空气阻力所产如瞄准时的误差，空气阻力所产生的误差，炮弹或炮身结构所引起的误差等等生的误差，炮弹或炮身结构所引起的误差等等. 20研究独立随机变量之和所特有的规律性问题研究独立随机变量之和所特有的规律性问题当当n无限增大时，这个和的分布是什么无限增大时，这个和的分布是什么？本节内容本节内容 21 观察表明，如果一个量是由大量相互独立的随观察表明，如果一个量是由大量相互独立的随机因素的影响所造成，而每一个别因素在总影响中机因素的影响所造成，
10、而每一个别因素在总影响中所起的作用不大所起的作用不大. 则这种量一般都服从或近似服从则这种量一般都服从或近似服从正态分布正态分布. 自从自从高斯高斯指出测量误差服从正态分布指出测量误差服从正态分布之后，人们发现，正态分布在自然界中之后，人们发现，正态分布在自然界中极为常见极为常见. 22一、莱维一、莱维中心极限定理中心极限定理 24例例1设有设有30个电子元件个电子元件,它们的寿命均服从参数为它们的寿命均服从参数为0.1的指数分布的指数分布(单位单位:小时小时),每个元件工作相互独立每个元件工作相互独立,求他们的寿命之和超过求他们的寿命之和超过350小时的概率小时的概率.解解由由莱维中心极限定
11、理莱维中心极限定理 25即他们的寿命之和超过即他们的寿命之和超过350小时的概率为小时的概率为0.1814标准正准正态分布表分布表他们的寿命之和超过他们的寿命之和超过350小时小时 26例例2 一加法器同时收到一加法器同时收到20个噪声电器个噪声电器Vk(k=1,2,20),设它们是相互独立的随机变量，且都在区间设它们是相互独立的随机变量，且都在区间(0,10)上上服从均匀分布。记服从均匀分布。记 求求PV105的近似值的近似值解解E(Vk) = 5 , D(Vk) = 100/12 ( k=1,2,20 ).近似服从正态分布近似服从正态分布N(0,1),由由莱维中心极限定理莱维中心极限定理
12、27 28例例3 对敌人的防御地段进行对敌人的防御地段进行100次炮击次炮击, 在每次在每次炮击中炮击中, 炮弹命中颗数的数学期望为炮弹命中颗数的数学期望为2, 均方差为均方差为1.5, 求在求在100次炮击中次炮击中,有有180颗到颗到220颗炮弹命中目标的颗炮弹命中目标的概率概率.解解 设设Xk为第为第k次炮击炮弹命中的颗数次炮击炮弹命中的颗数(k=1,2,100),在在100次炮击中炮弹命中的总颗数次炮击中炮弹命中的总颗数Xk相互独立，且相互独立，且E(Xk)=2, D(Xk)=1.52 (k=1,2,100)由由莱维中心极限定理莱维中心极限定理 29有有180颗到颗到220颗炮弹命中目
13、标的概率颗炮弹命中目标的概率 30二、二、棣莫佛棣莫佛拉普拉斯拉普拉斯中心极限定理中心极限定理证明证明由于由于 31根据莱维中心极限定理得根据莱维中心极限定理得 33棣莫佛拉普拉斯中心极限定理棣莫佛拉普拉斯中心极限定理表明表明:当当n充分大时充分大时, 34 正态分布是二项分布的极限分布正态分布是二项分布的极限分布, ,当当n充分充分大时大时, , 可以利用下面公式计算二项分布的概率可以利用下面公式计算二项分布的概率 35例例4 某工厂有某工厂有200台同类型的机器台同类型的机器, ,每台机器工作时需每台机器工作时需要的电功率为要的电功率为Q千瓦千瓦, ,由于工艺等原因由于工艺等原因, ,每台
14、机器的实每台机器的实际工作时间只占全部工作的际工作时间只占全部工作的75%,各台机器工作是相互各台机器工作是相互独立的独立的, ,求求: :(1)(1)任一时刻有任一时刻有144至至160台机器正在工作的概率台机器正在工作的概率. .(2)(2)需要供应多少电功率可以保证所有机器正常工作的需要供应多少电功率可以保证所有机器正常工作的概率不少于概率不少于0.99.解解 ( (1) )设随机变量设随机变量X表示表示200台任一时刻正在工作的机台任一时刻正在工作的机器的台数，器的台数， 则 X B(200,0.75) .由由棣莫佛拉普拉斯中心极限定理棣莫佛拉普拉斯中心极限定理, 有有n = =200
15、, ,p = =0.75, ,q = =0.25, ,np = =150, ,npq = =37.5 36(1)(1)任一时刻有任一时刻有144至至160台机器正在工作的概率台机器正在工作的概率. . 37( (2) )设任一时刻正在工作的机器的台数不超过设任一时刻正在工作的机器的台数不超过m,则则由由3 原则知原则知，查标准正态函数分布表，得查标准正态函数分布表，得 41思考题思考题 对于一个学生而言，来参加家长会的家长人对于一个学生而言，来参加家长会的家长人数是一个随机变量，设一个学生无家长、数是一个随机变量，设一个学生无家长、1名家长、名家长、2名家长来参加会议的概率分别为名家长来参加会议的概率分别为0.05、0.8、0.15.若若学校共有学校共有400名学生名学生,设各学生参加会议的家长数相互设各学生参加会议的家长数相互独立独立,且服从同一分布且服从同一分布.(1)求参加会议的家长数求参加会议的家长数X超过超过450的概率的概率.(2)(2) 求有求有1名家长来参加会议的学生数不多于名家长来参加会议的学生数不多于340的概率的概率. 45作业作业P145 练习5.2 1. 2. 3. 4.P145习题五
