《数学第三章 导数及其应用 第一节 变化率与导数、导数的计算 文》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数学第三章 导数及其应用 第一节 变化率与导数、导数的计算 文（40页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第一节变化率与导数、导数的计算总纲目录教材研读1.函数y=f(x)从从x1到到x2的平均变化率的平均变化率2.函数函数y=f(x)在在x=x0处的导数处的导数3.函数函数f(x)的导函数的导函数4.基本初等函数的导数公式基本初等函数的导数公式5.导数的运算法则导数的运算法则考点突破考点二导数的几何意义考点一导数的运算考点三两条曲线的公切线1.函数函数y=f(x)从从x1到到x2的平均变化率的平均变化率函数y=f(x)从x1到x2的平均变化率为,若x=x2-x1,y=f(x2)-f(x1),则平均变化率可表示为.教材研读教材研读2.函数函数y=f(x)在在x=x0处的导数处的导数(1)定义称函数
2、y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率=为函数y=f(x)在x=x0处的导数,记作f(x0)或y,即f(x0)=.(2)几何意义函数f(x)在点x0处的导数f(x0)的几何意义是在曲线y=f(x)上点(x0,f(x0)处的切线的斜率切线的斜率.相应地,切线方程为y-f(x0)=f(x0)(x-x0).3.函数函数f(x)的导函数的导函数称函数f(x)=为f(x)的导函数,导函数有时也记作y.4.基本初等函数的导数公式基本初等函数的导数公式原函数导函数f(x)=C(C为常数)f(x)=0f(x)=x(N*)f(x)=x-1f(x)=sinxf(x)=cosxf(x)=cosxf(x)=-sinxf
3、(x)=ax(a0,且a1)f(x)=axlnaf(x)=exf(x)=exf(x)=logax(a0,且a1)f(x)=f(x)=lnxf(x)=5.导数的运算法则导数的运算法则(1)f(x)g(x)=f(x)g(x);(2)f(x)g(x)=f(x)g(x)+f(x)g(x);(3)=(g(x)0).1.有一机器人的运动方程为s(t)=t2+(t是时间,s是位移),则该机器人在时刻t=2时的瞬时速度为()A.B.C.D.答案答案D由题意知,机器人的速度方程为v(t)=s(t)=2t-,故当t=2时,机器人的瞬时速度为v(2)=22-=.B2.函数y=xcosx-sinx的导数为()A.xs
4、inxB.-xsinxC.xcosxD.-xcosx答案答案By=xcosx+x(cosx)-(sinx)=cosx-xsinx-cosx=-xsinx.B3.函数y=f(x)的图象如图,则导函数f(x)的大致图象为()答案答案B由导数的几何意义可知,f(x)为常数,且f(x)0)上点P处的切线垂直,则点P的坐标为.(1,1)答案答案(1,1)解析解析函数y=ex的导函数为y=ex,曲线y=ex在点(0,1)处的切线的斜率k1=e0=1.设P(x0,y0)(x00),函数y=的导函数为y=-,曲线y=(x0)在点P处的切线的斜率k2=-,由题意有k1k2=-1,即1=-1,解得=1,又x00,
5、x0=1.点P在曲线y=(x0)上,y0=1,故点P的坐标为(1,1).命题方向三求参数值命题方向三求参数值典例典例4已知直线y=x+b与曲线y=-x+lnx相切,则b的值为()A.2B.-1C.-D.1B答案答案B解析解析设切点为P(x0,y0),由y=-x+lnx,得y=-+.所以y=-+,依题意,-+=,所以x0=1,则P,又切点P在直线y=x+b上,所以-=+b,得b=-1.命题方向四判定函数的图象命题方向四判定函数的图象典例典例5如图,点A(2,1),B(3,0),E(x,0)(x0),过点E作OB的垂线l.记AOB在直线l左侧部分的面积为S,则函数S=f(x) 的 图 象 为 下
6、图 中 的()D答案答案D解析解析函数的定义域为0,+),当x0,2时,S=f(x)是随着x的增大而增大的,且增长速度越来越快,即函数S=f(x)在0,2上随着x的增大,图象上切线的斜率逐渐增大.当x2,3时,S=f(x)也是随着x的增大而增大的,但增长速度越来越慢,即函数S=f(x)在2,3上随着x的增大,图象上切线的斜率逐渐减小.当x3,+)时,面积S没有变化.规律总结规律总结导数的几何意义的应用及求解思路(1)求切线方程时,注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线,曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0)处的切线方程是y-f(x0)=f(x0)(x-x0);求过某点的切线方程,需先设
7、出切点坐标,再依据已知点在切线上求解.(2)已知切线方程(或斜率)求切点的一般思路是先求函数的导数,然后让导数等于切线的斜率,从而求出切点的横坐标,将横坐标代入函数解析式求出切点的纵坐标.(3)已知切线方程(或斜率)求参数值的关键就是列出函数的导数等于切线斜率的方程.(4)函数图象在某一点处的切线斜率的变化情况反映函数图象在相应点处的变化情况,由切线的倾斜程度可以判断出函数图象升降的快慢.提醒求曲线y=f(x)过点P(x0,y0)的切线方程时,点P(x0,y0)不一定是切点.2-1(2017广东广州综合测试(一)设函数f(x)=x3+ax2,若曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0)处的切线方
8、程为x+y=0,则点P的 坐 标 为()A.(0,0)B.(1,-1)C.(-1,1)D.(1,-1)或(-1,1)D答案答案D由f(x)=x3+ax2得f(x)=3x2+2ax,记y0=f(x0),由题意可得由可得+a=-x0,即x0(+ax0+1)=0.由可得3+2ax0+1=0.由可得x00,所以式可化为+ax0+1=0.由可得x0=1,代入式得或即点P的坐标为(1,-1)或(-1,1).故选D.2-2已知函数f(x)=(x2+ax-1)ex(其中e是自然对数的底数,aR),若f(x)在(0,f(0)处的切线与直线x+y-1=0垂直,则a=()A.1B.-1C.2D.-2答案答案Cf(x
9、)=(x2+ax-1)ex+(x2+ax-1)(ex)=(2x+a)ex+(x2+ax-1)ex=x2+(a+2)x+(a-1)ex,故f(0)=02+(a+2)0+(a-1)e0=a-1.因为f(x)在(0,f(0)处的切线与直线x+y-1=0垂直,故f(0)=1,即a-1=1,解得a=2.C2-3函数y=f(x),y=g(x)的导函数的图象如图所示,则y=f(x),y=g(x)的图象可 能 是()答案答案D由y=f(x)的图象知y=f(x)在(0,+)上单调递减,所以函数y=f(x)的切线的斜率在(0,+)上也单调递减,故排除A、C.又由图象知y=f(x)与y=g(x)的图象在x=x0处相
10、交,所以y=f(x)与y=g(x)的图象在x=x0处的切线的斜率相同,故排除B.典例典例6(2015课标全国,16,5分)已知曲线y=x+lnx在点(1,1)处的切线与曲线y=ax2+(a+2)x+1相切,则a=.考点三考点三两条曲线的公切线两条曲线的公切线8答案答案8解析解析令f(x)=x+lnx,求导得f(x)=1+,f(1)=2,又f(1)=1,所以曲线y=x+lnx在点(1,1)处的切线方程为y-1=2(x-1),即y=2x-1.设直线y=2x-1与曲线y=ax2+(a+2)x+1的切点为P(x0,y0),则y=2ax0+a+2=2,得a(2x0+1)=0,a=0或x0=-,又a+(a
11、+2)x0+1=2x0-1,即a+ax0+2=0,当a=0时,显然不满足此方程,x0=-,此时a=8.方法技巧方法技巧求两条曲线的公切线的方法(1)利用其中一条曲线在某点处的切线与另一条曲线相切,列出关系式求解.(2)利用公切线得出关系式.设公式线l在y=f(x)上的切点P1(x1,y1),在y=g(x)上的切点P2(x2,y2),则f(x1)=g(x2)=.同类练同类练曲线f(x)=ax-在x=2处的切线与曲线y=xlnx相切,则a=.答案答案解析解析由f(x)=ax-,得f(x)=a+,所以f(2)=a+,所以曲线y=f(x)在x=2处的切线方程为y-=(x-2),即y=x-1.设曲线y=
12、f(x)在x=2处的切线与曲线y=xlnx相切于(x0,x0lnx0),由y=xlnx,得y=lnx+1,y=lnx0+1,所以曲线y=xlnx在x=x0处的切线方程为y-x0lnx0=(lnx0+1)(x-x0),即y=(lnx0+1)x-x0.由题意得解得变式练变式练曲线f(x)=ex在x=0处的切线与曲线g(x)=ax2-a(a0)相切于点P,则过点P且与该切线垂直的直线方程为.x+y+1=0答案答案x+y+1=0解析解析曲线f(x)在x=0处的切线方程为y=x+1.设点P的坐标为(x0,a-a),则g(x0)=2ax0=1,且a-a=x0+1.解得x0=-1,a=-,切点的坐标为(-1,0).过点P且与该切线垂直的直线方程为y=-(x+1),即x+y+1=0.深化练深化练曲线y=lnx的切线l:x-y+m=0与曲线y=x2+a也相切,则ma=.答案答案解析解析设直线l:x-y+m=0与曲线y=lnx相切于点(x0,lnx0).由y=lnx得y=,y=1.x0=1.切点为(1,0),则1-0+m=0,m=-1,即曲线y=x2+a与直线x-y-1=0相切.由消去y,得x2-x+a+1=0,=(-1)2-4(a+1)=0,a=-,ma=(-1)=.
