《平面问题有限元解法公式推导讲解学习教案》由会员分享，可在线阅读，更多相关《平面问题有限元解法公式推导讲解学习教案（64页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、会计学1平面问题平面问题(wnt)有限元解法公式推导讲有限元解法公式推导讲解解第一页，共64页。2024/8/15有限元单元法基本有限元单元法基本有限元单元法基本有限元单元法基本(jbn)(jbn)(jbn)(jbn)思想思想思想思想n n有限单元法的思想是将物体（连续的求解域）离散成有限个且按有限单元法的思想是将物体（连续的求解域）离散成有限个且按一定方式相互联结在一起的单元组合，来模拟或逼近原来的物体，一定方式相互联结在一起的单元组合，来模拟或逼近原来的物体，从而将一个连续的无限自由度问题简化为离散的有限自由度问题从而将一个连续的无限自由度问题简化为离散的有限自由度问题求解的一种数值分析法
2、。物体被离散后，通过对其中各个单元进求解的一种数值分析法。物体被离散后，通过对其中各个单元进行单元分析，最终得到对整个物体的分析。行单元分析，最终得到对整个物体的分析。n n有限单元法的分析步骤有限单元法的分析步骤(bzhu)(bzhu)如下：如下：n n物体离散化物体离散化n n单元特性分析单元特性分析n n单元组集，整体分析单元组集，整体分析n n求解未知节点的位移求解未知节点的位移n n由节点的位移求解各单元的位移和应力由节点的位移求解各单元的位移和应力第1页/共63页第二页，共64页。2024/8/15n n基本变量基本变量uun n（位移）（位移）（应变）（应变）（应力）（应力）n
3、n基本方程基本方程n n力的平衡方程力的平衡方程n n几何方程几何方程n n物理物理(wl)(wl)方程方程n n求解方法求解方法n n经典解析经典解析n n半解析半解析n n传统数值解法传统数值解法n n现代数值解法（计算机硬件、规范化、标准化、规模化）现代数值解法（计算机硬件、规范化、标准化、规模化）物体变形物体变形物体变形物体变形(binxng)(binxng)(binxng)(binxng)及受力情况的描述及受力情况的描述及受力情况的描述及受力情况的描述三大(sn d)方面三大方程即： =E E 弹性模量第2页/共63页第三页，共64页。2024/8/15有限元单元模型中几个有限元单元
4、模型中几个有限元单元模型中几个有限元单元模型中几个(j)(j)(j)(j)重要概念重要概念重要概念重要概念n n单元单元n n网格划分中每一个小的块体网格划分中每一个小的块体n n节点节点n n确定单元形状、单元之间相互联结确定单元形状、单元之间相互联结的点的点n n节点力节点力n n单元上节点处的结构内力单元上节点处的结构内力n n载荷载荷n n作用在单元节点上的外力作用在单元节点上的外力n n（集中力、分布力）（集中力、分布力）n n约束约束(yush)(yush)n n限制某些节点的某些自由度限制某些节点的某些自由度n n弹性模量（杨式模量）弹性模量（杨式模量）E En n泊松比（横向变
5、形系数）泊松比（横向变形系数） n n密度密度单元单元(dnyun)单元单元载荷节点节点力约束第3页/共63页第四页，共64页。2024/8/15平面问题平面问题平面问题平面问题(wnt)(wnt)(wnt)(wnt)有限单元法基本概念有限单元法基本概念有限单元法基本概念有限单元法基本概念n n有限单元法有限单元法(FEM)(FEM)是是2020世纪世纪5050年代以来随着计算机的广泛应用而发展起来的年代以来随着计算机的广泛应用而发展起来的一种数值解法。简单地说，就是用结构力学方法求解弹性力学问题。一种数值解法。简单地说，就是用结构力学方法求解弹性力学问题。n n平面问题的有限单元法求解平面问
6、题的有限单元法求解n n将连续体变换成为离散将连续体变换成为离散(lsn)(lsn)化结构。即将连续体划分为有限多个有限大化结构。即将连续体划分为有限多个有限大小的单元，这些单元仅在一些结点连接起来，构成一个所谓离散小的单元，这些单元仅在一些结点连接起来，构成一个所谓离散(lsn)(lsn)化化结构。（对于平面问题，常用的单元是三角形单元）结构。（对于平面问题，常用的单元是三角形单元）n n用结构力学方法进行求解用结构力学方法进行求解第4页/共63页第五页，共64页。2024/8/15有限元单元有限元单元有限元单元有限元单元(dnyun)(dnyun)(dnyun)(dnyun)法分析步骤（一
7、）法分析步骤（一）法分析步骤（一）法分析步骤（一）n n结构离散化结构离散化n n 将结构分成有限将结构分成有限(yuxin)(yuxin)个小的单元体，单元与单元、单元与个小的单元体，单元与单元、单元与边界之间通过节点连接。结构的离散化是有限边界之间通过节点连接。结构的离散化是有限(yuxin)(yuxin)元法分元法分析地第一步，关系到计算精度和效率，包括以下三个方面：析地第一步，关系到计算精度和效率，包括以下三个方面：n n单元类型的选择。选定单元类型，确定单元形状、单元节点数、单元类型的选择。选定单元类型，确定单元形状、单元节点数、节点自由度数等。节点自由度数等。n n单元划分。网格划
8、分越细，节点越多，计算结果越精确，但计算单元划分。网格划分越细，节点越多，计算结果越精确，但计算量越大。网格加密到一定程度后计算精度提高就不明显，对应应量越大。网格加密到一定程度后计算精度提高就不明显，对应应力变化平缓区域不必要细分网格。力变化平缓区域不必要细分网格。n n节点编码。节点编码。n nn n注意：有限注意：有限(yuxin)(yuxin)元分析的结构已不是原有的物体或结元分析的结构已不是原有的物体或结构物，而是由同样材料、众多单元以一定方式连接成的离散物体。构物，而是由同样材料、众多单元以一定方式连接成的离散物体。所以，用有限所以，用有限(yuxin)(yuxin)元分析计算所获
9、得的结果是近似的（满元分析计算所获得的结果是近似的（满足工程要求即可）。足工程要求即可）。第5页/共63页第六页，共64页。2024/8/15有限元单元有限元单元有限元单元有限元单元(dnyun)(dnyun)(dnyun)(dnyun)法分析步骤（二）法分析步骤（二）法分析步骤（二）法分析步骤（二）n n单元特性分析单元特性分析n n 选择未知量模式选择未知量模式n n选择节点位移作为基本未知量时，称为位移法；选择节点位移作为基本未知量时，称为位移法；n n选节点力作为基本未知量时，称为力法；选节点力作为基本未知量时，称为力法；n n取一部分节点位移和一部分节点力作为未知量，称为混合法。取一
10、部分节点位移和一部分节点力作为未知量，称为混合法。n n分析单元力学性质分析单元力学性质n n根据单元材料性质、形状、尺寸、节点数目、位置等，找出单元节点根据单元材料性质、形状、尺寸、节点数目、位置等，找出单元节点力和节点位移关系式，应用几何方程和物理方程建立力和位移的方程力和节点位移关系式，应用几何方程和物理方程建立力和位移的方程式，从而导出单元刚度矩阵式，从而导出单元刚度矩阵(jzhn)(jzhn)。n n计算等效节点力计算等效节点力n n作用在单元边界上的表面力、体积力或集中力都需要等效地移到节点作用在单元边界上的表面力、体积力或集中力都需要等效地移到节点上去，即用等效力来替代所有作用在
11、单元上的力。上去，即用等效力来替代所有作用在单元上的力。第6页/共63页第七页，共64页。2024/8/15有限元单元有限元单元有限元单元有限元单元(dnyun)(dnyun)(dnyun)(dnyun)法分析步骤（三）法分析步骤（三）法分析步骤（三）法分析步骤（三）n n整体分析整体分析n n集成整体节点载荷矢量集成整体节点载荷矢量 F F 。结构。结构(jigu)(jigu)离散离散化后，单元之间通过节点传递力，作用在单元化后，单元之间通过节点传递力，作用在单元边界上的表面力、体积力或集中力都需要等效边界上的表面力、体积力或集中力都需要等效地移到节点上去，形成等效节点载荷。将所有地移到节点
12、上去，形成等效节点载荷。将所有节点载荷按照整体节点编码顺序组集成整体节节点载荷按照整体节点编码顺序组集成整体节点载荷矢量。点载荷矢量。n n组成整体刚度矩阵组成整体刚度矩阵K K ，得到总体平衡方程：，得到总体平衡方程：n n引进边界约束条件，解总体平衡方程求出节点引进边界约束条件，解总体平衡方程求出节点位移。位移。n n 通过上述分析可以看出有限单元法的基本思通过上述分析可以看出有限单元法的基本思想是想是“ “一分一合一分一合” ”，分是为了进行单元分析，分是为了进行单元分析，合是为了对整体的结构合是为了对整体的结构(jigu)(jigu)进行综合分析。进行综合分析。第7页/共63页第八页，
13、共64页。2024/8/15弹性弹性(tnxng)(tnxng)力学中的几个基力学中的几个基本概念本概念n作用于物体的外力可以分为体积力和表面力。n体力：分布在物体体积内的力，如重力、惯性力。n为了表明物体在某一点P所受体力的大小和方向，在这一点取物体的一小部分，它包含(bohn)P点，而它的体积为V，作用于其上的体力为F，则体力的平均集度为F/ V。当V不断减小，假定体力为连续分布，则F/ V将趋于一定的极限f，即:n这个极限(jxin)矢量f就是该物体在P点所受体力在集度。 f的方向就是F的方向，矢量f在坐标轴x,y,z上的投影fx,fy,fz称为该物体在P点的体力分量，以沿坐标轴正方向为
14、正，沿坐标轴负方向为负。第8页/共63页第九页，共64页。2024/8/15弹性弹性(tnxng)(tnxng)力学中的几个基力学中的几个基本概念本概念n面力：分布在物体表面上的力，如流体压力和接触力。n为了表明物体在某一点P所受面力的大小和方向，在这一点取物体表面的一小部分，它包含P点，而它的面积为S，作用于其上的面力为F，则面力的平均集度为F/ S。当S不断(bdun)减小，假定体力为连续分布，则F/ S将趋于一定的极限 ，即:n这个极限矢量 就是该物体在P点所受面力在集度。 的方向就是F的方向，矢量 在坐标轴x,y,z上的投影(tuyng) 称为该物体在P点的面力分量，以沿坐标轴正方向为
15、正，沿坐标轴负方向为负。第9页/共63页第十页，共64页。2024/8/15弹性弹性(tnxng)(tnxng)力学中应力的方力学中应力的方向规定向规定n n每一个面上的应力可以分解每一个面上的应力可以分解(fnji)(fnji)为一个正应力和两个切应力。为一个正应力和两个切应力。n n正应力用正应力用 表示，加上一个下标字母，表示作用面和作用方向。表示，加上一个下标字母，表示作用面和作用方向。n n切应力用切应力用 表示，并加上两个下标字母，表示作用面和作用方向。表示，并加上两个下标字母，表示作用面和作用方向。前一个字母表示作用面垂直于哪一个坐标轴，后一个字母表示作前一个字母表示作用面垂直于
16、哪一个坐标轴，后一个字母表示作用方向沿着哪一个坐标轴。用方向沿着哪一个坐标轴。第10页/共63页第十一页，共64页。2024/8/15弹性力学中的弹性力学中的基本基本(jbn)(jbn)假假定定n n连续性连续性假定整个物体的体积都被组成这个物体的介质假定整个物体的体积都被组成这个物体的介质所填满，不留任何空隙。所填满，不留任何空隙。n n完全弹性完全弹性假定物体在引起形变的外力被除去之后能恢假定物体在引起形变的外力被除去之后能恢复原形，而没有任何剩余形变。复原形，而没有任何剩余形变。n n均匀性均匀性假定整个物体有同一假定整个物体有同一(tngy)(tngy)材料组成的，物材料组成的，物体的
17、所有各部分具有相同的弹性。体的所有各部分具有相同的弹性。n n各向同性各向同性假定物体的弹性在所有各个方向都相同。假定物体的弹性在所有各个方向都相同。n n小变形小变形假定位移和形变是微小的，物体受力之后，整假定位移和形变是微小的，物体受力之后，整个物体所有各点的位移都远远小于物体原来的尺寸，因而个物体所有各点的位移都远远小于物体原来的尺寸，因而应变和转角都远小于应变和转角都远小于1 1。第11页/共63页第十二页，共64页。2024/8/15平面平面(pngmin)(pngmin)问题的基本理论问题的基本理论n n任何一个实际的弹性力学问题都是空间问题，但是如果所考察的弹性体具有某种特殊的形
18、状(xngzhun)，并且承受的是某些特殊的外力和约束，就可以把空间问题简化为近似的平面问题。n n两种典型的平面问题n n平面应力问题n n平面应变问题第12页/共63页第十三页，共64页。2024/8/15n由于板很薄，外力不沿厚度变化，应力沿板的厚度又是连续分布的，所以可以(ky)认为在整个薄板的所有各点：n只剩下平行于xy面的三个平面应力分量，即：n这种问题成为平面应力问题。平面应力平面应力(yngl)(yngl)问题问题n n设有很薄的等厚度薄板，只在板边上受有平设有很薄的等厚度薄板，只在板边上受有平行于板面并不沿厚度变化的面力或约束。同行于板面并不沿厚度变化的面力或约束。同时，体力
19、也平行于板面不沿厚度变化。时，体力也平行于板面不沿厚度变化。n n设薄板的厚度为设薄板的厚度为 。以薄板的中面为。以薄板的中面为xyxy面，面，以垂直于中面的任何以垂直于中面的任何(rnh)(rnh)一直线为一直线为z z轴。轴。所以有：所以有：第13页/共63页第十四页，共64页。2024/8/15n只剩下(shn xi)平行于xy面的三个形变分量，即：n这种问题成为平面应变问题。n由于z方向的位移(wiy)处处为0，所以： ，由于z方向的伸缩被阻止，一般平面平面(pngmin)(pngmin)应变问应变问题题n n设有很长的柱形体，它的横截面不沿长度变化，设有很长的柱形体，它的横截面不沿长
20、度变化，在柱面上受有平行于横截面而且不沿长度变化的在柱面上受有平行于横截面而且不沿长度变化的面力或约束。同时，体力也平行于横截面不沿长面力或约束。同时，体力也平行于横截面不沿长度变化。度变化。n n假想该柱体为无限长，以任一横截面为假想该柱体为无限长，以任一横截面为xyxy面，以任一面，以任一纵线为纵线为z z轴，则所有一切应力分量、形变分量轴，则所有一切应力分量、形变分量和位移分量都不沿和位移分量都不沿z z方向变化，而只是方向变化，而只是xyxy的函数，的函数，所有各点的位移矢量都平行于所有各点的位移矢量都平行于xyxy面，这种问题称面，这种问题称为平面位移问题。为平面位移问题。n由对称条
21、件可知：n由胡克定律，相应的切应变：第14页/共63页第十五页，共64页。2024/8/15三大三大三大三大(snd)(snd)(snd)(snd)基本方程基本方程基本方程基本方程n n根据静力学、几何学和物理学三方面条件，建根据静力学、几何学和物理学三方面条件，建立三套方程。立三套方程。n n平面问题中，根据微分体的平衡条件，建立平平面问题中，根据微分体的平衡条件，建立平衡微分方程衡微分方程(wi fn fn chn)(wi fn fn chn)：n n (1-1)(1-1)n n根据微分线段上形变与位移之间的几何关系，根据微分线段上形变与位移之间的几何关系，建立几何方程：建立几何方程：n
22、n n n (1-2) (1-2) n n根据应力与形变之间的物理关系，建立物理方根据应力与形变之间的物理关系，建立物理方程：程：n n (1-3) (1-3)n n (1-3)(1-3)第15页/共63页第十六页，共64页。2024/8/15平衡平衡(pnghng(pnghng) )微分方程微分方程n n从弹性体中取出一个微分体，根据平衡从弹性体中取出一个微分体，根据平衡(pnghng)(pnghng)条件导出应力分量与体力分量之间条件导出应力分量与体力分量之间的关系式，也就是平面问题的平衡的关系式，也就是平面问题的平衡(pnghng)(pnghng)微分方程。微分方程。n n从弹性体中取出
23、一个微小的正平行六面体，它从弹性体中取出一个微小的正平行六面体，它在在x x和和y y方向的尺寸分别为方向的尺寸分别为dxdx和和dydy，在，在z z方向的方向的尺寸为一个单位长度。尺寸为一个单位长度。n以x为投影(tuyng)轴，列出投影(tuyng)的平衡方程：n约简以后，两边除以dxdy，得：n同理，以y为投影轴，列出投影的平衡方程，化简得：第16页/共63页第十七页，共64页。2024/8/15n假定已知任一点P处坐标面上的应力分量x， y ，x y = y x 。求经过该点的，平行于z轴而倾斜(qngxi)于x轴和 y轴的任何倾斜(qngxi)面上应力。n从在P点附近取一个平面AB
24、，它平行于上述斜面，并经过P点划出一个微小的三棱柱PAB。当AB无限小而趋于P点时，平面AB上的应力就成为斜面上的应力。平面问题中一点平面问题中一点(y(ydin)din)的应力状态的应力状态n设斜面(ximin)AB 的长度为ds，则PB面及A面的长度分别为 lds及mds，而PAB的面积为 ldsmds/2，棱柱的厚度设为1。n由x轴平衡条件，得：n其中，fx为体力分量。将上式除以ds，并令ds趋于0（斜面AB趋于P点），即得：n由y轴平衡条件，得：n用n表示斜面AB的外法线方向，其方向余弦为：第17页/共63页第十八页，共64页。2024/8/15几何几何几何几何(jh)(jh)(jh)
25、(jh)方方方方程程程程n n经过弹性体内的任意一点经过弹性体内的任意一点P P，沿，沿x x轴和轴和y y轴的正方向取两个微小长轴的正方向取两个微小长度的线段度的线段(xindun)PA(xindun)PAdxdx和和PBPBdydy。假定弹性体受力后，。假定弹性体受力后，P,A,BP,A,B三点分别移动到三点分别移动到P,A,B.P,A,B.n线段(xindun)PA的线应变是：注:由于位移微小，y方向的位移v引起的PA的伸缩，是高一阶微量，略去不计。n线段PB的线应变是：n线段PA与 PB之间的直角的改变，即切应变n线段PA的转角是：n线段PB的转角是：第18页/共63页第十九页，共64
26、页。2024/8/15物理物理(wl)(wl)方程方程n n在理想的弹性体中，形变分量和应力分量之间的关系在理想的弹性体中，形变分量和应力分量之间的关系(gun x)(gun x)，在材料力学根据，在材料力学根据胡克定律导出如下：胡克定律导出如下：n在平面应力(yngl)问题中，z0，式变为：n在平面应变问题中，只要将上式中的E换为 ，换为 就得到平面应变问题的物理方程。第19页/共63页第二十页，共64页。2024/8/15边界条件边界条件q若在su部分边界上给定了约束位移分量 和 ，则对于此边界上的每一点，位移函数u和v应满足条件：q其中（u）s 和 （v）s 是位移的边界值， 和 在边界
27、上是坐标的已知函数。n边界条件表示在边界上位移与约束，或应力与面力之间的关系式。它可以(ky)分为位移边界条件、应力边界条件和混合边界条件。q位移(wiy)边界条件：q应力(yngl)边界条件：q若在su部分边界上给定了面力 和 ，则由平衡条件得出平面应力问题的应力(或面力）边界条件为：其中，l,m是边界面外法线的方向余弦。第20页/共63页第二十一页，共64页。2024/8/15圣维南原理圣维南原理圣维南原理圣维南原理(yunl)(yunl)(yunl)(yunl)n n在求解弹性力学问题时，应力分量、形变分量和位移分量必须满足在求解弹性力学问题时，应力分量、形变分量和位移分量必须满足区域内
28、的三套基本方程，还必须满足边界上的边界条件。但是，要区域内的三套基本方程，还必须满足边界上的边界条件。但是，要使边界条件得到完全满足，往往遇到很大的困难。使边界条件得到完全满足，往往遇到很大的困难。n n圣维南原理可为简化局部边界上的应力边界条件提供很大方便。圣维南原理可为简化局部边界上的应力边界条件提供很大方便。n n圣维南原理表明，如果把物体的一小部分边界上的面力，变换为分圣维南原理表明，如果把物体的一小部分边界上的面力，变换为分布不同但静力等效的面力（主矢相同，对同一点的主矩也相同），布不同但静力等效的面力（主矢相同，对同一点的主矩也相同），那么，近处的应力分布将有显著的改变那么，近处的
29、应力分布将有显著的改变(gibin)(gibin)，但是远处所受的，但是远处所受的影响可以不计。影响可以不计。第21页/共63页第二十二页，共64页。2024/8/15圣维南原理圣维南原理(yunl)(yunl)的应用的应用n n例，设有柱形构件，在两端截面的形例，设有柱形构件，在两端截面的形心受到大小相等而方向相反的拉力心受到大小相等而方向相反的拉力F F（a a）。如果把一端或两端的拉力变）。如果把一端或两端的拉力变换换(binhun)(binhun)为静力等效的力，则只为静力等效的力，则只有虚线划出的部分的应力分布有显著有虚线划出的部分的应力分布有显著的改变，而其余部分所受影响是可以的改
30、变，而其余部分所受影响是可以不计的。不计的。n由于（d）图中，面力连续(linx)分布，边界条件简单，应力容易求得。其它三种情况，应力难以求得。把d情况下的应力解答应用到其它三个情况，虽不能满足两端的应力边界条件，但仍然可以表明离杆端较远处的应力状态，而没有显著的误差。n图e，构件右端有位移边界条件， ，d情况的解答，不能满足位移边界条件，但e图右端的面力，一定是合成为经过截面形心的力F。所以把图d情况的解答应用于图e时，仍然只是在靠近两端处有显著的误差，而在离两端较远之处，误差可以不计。第22页/共63页第二十三页，共64页。2024/8/15圣维南原理圣维南原理(yunl)(yunl)的的
31、应用应用( (续续) )n n例，厚度例，厚度(hud)=1(hud)=1的梁中，左右两端的梁中，左右两端x=lx=l，的边界面是正、负，的边界面是正、负x x面，面，其上作用有一般分布的面力其上作用有一般分布的面力 。按照严格的应力边界条件，。按照严格的应力边界条件，应力分量在边界上满足：应力分量在边界上满足：n上式要求在边界上y值不同的各点，应力分量与对应的面力分量必须处处相等(xingdng)，这种严格的条件是较难满足的。n当1h时， x=l 是梁的边界的一小部分，可以应用圣维南原理，利用静力等效条件来代替，即，使应力的主矢量和主矩分别等于对应的面力的主矢量和主矩。第23页/共63页第二
32、十四页，共64页。2024/8/15圣维南原理圣维南原理(yunl)(yunl)的的应用应用( (续续) )n应力的主矢量和主矩的绝对值分别(fnbi)等于面力的主矢量和主矩的绝对值；n面力的主矢量和主矩的方向就是应力的主矢量和主矩的方向。第24页/共63页第二十五页，共64页。2024/8/15有限有限有限有限(yuxin)(yuxin)(yuxin)(yuxin)单元法中基本量的矩阵表示单元法中基本量的矩阵表示单元法中基本量的矩阵表示单元法中基本量的矩阵表示n n有限单元法有限单元法(FEM)(FEM)中，为了简洁清晰地表示各个中，为了简洁清晰地表示各个基本量以及它们之间的关系，也为了便于
33、编制程基本量以及它们之间的关系，也为了便于编制程序利用计算机进行计算，广泛序利用计算机进行计算，广泛(gungfn)(gungfn)采用矩采用矩阵表示和矩阵运算。阵表示和矩阵运算。n n平面问题中，物体受体力，可用体力列阵表示：平面问题中，物体受体力，可用体力列阵表示：n n (1)(1)n n物体受面力，可用面力列阵表示：物体受面力，可用面力列阵表示：n n (2) (2) n n3 3个应力分量的应力列阵表示：个应力分量的应力列阵表示： (3)(3)n n3 3个形变分量的应变列阵表示：个形变分量的应变列阵表示： (4)(4)n n2 2个位移分量的位移列阵表示：个位移分量的位移列阵表示：
34、 (5)(5)第25页/共63页第二十六页，共64页。2024/8/15弹性力学中基本方程的矩阵弹性力学中基本方程的矩阵弹性力学中基本方程的矩阵弹性力学中基本方程的矩阵(jzhn)(jzhn)(jzhn)(jzhn)表示表示表示表示n n几何方程的矩阵表示为：几何方程的矩阵表示为：n n (6) (6)n n物理方程矩阵表示为：物理方程矩阵表示为：n n (7) (7)n n 利用应力列阵利用应力列阵(li zhn)(li zhn)和应变列阵和应变列阵(li zhn)(li zhn)（3 3）、（）、（4 4）得：）得：n n (8) (8)n n其中矩阵其中矩阵n n (9) (9)只于弹性
35、常数(chngsh)E及有关，称为平面问题的弹性矩阵。第26页/共63页第二十七页，共64页。2024/8/15虚位移原理虚位移原理(yunl)(yunl)n n用用u*u*和和v*v*表示虚位移，用表示虚位移，用 表示与该虚位移相应表示与该虚位移相应(xingyng)(xingyng)的虚应变。的虚应变。n n根据虚功方程：在虚位移过程中，外力在虚位移上所做的虚功等于应根据虚功方程：在虚位移过程中，外力在虚位移上所做的虚功等于应力在虚应变上所做的虚功。力在虚应变上所做的虚功。n n对于厚度为对于厚度为t t的薄板，虚功方程可用矩阵表示为：的薄板，虚功方程可用矩阵表示为：n其中， 分别为体力(
36、tl)列阵，面力列阵和应力列阵。为虚位移列阵为虚应变列阵n有限单元法中，作用于弹性体的各种外力常以作用于某些点的等效集中力来代替。在厚度为t的薄板上，设作用于i点的集中力沿x及y方向的分量为Fix, Fiy,作用于j点的力为Fjx, Fjy等。这些集中力以及它们相应的虚位移用列阵表示为：第27页/共63页第二十八页，共64页。2024/8/15虚位移原理虚位移原理虚位移原理虚位移原理(yunl)(yunl)(yunl)(yunl)(续续续续) ) ) )n代入虚功(x n)方程，得：n 上式为集中力作用(zuyng)下的虚功方程。n集中力列阵 （13）n虚位移列阵 （14）n外力在虚位移上所做
37、的功为：第28页/共63页第二十九页，共64页。2024/8/15（1 1）取三角形单元的结点位移为基本位置）取三角形单元的结点位移为基本位置(wi zhi)(wi zhi)量：量： (a) (a)其中，其中， 称为单元的结点位移列阵；称为单元的结点位移列阵；（2 2）应用插值公式，由单元结点位移求出单元的位移函数：）应用插值公式，由单元结点位移求出单元的位移函数： (b) (b)其中，其中，N N称为形函数矩阵；称为形函数矩阵；（3 3）应用几何方程，由单元的结点位移求出单元的应变：）应用几何方程，由单元的结点位移求出单元的应变： (c) (c) 其中，其中，B B是表示是表示 与与 之间关
38、系的矩阵；之间关系的矩阵； 三角形单元离散化结构三角形单元离散化结构三角形单元离散化结构三角形单元离散化结构(jigu)(jigu)(jigu)(jigu)分析步骤分析步骤分析步骤分析步骤第29页/共63页第三十页，共64页。2024/8/15 (f)其中，Fe 是单元的结点(ji din)力， k称为单元劲度列阵； 对三角形板单元(dnyun)，节点力为： (e) （5）应用虚功方程，由单元的结点应力(yngl)求出单元的结点力。假设把单元和节点切开，对右图中的i节点：节点对单元的作用力为节点力， 作用于单元上。三角形单元离散化结构分析步骤三角形单元离散化结构分析步骤三角形单元离散化结构分析
39、步骤三角形单元离散化结构分析步骤( (续）续）续）续）（4 4）应用）应用物理方程物理方程，由单元的结，由单元的结点位移点位移求出单元的应力：求出单元的应力： (d)(d)其中，其中，S S称为称为应力转换矩阵应力转换矩阵； Fe是作用于单元的外力，此外，单元内部还作用有应力。根据虚功方程，可以将单元的节点力Fe用应力来表示，从而得到节点力的公式：第30页/共63页第三十一页，共64页。2024/8/15（7）列出各结点的平衡方程，组成整个(zhngg)结构的平衡方程组。由于节点i受有环绕节点的单元移置而来的节点载荷 和节点力 因而i节点的平衡方程为： （i=1,2,n） (h)三角形单元离散
40、化结构分析三角形单元离散化结构分析三角形单元离散化结构分析三角形单元离散化结构分析(fnx)(fnx)(fnx)(fnx)步骤步骤步骤步骤( ( ( (续）续）续）续）（6 6）应用虚功方程，将单元中的外力载）应用虚功方程，将单元中的外力载荷向结点荷向结点(ji din)(ji din)移置，化为结点移置，化为结点(ji din)(ji din)载荷（即求出单元的节点载载荷（即求出单元的节点载荷）：荷）： (g)(g) 将（f）代入（h），整理得： （j) 其中，K称为整体刚度矩阵，FL是整体结点载荷列阵，是整体结点位移列阵。 在上述求解步骤中，（2）至（6）是针对每个单元进行的，称为单元分析
41、； （7）是针对整个结构进行的称为整体分析。第31页/共63页第三十二页，共64页。n对三角形三个结点(ji din)i,j,m结点(ji din)，位移函数应当等于该节点的位移值，即： 三角形单元的位移三角形单元的位移三角形单元的位移三角形单元的位移(wiy)(wiy)(wiy)(wiy)模式模式模式模式n n对每个单元，只要求得单元中的位移函数，就可以应用几何方程求得应对每个单元，只要求得单元中的位移函数，就可以应用几何方程求得应变，再应用物理方程求得应力。有限单元法中常取结点位移为基本未知变，再应用物理方程求得应力。有限单元法中常取结点位移为基本未知量，由单元的结点位移求出单元中的位移函
42、数是首先必须解决量，由单元的结点位移求出单元中的位移函数是首先必须解决(jiju)(jiju)的问题。的问题。n n可以假定一个位移模式，来表示单元中的位移函数（即在单元中做出位可以假定一个位移模式，来表示单元中的位移函数（即在单元中做出位移插值函数）。三角形单元中，可以假定位移分量只是坐标的线性函数，移插值函数）。三角形单元中，可以假定位移分量只是坐标的线性函数，即假定：即假定：n6个方程解出1-6，代入u，v式整理得：其中：第32页/共63页第三十三页，共64页。2024/8/15三角形单元三角形单元三角形单元三角形单元(dnyun)(dnyun)(dnyun)(dnyun)的位移模式的位
43、移模式的位移模式的位移模式n nNiNi也可以也可以(ky)(ky)该写该写成为：成为：其中(qzhng)系数ai,bi,ci是：其中A就等于三角形ijm的面积：n 按照解析几何学，在图示的坐标系中，为了得出的面积A不致成为负值，节点i，j，m的次序必须是逆时针转向的。n Ni，Nj，Nm这三个函数，表明了单元ijm的位移次形态（也就是位移在单元内的变化规律），因而称为形态函数，简称形函数。第33页/共63页第三十四页，共64页。2024/8/15三角形单元三角形单元三角形单元三角形单元(dnyun)(dnyun)(dnyun)(dnyun)的位移模式的位移模式的位移模式的位移模式n n位移模
44、式位移模式(msh)(msh)的表示式可用矩阵表示的表示式可用矩阵表示为：为：简写(jinxi)为：其中是单元的节点位移列阵。是形态函数矩阵或形函数矩阵。n有限单元法中，应力转换矩阵和劲度矩阵的建立以及载荷的移置等，都依赖于位移模式。第34页/共63页第三十五页，共64页。2024/8/15简写(jinxi)为：其中矩阵B可写成分块形式： 其子矩阵为：单元的应变列阵单元的应变列阵单元的应变列阵单元的应变列阵(lizhn)(lizhn)(lizhn)(lizhn)和应力列阵和应力列阵和应力列阵和应力列阵(lizhn)(lizhn)(lizhn)(lizhn)n n利用几何方程和物理方程，求出单元
45、利用几何方程和物理方程，求出单元(dnyun)(dnyun)中的应变和应力，用结点位移表示：中的应变和应力，用结点位移表示：n n将位移函数将位移函数(16)(16)和和(18)(18)代入几何方程代入几何方程(6)(6)，得出用结点位移表示单元，得出用结点位移表示单元(dnyun)(dnyun)应变。应变。第35页/共63页第三十六页，共64页。2024/8/15n将D表达式(9)和B表达式(27)代入上式，并写成分块形式，即得到平面应力问中的应力转换(zhunhun)矩阵：单元单元单元单元(dnyun)(dnyun)(dnyun)(dnyun)的应力列阵（续）的应力列阵（续）的应力列阵（续
46、）的应力列阵（续）n n再将单元的应变再将单元的应变(yngbin)(yngbin)式式(26)(26)代入物理方程代入物理方程(8)(8)，得出用结点位移表示单元，得出用结点位移表示单元中应力的表达式。中应力的表达式。 其中子矩阵为：简写为：其中，第36页/共63页第三十七页，共64页。2024/8/15n由式(26)引起的虚应变为：n由于结点(ji din)力在虚位移上的虚功应当等于应力在虚应变上的虚功，即：n单元的结点单元的结点单元的结点单元的结点(jidin)(jidin)(jidin)(jidin)列阵与劲度矩阵列阵与劲度矩阵列阵与劲度矩阵列阵与劲度矩阵n n对于任一单元，均假设对于
47、任一单元，均假设(jish)(jish)所受的外力载荷已经被移置到结点上，并且所受的外力载荷已经被移置到结点上，并且单元已经切开，如右图所示：单元已经切开，如右图所示：n n单元只受到结点对单元的作用力，即结点力：单元只受到结点对单元的作用力，即结点力：n假想在结点i,j,m处发生了虚位移，即：对单元而言，这些结点力是外力，使单元内部产生应力。第37页/共63页第三十八页，共64页。n从而建立了单元结点力和结点位移之间的关系。对于三角形单元，B中的元素为常量。n并且 ，因此，k可简写为： n n k称为(chn wi)单元的劲度矩阵。单元单元单元单元(dnyun)(dnyun)(dnyun)(
48、dnyun)的结点列阵与劲度矩阵的结点列阵与劲度矩阵的结点列阵与劲度矩阵的结点列阵与劲度矩阵( ( ( (续）续）续）续）n n由于由于 中的元素中的元素(yun s)(yun s)是常量，并且虚位移的值可以是任意的：是常量，并且虚位移的值可以是任意的：n n 则则n将B和D表达式代入上式，得：令则式可以简写为第38页/共63页第三十九页，共64页。2024/8/15载荷向节点载荷向节点(ji(jidin)din)移置，单元的移置，单元的载荷列阵载荷列阵n n设单元设单元(dnyun)ijm(dnyun)ijm在坐标为（在坐标为（x x，y y）的任）的任意一点意一点M M，在单位厚度上受有集
49、中载荷，在单位厚度上受有集中载荷fPfP，其坐标方向的分量为其坐标方向的分量为fPxfPx和和fPyfPy，用矩阵表，用矩阵表示为示为fP=fP=（fPxfPyfPxfPy）T T，将此集中力移置，将此集中力移置到单元到单元(dnyun)(dnyun)的节点处，转换为节点载的节点处，转换为节点载荷，并且单元荷，并且单元(dnyun)(dnyun)节点载荷列阵表示节点载荷列阵表示为：为：n假想单元(dnyun)的各点发生了虚位移：n由位移模式，相应于集中力fP的作用点（x,y）的虚位移为：n集中载荷的移置第39页/共63页第四十页，共64页。2024/8/15载荷向节点移置载荷向节点移置(y(y
50、zh)zh)，单元的载荷列阵，单元的载荷列阵（续）（续）n由于虚位移可以是任意(rny)的，所以：n把N的表达式（25）代入上式，上式改写(gixi)为：其中， Ni, Nj, Nm，为它们在M点的函数值 ：n根据静力等效原则，节点载荷在节点虚位移上的虚功，等于原载荷集中力在其作用点的虚位移上的虚功，即：第40页/共63页第四十一页，共64页。2024/8/15载荷载荷(zih)(zih)向节点移置，向节点移置，单元的载荷单元的载荷(zih)(zih)列阵列阵（续）（续）n例，设单元ijm的密度(md)为，试求自重的等效节点载荷。n 分析：因为fx=0， fy = -g，故由式（43）得：n由
51、设上述单元受有分布的体力f=（ fx fy ）T，可将微分体积tdxdy上的体力ftdxdy当作集中力，利用（40）式积分(jfn)，得到：n体力的移置q注意单元的自重为-gtA，可见移置到每个节点的载荷均为1/3自重。第41页/共63页第四十二页，共64页。2024/8/15载荷向节点载荷向节点(jidin)(jidin)移置，单元的载荷列阵移置，单元的载荷列阵（续）（续）n由设上述单元的某一边上受有分布的面力 ，可将微分面积tds上的面力 当作集中载荷，利用（40）式积分，得到：n面力的移置(y zh)n例，设在ij边上受有沿x方向的均布面力q，试求等效节点载荷。 分析：因为 ，故由式（4
52、5）得：第42页/共63页第四十三页，共64页。2024/8/15注意：式(46)和(48）中的编码(bin m)i,j,m仅是每个单元的局部编码(bin m)，对于整个结构，则将结点的平衡方程按整体结点编码(bin m)1，2，n排列起来，就组成整个结构的结点平衡方程组：整体的结构分析整体的结构分析整体的结构分析整体的结构分析节点节点节点节点(jidin)(jidin)(jidin)(jidin)平衡方平衡方平衡方平衡方程组程组程组程组n因此(ync)，结点i的平衡方程是：n以上几节的分析都是针对单元进行的，即一将单元上的外力载荷都向节点移置而成为节点载荷；另一方面求出节点载荷与单元之间的相
53、互作用力，如左图所示。节点对单元的作用力是节点力，相反，单元对节点的作用力是节点力的负值。于是，作用于结点i上的力，有结点载荷FLi ，和结点力的负值，即：其中， 是对环绕结点i的单元求和，写成标量形式： 第43页/共63页第四十四页，共64页。2024/8/15n由整体平衡方程组，解出结点位移(wiy)，便可由式(23)和(30)求出每个单元的位移(wiy)函数和应力。整体的结构整体的结构整体的结构整体的结构(jigu)(jigu)(jigu)(jigu)分析分析分析分析节点平衡方程组节点平衡方程组节点平衡方程组节点平衡方程组其中，整体结点位移列阵：整体结点载荷列阵： K是整体刚度矩阵，其元
54、素是： n整个结构的结点平衡方程组即整体劲度矩阵的元素,Krs就是按整体节点编码(bin m)的、同下标rs的单元劲度矩阵元素叠加而得到的。第44页/共63页第四十五页，共64页。2024/8/15平面平面平面平面(pngmin)(pngmin)(pngmin)(pngmin)有限元解法（例）有限元解法（例）有限元解法（例）有限元解法（例）n n设有对角受压的正方形薄板（如上图所示），载荷沿厚度均匀分布，设有对角受压的正方形薄板（如上图所示），载荷沿厚度均匀分布，为为2N/m2N/m。试对该结构进行整体分析，建立整体刚度矩阵和整体结点载。试对该结构进行整体分析，建立整体刚度矩阵和整体结点载荷列
55、阵，建立整体结点方程组，通过编程求解荷列阵，建立整体结点方程组，通过编程求解(qi ji)(qi ji)出结点的位移，出结点的位移，并从而求出各单元的应力。（为简单起见，取板的厚度并从而求出各单元的应力。（为简单起见，取板的厚度t= 1 , t= 1 , 弹性常数弹性常数E =1,E =1,泊松比泊松比 0 0）第45页/共63页第四十六页，共64页。2024/8/15平面平面平面平面(pngmin)(pngmin)(pngmin)(pngmin)有限元解法有限元解法有限元解法有限元解法划分单元划分单元划分单元划分单元n n由于平面薄板沿由于平面薄板沿xzxz面和面和yzyz面均对称，所以面均
56、对称，所以(suy)(suy)只取只取1/41/4之一部分作为分析和计算之一部分作为分析和计算对象。将对象划分成对象。将对象划分成4 4个单元，共有个单元，共有6 6个结点，单元和结点上均编上号码，其中结个结点，单元和结点上均编上号码，其中结点的整体编码点的整体编码1 1至至6 6，以及个单元的结点局部编码，以及个单元的结点局部编码i,j,m,i,j,m,均示于上图中。均示于上图中。单元号局部编码整体编码i3526j1253m2435第46页/共63页第四十七页，共64页。2024/8/15平面有限元解法平面有限元解法平面有限元解法平面有限元解法(jif)(jif)(jif)(jif)整体劲度
57、矩阵整体劲度矩阵整体劲度矩阵整体劲度矩阵n n每个单元，结点的局部编码和整体编码对应关系已经确定每个单元，结点的局部编码和整体编码对应关系已经确定(qudng)(qudng)，每个单元劲，每个单元劲度矩阵中任一子矩阵在整体劲度矩阵中的位置及其力学意义也就明确了。如单元度矩阵中任一子矩阵在整体劲度矩阵中的位置及其力学意义也就明确了。如单元的的kiikii，即，即k33k33，它的四个元素表示当结构的结点，它的四个元素表示当结构的结点3 3沿沿x x或或y y方向有单位位移时，在方向有单位位移时，在结点结点3 3的的x x方向或方向或y y方向引起的结点力。方向引起的结点力。n n暂时不考虑位移边
58、界条件，把所分析结构的整体结点平衡方程组列出：暂时不考虑位移边界条件，把所分析结构的整体结点平衡方程组列出：n整体(zhngt)劲度矩阵写成66的矩阵，它的每个子块是22的矩阵，实际它是一个1212的矩阵。如K23，它的四个元素表示当结构的结点3沿x或y方向有单位位移时，在结点2的x方向或y方向引起的结点力。第47页/共63页第四十八页，共64页。2024/8/15平面平面平面平面(pngmin)(pngmin)(pngmin)(pngmin)有限元解法有限元解法有限元解法有限元解法整体劲度矩阵续整体劲度矩阵续整体劲度矩阵续整体劲度矩阵续n n由于于结点由于于结点3 3和结点和结点2 2在结构
59、中是通过在结构中是通过和和这两这两个单元相联系，因而个单元相联系，因而K23K23应是单元应是单元 的的k23k23和单和单元元 的的k23k23之和。同理，可以之和。同理，可以(ky)(ky)找到各单元找到各单元劲度矩阵中所有子矩阵在整体劲度矩阵劲度矩阵中所有子矩阵在整体劲度矩阵K K中的位中的位置，得到整体劲度矩阵。置，得到整体劲度矩阵。n式中k的上标(shn bio)1,2,3,4表示是哪一个单元的劲度矩阵中的子矩阵，空白处是22的零矩阵。第48页/共63页第四十九页，共64页。2024/8/15平面有限元解法平面有限元解法平面有限元解法平面有限元解法(jif)(jif)(jif)(ji
60、f)整体劲度矩阵续整体劲度矩阵续整体劲度矩阵续整体劲度矩阵续n n对于对于(duy)(duy)单元单元、，根据公式，可求，根据公式，可求得得A=0.5m2A=0.5m2，n将上式中各子块的具体数值代入整体刚度矩阵(j zhn)K表达式中，得出整体刚度矩阵(j zhn)。n对于单元，根据公式，可求得A=0.5m2，n把0，t1m，代入单元的劲度矩阵，得两种单元的劲度矩阵k都是：(37)第49页/共63页第五十页，共64页。2024/8/15平面有限元解法平面有限元解法平面有限元解法平面有限元解法(jif)(jif)(jif)(jif)整体劲度矩阵续整体劲度矩阵续整体劲度矩阵续整体劲度矩阵续n n
61、整体整体(zhngt)(zhngt)刚度矩阵刚度矩阵K K(38)第50页/共63页第五十一页，共64页。2024/8/15平面有限元解法平面有限元解法平面有限元解法平面有限元解法(jif)(jif)(jif)(jif)位移边界条件位移边界条件位移边界条件位移边界条件n n位移位移(wiy)(wiy)边界条件为：边界条件为：(39)n因此，整体结点的位移(wiy)列阵就简化为：n与这6个零位移分量相应的6个平衡方程不必建立，因此，将整体刚度矩阵中，第1、3、7、8、10、12各行以及同序号的各行划去，因而整体劲度矩阵K简化为：第51页/共63页第五十二页，共64页。2024/8/15平面有限元
62、解法平面有限元解法平面有限元解法平面有限元解法整体结点整体结点整体结点整体结点(jidin)(jidin)(jidin)(jidin)载载载载荷列阵荷列阵荷列阵荷列阵n n确定了每个单元的结点载荷确定了每个单元的结点载荷(zi h)(zi h)列阵：列阵：(38)n根据各单元的结点局部(jb)编码与整体编码的关系，确定三个子块FLi,FLj,FLm在FL中的位置。n由于该结构只是在结点1受有向下1N/m的载荷，因而，非零元素子块，只有n在考虑了边界条件后，整体载荷列阵为：第52页/共63页第五十三页，共64页。2024/8/15平面有限元解法平面有限元解法平面有限元解法平面有限元解法求解整体求
63、解整体求解整体求解整体(zhngt)(zhngt)(zhngt)(zhngt)结点载荷列阵结点载荷列阵结点载荷列阵结点载荷列阵n n求解化简后的整体刚度求解化简后的整体刚度(n d)(n d)矩阵：矩阵：(39)n求解以后，得结点(ji din)位移：第53页/共63页第五十四页，共64页。2024/8/15平面平面平面平面(pngmin)(pngmin)(pngmin)(pngmin)有限元解法有限元解法有限元解法有限元解法求解应力转换矩阵求解应力转换矩阵求解应力转换矩阵求解应力转换矩阵n n应用单元的应力转换矩阵应用单元的应力转换矩阵S S，求出各单元中的应力：，求出各单元中的应力：n n
64、根据根据 0 0，以及，以及(yj)(yj)已求出的已求出的A A、b b和和c c的值，再由式的值，再由式(21)(21)和和(22)(22)得出应力转换矩阵如得出应力转换矩阵如下，对于单元下，对于单元 、 、 ：n对于(duy)单元第54页/共63页第五十五页，共64页。2024/8/15平面有限元解法平面有限元解法平面有限元解法平面有限元解法(jif)(jif)(jif)(jif)求解各单元中的应力（续）求解各单元中的应力（续）求解各单元中的应力（续）求解各单元中的应力（续）n n应用单元应用单元(dnyun)(dnyun)的应力转换矩阵的应力转换矩阵S S，求出各单元，求出各单元(dn
65、yun)(dnyun)中的应中的应力：力：Pa单元(dnyun)单元Pa第55页/共63页第五十六页，共64页。2024/8/15平面有限元解法平面有限元解法平面有限元解法平面有限元解法求解各单元求解各单元求解各单元求解各单元(dnyun)(dnyun)(dnyun)(dnyun)中的应力中的应力中的应力中的应力n n应用单元的应力应用单元的应力(yngl)(yngl)转换矩阵转换矩阵S S，求出各单元，求出各单元、中的应力中的应力(yngl)(yngl)：Pa单元(dnyun)单元Pa第56页/共63页第五十七页，共64页。2024/8/15平面平面平面平面(pngmin)(pngmin)(
66、pngmin)(pngmin)有限元解法有限元解法有限元解法有限元解法计算机编程解题步骤计算机编程解题步骤计算机编程解题步骤计算机编程解题步骤n n 划分单元格，并按照一定的规律将所有的结点和单元格分别编上号码，划分单元格，并按照一定的规律将所有的结点和单元格分别编上号码，需要注意单元编码和整体编码的对应关系。需要注意单元编码和整体编码的对应关系。n n选定一个直角坐标系。按照计算程序的要求，填写各种输入信选定一个直角坐标系。按照计算程序的要求，填写各种输入信 息有：息有：每个结点的坐标值，即每个结点的坐标值，即x1,y1,x2,y2 x1,y1,x2,y2 等；材料的弹性常数值；各种载等；材
67、料的弹性常数值；各种载荷信息，即载荷点的点号及载荷的大小等；约束信息，即哪些结点哪个荷信息，即载荷点的点号及载荷的大小等；约束信息，即哪些结点哪个方向上的位移为零或为某个已知值。将这些信息按照计算机程序规定的方向上的位移为零或为某个已知值。将这些信息按照计算机程序规定的格式输入。格式输入。n n计算程序中对输入的各种信息进行加工、运算，一般均有如下几步：输计算程序中对输入的各种信息进行加工、运算，一般均有如下几步：输入初始数据入初始数据(shj)(shj)，形成整体刚度矩阵，形成整体刚度矩阵K K；形成整体载荷列阵；形成整体载荷列阵FLFL；求解；求解线性代数方程组，解得结构的整体结点位移阵列
68、线性代数方程组，解得结构的整体结点位移阵列 ；计算各单元的应力；计算各单元的应力分量及主应力、主向；打印计算结果。分量及主应力、主向；打印计算结果。第57页/共63页第五十八页，共64页。2024/8/15平面平面平面平面(pngmin)(pngmin)(pngmin)(pngmin)有限元解法有限元解法有限元解法有限元解法计算机程序界面计算机程序界面计算机程序界面计算机程序界面第58页/共63页第五十九页，共64页。2024/8/15平面平面平面平面(pngmin)(pngmin)(pngmin)(pngmin)有限元解法有限元解法有限元解法有限元解法计算机程序计算结果计算机程序计算结果计算
69、机程序计算结果计算机程序计算结果第59页/共63页第六十页，共64页。2024/8/15通用有限元计算通用有限元计算通用有限元计算通用有限元计算(jsun)(jsun)(jsun)(jsun)程序程序程序程序ANSYSANSYSANSYSANSYS计算计算计算计算(jsun)(jsun)(jsun)(jsun)结果结果结果结果第60页/共63页第六十一页，共64页。2024/8/15通用有限元计算通用有限元计算通用有限元计算通用有限元计算(jsun)(jsun)(jsun)(jsun)程序程序程序程序ANSYSANSYSANSYSANSYS计算计算计算计算(jsun)(jsun)(jsun)(jsun)结结结结果果果果第61页/共63页第六十二页，共64页。2024/8/15THE END第62页/共63页第六十三页，共64页。内容(nirng)总结会计学。限制某些节点的某些自由度。网格加密到一定程度后计算精度提高就不明显，对应应力变化平缓区域不必要细分网格。根据微分线段上形变与位移之间的几何关系，建立几何方程：。根据应力与形变之间的物理关系，建立物理方程：。以x为投影轴，列出投影的平衡方程：。边界条件表示在边界上位移与约束(yush)，或应力与面力之间的关系式。只于弹性常数E及有关，称为平面问题的弹性矩阵。THE END第六十四页，共64页。
