等腰三角形与等边三角形的性质

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1、等腰三角形等腰三角形从数学的观点去思考，你观察到了什么图形？从数学的观点去思考，你观察到了什么图形？魁星阁魁星阁 金字塔金字塔侗寨吊脚楼侗寨吊脚楼 等腰三角形等腰三角形一一.基本概念基本概念 1.定义定义:两条边相等的两条边相等的三角形三角形叫做等腰三角形叫做等腰三角形. . 如图如图AB=AC， 就是等腰三角形就是等腰三角形 2.等腰三角形的基本要素等腰三角形的基本要素:相等的两边叫做相等的两边叫做腰腰另一边叫做另一边叫做 底边底边 两腰的夹角叫做两腰的夹角叫做顶角顶角 腰和底边的夹角叫做腰和底边的夹角叫做底角底角 ABC腰腰腰腰底边底边顶角顶角底角底角底角底角CABAC=BCBCAAB=C

2、B腰：腰：底边：底边：顶角：顶角：底角：底角：腰：腰：底边：底边：顶角：顶角：底角：底角：AC，BCABA， BAB，CBACBA， CC做一做做一做1： （1）把把你你们们准准备备的的顶顶角角分分别别为为锐锐角角、直直角角和和钝钝角角的的等等腰腰三三角形拿出来；角形拿出来；（2）把三角形的顶角顶点记为）把三角形的顶角顶点记为A，底角顶点记为，底角顶点记为B，C。（3）把三角形对折，让两腰）把三角形对折，让两腰AB，AC重叠在一起，折痕为重叠在一起，折痕为AD。 观察后你发现了什么现象？观察后你发现了什么现象？二二.等腰三角形性质的探索等腰三角形性质的探索BACDABCD1 1、等腰三角形是轴

3、对称图形、等腰三角形是轴对称图形2 2、 B = CB = C3 3、BD = CD BD = CD ，AD AD 为底边上的中线为底边上的中线4 4、ADB = ADC = 90ADB = ADC = 90，ADAD为底边上的高为底边上的高5 5、BAD = CAD BAD = CAD ，ADAD为顶角平分线为顶角平分线问题问题1、结论（结论（2）用文字如何表述？）用文字如何表述？等腰三角形的两个底角相等（简写等腰三角形的两个底角相等（简写“等边对等角等边对等角”）问题问题2、结论结论（3）、（）、（4）、（）、（5）用一句话可以归纳为什么？用一句话可以归纳为什么？CABD(2)要注意是哪三

4、线要注意是哪三线?做一做做一做2：画出手中等腰三角形的某一底：画出手中等腰三角形的某一底角平分线、对边角平分线、对边( (腰腰) )上的中线和高，看上的中线和高，看是否重合？是否重合？ 等腰三角形的等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线顶角平分线、底边上的中线和底边上的高和底边上的高互相互相重合重合，简称简称“三线合一三线合一”(1)“等腰三角形等腰三角形”是是三线合一三线合一的大前的大前提提GECBAF如图：如图：BF为为AC边上的高，边上的高，BE为为 ABC的平分线，的平分线，BG为为AC边上的中线边上的中线CABDCABD如何证明：等腰三角形的两个底角相等（简写如何证明：等腰三角形的两个

5、底角相等（简写“等边对等角等边对等角”）已知：如图已知：如图ABC中中AB=AC求证：求证：B=C证明：证明：过过A作作ADBC于于D在在RtABD和和RtACD中中AB=AC（已知）（已知）AD=AD（公共边）（公共边） RtABD RtACD（HL）B=C（全等三角形的对应角相等）（全等三角形的对应角相等）思考思考1：还有其他的证明方法吗？：还有其他的证明方法吗？思考思考2：你有办法证明等腰三角形的：你有办法证明等腰三角形的“三线合一三线合一”吗？吗？等腰三角形的性质等腰三角形的性质1、等腰三角形的两个底角相等、等腰三角形的两个底角相等（简称（简称“等边对等角等边对等角”）2、等腰三角形的

6、、等腰三角形的顶角顶角平分线平分线、底边底边上的高上的高和和底边底边上的中线上的中线互相重合（简称互相重合（简称“三线合一三线合一”）一般的三角一般的三角形有这种性形有这种性质吗？质吗？要注意是指顶角要注意是指顶角的平分线、底边的平分线、底边上的高、底边上上的高、底边上的中线这三线重的中线这三线重合。合。CDBA在在ABC中，中，AB=AC， B=C（ ）等腰三角形的性质等腰三角形的性质 等边对等角等边对等角（1 1）ADBC，_ = _，_= _ （2 2）AD是中线，是中线，_ _ ，_ =_ =_ （3 3）AD是角平分线，是角平分线，_ _ ，_ =_BAD CADBD CD AD B

7、C AD BCBAD CADBD CD在在ABC中，中， AB=AC时，时， 等腰三角形等腰三角形底边底边上上的中线和高线的中线和高线、顶顶角角的平分线的平分线互相重互相重合。合。学一学学一学 例例例例1 1 1 1。在。在ABCABC中，中，AC=BCAC=BC，ACB=90ACB=90，CDABCDAB 则图中有哪些角相等？则图中有哪些角相等？ACBDA=B=ACD=BCD=45ADC=BDC=ACB=90例例2、已知：在、已知：在ABC中，中，AB = AC，B = 80， 求求C 和和 A的度数。的度数。ABC解：解：因为因为 AB =AC所以所以 B = C = 80又又 A + B

8、 + C = 180所以所以 A = 180- 80 - 80= 20例例3、如图，在、如图，在ABC中，中，AB = AC，D是是BC边上的中点，边上的中点， B = 30，求，求 1 和和 ADC的度数。的度数。ABC12D解：解：因为等腰三角形的因为等腰三角形的“三线合一三线合一”所以所以AD是是ABC的顶角平分线、的顶角平分线、底边上的高，即底边上的高，即1 = 2ADC = 90因为因为 BAC =180 - 30-30 = 120所以所以 1.1.等腰三角形一个角为等腰三角形一个角为7070, ,它的另外两个角为它的另外两个角为 _ 2.等腰三角形一个角为等腰三角形一个角为1101

9、10, ,它的另外两个角为它的另外两个角为 _ 70,40或或55,5535,35巩固练习巩固练习:3等腰三角形有两边长为等腰三角形有两边长为6和和8，则该等腰三角形的周长为，则该等腰三角形的周长为4.等腰三角形有两边长为等腰三角形有两边长为4和和8，则该等腰三角形的，则该等腰三角形的周长为周长为20或或22201、判断下列命题是否正确。、判断下列命题是否正确。（1）等腰三角形的角平分线、中线和高互相重合。（）等腰三角形的角平分线、中线和高互相重合。（ ）（2）有一个角是）有一个角是60的等腰三角形，其它两个的等腰三角形，其它两个 内角也为内角也为60。 （ ）2、如图，在、如图，在ABC中，

10、已知中，已知 AB = AC ，AD为为BAC的平分线，且的平分线，且2=25，求，求ADB和和B的度数。的度数。D12ABC1 1、等腰三角形的周长为、等腰三角形的周长为1616，其中一条边的，其中一条边的长是长是6 6， 求另两边的长。求另两边的长。2 2、等腰三角形的底角比顶角大、等腰三角形的底角比顶角大15 15 ，求，求各内角的度数各内角的度数4 4、等腰三角形的底角可以、等腰三角形的底角可以是直角或钝角吗？为什么？是直角或钝角吗？为什么？ 补充例题：补充例题：达标练习二(A 水平)一、填空题：一、填空题：1、等腰三角形若两边长为、等腰三角形若两边长为3和和7，则其周长为，则其周长为

11、_。2、如果等腰三角形的一个底角为、如果等腰三角形的一个底角为50，那么其余两个角为，那么其余两个角为_和和_。3、如果等腰三角形的顶角为、如果等腰三角形的顶角为80，那么它的一个底角为，那么它的一个底角为_。二、判断题：二、判断题：1、等腰三角形的底角都是锐角、等腰三角形的底角都是锐角( )2、钝角三角形不可能是等腰三角形、钝角三角形不可能是等腰三角形( )17508050达标练习二(B水平)1、若等腰三角形的一个内角为、若等腰三角形的一个内角为 40,则它的另外两个则它的另外两个内角为内角为_2、 若等腰三角形的一个内角为若等腰三角形的一个内角为120,则它的另外两个则它的另外两个内角为内

12、角为_70,70或或40，100 30,30 顶角顶角+2+2底角底角=180=180 顶角顶角=180=1802 2底角底角 底角底角= =（180180顶角）顶角）2 2结论结论:在等腰三角形中，已知一个角，就可以求出另外两个角。在等腰三角形中，已知一个角，就可以求出另外两个角。 当已知任意一个内角时当已知任意一个内角时,则要分情况讨论则要分情况讨论 5.5.5.5.已知已知已知已知 如图：在如图：在如图：在如图：在ABCABC中，中，AB=ACAB=AC，点，点M M在在ABCABC内，内，且且MB=MCMB=MC。求证：。求证：ABM=ACMABM=ACMA AB BC CMM6 6.

13、 . . .已知：如图，在已知：如图，在已知：如图，在已知：如图，在ABCABC中，中，AB = ACAB = AC，点，点D D在在ACAC上，且上，且BD=BC=ADBD=BC=AD，（1 1）图中有几个等腰三角形？）图中有几个等腰三角形？（2 2）求）求ABCABC各角的度数。各角的度数。A AB BC CD D3、如图，在RtABC中，ACB=900， CAB的平分线AD交BC于D，AB边上的高线CE交AB于E，交AD于F，求证：CD=CFBACED123F分析： CD=CF1=21=B+BAD2=3+DAC3=BACB =90，CE是是AC边上高边上高挑战挑战：已知等腰三角形一腰上的

14、中线将三角形周长分已知等腰三角形一腰上的中线将三角形周长分成：两部分，已知三角形底边长为，求腰长？成：两部分，已知三角形底边长为，求腰长？解：如图，令解：如图，令CDx，则，则ADx，AB2x底边底边BC5BCCD5x ABAD3x(5+x)：3x2:1或或3x：(5+x)=2:1xx2x5例例例例4.4.如图，已知如图，已知如图，已知如图，已知ABCABC中，中，中，中，AB=ACAB=AC，BD=BCBD=BC，AD=DE=EB,AD=DE=EB,求求求求AA的度数的度数的度数的度数. .解：设解：设A=x ，EBD=y，C=z AB=AC ABC= C=z BD=BC C= BDC=z

15、BE=DE EBD= EDB=90 AD=DE A= AED=x又又BDC= A+ ABD， AED= EBD+ EDB（三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和）（三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和）A+ ABC+ ACB=180（三角形内角和为（三角形内角和为180）解得解得x=45即：即：A=45挑战：挑战：如图，已知CE、CF分别平分ACB和它的外角，EFBC，EF交AC于D，你能说明DEDF的理由吗？FDEABCG1、等腰三角形的性质：、等腰三角形的性质： 等边对等角等边对等角2、等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线 和底边上的高互相重合和底边上的高互相重合（三线合一）（三线合一） 3、“三线合一三线合一”性质在实际应用中，只要推出性质在实际应用中，只要推出其中一个其中一个 结论成立，其它两个结论一下成立，结论成立，其它两个结论一下成立，所以关键是寻找其中一个结论成立的条件。所以关键是寻找其中一个结论成立的条件。 再 见！