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1、定积分及其应用 题一 题面： 求由曲线2(2)yx与x轴,直线4yx所围成的平面图形的面积 答案：323 变式训练一 题面： 函数f（x)错误!的图象与 x 轴所围成的封闭图形的面积为( ) A.错误! B2 C3 D4 答案：D. 详解： 画出分段函数的图象，如图所示，则该图象与 x 轴所围成的封闭图形的面积为错误!22错误!02cos xdx22sin x错误!4. 变式训练二 题面: 由直线y2x 及曲线y3x2围成的封闭图形的面积为( ) A2错误! B92错误! C.错误! D。错误! 答案： 详解： 注意到直线 y2x 与曲线 y3x2的交点 A,B 的坐标分别是(3，6)，(1，
2、2)，因此结合图形可知,由直线 y2x 与曲线 y3x2围成的封闭图形的面积为错误!（3x22x）dx错误!错误!31错误!1312错误!错误!错误!，选 D. 题二 题面： 如图所示,在边长为 1 的正方形 OABC 中任取一点 P，则点 P 恰好取自阴影部分的概率为（ ） A14 B错误! C错误! D错误! 变式训练一 题面： 函数f(x）sin(x)的导函数 yf(x)的部分图象如图所示，其中，P为图象与 y 轴的交点，A，C 为图象与 x 轴的两个交点,B 为图象的最低点 若在曲线段 ABC 与 x 轴所围成的区域内随机取一点，则该点在ABC内的概率为_ 答案：错误!. 详解： 设
3、A（x0，0） ，则 x0错误!，x0错误!错误!. 又 ycos(x)的周期为错误!， |AC错误!,C错误!。 依题意曲线段错误!与 x 轴围成的面积为 S错误!错误!错误!错误!错误!cos(x）dx2。 AC|，yB|，SABC错误!. 满足条件的概率为错误!. 变式训练二 题面： （2012福建）如图所示，在边长为 1 的正方形 OABC 中任取一点 P，则点 P 恰好取自阴影部分的概率为（ ） A B C D 答案:C. 详解： 根据题意，正方形 OABC 的面积为 11=1, 而阴影部分由函数 y=x 与 y=围成，其面积为01（x）dx=（）01= ， 则正方形 OABC 中任
4、取一点 P，点 P 取自阴影部分的概率为 = ； 故选 C 金题精讲 题一 题面： (识图求积分，二星)已知二次函数 yf(x)的图象如图所示,则它与 x 轴所围图形的面积为( ) A错误! B错误! C错误! D错误! 答案: 变式训练一 题面： 如图求由两条曲线yx2,y错误!x2及直线 y1 所围成的图形的面积 答案:错误!。 详解: 由错误!得交点 A（1，1） ，B(1，1） 由错误!得交点 C(2，1)，D(2，1） 所求面积 S2错误!错误!。 变式训练二 题面： 例 1 求在0,2 上,由x轴及正弦曲线sinyx围成的图形的面积。 答案：4. 详解： 作出sinyx在0,2 上
5、的图象如右 sinyx与x轴交于 0、2，所 x y 0 求积2200sin|sin| ( cos )|( cos )|4sxdxxdxxx 题二 题面: （作图求积分，四星）求曲线36yxx与曲线2yx所围成的图形的面积 交点的横坐标分别为2,0,3,12112S 变式训练一 题面： 求曲线2yx，yx及2yx所围成的平面图形的面积。 答案：76. 详解： 作出2yx，yx及2yx的图如右 解方程组22yxyx 得24xy 00xy 解方程组2yxyx 得11xy 00xy 所求面积12201(2)(2)sxx dxxx dx 12201(2)xdxxx dx 2 12320111|()|2
6、3xxx 76 答：此平面图形的面积为76 变式训练二 题面: 求由抛物线28 (0)yx y与直线6xy及0y 所围成图形的面积。 2 y o x 1 2 y=x B(2,4) y=2x y=x2 A(1,1) 答案:403. 详解： 作出28 (0)yx y及6xy的图形如右： 解方程组2860yxxy 得24xy 解方程组600xyy 得60xy 所求图形的面积26028(6)sxdxx dx 322620221402|(6)|323xxx 题三 题面: （1）由曲线yx，直线2yx及y轴所围成的图形的面积为_ （2）由曲线2yx与直线2yx所围成的封闭图形的面积为_ 答案：(1）163
7、； （2）92 变式训练一 题面： 设 f（x）=,函数图象与 x 轴围成封闭区域的面积为（ ) A B C D 答案:C. 详解: 根据题意作出函数的图象: y x O 2 6 6 根据定积分，得所围成的封闭区域的面积S= 故选 C 变式训练二 题面: 已知函数的图象与 x 轴所围成图形的面积为（ ） A 1/2 B 1 C 2 D 3/2 答案：D. 详解： 由题意图象与 x 轴所围成图形的面积为 1002(1)cosxdxxdx 210021()|sin|2xxx 112 32. 故选 D 题四 题面： (导数与积分结合,二星）设函数( )mf xxax的导函数为( )21fxx，则21
8、()fx dx的值等于_ 答案：56 变式训练一 题面: 设函数 f（x)xmax 的导函数 f(x）2x1，则错误!f(x)dx 的值等于（ ) A.56 B.错误! C.错误! D.错误! 答案：A. 详解： 由于 f(x)xmax 的导函数 f （x） 2x1， 所以 f(x)x2x,于是错误!f(x）dx错误!(x2x）dx错误!错误!错误!. 变式训练二 题面： 设函数f （x） xmax 的导函数 f(x） 2x1， 则错误!f （x)dx 的值等于( ） A。错误! B。错误! C。23 D。错误! 答案:A。 详解： 由于 f （x） xmax 的导函数为 f （x)2x1，
9、所以 f(x)x2x， 于是错误!f（x）dx错误! (x2x)dx错误!错误!错误!. 题五 题面： （化简后求积分，四星） （1）求201sin 2xdx 20sincosxx dx原式 4204(cossin )(sincos )xx dxxx dx2 22. （2）440(sincos)22xxdx 变式训练一 题面： 与定积分30错误!dx 相等的是（ ） A.错误!错误!sin错误!dx B.错误!错误!错误!dx C。错误! D以上结论都不对 答案：B. 详解： 1cos x2sin2错误!， 错误!错误!dx错误!错误! 错误!dx 错误!错误!错误!dx。 变式训练二 题面:
10、 40cosxdx_。 答案：错误!. 详解： 因为40cosxdxsin x错误!sin错误!错误!，所以错误!0cos xdx错误!。 题六 题面: （定积分的运用,三星)函数 f(x）sin(x）的导函数 yf（x）的部分图象如图所示，其中,P 为图象与 y 轴的交点，A，C 为图象与 x 轴的两个交点，B 为图象的最低点 (1）若 6，点 P 的坐标为错误!，则 _； (2）若在曲线段 ABC 与 x 轴所围成的区域内随机取一点，则该点在ABC 内的概率为_ 解析 （1)函数 f(x）sin(x）求导得,f（x）cos(x）,把 错误!和点错误!代入得 cos错误!错误!解得 3 (2
11、）取特殊情况,在(1）的条件下，导函数 f（x)3cos错误!，求得 A错误!， B错误!,C错误!，故ABC 的面积为 SABC错误!错误!3错误!，曲线段与 x轴所围成的区域的面积 S错误!错误!错误!sin错误!sin错误!2， 所以该点在ABC 内的概率为 PSABCS错误!。 同类题一 题面: 设 yf(x）是二次函数，方程 f（x)0 有两个相等的实根，且 f（x)2x2。 (1）求 yf(x）的表达式; (2)求 yf（x）的图象与两坐标轴所围成图形的面积 答案： （1) f(x）x22x1。 (2） 错误!。 详解： （1)设 f(x）ax2bxc（a0)， 则 f(x）2ax
12、b。又 f（x）2x2， 所以 a1,b2，即 f(x）x22xc。 又方程 f(x）0 有两个相等实根， 所以 44c0，即 c1。 故 f(x)x22x1. （2）依题意，所求面积为 S错误!(x22x1)dx(错误!x3x2x)|错误!错误!. 同类题二 题面： 设 y=f(x）是二次函数，方程 f（x）=0 有两个相等的实根，且 f（x）=2x+2。 (1)求 y=f（x）的表达式; （2）求 y=f(x）的图象与两坐标轴所围成图形的面积。 （2)若直线 x=t（0t1把 y=f(x）的图象与两坐标轴所围成图形的面积二等分,求 t 的值。 答案: （1）f（x）=x2+2x+1。 （2
13、）13. （3）t=1321. 详解： （1)设 f(x）=ax2+bx+c，则 f(x）=2ax+b， 又已知 f（x）=2x+2 a=1,b=2。 f（x）=x2+2x+c 又方程 f（x）=0 有两个相等实根， 判别式 =44c=0,即 c=1. 故 f(x)=x2+2x+1。 （2）依题意，有所求面积=31| )31() 12(0123201xxxdxxx。 （3）依题意，有xxxxxxttd) 12(d) 12(2021, 023123| )31(| )31(ttxxxxxx，31t3+t2t+31=31t3t2+t，2t36t2+6t1=0， 2（t1）3=1,于是 t=1321.
14、 思维拓展 题一 题面： (几何法求积分，四星） （1）计算1201x dx，121sinxxdx； （2）求椭圆22221xyab的面积 22220044aabbSax dxax dxaa，转化为圆的面积 同类题一 题面： 求定积分121( 1)xdx的值. 答案：2 详解： 121( 1)xdx表示圆 x2y21 在第一、二象限的上半圆的面积 因为2S半圆，又在 x 轴上方 所以121( 1)xdx2 同类题二 题面： 220( 1 (1)axx dx的值是（ ） A。 143 B。 143 C。 123 D。 12 答案：A. 详解: 积分所表示的几何意义是以(1，0）为圆心，1 为半径第一象限内圆弧与抛物线 y=x2在第一象限的部分坐标轴围成的面积， 故只需求出圆的面积乘以四分之一与抛物线在第一象限的部分与x轴和直线x=1围成的图形的面积之差 即220( 1 (1)axx dx 123 1001|443x dxx xyo111143。 故答案选 A
