n阶常系数线性微分方程的标准形式阶常系数线性微分方程的标准形式二阶常系数线性方程的标准形式二阶常系数线性方程的标准形式常系数线性微分方程解的结构常系数线性微分方程解的结构 二阶常系数齐次线性方程解法二阶常系数齐次线性方程解法特征方程特征方程特征根特征根 (1) (1) 有两个不相等的实根有两个不相等的实根两个线性无关的特解两个线性无关的特解得齐次方程的通解为得齐次方程的通解为特征根为特征根为 (2) (2) 有两个相等的实根有两个相等的实根所以齐次方程的通解为所以齐次方程的通解为一特解为一特解为特征根为特征根为另一特解另一特解 (3) (3) 有一对共轭复根有一对共轭复根方程的通解为方程的通解为特征根为特征根为 二阶常系数非齐次线性方程二阶常系数非齐次线性方程对应齐次方程对应齐次方程通解结构通解结构二阶常系数非齐次线性方程 常见类型常见类型难点难点：：如何求特解？如何求特解？方法方法：：待定系数法待定系数法.设非齐方程特解为设非齐方程特解为代入方程代入方程 设非齐方程特解为设非齐方程特解为代入原方程代入原方程 综上讨论综上讨论 特别地特别地 解解对应齐次方程通解对应齐次方程通解特征方程特征方程特征根特征根代入方程代入方程, 得得原方程通解为原方程通解为例例1 1 利用欧拉公式利用欧拉公式 解解对应齐方通解对应齐方通解作辅助方程作辅助方程代入上式代入上式所求非齐方程特解为所求非齐方程特解为原方程通解为原方程通解为（（取虚部）取虚部）例例2 2 解解对应齐方通解对应齐方通解作辅助方程作辅助方程代入辅助方程代入辅助方程例例3 3 所求非齐方程特解为所求非齐方程特解为原方程通解为原方程通解为（（取实部）取实部）注意注意 解解对应齐方通解对应齐方通解用常数变易法求非齐方程通解用常数变易法求非齐方程通解原方程通解为原方程通解为例例4 4 三、小结三、小结(待定系数法待定系数法)只含上式一项解法只含上式一项解法：：作辅助方程作辅助方程,求特解求特解, 取取特解的实部或虚部特解的实部或虚部, 得原非齐方程特解得原非齐方程特解. 思考题思考题写出微分方程写出微分方程的待定特解的形式的待定特解的形式. 思考题解答思考题解答设设 的特解为的特解为设设 的特解为的特解为则所求特解为则所求特解为特征根特征根（（重根）重根） 。