《导数压轴满分之同构式大法》由会员分享，可在线阅读，更多相关《导数压轴满分之同构式大法（8页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、专 题 7指 对 跨 阶 系 列 二 之 同 构 式 构 造【例 1】对于任意的0,x不等式log(0,1)xaax aa且?恒成立，则a的取值范围是解：lnlnlnlnloglnlnlnlnxxaxaxaxaxexa exxexa?拮=， 故只需lnlnlnlnxxaxax?， 由于( )ln xfxx=在() ()0,ee?，故( )( )max1fxfee=，1ln ae，即1eae. 【例 2】（2018? 长郡月考）已知函数1ln)(xaexfx，若0)(xf恒成立，则实数a的取值范围是解：由题意得：lnlnlnlnxxxexaeexaexeexexae xeeex侈侈壮恒成立，则需
2、要满足1lnln1aexexx3?+?，显然1lnxx-?恒成立，故只需1ae3，即1ae3. 【例 3】对0x，不等式0lnln22axaex恒成立，则实数a 的最小值为（）秒杀秘籍：同构式问题构造xex与xlnx我们发现，( )xfxxe=在()1,-+，而( )lnfxxx=在10,e骣琪琪桫，在1,e骣琪+琪桫，在考查同构式的类型中，构造xxe 来求取值范围，构造lnxx来判断零点个数及分布；同构式模型：1lnlnlnlnloglnlnlnlnlnlnexxaxaxaxaxexa exxexxaxaea?拮=?，lnln1lnlnlnlnxxxxxeexxexxexxxelllllll
3、l?=?；()()()()ln1ln11ln1ln1xaxeaxxxexaxx+=+?+Ae2Be21Ce2De21解：由题意得：ln222lnln2lnln2lnxaxxxxxxaexaxeexaaaa?蕹=蕹，令xta=，2lnatt3此时要构造过原点的切线放缩模型1ln tte，故12ae3，即12ae3. 【例 4】（2018? 武邑期中）设实数0 ，若对任意的(0,)x，不等式0xlnxe 恒成立，则的取值范围是解：lnlnn0lxxxlnxexexxex，即lnxxl3恒成立，1el ?. 【例5】（2019? 衡水金卷）易知0a恒成立，则实数a 的最小值是（）Ae21Be2Ce1
4、De解：由题意得：1ln1ln1111ln0lnlnlnaaxxxaaaaaaxxeaxxeexxxxxx+-?侈?=蕹对1x 恒成立，此时maxlnxax骣琪?琪桫，即ae?，选D. 【例 6】（2019? 武汉调研）已知函数( )()()ln0xfxeaaxaa a=-+，若关于x 的不等式( )0fx 恒成立，则实数a 的取值范围为（）A,0(eB2,0 eC, 12eD), 1(2e解：由题意可知：()()()lnlnlnln11ln1ln1xxxaeeaaxaaaxexaxxa-?-?-+-，即构成同构式()()ln1lnlnln1xxaexaex-+-+-，只需()()lnln1l
5、n12lnxaxxxa-?-?，2ae，如图，当1x 时，ln0yxx=，此时，仅存在12axx=，使1122lnlnaaxxxx=， 此时只存在两个实根，不合题意； 当01x时，则一定存在12axx=或者13111,0xxee（偏移情况） ，考虑到极值是左偏的，故10,xe骣琪?琪桫时，(),aaex?，定义域要求完全覆盖，故1aee，即21ae.【例 8】（2019? 榆林一模）已知不等式1xekxlnx，对于任意的(0,)x恒成立，则k 的最大值解：要取等，看系数，11111xxexexkxxkxlnxx，由于取等条件不一，且并未消除常数项，则此放缩法失效，考虑消除常数项1-，故构造ln
6、1xx?取等条件是1x=，此时取等的xeex3，故()1exkx-?，即1ke?【例 9】（2019? 重庆巴蜀月考）已知( )lnxefxaxx=-（1）当0a=时，求函数( )fx 在()0,+?上的最小值；（2）若202ea.解：（ 1）0a =时，( )xefxx=，( )2xxxeefxx-=，当()0,1x?时，( )fx ，当()1,x?时，( )fx - ，故( )( )min1fxfe=；（2）思路：此题若放缩xex， 定会遇到很多问题，所以根据“放对再放指”的原理，由于( )2ln2xeefxxx-，先放ln x，由于此题无常数项，故不采用ln1xx?来增加常数项，由于，2
7、2e的出现暴露了需要“降次”，故试用 lnxxe，则可得( )02xeexfxx-，此时只需证明22xeex，此时再利用“指数找基友”即可证明秒杀秘籍：放对再放指，常数是关键关于指对跨阶，由于xe 属于递增过快，若不是存在lnln1xxxxeexx+=?+或者lnln1xxxeexxx-=?+ 之类的可以直接消除对数的，一般考虑对递增较慢的ln x进行放缩， 但在区间( )0,1 内重点考虑切线放缩，通常放缩有： ln1xx?； lnxxe（取等条件xe=） ； 111ln1ln1ln1xxxxxx?蓿-蕹-（取等条件1x =）；1ln1ln1xxxxx?蕹-； ln1ln1ln2xxexex
8、xex?蓿-蓿-（ 取 等 条 件1xe=） ； ()()()2312233112243327xxxxxxxexeexxxeexeeexxxeeeexx取等条件取等条件取等条件-?侈?蕹邹?匙蕹=?；()210xexx?（ 取 等 条 件0x =） ； () ()210xeexxx?-?（取等条件0xx以及=1=，和根据找基友证明）不等式，或者放缩成22242xeeexx?也可以；证明：202ea-，故只需2ln02xeexx-，令( )lnxg xxe=-，( )110gxxe=-=， 当xe=时( )maxln0eg xee=-=， 即lnxxe， 故只需证202xeex-， 只需证22x
9、exe令( )2xexh xe=，( )()2xexxhxe-=，故( )h x在()0,2 -，在()2,+当2x =时，( )( )2min224eh xh=，利用( )( )( )232minmax3efxeh xh e-=；思路 2：“放对后放指”，要证明2ln1xx ex+，只需证明21 1ln1xx exxx-+=+ ，故只需证明1xxe 显然失败， 失败区间在()0,1，故思考取等区间在()0,1上的切线放缩式子，构造ln1exex?，取等条件为1xe=，即ln2xex?，只需证21xx eex-，这时需要涉及找点的知识，虽然此式已经构造成功，但这里不详叙述；构造2ln1xxex
10、+利用切线放缩，过原点切线xeex3，22ln13exxx+3，故22ln13xexeexxx+?恒成立达 标 训 练1（2018? 广东期末）已知函数( )f x 的定义域是R，其导函数是( )fx ，且( )0fx ，则满足不等式)1(1ln)(lnfttf的实数 t 的集合是（）A),eB）, 1C,0(eD,1ee2（2019? 沈阳一模）已知函数( )2f xalnxx ，若不等式(1)2xf xaxe 在(0,)x上恒成立，则实数a的取值范围是（）A2a,B2aC0a,D02a剟3（2019? 全国卷调研）设实数0m，若对任意的xe，若不等式2ln0mxxxme恒成立，则 m 的最
11、大值为（）Ae1B3eCe2D e4（2018? 衡水中学）已知0x 是方程222ln0xx ex+=的实根，则关于实数0x 的判断正确的是（）A0ln 2x 3B01xeC002ln0xx+=D002ln0xex+=5（2019? 长沙测试）若0x，恒有()112lnaxa exxx骣琪+?琪桫，则实数a的最小值为（）A21eB22eC1eD2e6（2018? 南通期末）已知函数( )f x 的定义域为(0,) ，( )fx 是函数( )f x 的导函数，对任意的0x，( )( )0f xx fxg恒成立，则关于实数t 的不等式2(2)2(1)ftttftg的解集是7. （2018? 芮城期
12、末）已知函数( )1xf xaelnx（1）设2x是( )f x 的极值点，求a的值并求2( )( )xg xf xlnxe的单调区间；（2）若不等式( )0f x 在 (0,) 恒成立，求a的取值范围8. （ 2018? 浙江期末）已知函数( )xef xx（1）求函数( )f x 的单调区间；（2）若22ae，求证：( )af xlnx 9. （ 2018? 德阳模拟）已知函数( )1xf xemx（1）求函数( )f x 的单调区间；（2）若曲线( )f x 在点 (0,0) 处的切线垂直于直线2yx，求证：当0x时，( )2322f xlnxln10. （2018? 荆州一模）已知函数( )(1)xmf xexlnxmx ， mR ，( )fx 为函数( )f x 的导函数（1）若1m，求证：对任意(0,)x，( )0fx ；（2）若( )f x 有两个极值点，求实数m的取值范围11. （2018? 新课标）已知函数( )1xf xaelnx（1）设2x是( )f x 的极值点，求a，并求( )f x 的单调区间；（2）证明：当1ae时，( )0f x 12.（2014? 全国卷 I ） 设函数xbexaexfxx1ln， 曲线xfy在点1, 1 f处的切线方程为21xey.（1）求,a b；（ 2）证明：1xf.
