《随机变量及分布》PPT课件.ppt

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1、 三、独立试验三、独立试验 伯努利试验伯努利试验1. n次独立重复试验 指在不变的条件下将同一试验E独立地重复作n次: 各次试验不但相互独立,而且每个事件在各次试验中出现的概率相同.2. 伯努利试验 只计两种对立结局(“成功”和“失败”)的试验. 将伯努利试验E独立地重复作n次, 称作n次伯努利试验, 对于n次伯努利试验, (1)每次试验只有两种可能的结局,分别称作“成功”和“失败”;(2)(2) 各次试验成功的概率相同;(3)(3) 各次试验相互独立. (伯努利试验) 设伯努利试验成功的概率为p. 那么n次伯努利试验, 恰好有k (0kn)次成功的概率.该式有时称作伯努利公式.例例 设设某某

2、人人连连续续投投篮篮3次次,他他至至少少投投中中一一次次的的概概率率为为0.992,求该人投求该人投4次至少有次至少有1次未中的次未中的概率.例例 一一本本有有50页页的的杂杂志志中中共共有有50个个错错误误,每每个个错错误误等等可可能能的的出出现现在在每每一一页页上上,求求指指定定的的某某一一页页上上至少有至少有2个错误的概率个错误的概率.解解 以vn 表示n次伯努利试验成功的次数, 需要求事件vn = k (k = 0,1,n)的概率. 引进 事件: Am = 第m次试验成功 ( m=1,2,n); 由于试验的独立性, 可见事件 A1, A2, An 相互独立. q = 1p是试验失败的概

3、率. 若以A表示成功, 则对任意事件列 B1, B2, Bn , 其中 Bi = A或 (i = 1, 2, , n), 有其中k和 nk分别是 B1, B2, Bn中 A和 出现的次数. 事件vn = k是一切含k个A和nk个 的形如 (B1B2Bn) 的事件之和: 例如, 就是其中的一种情形, 事件vn = k是 的形如 (B1B2Bn) 的不相容事件的和, 因而(1.26)该式有时称作伯努利公式.一、随机变量的概率和例一、随机变量的概率和例二、随机变量的定义和与其有关的事件二、随机变量的定义和与其有关的事件三、随机变量的类型和分布函数三、随机变量的类型和分布函数第一节第一节 随机变量及其

4、概率分布随机变量及其概率分布第二章第二章 随机变量及分布随机变量及分布 动机：将随机试验的结果数量化动机：将随机试验的结果数量化 例1 抛一枚硬币，观察正反面的出现情况，如果我们引入记号：显然，该试验有两个可能的结果：一 随机变量则，我们就可以用表示出现的是正面，而用表示出现的是反面。就是一个随机变量。 定义定义 设随机试验的样本空间为如果对于每一个都有一个实数与其对应，这样就得到一个定义在上的一个单值实函数我们称该函数为随机变量随机变量。 一般的，随机变量用英文字母表后面的大写字母或者希腊字母（可以带下标）表示。如等，都可以表示随机变量。 引入随机变量以后,随机事件就可以用随机变量在某范围的

5、取值来表示. 随机变量的取值随试验的结果而定随机变量的取值随试验的结果而定, , 因此试验之因此试验之前前, ,我们只知道它可能取值的范围我们只知道它可能取值的范围, ,而不能预知它取而不能预知它取什么值什么值, ,由于试验的各个结果的出现有一定的概率由于试验的各个结果的出现有一定的概率, ,因此随机变量取各个值也有一定的概率因此随机变量取各个值也有一定的概率. . 如果我们用表示某台电视机的寿命,并且规定寿命超过10000小时者为合格品,则该电视机为合格品这一事件就可以表示为 如果用表示某位同学大学英语四级考试的成绩,则表示“该同学通过考试”这一事件，而表示“该同学成绩优秀”这一事件.只有有

6、限个或无穷可列个可能值的随机变量称为离散型随机变量; 连续型随机变量是连续取值的随机变量.例例1 考虑随机试验: 接连进行两次射击. 以=(i,j)表示基本事件, 其中i, j=0或1, 其中“0”表示脱靶, “1”表示命中. 那么, 两次射击命中的次数X是基本事件的函数, 故是一随机变量, 有0,1,2三个可能值(见表).表随机变量 基本事件的函数X = X()(0,0) (0,1) (1,0) (1,1) 0 1 1 2例例 对于任何事件A, 设若A出现,若 出现.由于A是随机变量, 因此 是随机变量.随机变量随机变量随机变量的分类：随机变量的分类：从两方面研究随机变量：研究随机变量的取值

7、规律研究随机变量取值的概率规律二二 离散型随机变量及其分布律离散型随机变量及其分布律 如果随机变量只取有限或可列无穷多个值，则称随机变量为离散型随机变量离散型随机变量. .对于离散型随机变量，关键是要确定：1）所有可能的取值是什么？2）取任意可能值的概率是多少？ 设随机变量 的可能取值为，且（1）则称（1）式为的概率分布概率分布或分布律分布律. 分布律（1）也常常写成如下的表格形式. 显然有：或者也可以表示为 例例1 1 掷一颗匀称的骰子，以 表示出现的点数，求 的分布律. 解解 的可能取值为 而由等可能性，它取每一个值的概率均为1/6 ， 故其分布律为 例例设一汽车在开往目的地的路上需经过四

8、盏灯,每盏信号灯以0.5的概率允许或禁止汽车通过,以X表示汽车首次停下时，它已通过的信号灯的盏数（设各盏信号灯的工作是相互独立的），求其分布律。 解解 以p表示每盏信号灯禁止汽车通过的概率，则X的分布律为将代入，得若的分布律为或者 0 1 如果试验的结果只有两个：成功与失败，并且成功的概率为p，则成功的次数 服从分布。 例例3 设袋中有标号为1,2,3,4的球若干个,从中任取一个,(1)假设取到各号球的概率与球上的号码成正比,求取到球上号码X的概率分布;(2)假设取到各号球的概率与球上的号码成反比,求取到球上号码Y的概率分布并计算 . 解解 解解三、随机变量的分布函数三、随机变量的分布函数随机

9、变量的概率分布, 指概率在随机变量值域内的分布, 是随机变量最基本和最重要的特征.对于任何随机变量X, 函数F(x) = PX x ( x + )称作X的分布函数.1. 分布函数的基本性质(1) 0 F(x) 1, 是单调不减函数;(2) F(x)是右连续函数: 对于任意 x + , (3) F() = 0, F( + ) = 1, 其中(4) 离散型随机变量X的分布函数为其中表示对于不大于x的一切可能值xk 求和. (5) 根据分布函数可以求随机变量有关事件的概率. 例如,例例1 1 设随机变量的分布律为-1 2 3求的分布函数,并求解解 由概率的可加性,得所求的分布函数为 即又xy-123

10、1 F(x)的图形如图所示为一阶梯形曲线,它在可能的取值处-1,2,3处发生跳跃，跳跃值为取该值的概率.例例2 假设10件产品中有8件优质品, 2件劣质品, 从中一件一件地抽验产品直到抽到优质品为止. 试求最后抽验产品件数X的分布函数.解解 先求X的概率分布. 易见, X有1,2,3等3个可能值; 由于先随机地抽取一件, 10件产品都是等可能的, 可见于是, X的分布函数为 若x1; 若1x2; 若2x3出现的次数),则故所求的概率为二二. .指数分布指数分布( (Exponential Distribution) )如果随机变量的概率密度为则称 X 服从参数为参数为的指数分布的指数分布.（其

11、中是常数）易知，若则其分布函数为 指数分布在排队论和可靠性理论中有广泛的应用，常常用它来作为各种“寿命”的分布的近似.例如,电子元件的寿命,电话的通话时间,微生物的寿命,随机服务系统中的服务时间等都可认为是近似服从指数分布. 指数分布的一个重要性质就是“无后效性无后效性”或“无记忆性无记忆性”.具体叙述如下.设则对于任意的 s 0, t 0,有事实上，有 假如把服从指数分布的随机变量解释为某元件工作的寿命,则上式表明,在该元件已工作了s小时的条件下,它还能继续工作t小时的概率与已经工作过的时间s无关.换句话说,如果元件在时刻s还“活着”,则它的剩余寿命的分布还是原来寿命的分布,而与它已工作了多

12、长的时间无关.所以有时又称指数分布是“永远年轻永远年轻”的.值得指出的是,我们可以证明,指数分布是唯一具有无记忆性的连续型分布指数分布是唯一具有无记忆性的连续型分布.例例3 3 某元件使用寿命某元件使用寿命X(X(单位单位:h):h)服从服从 =0.002=0.002的指数分布的指数分布. .求该元件使用了求该元件使用了500h500h还完好的概还完好的概率以及该元件使用寿命不低于率以及该元件使用寿命不低于-100h-100h且不超过且不超过250h250h的概率的概率. .解解 由题设知 的概率密度与分布函数分别为于是 下面的例子说明了泊松分布和指数分布之间的关系。即 服从参数为 指数分布。

13、 例5 设某电子元件的寿命X(单位:小时)服从的指数分布,(1)求该元件使用500小时没有坏的概率; (2)若已知该元件使用了200小时没有坏,求它还可以继续使用500小时的概率.解 设X的分布函数为F(x),则(1) 所求的概率为(2)由指数分布的无记忆性,有三三. . 正态分布正态分布(Normal Distribution) 正正态态分布是概率分布中最重要的一种分布，分布是概率分布中最重要的一种分布，这这有有实实践与理践与理论论两方面的原因。两方面的原因。实实践方面的原因是，正践方面的原因是，正态态分布是自然界最分布是自然界最常见常见的一种分布，例如的一种分布，例如测测量的量的误误差、差

14、、炮炮弹弹的落点、人的身高与体重、的落点、人的身高与体重、农农作物的收作物的收获获量、波量、波浪的高度等等都近似服从正浪的高度等等都近似服从正态态分布。一般来分布。一般来说说，如果，如果影响某一随机影响某一随机变变量的因素很多，而每一个因素都不起量的因素很多，而每一个因素都不起决定性作用，且决定性作用，且这这些影响是可以叠加的，些影响是可以叠加的，则这则这个随机个随机变变量服从正量服从正态态分布，分布，这这点可用下一章的极限定理来加点可用下一章的极限定理来加以以证证明。从理明。从理论论方面来方面来说说，正，正态态分布有分布有许许多良好的性多良好的性质质，如正，如正态态分布可以分布可以导出导出一

15、些其它分布，而某些分布一些其它分布，而某些分布（如二（如二项项分布、泊松分布等）在一定的条件下可用正分布、泊松分布等）在一定的条件下可用正态态分布来分布来近似近似。 正态分布在十九世纪正态分布在十九世纪前叶由高斯加以推广，所前叶由高斯加以推广，所以通常称为高斯分布以通常称为高斯分布. .德莫佛德莫佛 德莫佛最早发现了二德莫佛最早发现了二项概率的一个近似公式，项概率的一个近似公式，这一公式被认为是这一公式被认为是正态分正态分布的首次露面布的首次露面. 高斯高斯不知你们是否注意到街头的一种赌博不知你们是否注意到街头的一种赌博活动活动? ? 用一个钉板作赌具。用一个钉板作赌具。 也也许许很很多多人人

16、不不相相信信，虽虽然然玩玩这这种种赌赌博博游游戏戏十十有有八八九九是是要要输输掉掉的的，不不少少人人总总想想碰碰碰碰运运气气，然然而而中大奖的概率实在是太低了。中大奖的概率实在是太低了。下面我们在计算机上模拟这个游戏：下面我们在计算机上模拟这个游戏：街头赌博街头赌博高尔顿钉板试验高尔顿钉板试验 平平时时，我我们们很很少少有有人人会会去去关关心心小小球球下下落落位位置置的的规规律律性性，人人们们可可能能不不相相信信它它是是有有规规律律的的。一一旦旦试试验验次次数数增增多多并并且且注注意意观观察察的的话话，你你就就会会发发现现，最最后后得出的竟是一条优美的曲线得出的竟是一条优美的曲线。高高尔尔顿顿

17、钉钉板板试试验验这条曲线就近似我们将要介绍这条曲线就近似我们将要介绍的的正态分布正态分布的密度曲线。的密度曲线。定义定义 如果随机如果随机变变量量X的概率密度的概率密度为为 正态分布密度函数的几何性态：正态分布密度函数的几何性态：正态分布密度函数的几何性态：正态分布密度函数的几何性态：正态分布密度函数的几何性态：正态分布密度函数的几何性态：正态变量的分布函数为正态变量的分布函数为的正态分布称为的正态分布称为标准正态分布标准正态分布. .其密度函数和分布函数常用其密度函数和分布函数常用 和和 表示：表示： 任何一个一般的正态分布都可以通过线性变任何一个一般的正态分布都可以通过线性变换转化为标准正

18、态分布换转化为标准正态分布. .定理定理其分布函数为其分布函数为则则证证于是于是,有有 这个公式把一般正态变量的概率计算转换为标准这个公式把一般正态变量的概率计算转换为标准正态分布来计算正态分布来计算.当当-x0时，时，若若 XN(0,1), 例 设随机变量 查表求概率 例 设随机变量 求概率 例 设随机变量 已知 求例例1 1解解例例3 3解解 若入学考试中各个考生的总分数服从正态分布若入学考试中各个考生的总分数服从正态分布N(400,100(400,1002 2),),共有共有20002000人参加考试，假定只录取前人参加考试，假定只录取前300300名，求分数线名，求分数线a，使考生总分

19、超过使考生总分超过a的概率等于升的概率等于升学率。学率。 设设X表示考试总分，则表示考试总分，则 例例2 2这在统计学上称作这在统计学上称作“3 3 准则准则”（三倍标准差原则）（三倍标准差原则）. .68.26%68.26%95.44%95.44%99.74%99.74% 若某人从甲地到乙地有两条路线可走，第一条路若某人从甲地到乙地有两条路线可走，第一条路线过市区，路程短但拥挤，所需时间线过市区，路程短但拥挤，所需时间( (分分) )服从正态分服从正态分布布N(50,100)(50,100)；第二条线路沿环城路走，路程长但阻塞第二条线路沿环城路走，路程长但阻塞少，所需时间少，所需时间( (分

20、分) )服从正态分布服从正态分布N(60,16)(60,16)。问问:(1):(1)假假如有如有7070分钟可用，应选哪条路？分钟可用，应选哪条路？(2)(2)若只有若只有6565分钟，分钟，又应走哪条路？又应走哪条路？例例4 4解解记行走时间为记行走时间为t， (1) (1) 若有若有7070分钟可用分钟可用, ,走第一条路线能及时赶到的概率为走第一条路线能及时赶到的概率为 走第二条路线能及时赶到的概率为走第二条路线能及时赶到的概率为 因此，若有因此，若有7070分钟可用，应选第二条路线。分钟可用，应选第二条路线。 解解记行走时间为记行走时间为t， (1) (1) 若有若有7070分钟可用分

21、钟可用, ,走第一条路线能及时赶到的概率为走第一条路线能及时赶到的概率为 走第二条路线能及时赶到的概率为走第二条路线能及时赶到的概率为 因此，若有因此，若有6565分钟可用，应选第一条路线。分钟可用，应选第一条路线。 解解 记行走时间为记行走时间为t， (2) (2) 若有若有6565分钟可用分钟可用, ,走第一条路线能及时赶到的概率为走第一条路线能及时赶到的概率为 例5 由历史记录知,某地区总降雨量(单位:mm).求(1)明年降雨量在400mm700mm之间的概率；(2)明年降雨量至少为300mm的概率;(3)明年降雨量小于何值的概率为0.1?解 1)2)3) 设该值为则有即查表得从而例例

22、假设新生入学外语考试的成绩(百分制)服从正态分布N(72, 2). 而且96分以上的考生占2.3%, 求随意抽取的一份外语试卷的成绩, 介于60分到84分之间的概率.解解 由条件知外语考试的成绩X N(72, 2); 而由即(24/) = 0.977; 由标准正态分布函数数值表(附表1)可查得(2) = 0.977, 故 24/ 2 , 从而12 . 因此,例例 假设随机变量X服从参数为(108,9)的正态分布, 求(1) 事件101.11X b = 0.10.解解 由条件知, 随机变量(1) 由标准正态分布函数(x)数值表(附表1), 可见(2) 设(x)是标准正态分布函数. 由条件知由标准

23、正态分布函数(x)的水平双侧分位数u表(附表3), 可见(3) 设条件知(注意到(36)0)由标准正态分布函数(x)的水平双侧分位数u表(附表3), 可见例例 假设无线电测距仪无系统误差, 其测量的随机误差服从正态分布. 已知随机测量的绝对误差以概率0.95不大于20m, 求随机测量的标准差.解解 由条件知, 随机误差e服从正态分布N(0,2), 所以由可见 前面讨论了随机变量的概率分布，它完整地前面讨论了随机变量的概率分布，它完整地描述了随机变量的概率性质，而描述了随机变量的概率性质，而数字特征数字特征则是由则是由概率分布所决定的概率分布所决定的常数常数，它刻划了随机变量的某，它刻划了随机变

24、量的某一方面的性质。在许多实际问题中，分布往往不一方面的性质。在许多实际问题中，分布往往不易求得或不需求得，而只需了解某些数字特征，易求得或不需求得，而只需了解某些数字特征，而数字特征往往容易通过而数字特征往往容易通过数理统计数理统计的方法得到。的方法得到。 这一节先介绍随机变量的数学期望这一节先介绍随机变量的数学期望.在这些数字特征中，最常用的是在这些数字特征中，最常用的是期望和方差期望和方差第四节第四节 随机变量的数字特征随机变量的数字特征随机变量的数学期望随机变量的数学期望随机变量的方差随机变量的方差4.14.1数学期望数学期望一一. .数学期望的定义数学期望的定义例例1 设某班设某班4

25、0名学生的概率统计成绩及得分名学生的概率统计成绩及得分人数如下表所示：人数如下表所示： 分数分数 40 60 70 80 90 100 人数人数 1 6 9 15 7 2则学生的平均成绩是总分则学生的平均成绩是总分总人数总人数(分分)。即。即有甲、乙两射手，他们的射击技术如下表：有甲、乙两射手，他们的射击技术如下表： 例例甲：甲：击中环数击中环数 8 89 9101030%30%10%10%60%60%频率频率 乙：乙：击中环数击中环数 8 89 9101020%20%50%50%30%30%频率频率 问哪一个射手问哪一个射手水平较高？水平较高？解解假定各射假定各射N枪，则平均每枪所得环数约为

26、枪，则平均每枪所得环数约为 甲：甲：甲：甲：击中环数击中环数 8 89 9101030%30%10%10%60%60%频率频率 乙：乙：击中环数击中环数 8 89 9101020%20%50%50%30%30%频率频率 问哪一个射手问哪一个射手水平较高？水平较高？解解假定各射假定各射N枪，则平均每枪所得环数约为枪，则平均每枪所得环数约为 甲：甲：乙：乙：可见甲的水平高些。可见甲的水平高些。 定义定义1 离散型随机变量离散型随机变量XPX=xk=pk, k=1,2,n, 若级数若级数 对于离散型随机变量X , EX就是X的各可能值与其对应概率乘积的和.例例1 1 若若X X服从服从0-10-1分

27、布分布, ,其概率函数为其概率函数为PX= k=PPX= k=Pk k(1-p)(1-p)1-k 1-k (k=0,1), (k=0,1), 求求EX.EX.X01P1-pp解：解：例2 甲,乙两名射手在一次射击中得分(分别用 , , 表示)的分布律如表1,表2所示.这表明,如果进行多次射击,他们得分的平均值是2.1和2.2,故乙射手较甲射手的技术好.123P0.40.10.5试比较甲乙两射手的技术.123P0.10.60.3解：解：例3 一批产品中有一,二,三等品,等外品及废品5种,相应的概率分别为0.7, 0.1, 0.1, 0.06及0.04,若其产值分别为6元, 5.4元, 5元,4

28、元及0元.求产品的平均产值. E=6x0.7+5.4x0.1+5x0.1+4x0.06+0x0.04 =5.48( 元)65.4540p0.70.10.10.060.04解 ：产品产值是一个随机变量,它的分布率如表:例4 已知盒内有5个球,其中2个白球,3个黑球,从中一次摸出3个球,计算摸到的白球个数X的数学期望EX.例5 已知甲袋内有3个白球与3个黑球,乙袋内有3个白球, 今从甲袋内任意摸出3个球放入乙袋.求(1)乙袋内黑球个数X的数学期望;(2)从乙袋内再任摸一球是黑球的概率.例5 已知甲袋内有3个白球与3个黑球,乙袋内有3个白球, 今从甲袋内任意摸出3个球放入乙袋.求(1)乙袋内黑球个数

29、X的数学期望;(2)从乙袋内再任摸一球是黑球的概率.设B=从乙袋内再任摸一球是黑球例例6 掷一颗均匀的骰子，以掷一颗均匀的骰子，以表示掷得的点数，求表示掷得的点数，求的数学期望。的数学期望。定义 4.2 P(58) 设连续型随机变量x(x), - x2也同样有例例解解X-2-2-1-10 00.10.1P 1 10.20.20.30.30.40.4设随机变量设随机变量X的概率分布如下：的概率分布如下： 例例解解设随机变量设随机变量X的服从的服从 a,ba,b 上的均匀分布上的均匀分布 例例解解设随机变量设随机变量X的服从的服从0,20,2 上的均匀分布上的均匀分布 例2 有一队射手共9人,技术

30、不相上下,每人射击中靶的概率均为0.8;进行射击,各自打中靶为止,但限制每人最多只打3次.问大约需为他们准多少发子弹?解 设i表示i名射手所需的子弹数目, 表示9名射手所需的子弹数目,依题意,并且i有如下分布律再多准备10% 15%,大约为他们准备13发子弹.其中0,求这种元件的平均使用寿命.解：解：解解例例 假定世界市场对我国某种出口商品的需求量假定世界市场对我国某种出口商品的需求量X X( (单位单位吨吨) )是个随机变量是个随机变量, ,它服从它服从2000,40002000,4000上的均匀分布上的均匀分布, ,设设该商品每售出该商品每售出1 1吨可获利吨可获利3 3万美元万美元, ,

31、但若销售不出去积压但若销售不出去积压于库于库, ,则每吨需支付则每吨需支付1 1万美元万美元, ,问如何计划年出口量能使问如何计划年出口量能使国家期望获利最多国家期望获利最多? ? 解解:求随机变量求随机变量Y=X2的数学期望的数学期望XPk-1 0 1YPk1 0 求 E(2), E(3) ，E(4)。二二 方方差差 (Variance) 随机随机变变量量X的数学期望，描述了随机的数学期望，描述了随机变变量量X取取值值的集中的集中趋势趋势或平均水平，但是或平均水平，但是仅仅仅仅知道知道X的数学期望的数学期望有有时还时还不能完全刻划随机不能完全刻划随机变变量量X的的统计统计特征。比如，特征。比

32、如，某厂生某厂生产产一批元件，平均使用寿命一批元件，平均使用寿命E( (X)=1000)=1000小小时时，仅仅由此我由此我们还们还很很难难了解了解这这批元件批元件质质量的好坏，因量的好坏，因为为有可能有一半的元件有可能有一半的元件质质量很高，寿命在量很高，寿命在15001500小小时时以以上，而另一半却上，而另一半却质质量很差，寿命不足量很差，寿命不足500500小小时时，从而，从而反映出反映出质质量不量不稳稳定。可定。可见应进见应进一步考察元件寿命一步考察元件寿命X对对期望期望E( (X) )的偏离程度。下面介的偏离程度。下面介绍绍的方差就是用来描的方差就是用来描述随机述随机变变量的可能取

33、量的可能取值值与其期望之与其期望之间间的差异程度的的差异程度的数量特征。数量特征。 一、方差的定义一、方差的定义 定义定义即即计算公式计算公式: :1. 1. 若若X是是离散型离散型随机随机变变量，其概率分布量，其概率分布为为 则则计算公式计算公式: :2. 2. 若若X为为连续型连续型随机随机变变量，其概率密度量，其概率密度为为 f( (x) )，则则 设设X表示机床表示机床A一天生产的产品废品数，一天生产的产品废品数，Y 表表示机床示机床B一天生产的产品废品数，它们的概率分布一天生产的产品废品数，它们的概率分布如下：如下： X0 01 12 20.50.5P 3 30.30.30.10.1

34、0.10.1例例1 1解解Y0 01 12 20.60.6P 3 30.10.10.20.20.10.1问：两机床哪台质量好？设两台机床的日产量相等问：两机床哪台质量好？设两台机床的日产量相等。 均值相等均值相等, , 据此不能判断优劣据此不能判断优劣, ,再求方差再求方差. .X0 01 12 20.50.5P 3 30.30.30.10.10.10.1Y0 01 12 20.60.6P 3 30.10.10.20.20.10.1均值相等均值相等, , 据此不能据此不能判断优劣判断优劣, ,再求方差再求方差. .由于由于D( (X) )D( (Y),),因此机床因此机床A的波动较机床的波动较

35、机床B的波动小的波动小, ,质量较稳定质量较稳定. . 几种常见离散型分布的方差几种常见离散型分布的方差1. 0-11. 0-1分布分布已经求得已经求得2. 2. 二项分布二项分布已经求得已经求得所以所以3. 3. 泊松分布泊松分布已经求得已经求得所以所以几种常见连续型分布的方差几种常见连续型分布的方差1. 1. 均匀分布均匀分布已经求得已经求得2. 2. 指数分布指数分布已经求得已经求得3. 3. 正态分布正态分布已经求得已经求得几几种种常常用用的的随随机机变变量量的的数数学学期期望望与与方方差差 分布分布概率分布或概率密度概率分布或概率密度 数学期望数学期望 方差方差 0-10-1分布分布

36、二项二项分布分布均匀均匀分布分布指数指数分布分布正态正态分布分布泊松泊松分布分布二、方差的性质二、方差的性质性性质质1 1 D( (C )=0)=0，其中其中C是常数。是常数。 性质性质2 2 若若k是常数是常数,则则性质性质3 3证证其中其中C是常数。是常数。 证证性质性质4 4 设设X和和Y是两个相互独立的随机是两个相互独立的随机变变量，量，则则 证证而而性质性质4 4 设设X和和Y是两个相互独立的随机是两个相互独立的随机变变量，量，则则 证证当当X和和Y相互独立相互独立时时，有有E(XY)=E(X)E(Y)，所以所以推广：推广：若若X1,X2,Xn相互相互独立独立,则则注意注意：以下两个

37、式子是等价的：以下两个式子是等价的,的充分必要条件为的充分必要条件为,存在常数存在常数C,使使事实上事实上,若若X1,X2,Xn相互相互独立独立,则则例如例如, ,当当X和和Y相互独立相互独立时时, ,有有性质性质5 5利用方差的性质重新求二项分布的方差利用方差的性质重新求二项分布的方差.设设 X B ( n, p )，X表示表示n重贝努里试验中的重贝努里试验中的“成功成功” 次次数数.例例解解设设而而 X= X1+X2+Xn , i=1,2,n其分布律为其分布律为所以所以且且 X1,X2,Xn相互独立相互独立,例2 设随机变量X的概率密度函数为解：解：例7 若连续型随机变量的概率密度是已知E

38、=0.5, D=0.15, 求系数a, b, c.解解:第五节第五节 随机变量的函数的分布随机变量的函数的分布一、求随机变量函数的分布一、求随机变量函数的分布 的一般方法的一般方法二、求随机变量函数的密度二、求随机变量函数的密度 的一个常用公式的一个常用公式一、求随机变量函数的分布的一般方法一、求随机变量函数的分布的一般方法设y = g(x)是连续函数或分段连续函数, Y = g(X)作为随机变量X的函数, 也是随机变量. 根据自变量X的概率分布, 求Y的概率分布的一般方法: 将Y的分布函数通过X的概率分布表示:1. 离散型 若X是离散型随机变量, 则首先根据X的可能值列出Y的可能值, 然后分

39、别求Y等于各个可能值的概率.例例1 假设一部机器在一个工作日因故停用的概率为0.2. 一周使用5个工作日可创利润10万元; 使用4个工作日可创利润7万元; 使用3个工作日只创2万元; 停用3天及多于3天亏损2万元. 求所创利润的概率分布.解解 设X是一周5个工作日停用的天数; Y是一周所创利润. X服从参数为(5,0.2)的二项分布, 而一周所创利润Y是停用天数X的函数:若X = 0,若X = 1,若X = 2,若X = 3,显然Y的可能值为10,7,2,2, 因此于是, 所创利润Y的概率分布 设随机变量设随机变量X的概率分布为的概率分布为例例2 2解解求求2 2X+1+1及及X 2 2的概率

40、分布。的概率分布。 注意：取注意：取值值相同的概率相同的概率应应相加。相加。例例3 设随机变量X的概率分布为解解 (1) 易见, 随机变量Y = X2 + 1有1,2,5等3个可能值, 因此Y的概率分布为分别求随机变量Y = X2 + 1和Z = cosX的概率分布.(2) 随机变量Z = cosX有1和1两个可能值. 因此Z的概率分布为解解 X可能的取值为-3,1,5,9,并且所以 X 的分布律为-3 1 5 90.2 0.1 0.3 0.4 例例 设随机变量的概率分布为-1 0 1 20.2 0.1 0.3 0.4且分别求 X , Y 的概率分布.Y 的可能取值为0,1,4,并且所以Y的分

41、布律为0 1 40.1 0.5 0.4 例例4 4 设随机变量 X 的分布律为并且求Y 的分布律. 解解 Y 的可能取值为-1,0,1,并且所以二二.连续型随机变量的分布连续型随机变量的分布基本步骤基本步骤:问题问题: :已知 X 的概率密度 求Y=g(X)的概率密度1.确定Y的取值范围.如果其取值的范围为区间则当时,2. 当时,先求分布函数然后再对分布函数求导即得概率密度.分布函数法分布函数法利用事件 与 ,先从X的概率密度函数求出Y的分布函数,这就是分布函数法. X的概率密度函 , 则Y的分布函数为 Y的概率密度函数求随机变量函数的密度的一个常用公式求随机变量函数的密度的一个常用公式设y=

42、 g(x)是严格单调的连续函数, (a,b)是函数y = g(x)的值域, x = h(y)是y = g(x)的唯一反函数. 若X是密度为fx(x)的连续型随机变量, 则Y也是连续型随机变量, 其概率密度fy(y)通过f(x)表示为证证明明 以K(y)表示随机变量Y = g(X)的分布函数. 熟知, 若y = g(x)为增函数, 则h(y)0;若y = g(x)为减函数, 则h(y)0. 显然, 当yc时, K(y) = 0; 当yd时, K(y) = 1. 先设y = g(x)为增函数, 对于c y d, 有当y = g(x)为减函数, 对于c y d, 有纵上所述, 得证.推论：设X是连续

43、型随机变量,其概率密度函数为fx(x)，Y=kX+b(k0),则Y的概率密度函数为 例例3 3 设随机变量的概率密度为求的分布函数解解 先求分布函数对上式两端求导，得的概率密度的分布函数 例例4 4 设随机变量的概率密度为求解解对上式两端求导，得的分布函数 例例5 5 设随机变量的概率密度为这里a,b是常数且求的概率密度解解 先求分布函数对上式两端求导，得 由上式可得如下重要结论：若则即，正态随机变量的线性函数仍为正态随机变量即，正态随机变量的线性函数仍为正态随机变量.进一步地,我们还有若则 例例4 4 设随机变量X的概率密度为试求的概率密度. 解解 显然,当时,当时,有求导,得所以,有将本例的结果应用到标准正态分布,有:若则的概率密度为 我们称具有上述形式概率密度的随机变量服从参数为参数为1 1的的分布分布. .例例5 5 设随机变量X的概率密度为求的概率密度.解解 显然，时,有而当时,00.511.522.533.500.10.20.30.40.50.60.70.80.91两边求导,得所以例例6 设随机变量X的概率密度为求随机变量Y的概率分布, 其中若X 0,若X 0.解解 易见, 因为密度函数f(x)关于原点对称: f(x) = f(x), 所以由于Y有1和1两个可能值, 而且