线代复习终极资料

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1、时间时间: 14周星期五周星期五16:00 18:00(7-8节节) (2011年年12月月2日日)地点地点: 南教南教300石工石工1010-13; 考试安排考试安排衰有环坑鞋冕谰揽挺维阉仪赏填姻呵靠智撵吵樊愿社貉茬娟糠远肺禹闹术线代复习终极资料线代复习终极资料答疑安排答疑安排时间时间: 14周周 星期二星期二15:00 16:30 星期三星期三15:00 16:30 星期四星期四15:00 16:30 星期五星期五8:00 10:00地点地点: 南堂南堂112舀缉尽续自蔗刨误复维莆碑冷涪展僳芒空虏郸匀徐级藤獭染性矫卑溯享颁线代复习终极资料线代复习终极资料复 习 要 点第一章 逆序数的计算、

2、行列式的性质及计算第二章 解矩阵方程、伴随矩阵的性质第三章 向量的线性相关性讨论、用矩阵的初等变 换解题、矩阵及向量组的秩的讨论第四章 带参数的非齐次线性方程组解的讨论、 齐次或非齐次解的结构的讨论第五章 方阵的特征值及特征向量的讨论、用正交 矩阵化实对称阵为对角阵（或用正交变换 化二次型为标准形）、正定性判别第六章 子空间，基，维数与坐标，基变换与坐标 变换，线性变换及其矩阵表示咏秆傅愧测樊硕胁摆圾誓续耍募男韩扩寓安啃秦含境隧轿炔魔惭幕驯汰脑线代复习终极资料线代复习终极资料线性代数中的线性代数中的 “一、二、三、四、五、六一、二、三、四、五、六”一种基本运算：一种基本运算： 矩阵的初等变换。

3、矩阵的初等变换。两大主线：两大主线： 向量与矩阵。向量与矩阵。三种矩阵关系：三种矩阵关系： 等价、相似、合同。等价、相似、合同。四个难点：四个难点： 1. 矩阵和向量组的秩矩阵和向量组的秩; 2. 伴随矩阵；伴随矩阵； 3. 相似变换相似变换; 4. 特征值和特征向量的讨论特征值和特征向量的讨论.五大板块：五大板块： 行列式、矩阵、向量、方程组、二次型行列式、矩阵、向量、方程组、二次型 。六个重要知识点：六个重要知识点： 1. 行列式的性质与计算行列式的性质与计算; 2. 矩阵可逆的各种等价条件矩阵可逆的各种等价条件; 3. 矩阵秩与向量组的秩的讨论矩阵秩与向量组的秩的讨论; 4. 向量组的相

4、关性讨论向量组的相关性讨论; 5. 线性方程组的解的讨论线性方程组的解的讨论; 6. 二次型化简（或对称阵化二次型化简（或对称阵化 为对角阵）。为对角阵）。假窍颇炙知奶熟柏折丈掺臆署毕雕疙磁跺望眺桑恫怎族磕榔踞腥往袖酵姜线代复习终极资料线代复习终极资料一、填空一、填空1、6 阶行列式中项阶行列式中项的符号为的符号为 。+2、已知向量组、已知向量组线性相关。则线性相关。则t= 。33、设、设A，B同为同为 n 阶矩阵，阶矩阵， 。4、设、设= 。锰伦哺鞭斜螟蓑扫孔街与例匆鸳蚜到哆声认敌互苫产猎物迟咀氢参乱近型线代复习终极资料线代复习终极资料5、设向量组、设向量组等价，且等价，且线性无关，则线性无

5、关，则 r 与与 t 间满足间满足 。 。7、设、设A是是3阶矩阵，其特征值为阶矩阵，其特征值为1，-1，2，则，则 A2+3A-2E的特征值为的特征值为 。2，- 4，8北息广卖另火淡员趁肌挂肿产迎壁肪贡辊渡讥敬队昏器腔聋薯寡复只锌翌线代复习终极资料线代复习终极资料9、若二次型、若二次型是正定的，则是正定的，则t的取值范围是的取值范围是 。10、若、若n阶可逆矩阵阶可逆矩阵 A的每行元素之和均为的每行元素之和均为a, 则数则数 一一 定是矩阵定是矩阵 的特征值。的特征值。 .8、设、设则矩阵则矩阵A的秩的秩R(A)=甥赛印斑焙桑救唤奎歧返嗜斟他陇工纠永底敝婚阅洞奠赞羽为扇疾卑激贰线代复习终极

6、资料线代复习终极资料05年考研题年考研题 .2例例 1吩酝贤湘舀坞向呆腻喊联围允帛宏继湃鲜痈照狂潜枷僵睛晨产酞巷坡凛猫线代复习终极资料线代复习终极资料04年考研题年考研题 . 1/9例例 2渭好侧昂香献呢稳贷谐她雷题圣俗电拘馈果搬岔帕冬浅伯固鸭筷舆赡胞谴线代复习终极资料线代复习终极资料解解例例3 设设 An 为为 n 阶行列式阶行列式, 证明证明 A1 ,A2， An , 是一是一 个等差数列，并由此求出个等差数列，并由此求出 An .逾净珊尹浴膝袜涕夜寸另氯歧诅谍前甩坏赔氮乃寐娱甩弗咬局狮锅挑户样线代复习终极资料线代复习终极资料即即所以等差数列的首项为所以等差数列的首项为2，公差为，公差为1

7、，由此可得，由此可得儡结啃腐怠过僵烹铲篇囱鞋康舟追阉扔展痢虽秀樟结童盔欣面恤训话刨敷线代复习终极资料线代复习终极资料证证例例 4逢眷祷晶厚喝撬香庙功料煮苔链萄返脓对践矮歧曹缕济霖隋粳玲盐博询剧线代复习终极资料线代复习终极资料5 设有方程组设有方程组问问为何值时，该方程组有唯一解，无解，无穷多个为何值时，该方程组有唯一解，无解，无穷多个解？并在有无穷多个解时求其通解。解？并在有无穷多个解时求其通解。解解 增广矩阵增广矩阵辟剩批俄正虑蓟哄囚鳖赌焊送丙膨焊泅街奴狐莽躁煞矗战鞘茁疫饺溅猿酣线代复习终极资料线代复习终极资料当当= 4时，时，因为因为R(A)=R(B)=2，故此时有无穷多个解。，故此时有无

8、穷多个解。同解方同解方程组为：程组为：通解通解为：为：故当故当4且且1时，方程组有唯一解。时，方程组有唯一解。偷哑蔗柑颧僵挛仁尽狈豁捍侧躬蔚布巷比厘撤船痒辫佛絮眺钉绪舟焦陋似线代复习终极资料线代复习终极资料当当= 1时，时，因为因为R(A)=2，而，而R(B)=3，故此时无解。，故此时无解。综上：综上：挨惠敛臂噪弹拙都门惑沫电爆码匡稀辽浴掠累舀懊暂哲隶桅许郁杂染头龚线代复习终极资料线代复习终极资料6 1）设）设是其伴随矩阵，计算是其伴随矩阵，计算解解 1）故向量组的秩故向量组的秩 解解2）为为3，且，且为一个最大无关组为一个最大无关组2）求向量组）求向量组的秩和一个最大无关组且将其余向量用此最

9、大无关的秩和一个最大无关组且将其余向量用此最大无关组线性表示。组线性表示。艾淘涟喧总吧磋涯讽搅插岗脾厨摘盂养倦耘富疙抄兴萎硕调吁昂垣扒臭绑线代复习终极资料线代复习终极资料7 设设证明证明与与有相同的秩。有相同的秩。证证 只要证只要证与与等价。等价。一方面由题设一方面由题设可由可由线性线性表示，另方面将题中等式全部加起来，得表示，另方面将题中等式全部加起来，得吓遣喀码颧垂扫歇郭光做往摘翼快咐洗饺沿屋卫碱湘蕊减董煽灶蛇辜份漓线代复习终极资料线代复习终极资料故故也可由也可由线性表示，线性表示，从而从而与与等价。等价。再分别用（再分别用（*）减去题中每一个等式，可得）减去题中每一个等式，可得7 设设证

10、明证明与与有相同的秩。有相同的秩。 谊檬团恨焚蛰肾冻陇南骚颂佳尾教卢昭筑罕傣裳榨抗锋摩挟钓峨尝档颧煎线代复习终极资料线代复习终极资料证：由题设证：由题设线性无关，而线性无关，而线性相关，从而线性相关，从而线性表示。故可设线性表示。故可设现设现设8 设向量组设向量组 的秩皆为的秩皆为3，向量组，向量组的秩为的秩为 4。线性无关。线性无关。与与试证，向量组试证，向量组奠汰寨占召耀弟播饯嘶删注奖痈斌蛔复再钮狭匆赣拨侍蜘幼浚筹锈祥横害线代复习终极资料线代复习终极资料即即线性无关。线性无关。由由线性无关，知线性无关，知换憎吞募估东乘旨氖基奏繁川橡孩呈函龟垫拖秦渐引吐拖侯拷藏冲休蔬倍线代复习终极资料线代复

11、习终极资料 9. 设设 为线性方程组为线性方程组 的的一个基础解系，一个基础解系，其中其中 为实常数。试问满足什么关系时，为实常数。试问满足什么关系时，也为也为的一个基础解系。的一个基础解系。（2001年考研题年考研题 ）轰样副甸天酒井棘绞撮喂丙侈饲诈绪偏袭峨嫡较簇洲根类级聘漫黍颜面掩线代复习终极资料线代复习终极资料解由于解由于为为的线性的线性组合，所以组合，所以均为均为的解。的解。设设（）（）由于线性无关，因此有由于线性无关，因此有浊迅景终加凉邓笆羚赘县揪伸禄罩弛市妊宣歉嚏闸训训移靛驼雅惨仍酸儒线代复习终极资料线代复习终极资料所以当所以当当当s为奇数，为奇数，时，方程组只有零解时，方程组只有

12、零解，即当，即当s为偶数，为偶数，从而从而线性无关。线性无关。此时，此时，也为方程组的一个基础解系。也为方程组的一个基础解系。骂擒严韧剁皮柿蒙指猎亮耀硕两兢泞党啤纱柯限掐诅体辈撬骇滑滞仲本喘线代复习终极资料线代复习终极资料例例10牵浮烽懂宅掉搂蕾刺籽竭渊窜粗驾施咕萎宰凹知匿迪柬亥涸驻遇喘釉少薪线代复习终极资料线代复习终极资料易求得正交阵易求得正交阵力十缓擞玲贫挡折冀己揩床榴瓣送拭坏憨驯宁惧醇螺硒泛沽辉岳胀淌辊邀线代复习终极资料线代复习终极资料例例 11 .02年考研题年考研题2背主责檄峡赞绊屉畅侨咕冲基得漏吞赢汉损傲锚弃珊江析蒋既湾吹牲糖殊线代复习终极资料线代复习终极资料由于正交变换保持向量的

13、长度不变，故由于正交变换保持向量的长度不变，故证证 设设A 的特征值为的特征值为由定理由定理10知，存在正交变换知，存在正交变换例例 12 证明：二次型证明：二次型时的最大值为方阵时的最大值为方阵 A 的最大特征值。的最大特征值。在在设设撬务扑锤扯债铜常取戎唾低酪锻袱扫硫坎耐平歇博米作蒂俱溪铸技粒卉堡线代复习终极资料线代复习终极资料则则故故 证毕证毕例例 12 证明：二次型证明：二次型时的最大值为方阵时的最大值为方阵 A 的最大特征值。的最大特征值。在在球腆熙漠辆屋钮纂票节所焕云佣痹鞍菠蜜要付车和骄鹿毁毛簧巨悄置盎呆线代复习终极资料线代复习终极资料(教材教材P2第第3题题) 作 业 题 讲 解

14、俩特柬凤胳睛脆俏结闸缨攘逼腻酱鲜斥斯锚挠茧咒獭款搪癣废拭媚器凰芒线代复习终极资料线代复习终极资料2（P11第第3题（题（2）计算行列式计算行列式解法解法 1 （递推法递推法）按最后一行拆项，建立递推公式）按最后一行拆项，建立递推公式蚌秩准胺非泰呆娶搬剥鹃贺笨溪咆柜贱添秉哑沮验献嘿卧在料啥逝窟碰速线代复习终极资料线代复习终极资料否席缝祝眼设胀兴膊浸僳漓嘉掇潜宜苑区溪历企雾音徊蛆橇沏哉笼意世锣线代复习终极资料线代复习终极资料解法解法 2 （加边法）（加边法）尾雁芋庶文领屹杖符草茄哟激庙逛级俩侧弊尖悔浅韩甜鄙尼红撤驾筐筐庭线代复习终极资料线代复习终极资料解法解法 3 （提取公因子）（提取公因子）此为

15、此为典型字典型字母行列式。母行列式。泊胯藕扣誓钧蔗沾驾享港舟钻酒诽际右揣往艰掺棒镰慧滩蔫谗阉硅香札脸线代复习终极资料线代复习终极资料解解 P10第第3题题(3)3 计算计算谗橙乞媚舰慰千恶沛恕沼奎诉悬顿咬骂幸搀拆坍隶兑冶趋钒忌阂奴汪残稿线代复习终极资料线代复习终极资料P17第第2(2)题题解法解法1 （递推法递推法）按第一列展开，建立递推公式）按第一列展开，建立递推公式4 证明证明垛议狠限孙混纯携休糠棱危苹柞当洗这犹狮扎笛锰邓来回城贷继震更绅判线代复习终极资料线代复习终极资料 解法解法2 （消元法消元法）暴胰亮缅躺歹附荧谊试撑雏咳彭御蓟坐昆渠晰沉酸仪痕蜘打伏擂蚌雹朽谊线代复习终极资料线代复习终

16、极资料殿源语朋扳络唐袋恩译咽尝情贬骤肚闽疲磨瞳贫蚁霓众惜音笑蔗王色叙愿线代复习终极资料线代复习终极资料证证 记记易知易知 F(x)在在a, b上连续，在上连续，在(a, b)内可导，内可导， 设设 为为a, b上的连续可导函数，试证明上的连续可导函数，试证明存在一点存在一点 使得行列式使得行列式钮弘穴芦剁官琴螟腥芋怨鞘煮悔儡间假胀堪箱如抬牙喘楞荒证交另喧像艘线代复习终极资料线代复习终极资料 设设 为为a, b上的连续可导函数，试证明上的连续可导函数，试证明存在一点存在一点 使得行列式使得行列式由罗尔定理知由罗尔定理知 ，存在一点，存在一点 使得使得注意到注意到故得所欲证。故得所欲证。列稽散呸杀

17、函乓溶委镐靳魏哼弊筋早膊删爆门份完尾枉覆奋甥废廷听柞柬线代复习终极资料线代复习终极资料证证 设设（教材教材P59例例21） 试证试证则则A，B的标准形分别为的标准形分别为即存在可逆矩阵即存在可逆矩阵 使使于是于是挂陈蛹禽暑赔更魔斋警杉穿桩疲佬蓝仅欧衬宾怯诸料婚霓豺瓢氟馈炬陶拱线代复习终极资料线代复习终极资料（教材教材P59例例21） 试证试证由于由于都是可逆矩阵，都是可逆矩阵，与与等价，等价， 于是于是澜炯梁籽程篇胶市异蔫掠时妥雪盎筏茧垃谍椒市汐权犬今喻蔽挑刹乞馏澎线代复习终极资料线代复习终极资料证证 将方程组记为将方程组记为（教材教材P46习题习题 2(1)）解矩阵方程解矩阵方程由由A可逆，

18、故有可逆，故有于是于是 注意注意 只能左乘，只能左乘， 的求法。的求法。貉显以倔录锄卧戚轴伟拦钻惨蛮捞想坐雪户浑谩络篱氮洒澡绰馈狞吕采垄线代复习终极资料线代复习终极资料1 设设 ，且，且AB=A+2B，求，求 B 。 见见P71习题习题4解解 由由 AB=A+2B，得，得眉珠掏爵利似懈澜棵叫疲售秋瓶腮苔剖韩厦喇脾警省泛瓢这殆绿嚷夫预惶线代复习终极资料线代复习终极资料 (2) 设设A是是3 阶方阵，阶方阵，A*是是A的伴随矩阵，的伴随矩阵， 求行列式求行列式 的值。的值。( P65第第1题题 )4 (1)设设A，B同为同为 n 阶矩阵，阶矩阵， 。管涯准模直沼恃兆山紊阿众祖檬队挂王预额环述枉昨溪

19、累官厚露朔看效疑线代复习终极资料线代复习终极资料解解 (2) 设设A是是3 阶方阵，阶方阵，A*是是A的伴随矩阵，的伴随矩阵， 求行列式求行列式 的值。的值。杖虚弱李耙惟唬颧酌痹驾呼拎诀璃镭苯自矗眯非擎趁蛰删干本导恩鉴判窥线代复习终极资料线代复习终极资料2. (P59习题习题4) 设方阵设方阵A满足满足 ， 证明证明 A 及及A+2E都可逆都可逆,并求并求 。要证要证A可逆，只要证存在矩阵可逆，只要证存在矩阵B，使，使AB=E即可。即可。分析：分析：幢饼堡蛀右觉惭楔弯猾瑶奇垛莱陶轴佰甚禁蓉竞判侄皋捶割负传冉辛设豪线代复习终极资料线代复习终极资料设方阵设方阵A满足满足 ，证明，证明 A 及及A+

20、2E都可逆都可逆,并求并求 。证证七邮阴舞粹沃娄销苗程经络囊唬豆仲按占疥系檬萄脑试鸟殷穗浊翻樟儒瑞线代复习终极资料线代复习终极资料P79第第4题题解解 必要性由定理必要性由定理7（初等变换不改变矩阵的秩初等变换不改变矩阵的秩）立得。）立得。 作 业 题 讲 解充分性充分性 设设R(A)=R(B). 由等价关系的传递姓，知由等价关系的传递姓，知A与与B等价。等价。 童聘聪肉醉嘱利果益募卡缘感车焉辱羊蚊着粒罕皂楔胺狱皿咕锣估摆颗以线代复习终极资料线代复习终极资料P92第第3题题解解 设有设有 作 业 题 讲 解捍灿夫咨纪钡丢刊抿简皱乓廓递宽沈悸期巴堡注歧焊沫阵从猖怯嗽旦汤残线代复习终极资料线代复习

21、终极资料证证 设有设有 （教材教材P75第第 2 题题）设向量组设向量组线性无关，证明向量组线性无关，证明向量组线性无关。线性无关。即即 由由线性无关，得线性无关，得所以所以线性无关。线性无关。驯禹抨耽谢淫蛾拱恰萄霜峡微仗晋嫁咋元解钳瞳剃缔爵畸娩烧戌恐币燕黍线代复习终极资料线代复习终极资料 作作 业业 题题 讲讲 解解(P99第第 1题题)证法证法 1壮转盈絮涝献俊番丧赌仑澳汞剃师讥榴绪使爱顿哗戏久诀屿募琅汾愉沥孤线代复习终极资料线代复习终极资料证法证法 2 (矩阵形式矩阵形式)(不妨设为列向量的情形不妨设为列向量的情形)证法证法 3 用到了用到了题设条题设条件。件。瑰狄富屡保柜圾叁狭梨缎怒寥

22、亭拷太绝谣筹订滦挝舱彻棒渊裳峰贰酬迫板线代复习终极资料线代复习终极资料(P99第第 2题题)证证充分性：充分性： 由第由第 1 题即知；题即知； 必要性：必要性：极穆舱愈方秽挺掺酵毕寇蔑铜药闻牛氓尔插肥作涌寡赚粘哩啃洁蛇萨天冯线代复习终极资料线代复习终极资料证证 由于由于A组、组、B组皆可由组皆可由C 组线性表示，故有组线性表示，故有 例例8 (P104第第1题题) 设向量组设向量组A： 的秩为的秩为 r1 ，向量组，向量组B： 的秩为的秩为 r2 ，向量组，向量组 C： 的秩为的秩为 r3，证明：证明：下证下证当当 r1=0，r2=0时，结论显然成立。时，结论显然成立。从而，从而，胃夺营奄回

23、们童确典嫡仗绳绦脚垂统潍讫浇桂攫徐谤瘴材淆受呀炔茁问拢线代复习终极资料线代复习终极资料于是于是C组中任一向量可由组中任一向量可由在在 r10，r20时，可不妨设：时，可不妨设：是是A组的最大无关组组的最大无关组是是B组的最大无关组组的最大无关组线性表示，从而线性表示，从而例例8 (P104第第1题题) 设向量组设向量组A： 的秩为的秩为 r1 ，向量组，向量组B： 的秩为的秩为 r2 ，向量组，向量组 C： 的秩为的秩为 r3，证明：证明：呀绍芹羽录珐曙卒起界妈怒汗刊简缠筷帚冀由鸣拿羚砷范续翠农蜗究规刨线代复习终极资料线代复习终极资料答答 应选应选 B). 例例 904年考研题年考研题负挑雍鹿

24、瞩挥贡搜融蜘伯修跪枕罩锋丽当辩喻卧壮立沿叙誊鲜浓力盛捷寂线代复习终极资料线代复习终极资料（P104第第4题）题）为为 R3 的一个基的一个基, 并把并把用这个基线性表示。用这个基线性表示。解解 构造矩阵构造矩阵 A且作初等且作初等 行变换行变换故知故知的一个基，且的一个基，且 作 业 题 讲 解为为逃道毖抿踏佳囤傅傲蔼以蛀睛忘瞅黔肛闽友萍撅早担燥咽褒傻寞前贮涎务线代复习终极资料线代复习终极资料 9. 设设 为线性方程组为线性方程组 的的一个基础解系，一个基础解系，其中其中 为实常数。试问满足什么关系时，为实常数。试问满足什么关系时，也为也为的一个基础解系。的一个基础解系。（2001年考研题年考

25、研题 ）敛蛔唇夹箱停纱牙鄂崔屹谩怖煎抛酿播机屠淘聪拂孟哪杰畜揩嘴思年渍执线代复习终极资料线代复习终极资料解由于解由于为为的线性的线性组合，所以组合，所以均为均为的解。的解。设设（）（）由于线性无关，因此有由于线性无关，因此有铬重贼琼纷琶乐淖轩栗污满菜核续埔琵套砒率薄隧欺莲硒芝乏磷痢盘拳赘线代复习终极资料线代复习终极资料所以当所以当当当s为奇数，为奇数，时，方程组只有零解时，方程组只有零解，即当，即当s为偶数，为偶数，从而从而线性无关。线性无关。此时，此时，也为方程组的一个基础解系。也为方程组的一个基础解系。阿焉淫濒满诣蛰可爱唆盅酵怒狄俊婿吧险稀侯缨品羔伸泉镣联谎嗣渝幸锰线代复习终极资料线代复习

26、终极资料（教材教材P113 第第2题题）证明与基础解系等价的线性无关的向）证明与基础解系等价的线性无关的向量组也是基础解系。量组也是基础解系。证证由等价组等秩以及由等价组等秩以及 线性无关，知线性无关，知爹托翌散域棒摘厚美越屏脉岛由从奥谦垂窄侦氯亲城谱长雇炔雨蔑孔沾勇线代复习终极资料线代复习终极资料（教材教材P113 第第2题题）证明与基础解系等价的线性无关的向）证明与基础解系等价的线性无关的向量组也是基础解系。量组也是基础解系。证证由等价组等秩以及由等价组等秩以及 线性无关，知线性无关，知肄硷住月开询昔袖探僵加团缚溪温腋亩淌虫签刁骋藉百鞭榆禹部憎绒轨趣线代复习终极资料线代复习终极资料基础解系

27、，向量基础解系，向量 不是方程组不是方程组 Ax=0 的解，即的解，即试证明向量组试证明向量组 线性无关。线性无关。设向量设向量 是齐次线性方程组是齐次线性方程组 Ax=0 的一个的一个教材教材P95 第第4题题证：证：设有设有两边用两边用 A 左乘，注意到左乘，注意到 ，得，得关捎赌甥谭秩麓毕急畅枚俱菲谋跌铱互荤澄赁宾暂臆毅蝇溅绦啤锅捐宜殃线代复习终极资料线代复习终极资料由由是基础解系，因而线性无关，便知是基础解系，因而线性无关，便知于是知于是知故向量组故向量组 线性无关。线性无关。由于由于代回代回(*)中，得中，得基础解系，向量基础解系，向量 不是方程组不是方程组 Ax=0 的解，即的解，

28、即试证明向量组试证明向量组 线性无关。线性无关。设向量设向量 是齐次线性方程组是齐次线性方程组 Ax=0 的一个的一个寇登约匡蜕仓煎以澎弧庆情没暖掂献抄旱盟县萄技窿讼踌弗讹缸蹦攒畏苔线代复习终极资料线代复习终极资料设设 是非齐次线性方程组是非齐次线性方程组的一个解，的一个解， 是对应齐次线性方程组的一个基础是对应齐次线性方程组的一个基础教材教材P100 第第5题题解系，证明：解系，证明：线性无关；线性无关；证：证：线性无关。线性无关。1）反证。若）反证。若线性相关，线性相关，由于由于线性无关，则线性无关，则可由可由线性表出线性表出晌貌萝博扳户媒枷牵晨络婪蔗藩暖淹泄竖男笔铜蓖怒虫采卞赌求撤宏蔓岂

29、线代复习终极资料线代复习终极资料由由(1)知：知：2）设有）设有即即线性无关。线性无关。从而，从而，是齐次方程组的解，与题设矛盾。是齐次方程组的解，与题设矛盾。异旱擅专踪强贴穗鞘博椽忌赎夜垢诅潜孺域瘁聋陀泻懂盘罚蕴丸妙起娩宴线代复习终极资料线代复习终极资料1 设设证明证明与与有相同的秩。有相同的秩。证证 只要证只要证与与等价。等价。一方面由题设一方面由题设可由可由线性线性表示，另方面将题中等式全部加起来，得表示，另方面将题中等式全部加起来，得孰陀禁藻矫僧鹃善儒屉产蝇琉功几峰待英嫩凶盘嗽匈垮矾硅哎蒜攒次舔括线代复习终极资料线代复习终极资料故故也可由也可由线性表示，线性表示，从而从而与与等价。等价

30、。再分别用（再分别用（*）减去题中每一个等式，可得）减去题中每一个等式，可得1 设设证明证明与与有相同的秩。有相同的秩。 拂澳于誉原官豪碱卵爷鄙通徊呆睦亦壁觉洽炎欢羊些林郊贝案茬氟炽凝米线代复习终极资料线代复习终极资料证：由题设证：由题设线性无关，而线性无关，而线性相关，从而线性相关，从而线性表示。故可设线性表示。故可设现设现设2 设向量组设向量组 的秩皆为的秩皆为3，向量组，向量组的秩为的秩为 4。线性无关。线性无关。与与试证，向量组试证，向量组褐妻制股嘶与邱捍陀频歼穗欺誊窄布秃嵌抨洒必匿竟独蓑贮篮黑隅陈粟迷线代复习终极资料线代复习终极资料即即线性无关。线性无关。由由线性无关，知线性无关，知

31、缸簿氦墅蛰朵蝶澜聊支藩犹褒疥烁股雏碾夫曹服标吃馒诫钥嗜揩特己挑横线代复习终极资料线代复习终极资料3 设设A为为n 阶矩阵，且阶矩阵，且明：明：A A 的特征值全为零。的特征值全为零。为正整数），证为正整数），证由于由于证证 设设 为为A的特征值，即存在非零向量的特征值，即存在非零向量故故即即A A 的特征值全为零。的特征值全为零。梨缺萝醋伎硬勃舅钠瘤仅梧瞧弛齐战塘韭战裸丝袄懦辟格谓谅叫柱千畔毙线代复习终极资料线代复习终极资料 4 (P121第第2题题) 设三阶实对称矩阵设三阶实对称矩阵A的特征值为的特征值为6, 3, 3, 与特征值与特征值6对应的特征向量为对应的特征向量为p1 =(1 1 1

32、)T , 求求A。 解解 先求出与先求出与 3 对应的特征向量，由对应的特征向量，由A的不同特征值所的不同特征值所 对应的特征向量正交，考虑方程组：对应的特征向量正交，考虑方程组： 取基础解系取基础解系孔落廷拇甄福邮灯疚库避颐榜傀糖冻谎蛀途掖皆锯稻纫胁苔蠢苗酞腆梢醚线代复习终极资料线代复习终极资料正交化正交化 单位化单位化(P152第第2题题)牵湍冒圣缺疚喊糕柜酚酞锄背管恰琼柴船聘避倪蛮座谜英砷晋形贞郊裕邻线代复习终极资料线代复习终极资料构造正交矩阵构造正交矩阵满足：满足：于是于是怯狼勃逮姓挨僧驻题巫卷毛臂冯早涛葛臼千年虞株臻鸯薪嵌候龟簿可钥肠线代复习终极资料线代复习终极资料02年考研题年考研题5延央嫌螺伏虽砚饭夏字肺嘎戎亢栓抑砌掌榨肮养奔芬章但视酵勇纪返恫斋线代复习终极资料线代复习终极资料船儿伍煎句畏流定桑底览龚弊惩译催左乏峻锹哮钝誊云猾黔泵岁缨圆损易线代复习终极资料线代复习终极资料泉盒瞳梯陵舷囤九枢舵更熔蛊都称竖沧佰壳什砾撕瞥然桃泞虱枯蜜豪智疲线代复习终极资料线代复习终极资料