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1、漫谈数学基本思想及其教学西南大学数学与统计学院肖 红题题题题 记：记：记：记：1 1、义务教育阶段数学课程的总体目标是：、义务教育阶段数学课程的总体目标是：、义务教育阶段数学课程的总体目标是：、义务教育阶段数学课程的总体目标是： 通过义务教育阶段的数学学习，学生能够获得适应未来社会生活和进通过义务教育阶段的数学学习，学生能够获得适应未来社会生活和进通过义务教育阶段的数学学习，学生能够获得适应未来社会生活和进通过义务教育阶段的数学学习，学生能够获得适应未来社会生活和进一步发展必需的重要数学知识以及基本的一步发展必需的重要数学知识以及基本的一步发展必需的重要数学知识以及基本的一步发展必需的重要数学
2、知识以及基本的数学思想方法数学思想方法数学思想方法数学思想方法和必要的应用技能和必要的应用技能和必要的应用技能和必要的应用技能。 摘自摘自摘自摘自全日制义务教育数学课程标准全日制义务教育数学课程标准全日制义务教育数学课程标准全日制义务教育数学课程标准（20012001年版）年版）年版）年版） 通过义务教育阶段的数学学习，学生能获得适应社会生活和进一步发通过义务教育阶段的数学学习，学生能获得适应社会生活和进一步发通过义务教育阶段的数学学习，学生能获得适应社会生活和进一步发通过义务教育阶段的数学学习，学生能获得适应社会生活和进一步发展所必需的数学的基础知识、基本技能展所必需的数学的基础知识、基本技
3、能展所必需的数学的基础知识、基本技能展所必需的数学的基础知识、基本技能、基本思想基本思想、基本活动经验基本活动经验基本活动经验基本活动经验 。摘自摘自全日制义务教育数学课程标准全日制义务教育数学课程标准（20112011年版）年版）2 2、普通高中数学课程的具体目标之一：、普通高中数学课程的具体目标之一：、普通高中数学课程的具体目标之一：、普通高中数学课程的具体目标之一： 获得必要的数学基础知识和基本技能，获得必要的数学基础知识和基本技能，获得必要的数学基础知识和基本技能，获得必要的数学基础知识和基本技能， 体会其中所蕴含的体会其中所蕴含的体会其中所蕴含的体会其中所蕴含的数学思数学思数学思数学
4、思想和方法想和方法想和方法想和方法，以及它们在后续学习中的作用。，以及它们在后续学习中的作用。，以及它们在后续学习中的作用。，以及它们在后续学习中的作用。摘自摘自普通高中数学课程标准普通高中数学课程标准（实验）（实验） 提 纲：“求简、求谐、求续”的数学基本思想方法1、数学思想方法题解2、具有“三求”特征的数学基本思想方法3、数学基本思想方法的教学建议1 1、数学思想方法题解、数学思想方法题解、数学思想方法题解、数学思想方法题解 对什么是数学思想方法？一般可分为两种对什么是数学思想方法？一般可分为两种理解方式做出回答：理解方式做出回答：一种是微观式理解，另一种是宏观式理解。一种是微观式理解，另
5、一种是宏观式理解。1-1、数学思想方法的微观式理解n n指某一具体的数学知识（或方法）在形成、发展过指某一具体的数学知识（或方法）在形成、发展过程中所表现出的思想方法。程中所表现出的思想方法。 比如：方程的思想方法、函数的思想方法、极限的比如：方程的思想方法、函数的思想方法、极限的思想方法、概率统计的思想方法、数形结合的思想思想方法、概率统计的思想方法、数形结合的思想方法、数学归纳法、反证法、换元法方法、数学归纳法、反证法、换元法等等。等等。1-2、数学思想方法的宏观式理解n n指能充分反映数学特点的具有普遍性的数学思维指能充分反映数学特点的具有普遍性的数学思维模式。模式。 比如：抽象概括、化
6、归转换、公理演绎、数学建比如：抽象概括、化归转换、公理演绎、数学建模等。模等。1-3、我们应当如何理解数学思想方法n n做为一名数学教育工作者，不仅要具有对数学思做为一名数学教育工作者，不仅要具有对数学思想方法的微观式理解，更要具有对数学思想方法想方法的微观式理解，更要具有对数学思想方法的宏观式理解。所谓的的宏观式理解。所谓的“ “既要见树木，更要见森既要见树木，更要见森林林” ”。n n我们不要仅限于对数学思想方法的我们不要仅限于对数学思想方法的“ “一招一式一招一式” ”的理解，还要有对数学思想方法的更普遍更深刻的理解，还要有对数学思想方法的更普遍更深刻的理解。只有这样才能全面提高自身的数
7、学素养，的理解。只有这样才能全面提高自身的数学素养，开阔视野，培养有创新意识的人。开阔视野，培养有创新意识的人。2、 具有具有“三求三求”特征的数学基本思想方法特征的数学基本思想方法n n求简求简-形成与表示数学对象的思想方法；形成与表示数学对象的思想方法；n n求谐求谐-解释与构建数学知识联系的思想方法；解释与构建数学知识联系的思想方法；n n求续求续-发展与应用数学知识的思想方法。发展与应用数学知识的思想方法。2-1、求简-形成与表示数学对象的思想方法n n名人名言：名人名言：在任何情况下，只要是关于数学问题的，就都在任何情况下，只要是关于数学问题的，就都取决于简化是如何产生的这一问题。取
8、决于简化是如何产生的这一问题。 （布鲁纳）（布鲁纳）n n抽象是数学的基本特征之一。所谓抽象是数学的基本特征之一。所谓求简就是抽象概括求简就是抽象概括。在。在数学中，人们只是抓住现实世界的空间形式和数量关系，数学中，人们只是抓住现实世界的空间形式和数量关系，舍弃其它非本质的具体特征，形成抽象的数学对象，并用舍弃其它非本质的具体特征，形成抽象的数学对象，并用符号进行表示。符号进行表示。n n操作操作与与表征表征是求简的两个必要环节。是求简的两个必要环节。操作为追求简化提供必要的手段n n数学对象是一种特殊的对象，即是人们构造出的思数学对象是一种特殊的对象，即是人们构造出的思维对象，但是它不是凭空
9、产生的，数学对象是人们维对象，但是它不是凭空产生的，数学对象是人们操作性活动的构造物。操作性活动的构造物。n n例：数字例：数字 0 0产生产生 课标课标建议：通过学习建议：通过学习，“ “使学生体会数起源于使学生体会数起源于 数数 （shsh），量起源于），量起源于 量量 （lingling）, , 使学生体会使学生体会 0 0的双重含义的双重含义作为位置制记数作为位置制记数法中的空位记号与作为一个独立的数。法中的空位记号与作为一个独立的数。” ”表征简化产生后的符号表示n n在数学中，经过操作而没有表征，人们就无法真在数学中，经过操作而没有表征，人们就无法真正把握数学对象。正如，正把握数学
10、对象。正如，“ “我若不能表征我的所我若不能表征我的所为，我如何知道我思考什么为，我如何知道我思考什么” ”。n n表征是求简后的必然结果。在数学中，我们用符表征是求简后的必然结果。在数学中，我们用符号表示这一结果，又形成进一步的操作对象。总号表示这一结果，又形成进一步的操作对象。总之，在数学中，操作与表征不断的进行交替是求之，在数学中，操作与表征不断的进行交替是求简的主要表现形式。简的主要表现形式。例：试分析下列问题的数量关系，并用代数式表示。例：试分析下列问题的数量关系，并用代数式表示。观察下列图形并填表：观察下列图形并填表： 1 1 1 1 2 2梯形个数梯形个数1 12 23 34 4
11、5 56 67 7n n周周 长长5 58 8111114142-2、求谐-解释与构建数学知识联系的思想方法；n n数学家有一个信条，那就是数学知识之间的联系数学家有一个信条，那就是数学知识之间的联系是充满和谐的。要么，一个重要的数学结果应当是充满和谐的。要么，一个重要的数学结果应当有相应的解释，要么，一个数学定理可从公理或有相应的解释，要么，一个数学定理可从公理或假设出发，经过严谨的演绎推理而得到。若不是假设出发，经过严谨的演绎推理而得到。若不是这样，数学就要退化为一堆没有联系的公式和华这样，数学就要退化为一堆没有联系的公式和华而不实的技巧了。而不实的技巧了。求谐可分为两种：n n横向求谐：
12、对同一知识寻求不同的解释，发现数横向求谐：对同一知识寻求不同的解释，发现数学知识内在的丰富联系，体会数学的整体性；学知识内在的丰富联系，体会数学的整体性；n n纵向求谐：运用严谨的逻辑演绎推理，构建数学纵向求谐：运用严谨的逻辑演绎推理，构建数学知识之间的有机联系，展示数学的理性思维。知识之间的有机联系，展示数学的理性思维。横向求谐寻求同一知识不同解释的联系 力求用不同的数学语言来表达同一个数学知力求用不同的数学语言来表达同一个数学知识，是横向求谐的基本做法。在中学数学里，横识，是横向求谐的基本做法。在中学数学里，横向求谐的一个具体体现就是向求谐的一个具体体现就是数形结合思想数形结合思想。课标（
13、义务教育阶段）（义务教育阶段）建议：n n 对于数与代数的内容，教材要重视有关内容对于数与代数的内容，教材要重视有关内容的几何背景，运用几何直观帮助学生理解、解决的几何背景，运用几何直观帮助学生理解、解决有关代数问题。如，根据平面规则点阵中点的排有关代数问题。如，根据平面规则点阵中点的排列规律推导相应的整数列的和（如列规律推导相应的整数列的和（如1+3+5+7+1+3+5+7+可表示为正方形点阵）；利用图形理解完全平方可表示为正方形点阵）；利用图形理解完全平方公式、平方差公式等恒等式；利用函数图象理解公式、平方差公式等恒等式；利用函数图象理解函数的变化趋势。函数的变化趋势。例例 准备多个长方形
14、和正方形卡片（如下图）准备多个长方形和正方形卡片（如下图） b a a b b a接上幅：1 1、教师任意写出一个关于、教师任意写出一个关于a a和和b b的二次式，此二次式需能分解的二次式，此二次式需能分解成两个一次因式的乘积，且各项系数都是正整数，如成两个一次因式的乘积，且各项系数都是正整数，如 等；等；2 2、学生根据教师给出的二次式，选取相应种类和数量的卡片，、学生根据教师给出的二次式，选取相应种类和数量的卡片，尝试拼成一个矩形；尝试拼成一个矩形；3 3、讨论该矩形的代数意义；、讨论该矩形的代数意义；4 4、由学生随意选取适当种类和数量可的卡片，拼接成不同尺、由学生随意选取适当种类和数
15、量可的卡片，拼接成不同尺寸的矩形，回答该矩形表达的代数公式。寸的矩形，回答该矩形表达的代数公式。课标（普通高中）（普通高中）建议：n n 在不等式的教学中，应在不等式的教学中，应“ “特别强调不等式及其特别强调不等式及其证明的几何意义与背景，以加深学生对这些不等证明的几何意义与背景，以加深学生对这些不等式的数学本质的理解式的数学本质的理解” ”。二维均值不等式的几何解释基本不等式链基本不等式链基本不等式链基本不等式链“ “调和平均数调和平均数调和平均数调和平均数” ”小于等于小于等于“ “几何平均数几何平均数几何平均数几何平均数” ”小于等于小于等于“ “算术平均数算术平均数算术平均数算术平均
16、数” ”小于等于小于等于“ “均方均方均方均方根数根数根数根数” ”纵向求谐构建数学知识体系的逻辑联系n n名人名言：无论我们希腊人接受什么东西，我们名人名言：无论我们希腊人接受什么东西，我们都要将其改善并使之完美无缺。（柏拉图）都要将其改善并使之完美无缺。（柏拉图）n n数学作为现代意义的的一门科学，是在希腊出现数学作为现代意义的的一门科学，是在希腊出现的。因为希腊人用公理化的方法构建了数学知识的。因为希腊人用公理化的方法构建了数学知识的理论体系，不仅影响了以后的数学发展，而且的理论体系，不仅影响了以后的数学发展，而且也使数学成为其它学科模仿的典范。也使数学成为其它学科模仿的典范。n n公理
17、化思想方法公理化思想方法是纵向求谐的基本方式。是纵向求谐的基本方式。引 申：n n 我国传统的数学观比较注重数学的实用性，强调我国传统的数学观比较注重数学的实用性，强调计算，但忽视了数学的严谨演绎性，因此我们有计算，但忽视了数学的严谨演绎性，因此我们有必要自觉的接受数学的公理演绎思想方法的熏陶，必要自觉的接受数学的公理演绎思想方法的熏陶，努力培养理性精神。努力培养理性精神。n n课标课标建议：在数学学习中，应使学生感受证建议：在数学学习中，应使学生感受证明的必要性、证明过程的严谨性以及结论的确定明的必要性、证明过程的严谨性以及结论的确定性，初步感受公理化思想。性，初步感受公理化思想。2-3、求
18、续-发展与应用数学知识的思想方法n n名人名言：数学的本质在于它的自由。名人名言：数学的本质在于它的自由。（康托尔）（康托尔）n n数学决不是一个封闭的完美的理论体系，它总是数学决不是一个封闭的完美的理论体系，它总是在可持续地不断发展着。在可持续地不断发展着。n n数学的求续可分为两种表现方式：数学的求续可分为两种表现方式： 一是表现为在数学知识内部中的构作发展，一是表现为在数学知识内部中的构作发展， 二是表现为与外界相联系的数学建模应用。二是表现为与外界相联系的数学建模应用。构作在数学内部促使数学持续发展的思想方法n n在数学中，凡是重要的发现或者具有实质性内容在数学中，凡是重要的发现或者具
19、有实质性内容的见解，很少是由单纯的公理程序得到的。在直的见解，很少是由单纯的公理程序得到的。在直觉指引下的构作性思想是数学动力的真正源泉。觉指引下的构作性思想是数学动力的真正源泉。n n构作不是演绎。它包括以下三个明确的步骤：构作不是演绎。它包括以下三个明确的步骤： 1 1、构作图式；、构作图式； 2 2、操作（或运演）图式；、操作（或运演）图式； 3 3、产生（或发现）新的结果。、产生（或发现）新的结果。 在古今中外数学历史长河中，构作性思想在古今中外数学历史长河中，构作性思想时时闪耀着光彩耀人的光芒。比如孙子定理、时时闪耀着光彩耀人的光芒。比如孙子定理、非欧几何等。非欧几何等。 我国古代我
20、国古代孙子算经孙子算经中有题目中有题目“ “物不知其数物不知其数” ”问题：问题：“ “今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？数之剩二，问物几何？” ” 孙子定理解法口诀：孙子定理解法口诀： 三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，三人同行七十稀，五树梅花廿一枝， 七子团圆正半月，除百零五便得之。七子团圆正半月，除百零五便得之。 口诀出自：明朝口诀出自：明朝 程大位程大位算法同宗算法同宗拉格朗日插值公式：n n求一函数建模把数学与外部世界相联系促使数学持续发展的思想方法n n 数学可以通过内部的知识构作得到发展，但数学可以通
21、过内部的知识构作得到发展，但它必须保持与外部世界的联系，通过解决外部世它必须保持与外部世界的联系，通过解决外部世界提出的各种问题，即通过数学建模，获得持续界提出的各种问题，即通过数学建模，获得持续发展的动力。如果，发展的动力。如果，“ “数学远离经验来源，一直数学远离经验来源，一直处于处于 抽象的抽象的 近亲交配之中，数学学科将有退近亲交配之中，数学学科将有退化的危险。化的危险。” ”（引号为冯（引号为冯 诺伊曼语）诺伊曼语）数学建模的思想方法（以歌尼斯堡七桥问题为例）（以歌尼斯堡七桥问题为例）n n如下图，人们能否一次不重复地走遍七座桥？如下图，人们能否一次不重复地走遍七座桥？大数学家欧拉是
22、这样解决的：大数学家欧拉是这样解决的：他将四块陆地简化抽象成他将四块陆地简化抽象成4 4个点，连接陆地的个点，连接陆地的7 7座桥座桥抽象成抽象成7 7条线，得到一个数学模型：条线，得到一个数学模型：原问题就抽象成：能否一笔不重复地画出该图？原问题就抽象成：能否一笔不重复地画出该图？C上述思想方法可用框图表示如下：现现 实实 原原 型型七七 桥桥 问问 题题数数 学学 模模 型型一一 笔笔 画画 问问 题题无无 解解（一笔画不可能）（一笔画不可能）无无 解解（一次过七桥不可能）（一次过七桥不可能）数学抽象翻译回去有无解？ 逻辑推理课标建议： 在在“ “课题学习课题学习” ”中，学生将探讨一些具
23、有挑战性中，学生将探讨一些具有挑战性的研究课题，经历的研究课题，经历“ “问题情景问题情景建立模型建立模型求解求解解释与应用解释与应用” ”的基本过程，发展应用数的基本过程，发展应用数学知识解决问题的意识和能力。学知识解决问题的意识和能力。例例 用一张正方形的纸制作一个无盖的长方体，怎样用一张正方形的纸制作一个无盖的长方体，怎样制作使得体积较大？制作使得体积较大？（通过这个课题的学习，学生会进一步丰富自己的空间观念，体会函数（通过这个课题的学习，学生会进一步丰富自己的空间观念，体会函数思想以及符号表示在实际问题中的应用）思想以及符号表示在实际问题中的应用）小 结 对于什么是数学思想方法？可以有
24、不同的理对于什么是数学思想方法？可以有不同的理解和回答。我们可以从数学在其形成、发展及其解和回答。我们可以从数学在其形成、发展及其应用的过程中，所表现出的应用的过程中，所表现出的“ “求简、求谐、求续求简、求谐、求续” ”的特点，去领会具有普遍性的数学思想方法。的特点，去领会具有普遍性的数学思想方法。3、数学思想方法的教学建议n n 我们应意识到，并没有脱离具体数学知识的我们应意识到，并没有脱离具体数学知识的数学思想方法。但数学思想方法又是超越于具体数学思想方法。但数学思想方法又是超越于具体知识的观念性的东西，学生在学习时，需要得到知识的观念性的东西，学生在学习时，需要得到教师的有意识的启发与
25、引导，并努力去领会。正教师的有意识的启发与引导，并努力去领会。正所谓，所谓，“ “识识” ”比比“ “知知” ”更重要。更重要。 “数学的传授，如果不满足于填鸭式的灌输，数学的传授，如果不满足于填鸭式的灌输，而是更多地针对数学这门学科的特点，采取启发、而是更多地针对数学这门学科的特点，采取启发、诱导的方式，就可以使学生在学习知识的过程中，诱导的方式，就可以使学生在学习知识的过程中，逐步地由不自觉到自觉地将这些方面的素质耳濡逐步地由不自觉到自觉地将这些方面的素质耳濡目染，身体力行，铭刻于心，形成习惯，变成他目染，身体力行，铭刻于心，形成习惯，变成他们的数学素养，终生受用不尽。们的数学素养，终生受
26、用不尽。 ” ” 中国科学院中国科学院 数学院士数学院士 李大潜李大潜 3-1、为培养学生的“求简”思想，在教学中，教师在处理好操作与表征的平衡关系时，更应重视过程的教学。n n一位优秀的教师既能够创设使学生渴求表征的活一位优秀的教师既能够创设使学生渴求表征的活动，也能够引导学生发展概念，从而使学生理解动，也能够引导学生发展概念，从而使学生理解和认识他们所进行的操作行为。和认识他们所进行的操作行为。n n在当前的教学中，我们更应重视过程的教学在当前的教学中，我们更应重视过程的教学，“ “不要仅注重学生是否找到了规律，更应关注学生不要仅注重学生是否找到了规律，更应关注学生是否进行了思考。是否进行
27、了思考。” ”（引号部分来自引号部分来自课标课标）GX32字诀数学教学法的优秀代表 积极前进，循环上升；积极前进，循环上升；积极前进，循环上升；积极前进，循环上升； 淡化形式，注重实质；淡化形式，注重实质；淡化形式，注重实质；淡化形式，注重实质； 开门见山，适当集中；开门见山，适当集中；开门见山，适当集中；开门见山，适当集中； 先做后说，师生共作。先做后说，师生共作。先做后说，师生共作。先做后说，师生共作。 陈重穆陈重穆陈重穆陈重穆（19261926、4 419981998、2 2），中国），中国数学家、数学教育家，原西南师范大数学家、数学教育家，原西南师范大学校长、数学系教授学校长、数学系教
28、授 3-2、为培养学生的“求谐”思想，在教学中，教师既要重视知识之间的纵向演绎联系，更要突出对知识做横向联系的解释。n n加强几何直观，重视图形在数学学习中的作用，加强几何直观，重视图形在数学学习中的作用，鼓励学生借助直观进行思考。这不仅能使学生更鼓励学生借助直观进行思考。这不仅能使学生更好地理解所学的数学知识，而且能使他们体会到好地理解所学的数学知识，而且能使他们体会到数学知识的和谐性，促使他们养成数学知识的和谐性，促使他们养成“ “求谐求谐” ”的思的思想。想。3-3、为培养学生的“求续”思想，在教学中，既要使学生领会数学构作式发展的思想方法，更要培养学生掌握解决现实问题的数学建模的方法和
29、意识。n n例：电工求电阻的故事。例：电工求电阻的故事。X+Y=aX+Z=bY+Z=cXZY 做为一名数学教育工作者，让我们以日本数做为一名数学教育工作者，让我们以日本数学家、数学教育家米山国藏的话共勉：学家、数学教育家米山国藏的话共勉： “ “我搞了多年的数学教育，发现学生们在初中、高中我搞了多年的数学教育，发现学生们在初中、高中我搞了多年的数学教育，发现学生们在初中、高中我搞了多年的数学教育，发现学生们在初中、高中接受的数学知识因毕业进入社会后，几乎没有什么机会应接受的数学知识因毕业进入社会后，几乎没有什么机会应接受的数学知识因毕业进入社会后，几乎没有什么机会应接受的数学知识因毕业进入社会
30、后，几乎没有什么机会应用这些作为知识的数学，所以通常是出校门不到一、两年用这些作为知识的数学，所以通常是出校门不到一、两年用这些作为知识的数学，所以通常是出校门不到一、两年用这些作为知识的数学，所以通常是出校门不到一、两年就很快忘掉了。然而，不管他们从事什么业务工作，惟有就很快忘掉了。然而，不管他们从事什么业务工作，惟有就很快忘掉了。然而，不管他们从事什么业务工作，惟有就很快忘掉了。然而，不管他们从事什么业务工作，惟有深深铭刻于头脑中的数学精神，数学的思维方法、研究方深深铭刻于头脑中的数学精神，数学的思维方法、研究方深深铭刻于头脑中的数学精神，数学的思维方法、研究方深深铭刻于头脑中的数学精神，数学的思维方法、研究方法和着眼点等，都随时随地发生作用，使他们受益终生。法和着眼点等，都随时随地发生作用，使他们受益终生。法和着眼点等，都随时随地发生作用，使他们受益终生。法和着眼点等，都随时随地发生作用，使他们受益终生。” ” 谢谢大家！
