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1、风险厌恶 熊和平 2012年秋季.一、风险厌恶的定义风险厌恶有多种定义方法，这里利用效用函数定义给定财富水平和效用函数，定义风险厌恶。如下述定义：定义：如果投资者不喜欢任何零均值（即公平博弈）彩票，则称其为风险厌恶者。效用函数的凸凹性与风险态度紧密相连.定义:凹性A function f:RRisconcaveiff:px+(1-p)yf(EX)Ef(X)xy.凹函数的定义定义：称函数 f:RR为凹函数当且仅当.风险厌恶与凸凹性有关，如果效用函数为凹的则风险厌恶；反之凸效用函数为风险喜好；直线为风险中性。定理：如果凸的连续偏好表示为上述的期望效用函数，那么相应的效用函数 是凹的.风险厌恶的定义
2、基于公平博弈的定义：定义：记 为一个不确定的支付。如果 ，则称 为一个公平博弈。风险厌恶：称效用函数 的参与者是（严格）风险厌恶的，如果定理定理：当且仅当 u(.) 是（严格）凹函数时，参与者是（严格）风险厌恶的。.An agent is risk-averse if he dislikes all zero- mean risk at all wealth levels (Gollier 2001) zero- mean risk=fair gamble .基于效用函数的定义：风险态度的定义：若对于风险投资 投资者满足： 风险厌恶 风险偏爱 风险中性.Risk aversionAn agen
3、t is risk-averse if and only if his utility function is concave, i.e., iff u is negative.Example: u(w)=ln(w).Jensen inequality.例子： 100元 （概率为3/4） L -40元 （概率为1/4） E(L)=1003/4+(-40) 1/4=65元 选L而不是65元 E(u(L)u(E(L) 选65而不是L E(u(L)u(E(L) 对两者的态度相同 E(u(L)=u(E(L).二、风险厌恶的度量通常我们假设所有经济人为风险厌恶者，接下来我们希望知道如何量化风险厌恶，从而
4、能够比较不同参与者或同一参与者在不同情况时的风险厌恶程度。.风险态度的图象： u(.) 风险厌恶风险厌恶 风险中性风险中性 风险偏爱风险偏爱 W.风险厌恶的度量：图形分析v(x0)v(x1)v-1(Ev(x)Ev(x)Exx0x1xv(x).风险厌恶及其度量： 两种风险厌恶的度量方法; Markowtz 度量风险溢价 确定性等价（certainty equivalent) 风险溢价（risk premium) .具体地：. Arrow-Pratt度量：.Arrow-Pratt度量： 风险容忍系数 （absolute risk tolerance).两种方法的比较： 例子（Copeland）：
5、某人具有对数效用函数，初始财富为$20,000 面临两种风险决策： （1） 50% $10 A 50% -$10 (2) 80% -$1,000 B 20% -$10,000.Arrow-Pratt度量Markowtz 度量 请问你有何结论？.回到王江教材绝对风险厌恶： 确定性等价确定性等价：一个参与者与一个公平博弈所要求的风险溢价 ，定义为： 在小风险博弈下泰勒展开得到绝对风险厌恶绝对风险厌恶： .相对风险厌恶：考虑如下以总财富为基数的博弈和风险溢价：这里，博弈的盈亏为 ，与总财富成比例展开得 .风险厌恶的例子线性或风险中性效用：负指数效用函数：平方效用函数：幂指数效用函数：.风险厌恶的比较
6、：定义定义：称u1 比 u2 更加厌恶风险若在任何财富水平下前者不喜欢（dislikes）所有后者觉得无差异的彩票: for any X,w0: Eu2(w0+X)=u2(w0) Eu1(w0+X) u1(w0). NSC:三、风险厌恶的比较.More risk aversion.主要结论定理：下面的命题是等价的： 1、2、 是凹的；3、 使得 4、 对所有的w和公平博弈成立.递减的绝对风险厌恶【Decreasing absolute risk aversion (DARA)】It is widely accepted that p is a decreasing function of w0
7、.This is true if and only if A(w0) is decreasing in w0.DARA is equivalent to:.其他概念绝对风险厌恶递增（IARA）相对风险厌恶递减(DRRA)相对风险厌恶递增(IRRA).四、典型的效用函数(静态)CARA: u(z)=-exp(-Az); A(z)=ACRRA: u(z)=z1-g/1-g; A(z)=g/zLN: u(z)=ln(z) A(z)=1/zQuad: u(z)=cz-0.5z2; A(z)=(c-z)-1They all belong to the HARA family:.二次效用函数：CARA或指
8、数效用函数：CRRA效用函数：.HARA（hyperbolic absolute risk aversion) 效用函数： CRRA CARA.度量你的风险厌恶程度假定你当前财富为100，面临50%-50%机会获得或失去财富的 a%.你愿意支付多少来消除该风险?假定 CRRA + estimate g from above eq. .Estimation of relative RA.典型的效用函数(动态)最简单情形：跨时可加 或跨时依赖： habit formation(见Chan&Kogan，2002） spirit of of capitalism (Bakshi&Chen1996） .
9、递归效用 Epstein 和Zin（1989、1991）.参考文献：Machina ,M.1987. Choice under uncertainty: problems solved and unsolved. Journal of Economic Perspectives 1: 281-296Chris Starmer.2000. Developments in non-expected utility theory: the hunt for descriptive theory of choice under risk. Journal of Economic Literature :332-382 Kahneman，D and Tversky. 1979. Prospect theory: an analysis of decision under risk. Econometrica 47: 263-291.
