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1、第四节第四节 洛朗级数洛朗级数二、洛朗级数的概念三、函数的洛朗展开式一、问题的引入五、小结与思考四、典型例题复变函数优秀一、问题的引入一、问题的引入问题问题:负幂项部分负幂项部分正幂项部分正幂项部分主要部分主要部分解析部分解析部分同时收敛同时收敛收敛收敛2复变函数优秀收敛半径收敛半径收敛域收敛域收敛半径收敛半径收敛域收敛域两收敛域无公共部分两收敛域无公共部分,两收敛域有公共部分两收敛域有公共部分R3复变函数优秀结论结论:.常见的特殊圆环域常见的特殊圆环域: :.4复变函数优秀例如，例如，都不解析都不解析,但在圆环域但在圆环域及及内都是解析的内都是解析的.而而2. 问题问题: :在圆环域内解析的
2、函数是否一定能展开在圆环域内解析的函数是否一定能展开成级数成级数? ?5复变函数优秀所以所以即即内可以展开成级数内可以展开成级数.也可以展开成级数：也可以展开成级数：6复变函数优秀二、洛朗级数的概念二、洛朗级数的概念定理定理C为圆环域内绕为圆环域内绕 的任一正向简单闭曲线的任一正向简单闭曲线. 为洛朗系数为洛朗系数.7复变函数优秀证证对于第一个积分对于第一个积分:Rr.z.8复变函数优秀对于第二个积分对于第二个积分:9复变函数优秀其中其中10复变函数优秀下面证明下面证明11复变函数优秀则则12复变函数优秀如果如果C为在圆环域内绕为在圆环域内绕 的任何一条正向简单的任何一条正向简单闭曲线闭曲线
3、. 则则可用一个式子表示为可用一个式子表示为:证毕证毕13复变函数优秀说明说明:函数函数在圆环域内的在圆环域内的洛朗展开式洛朗展开式在圆环域内的在圆环域内的洛朗洛朗(Laurent)级数级数. 1) 2) 某一圆环域内的解析函数展开为含有正、负某一圆环域内的解析函数展开为含有正、负幂项的级数是唯一的，幂项的级数是唯一的， 这就是这就是 f (z) 的洛朗级数的洛朗级数. 定理给出了将圆环域内解析的函数展为洛朗级数定理给出了将圆环域内解析的函数展为洛朗级数的一般方法的一般方法. .14复变函数优秀三、函数的洛朗展开式三、函数的洛朗展开式常用方法常用方法 : 1. 直接法直接法 2. 间接法间接法
4、 1. 直接展开法直接展开法利用定理公式计算系数利用定理公式计算系数然后写出然后写出缺点缺点: 计算往往很麻烦计算往往很麻烦.15复变函数优秀根据正、负幂项组成的的级数的唯一性根据正、负幂项组成的的级数的唯一性, 可可用代数运算、代换、求导和积分等方法去展开用代数运算、代换、求导和积分等方法去展开 .优点优点 : 简捷简捷 , 快速快速 .2. 间接展开法间接展开法16复变函数优秀四、典型例题四、典型例题例例1 1解解由定理知由定理知:其中其中17复变函数优秀故由柯西故由柯西古萨基本定理知古萨基本定理知:由高阶导数公式知由高阶导数公式知:18复变函数优秀另解另解本例中圆环域的中心本例中圆环域的
5、中心 z = 0 既是各负幂项的奇点既是各负幂项的奇点,19复变函数优秀例例2 2 内是处处解析的内是处处解析的,试把试把 f (z) 在这些区域内展开成洛朗级数在这些区域内展开成洛朗级数.解解20复变函数优秀oxy121复变函数优秀12oxy由由且仍有且仍有22复变函数优秀2oxy由由此时此时23复变函数优秀仍有仍有24复变函数优秀注意注意:奇点但却不是函数奇点但却不是函数的奇点的奇点 .本例中圆环域的中心本例中圆环域的中心是各负幂项的是各负幂项的说明说明:1. 函数函数在以在以为中心的圆环域内的洛朗级为中心的圆环域内的洛朗级数中尽管含有数中尽管含有的负幂项的负幂项, 而且而且又是这些又是这
6、些项的奇点项的奇点, 但是但是可能是函数可能是函数的奇点的奇点,也可能也可能的奇点的奇点.不是不是25复变函数优秀2. 给定了函数给定了函数与复平面内的一点与复平面内的一点以后以后,函数在各个不同的圆环域中有不同的洛朗展开函数在各个不同的圆环域中有不同的洛朗展开式式 (包括泰勒展开式作为它的特例包括泰勒展开式作为它的特例).回答：不矛盾回答：不矛盾 .朗展开式是唯一的朗展开式是唯一的)问题：这与洛朗展开式的唯一性是否相矛盾问题：这与洛朗展开式的唯一性是否相矛盾?(唯一性唯一性 : 指函数在某一个给定的圆环域内的洛指函数在某一个给定的圆环域内的洛26复变函数优秀解解 例例327复变函数优秀例例4
7、 4解解 28复变函数优秀例例5 5内的洛朗展开式内的洛朗展开式. 解解 29复变函数优秀30复变函数优秀31复变函数优秀五、小结与思考五、小结与思考 在这节课中在这节课中, 我们学习了洛朗展开定理和函我们学习了洛朗展开定理和函数展开成洛朗级数的方法数展开成洛朗级数的方法. 将函数展开成洛朗级将函数展开成洛朗级数是本节的重点和难点数是本节的重点和难点.32复变函数优秀洛朗级数与泰勒级数有何关系洛朗级数与泰勒级数有何关系?思考题思考题33复变函数优秀 洛朗级数是一个双边幂级数洛朗级数是一个双边幂级数, 其解析部分是其解析部分是一个普通幂级数一个普通幂级数; 思考题答案思考题答案是一般与特殊的关系是一般与特殊的关系. . 洛朗级数的收敛区域是圆环域洛朗级数的收敛区域是圆环域放映结束，按放映结束，按EscEsc退出退出. .34复变函数优秀
