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1、2.4麦克斯韦速度分布麦克斯韦速度分布前面已指出，麦克斯韦是先导出速度分前面已指出，麦克斯韦是先导出速度分布，然后再从速度分布得到速率分布的。布，然后再从速度分布得到速率分布的。本节中介绍麦克斯韦速度分布。本节中介绍麦克斯韦速度分布。为了说明速度分布的含义，先介绍速度为了说明速度分布的含义，先介绍速度空间的概念。空间的概念。 2.4.12.4.1速度空间速度空间一、速度矢量、速度空间中的代表点一、速度矢量、速度空间中的代表点（1 ) 1 ) 速度矢量速度矢量要要描描述述气气体体分分子子的的速速度度大大小小和和方方向向，需需引入速度矢量这一概念，引入速度矢量这一概念，速度矢量的方向和大小恰与此瞬
2、时该分速度矢量的方向和大小恰与此瞬时该分子速度的大小、方向一致。子速度的大小、方向一致。一个分子仅有一个速度矢量。一个分子仅有一个速度矢量。 （1) 1) 速度空间中的代表点速度空间中的代表点 把把分分子子的的速速度度矢矢量量沿沿x x、y y、z z方方向向的的投投影影v vx x、v vy y、v vz z作直角坐标图，作直角坐标图， 所有分子速度矢量的起始点都平移到原点所有分子速度矢量的起始点都平移到原点O O上。上。 在平移时，矢量的大小、方向都不变。在平移时，矢量的大小、方向都不变。 平平移移后后，以以矢矢量量的的箭箭头头端端点点的的点点来来表表示示这这一一矢矢量，而把矢量符号抹去。
3、量，而把矢量符号抹去。 这样的点称为这样的点称为代表点代表点。如图中的如图中的P P点所示。点所示。 以直角坐标表示的速度空间以直角坐标表示的速度空间 以速度分量以速度分量v vx x、v vy y、v vz z为坐标轴，为坐标轴， 以以从从原原点点向向代代表表点点所所引引矢矢量量来来表表示示分分子子速度方向和大小的坐标称为速度空间。速度方向和大小的坐标称为速度空间。 速速度度空空间间是是人人们们想想像像中中的的空空间间坐坐标标，所所描描述述的的不不是是分分子子的的空空间间位位置置，而而是是速速度度的的大小与方向。大小与方向。 二、速度空间中代表点的分布二、速度空间中代表点的分布若把某一瞬时所
4、有分子所对应的速度矢若把某一瞬时所有分子所对应的速度矢量代表点都标在速度空间中，就构成代量代表点都标在速度空间中，就构成代表点在速度空间中的一种分布图形，如表点在速度空间中的一种分布图形，如图所示图所示 速度空间代表点分布与靶点分布类似：速度空间代表点分布与靶点分布类似： 在在图图2.22.2（a a）中中，靶靶点点位位于于x x 到到x x+d+dx x，y y 到到y+dy+dy y范范围围内内的的概概率率是是以以f f（x x，y y）d dx xd dy y来来表表示示的的，其其中中d dx xd dy y为为这这一一区区域域大大小小，f f（x x，y y）是黑点分布的概率密度。是黑
5、点分布的概率密度。（1 1）速度空间中小立方体）速度空间中小立方体d dv vx xd dv vy yd dv vz z中的概中的概率是怎样的率是怎样的? ? 在三维速度空间中，在在三维速度空间中，在v vx x 到到v vx x+d+dv vx x，v vy y 到到v vy y+d+dv vy y，v vz z 到到v vz z+d+dv vz z区间内区间内, ,划出一个体划出一个体积为积为d dv vx xd dv vy yd dv vz z的微分元，如图所示。的微分元，如图所示。 数数出出在在这这微微分分元元中中的的代代表表点点的的数数目目d dN N（v vx x、v vy y、v
6、 vz z），并把并把 称为坐标为称为坐标为v vx x、v vy y、v vz z处的麦克斯韦速度分布处的麦克斯韦速度分布概率密度概率密度. .它它表表示示在在d dv vx xd dv vy yd dv vz z小小体体积积元元中中代代表表点点的的相对密集程度。相对密集程度。 我们可以这样来求出我们可以这样来求出d dN N（v vx x、v vy y、v vz z）. . 首先求出速度空间中厚为首先求出速度空间中厚为d dv vx x 无限大平无限大平板中的概率板中的概率. . 我们问，在我们问，在N N个个分子中速度分子中速度 x x分量落在分量落在v vx x 到到v vx x+d+
7、dv vx x范围内范围内而而v vy y , ,v vz z 在在任意的范围内任意的范围内的分子数的分子数 d dN N（v vx x）是多少？是多少？, , 在速度空间中划出一个垂直于在速度空间中划出一个垂直于v vx x轴的厚度轴的厚度为为d dv vx x的无穷大平板，的无穷大平板，如图所示如图所示. . 不不管管速速度度的的y y、z z分分量量如如何何，只只要要速速度度x x分分量量在在v vx x 到到v vx x+d+dv vx x范范围围内内，则则所所有有这这些些分分子子的的代代表表点点都都落落在在此此很很薄薄的的无无穷穷大平板中大平板中. .若设此平板中代表点数为若设此平板
8、中代表点数为d dN N（v vx x），），则则d dN N（v vx x）/ /N N 表示分子的速度处于表示分子的速度处于v vx x 到到v vx x+d+dv vx x而而v vy y、v vz z为任意值范围内的概率为任意值范围内的概率。显然这一概率与板的厚度显然这一概率与板的厚度d dv vx x成比例。成比例。 并有并有d dN N（v vx x）/ /N = f(vN = f(vx x) )d dv vx x称分子称分子x x方向速度分量概率分布函数方向速度分量概率分布函数 同同样样可可分分别别求求出出垂垂直直于于v vy y轴轴及及v vz z轴轴的的无无穷大薄平板中代表点
9、数穷大薄平板中代表点数d dN N（v vy y）及及 d dN N（v vZ Z）, ,则则 d dN N（v vy y）/ /N = fN = f( (v vy y)d)dv vy y d dN N（v vz z）/ /N = fN = f( (v vz z)d)dv vz z分别表示分别表示y y及及z z方向速度分量概率分布函数。方向速度分量概率分布函数。 根据处于平衡态的气体的分子混沌性假根据处于平衡态的气体的分子混沌性假设，分子速度没有择优取向，故设，分子速度没有择优取向，故f f（v vx x）、f f（v vy y）、f f（v vz z）应具有相同形应具有相同形式。式。 （2
10、 2）速度空间中速度空间中一根截面积为一根截面积为d dv vx x d dv vy y的的无穷长的方条中的概率是怎样的无穷长的方条中的概率是怎样的? ? 进进一一步步问问，分分子子速速率率介介于于v vx x 到到v vx x+d+dv vx x，v vy y 到到v vy y+d+dv vy y，而而v vz z在在任任意意的的范范围围内内的的分分子子数数 d dN N（v vx x，v vy y）是多少？是多少？ 显然这些分子的代表点都落在一根平行显然这些分子的代表点都落在一根平行于于v vz z轴、截面积为轴、截面积为d dv vx x d dv vy y的无穷长的方的无穷长的方条中。
11、条中。 因为分子落在垂直于因为分子落在垂直于d dv vx x轴的平板内的轴的平板内的概率是概率是f f（v vx x）d dv vx x，分子落在垂直于分子落在垂直于v vy y轴轴的平板内的概率是的平板内的概率是f f（v vy y）d dv vy y。 由由相相互互独独立立的的同同时时事事件件概概率率相相乘乘法法则则可可知，知，分分子子落落在在方方柱柱体体内内的的概概率率为为方方柱柱体体内内代代表点数表点数d dN N（v vx x，v vy y）与总分子数与总分子数N N的比值的比值 （3 3）最后要问，分子速度分量处于）最后要问，分子速度分量处于v vx x 到到v vx x+d+d
12、v vx x，v vy y 到到v vy y+d+dv vy y，v vz z 到到v vz z+d+dv vz z范围内范围内的概率是多少？的概率是多少？ 只需在图中再作一垂直于只需在图中再作一垂直于v vz z轴的、厚度轴的、厚度为为d dv vz z的无穷大薄平板的无穷大薄平板. .平平板板与与柱柱体体相相交交截截得得 一一 体体 积积 为为d dv vx xd dv vy yd dv vz z的的小小立立方方体体，计计算算出出在在小小立立方体中的代表点数方体中的代表点数d dN N（v vx x、v vy y、v vz z） 而而d dN N（v vx x、v vy y、v vz z）
13、/ /N N 就是所要求的概率就是所要求的概率. .因为因为v vx x ，v vy y，v vz z相互独立，故相互独立，故 d dN N（v vx x、v vy y、v vz z）/ /N N = =f f( (v vx x)d)dv vx xff( (v vy y)d)dv vy yff( (v vz z)d)dv vz z 显然，显然，速度分布概率密度速度分布概率密度f f（v vx x ，v vy y，v vz z）是分子分别按速度的是分子分别按速度的x x、y y、z z方向分方向分量分布的概率密度量分布的概率密度f f( (v vz z) )、f f( (v vy y) )、f
14、f( (v vz z) )的乘积。的乘积。 分子处于速度空间任一微小范围分子处于速度空间任一微小范围d dv vx xd dv vy yd dv vz z内的概率是内的概率是f f（v vx x ，v vy y，v vz z）与与d dv vx xd dv vy yd dv vz z的乘积。的乘积。 2.4.2麦克斯韦速度分布麦克斯韦速度分布 麦麦克克斯斯韦韦最最早早用用概概率率统统计计的的方方法法导导出出了了理想气体分子的速度分布理想气体分子的速度分布，它可表示为它可表示为f f（v vx x ，v vy y，v vz z）d dv vx xd dv vy yd dv vz z= = 因为因
15、为f f（v vx x ，v vy y，v vz z) ) d dv vx xdvdvy ydvdvz z = = f(v f(vx x) )d dv vx xf(vf(vy y)dv)dvy yf(vf(vz z)dv)dvz z 麦克斯韦速度分量分布可以表示为麦克斯韦速度分量分布可以表示为其中其中i i 可分别代表可分别代表x x、y y、z z。欲求分子速度的欲求分子速度的x x分量在分量在v vx x 到到v vx x+ +d dv vx x内而内而v vy y、v vz z任意的分子数任意的分子数d dN N( (v vx x),),这就是速度空间中垂直于这就是速度空间中垂直于x x
16、 轴的无穷大薄轴的无穷大薄平板中代表点数，可对平板中代表点数，可对v vy y、v vz z积分后求出：积分后求出： 用定积分公式知上式中两个积分都是用定积分公式知上式中两个积分都是1 1，故，故x 方向速度分量的方向速度分量的概率分布曲线如图所示：概率分布曲线如图所示： 它对称于纵轴，图中打上斜线狭条面积即它对称于纵轴，图中打上斜线狭条面积即最最后后说说明明，由由于于麦麦克克斯斯韦韦在在导导出出麦麦克克斯斯韦韦速速度度分分布布律律过过程程中中没没有有考考虑虑到到气气体体分分子子间间的的相相互互作作用用，故故这这一一速速度度分分布布律律一一般适用于平衡态的理想气体。般适用于平衡态的理想气体。*
17、2.4.3相对相对于于vp的速度分量分布的速度分量分布与速率分布与速率分布误差函数误差函数 附附录录2-12-1中中的的定定积积分分公公式式都都是是从从0 0积积分分到到无穷大，无穷大，有有时时需需要要计计算算气气体体分分子子速速度度分分量量（或或速速率率v v）在某给定范围内的分子数或概率。在某给定范围内的分子数或概率。这这时时可可把把麦麦克克斯斯韦韦速速度度分分布布式式或或速速率率分分布式分别作变量变换，布式分别作变量变换，使使之之变变换换为为相相对对于于最最概概然然速速率率的的速速度度分分量分布或速率分布的形式。量分布或速率分布的形式。（一）相对于（一）相对于 v vp p的麦克斯韦速度
18、分量分布的麦克斯韦速度分量分布因为最概然速率因为最概然速率v vp p2 2 = = 2kT 2kT/ /m ,m ,令上式令上式中中的的 v vx x/ / v vp p= = u ux x ，上式可以变换为上式可以变换为若若要要求求出出分分子子速速度度x x方方向向分分量量小小于于某某一一数数值值的的分分子子数数所所占占的的比比率率，则则可可对对上上式式积分积分引入误差函数引入误差函数erferf( (x x),),误差函数误差函数erferf(x)(x)有表可查有表可查 例例2.22.2 试求在标准状态下氮气分子速试求在标准状态下氮气分子速度的度的x x分量小于分量小于800800msm
19、s-1-1的分子数占全部的分子数占全部分子数的百分比分子数的百分比. . 解解 首先求出首先求出273 273 K K时氮气分子（摩尔时氮气分子（摩尔质量质量M Mm m=0.028 kg=0.028 kg）的最概然速率的最概然速率 . .由表由表2.12.1查得查得erferf（2 2）=0.995=0.995，故这种分故这种分子所占百分比为子所占百分比为=49.8% =49.8% 。 （二）相对于（二）相对于v vP P 的麦克斯韦速率分布的麦克斯韦速率分布 若若令令 则则可可将将麦麦克克斯斯韦韦速速率分布表示为率分布表示为 利利用用（2.352.35）式式可可求求得得在在某某一一速速率率
20、附附近近微微小范围内的气体分子数所占的百分比率。小范围内的气体分子数所占的百分比率。 再利用误差函数可求得在再利用误差函数可求得在0 0 到到 v v 范围范围内的分子数内的分子数 2.4.4从麦克斯韦速度分布导出速率分布从麦克斯韦速度分布导出速率分布一、以极坐标表示的射击点分布一、以极坐标表示的射击点分布按极坐标表示的射击点分布。按极坐标表示的射击点分布。若用相等的若用相等的r r为间隔，为间隔，在靶板上画出很多个同心圆，在靶板上画出很多个同心圆，数出每个圆环中的黑点数数出每个圆环中的黑点数N N。 以以N/N N/N r r 为纵坐标，为纵坐标，r r为横坐标画出竖条，如右图。为横坐标画出
21、竖条，如右图。令令r r 0 0，得到光滑曲线，得到光滑曲线，它表示离靶心不同距离处存在它表示离靶心不同距离处存在黑点的概率。黑点的概率。二、气体分子的速率分布二、气体分子的速率分布 麦克斯韦速率分布麦克斯韦速率分布: : 所所有有分分子子速速率率介介于于v v到到v v+ +d dv v 范范围围内内的的分分子子的的代代表表点点都都落落在在以以原原点点为为球球心心，v v 半半径径，厚度为厚度为d dv v的一的一 薄层球壳中，如图所示。薄层球壳中，如图所示。 根据分子混沌性假设，气体分子速度没根据分子混沌性假设，气体分子速度没有择优取向，在各个方向上应该是等概有择优取向，在各个方向上应该是
22、等概率的，率的，说明代表点的数密度说明代表点的数密度D D 是球对称的，是球对称的，D D 仅是离开原点的距离仅是离开原点的距离v v的函数。的函数。设代表点的数密度为设代表点的数密度为D D（v v）。）。 在球壳内的代表点数在球壳内的代表点数d dN Nv v应是应是D D（v v）与与球壳体积的乘积球壳体积的乘积 在麦克斯韦速度分布中已指出，在速度在麦克斯韦速度分布中已指出，在速度空间中，在速度分量空间中，在速度分量v vx x、v vy y、v vz z附近附近d dv vx xd dv vy yd dv vz z的代表点数密度（单位体积中的代表点数密度（单位体积中的代表点数）是的代表
23、点数）是 d dN NV V / / d dv vx xd dv vy yd dv vz z= = NfNf（v vx x、v vy y、v vz z），）， 代表点数密度就是这里的代表点数密度就是这里的D D（v v），），故故 . . 将上式代入将上式代入这就是麦克斯韦速率分布这就是麦克斯韦速率分布*2.4.5绝对零度时金属中自由电子的速度分布与绝对零度时金属中自由电子的速度分布与速率分布速率分布费米球费米球金属自由电子模型金属自由电子模型指出，指出，金属中价电子是无相互作用的自由电子。金属中价电子是无相互作用的自由电子。在在T T = = 0 0 K K时时，自自由由电电子子的的速速度度
24、分分布布可可表表示为在示为在速度空间中的一个费米球速度空间中的一个费米球。其其球球心心位位于于速速度度空空间间的的原原点点，球球的的半半径径为为v vF F（称称为为费费米米速速率率，是是一一个个与与金金属属种种类有关的常数）。类有关的常数）。 电电子子状状态态位位于于速速度度空空间间中中费费米米球球外外的的概概率率密密度度为为零零，位位于于球球内内的的概概率率密密度度为为常常数，设为数，设为D De e 。D De e可如下求出：可如下求出：(4/3)(4/3) v vF F3 3D De e=1=1 由归一化条件知由归一化条件知D De e =3/4 =3/4 v vF F3 3 ，故故
25、其速率分布可表示为其速率分布可表示为 v vFv vF 通通常常以以 来来表表示示费费米米球球面面的的能能量（其中量（其中m me e为电子质量），称为费米能。为电子质量），称为费米能。 不同金属，不同金属，E EF F值不同，一般它取值不同，一般它取eVeV的量的量级。级。例如，铜的例如，铜的E EF F=1.110=1.110-18-18J J，而而m me e=9.110=9.110-31-31kgkg，由此知由此知T T = 0 K= 0 K时铜中时铜中自由电子平均速率自由电子平均速率 说明即使在说明即使在T T = 0 K= 0 K时，金属中自由电时，金属中自由电子还在以子还在以10106 6msms-1-1的数量级的平均速率的数量级的平均速率在运动着，在运动着， 这是经典理论无法解释的（按照麦克这是经典理论无法解释的（按照麦克斯韦分布，斯韦分布，T T = 0 K= 0 K时的自由电子平均速时的自由电子平均速率为零）。这种运动称为零点运动。率为零）。这种运动称为零点运动。
