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1、第一节：问题的提出第二节：单因素试验的方差分析第三节：双因素试验的方差分析第二讲：方差分析（ANOVA）第一节：问题的提出先看一个例子：考察温度对某一化工厂产品的得率的影响，选了五种不同的温度，同一温度做了三次试验，测得结果如下：要分析温度的变化对得率的影响总平均得率总平均得率=89.6%=89.6%第一节：问题的提出从平均得率来看，温度对得率的影响?1) 同一温度下得率并不完全一样，产生这种差异的原因是由于试验过程中各种偶然性因素的干扰及测量误差等所致，这一类误差统称为试验误差；2) 两 种温度的得率在不同的试验中的倾向有所差别。如 65oC 与 70oC相比较，第一次65oC比70oC 好
2、，而后二次70oC比65oC 好。产生这种矛盾的现象也是由于试验误差的干扰。由于试验误差的存在，对于不同温度下得率的差异自然要提出疑问，这差异是试验误差造成的，还是温度的影响呢?第一节：问题的提出1) 由于温度的不同引起得率的差异叫做条件变差； 例中的全部15个数据，参差不齐，它们的差异叫做总变差(或总离差)。产生总变差的原因一是试验误差，一是条件变差。2) 方差分析解决这类问题的思想是：a. 由数据的总变差中分出试验误差和条件变差，并赋予它们的数量表示；b. 用条件变差和试验误差在一定意义下进行比较，如两者相差不大，说明条件的变化对指标影响不大；反之，则说明条件的变化影响是很大的，不可忽视；
3、c. 选择较好的工艺条件或确定进一步试验的方向；第一节：问题的提出变差的数量表示：有n个参差不齐的数据 x1, x2, , xn, 它们之间的差异称为变差。如何给变差一个数量表示呢?1) 一个最直观的想法是用这n个数中最大值与最小值之差，即极差来表达，用R记之；2) 变差平方和，以S记之。S是每个数据离平均值有多远的一个测度，它越大表示数据间的差异越大。其中其中第一节：问题的提出对变差平方和的进一步讨论：例：测得某高炉的六炉铁水含碳量为: 4.59，4.44，4.53，4.52，4.72，4.55，求其变差平方和。第一节：问题的提出对变差平方和的进一步讨论(2)：我们看到S的计算是比较麻烦的，
4、原因是计算x时有效位数增加了因而计算平方时工作量就大大增加。另外，在计算x时由于除不尽而四舍五入，在计算S时，累计误差较大。为此常用以下公式:对于前面的例子对于前面的例子第一节：问题的提出自由度的提出：例2：在上例的基础上在同样的工艺条件下又测了四炉铁水，它们是：4.60, 4.42, 4.68, 4.54, 加上原来的六炉共十炉，求其变方和。第一节：问题的提出自由度的提出(2)：平均数与过去的结果是相近的，但平方和是显著地变大了。我们要设法消除数据个数的多少给平方和带来的影响。一个直观的想法是用平方和除以相应的项数，但从数学理论上推知这不是一个最好的办法，而应把项数加以修正，这个修正的数就叫
5、做自由度。第一节：问题的提出自由度的提出(3)：设有n个数y1, y2, , yn, 它们的平方和 的自由度是多少呢? 这就看yi 之间有没有线性约束关系，如果有m个(0m F (a - 1, n - a)，则说明试验条件的变化对试验结果有显著影响；若F 4.43=F0.01(4, 20)说明棉花的百分比对人造纤维的抗拉强度有影响。第二节：单因素试验的方差分析无交互作用的方差分析:设两因素A，B，A有a个水平A1，A2, , Aa，B有b个水平，B1，B2, , Bb, 在每一个组合水平(Ai, Bj)下，进行一次无重复试验，得到试验指标的观察值列于下表：设XijN(ij , 2 )，各xij
6、相互独立。第三节：双因素试验的方差分析总离差平方和的分解:记在水平Ai 下的样本均值为记在水平Bj 下的样本均值为样本数据的总平均值为总离差平方和为将ST改写并分解得记为ST = SA (效应平方和)+ SB (效应平方和)+ SE (误差平方和)第三节：双因素试验的方差分析自由度:ST的自由度为 ( ab - 1);SA的自由度为 ( a - 1);SB的自由度为 ( b - 1);SE的自由度为 ( a - 1)(b-1);均方:第三节：双因素试验的方差分析F检验法:统计量对于给出的，查出F(a - 1, (a - 1)(b-1), F(b - 1, (a - 1)(b-1)的值， 由样本
7、计算出F1, F2值。从而有如下判断：若F 1 F (a - 1, (a-1)(b-1)，则说明因素A的变化对试验结果有显著影响；若F2 F (b - 1, (a-1)(b-1)，则说明因素B的变化对试验结果有显著影响；为了方便计算，我们采用下面的简便计算公式：第三节：双因素试验的方差分析方差分析表:第三节：双因素试验的方差分析例2：(双因素无交互作用的方差分析)使用4种燃料，3种推进器作火箭射程试验，每一种组合情况做一次试验，则得火箭射程列在表中，试分析各种燃料(Ai)与各种推进器(Bj)对火箭射程有无显著影响(=0.05)第三节：双因素试验的方差分析解:这里a=4, b=3, ab=12第
8、三节：双因素试验的方差分析解(2):给出的=0.05, 查出F0.05(3, 6)=4.76, F0.05(2, 6) = 5.14因为F1=0.434.76, F2=0.925.14故不同的燃料、不同的推进器对火箭射程均无显著影响。第三节：双因素试验的方差分析有交互作用的方差分析(分析过程略):自由度:ST的自由度为 ( abn - 1); （ n为重复试验次数）SA的自由度为 ( a - 1);SB的自由度为 ( b - 1);SAxB的自由度为(a-1)(b-1):SE的自由度为 ab(n-1);均方:第三节：双因素试验的方差分析有交互作用的方差分析(2):简化公式第三节：双因素试验的方差分析有交互作用的方差分析(3):方差分析表第三节：双因素试验的方差分析
