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1、数学数学 A（理）（理）高考专题突破五高考中的圆锥曲线问题第九章平面解析几何考点自测考点自测高考题型突破高考题型突破练出高分练出高分题号答案解析12345 BAB圆(x2)2y24的圆心为C(2,0)，半径为r2，解析题型一圆锥曲线中的范围、最值问题题型一圆锥曲线中的范围、最值问题(1)求曲线C的方程及t的值；抛物线C的方程为y2x.又点M(t,1)在曲线C上，t1.思维点拨用点差法求kAB，用m表示出|AB|，利用基本不等式求最值.解 由(1)知，点M(1,1)，从而nm，即点Q(m，m)，依题意，直线AB的斜率存在，且不为0，设直线AB的斜率为k(k0).且A(x1，y1)，B(x2，y2
2、)，故k2m1，即x2my2m2m0.4m4m20，y1y22m，y1y22m2m.思维升华圆锥曲线中最值问题的解决方法一般分两种：一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值.解设M(x，y)，在MAB中，|AB|2，AMB2，因此点M的轨迹是以A，B为焦点的椭圆(点M在x轴上也符合题意)，a2，c1.(2)求APQ面积的最大值.解设直线PQ的方程为xmy1.显然方程的0，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，所以APQ面积的最大值为3，此时直线
3、PQ的方程为x1.题型二圆锥曲线中的定点、定值问题题型二圆锥曲线中的定点、定值问题(1)设动点P满足：|PF|2|PB|24，求点P的轨迹；解设P(x，y)，由题意知F(2,0)，B(3,0)，A(3,0)，则|PF|2(x2)2y2，|PB|2(x3)2y2，由|PF|2|PB|24，得(x2)2y2(x3)2y24，(3)设t9,求证：直线MN必过x轴上的一定点(其坐标与m无关).证明如图所示，点T的坐标为(9，m).(3)设t9,求证：直线MN必过x轴上的一定点(其坐标与m无关).(3)设t9,求证：直线MN必过x轴上的一定点(其坐标与m无关).令y0，解得x1，所以直线MN必过x轴上的
4、一定点(1,0).(3)设t9,求证：直线MN必过x轴上的一定点(其坐标与m无关).思维升华求定点及定值问题常见的方法有两种：(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关.(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.(2)如图所示，A、B、D是椭圆C的顶点，P是椭圆C上除顶点外的任意一点，直线DP交x轴于点N，直线AD交BP于点M，设BP的斜率为k，MN的斜率为m.证明：2mk为定值.例3(2014福建)已知曲线上的点到点F(0,1)的距离比它到直线y3的距离小2.(1)求曲线的方程；题型三圆锥曲线中的探索性题型三圆锥曲线中的探索性 问题问题思维点拨解析设S(x，y
5、)为曲线上的任意一点，利用抛物线的定义，判断S满足抛物线的定义，即可求曲线的方程；思维点拨解析例3(2014福建)已知曲线上的点到点F(0,1)的距离比它到直线y3的距离小2.(1)求曲线的方程；题型三圆锥曲线中的探索性题型三圆锥曲线中的探索性 问题问题解方法一设S(x，y)为曲线上任意一点，思维点拨解析例3(2014福建)已知曲线上的点到点F(0,1)的距离比它到直线y3的距离小2.(1)求曲线的方程；题型三圆锥曲线中的探索性题型三圆锥曲线中的探索性 问题问题依题意，点S到F(0,1)的距离与它到直线y1的距离相等，所以曲线是以点F(0,1)为焦点、直线y1为准线的抛物线，所以曲线的方程为x
6、24y.思维点拨解析例3(2014福建)已知曲线上的点到点F(0,1)的距离比它到直线y3的距离小2.(1)求曲线的方程；题型三圆锥曲线中的探索性题型三圆锥曲线中的探索性 问题问题方法二设S(x，y)为曲线上任意一点，思维点拨解析例3(2014福建)已知曲线上的点到点F(0,1)的距离比它到直线y3的距离小2.(1)求曲线的方程；题型三圆锥曲线中的探索性题型三圆锥曲线中的探索性 问题问题思维点拨解析例3(2014福建)已知曲线上的点到点F(0,1)的距离比它到直线y3的距离小2.(1)求曲线的方程；题型三圆锥曲线中的探索性题型三圆锥曲线中的探索性 问题问题化简，得曲线的方程为x24y.例3(2
7、)曲线在点P处的切线l与x轴交于点A，直线y3分别与直线l及y轴交于点M，N.以MN为直径作圆C，过点A作圆C的切线，切点为B.试探究：当点P在曲线上运动(点P与原点不重合)时，线段AB的长度是否发生变化？证明你的结论.思维点拨解析思维升华例3(2)曲线在点P处的切线l与x轴交于点A，直线y3分别与直线l及y轴交于点M，N.以MN为直径作圆C，过点A作圆C的切线，切点为B.试探究：当点P在曲线上运动(点P与原点不重合)时，线段AB的长度是否发生变化？证明你的结论.思维点拨解析思维升华通过抛物线方程利用函数的导 数 求 出 切 线 方 程 ,求 出 A、M的坐标 ,N的坐标 ,以MN为 直径作圆
8、 C,求出圆心坐标 ,半 径是常数 ,即可证明当点 P在 曲线上运动 (点P与原点不重合)时 ,线 段 A B的 长 度 不 变 .例3(2)曲线在点P处的切线l与x轴交于点A，直线y3分别与直线l及y轴交于点M，N.以MN为直径作圆C，过点A作圆C的切线，切点为B.试探究：当点P在曲线上运动(点P与原点不重合)时，线段AB的长度是否发生变化？证明你的结论.思维点拨解析思维升华解当点P在曲线上运动时，线段AB的长度不变.证明如下：例3(2)曲线在点P处的切线l与x轴交于点A，直线y3分别与直线l及y轴交于点M，N.以MN为直径作圆C，过点A作圆C的切线，切点为B.试探究：当点P在曲线上运动(点
9、P与原点不重合)时，线段AB的长度是否发生变化？证明你的结论.思维点拨解析思维升华例3(2)曲线在点P处的切线l与x轴交于点A，直线y3分别与直线l及y轴交于点M，N.以MN为直径作圆C，过点A作圆C的切线，切点为B.试探究：当点P在曲线上运动(点P与原点不重合)时，线段AB的长度是否发生变化？证明你的结论.思维点拨解析思维升华例3(2)曲线在点P处的切线l与x轴交于点A，直线y3分别与直线l及y轴交于点M，N.以MN为直径作圆C，过点A作圆C的切线，切点为B.试探究：当点P在曲线上运动(点P与原点不重合)时，线段AB的长度是否发生变化？证明你的结论.思维点拨解析思维升华例3(2)曲线在点P处
10、的切线l与x轴交于点A，直线y3分别与直线l及y轴交于点M，N.以MN为直径作圆C，过点A作圆C的切线，切点为B.试探究：当点P在曲线上运动(点P与原点不重合)时，线段AB的长度是否发生变化？证明你的结论.思维点拨解析思维升华所以点P在曲线上运动时，线段AB的长度不变.例3(2)曲线在点P处的切线l与x轴交于点A，直线y3分别与直线l及y轴交于点M，N.以MN为直径作圆C，过点A作圆C的切线，切点为B.试探究：当点P在曲线上运动(点P与原点不重合)时，线段AB的长度是否发生变化？证明你的结论.思维点拨解析思维升华(1)探索性问题通常采用“肯定顺推法”，将不确定性问题明朗化.其步骤为假设满足条件
11、的元素(点、直线、曲线或参数)存在，用待定系数法设出，例3(2)曲线在点P处的切线l与x轴交于点A，直线y3分别与直线l及y轴交于点M，N.以MN为直径作圆C，过点A作圆C的切线，切点为B.试探究：当点P在曲线上运动(点P与原点不重合)时，线段AB的长度是否发生变化？证明你的结论.思维点拨解析思维升华列出关于待定系数的方程组，若方程组有实数解，则元素(点、直线、曲线或参数)存在；否则，元素(点、直线、曲线或参数)不存在.(2)反证法与验证法也是求解探索性问题常用的方法.跟踪训练3已知椭圆C1、抛物线C2的焦点均在x轴上，C1的中心和C2的顶点均为原点O，从每条曲线上各取两个点，将其坐标记录于下
12、表中：x324y04(1)求C1，C2的标准方程；易求得C2的标准方程为y24x.解容易验证当直线l的斜率不存在时，不满足题意.当直线l的斜率存在时，设其方程为yk(x1)，与C1的交点为M(x1，y1)，N(x2，y2).解得k2，所以存在直线l满足条件，且直线l的方程为2xy20或2xy20.题型四直线、圆及圆锥曲线的交汇问题题型四直线、圆及圆锥曲线的交汇问题思维点拨根据椭圆的几何性质易求出a,b的值,从而写出椭圆的方程；(1)求椭圆C1的方程；(1)求椭圆C1的方程；(2)求ABD面积取最大值时直线l1的方程.思维点拨要求ABD的面积，需要求出AB，PD的长，AB是圆的弦，考虑用圆的知识
13、来求，PD应当考虑用椭圆的相关知识来求.求出AB，PD的长后，表示出ABD的面积，再根据式子的形式选择适当的方法求最值.(2)求ABD面积取最大值时直线l1的方程.解设A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x0，y0).由题意知直线l1的斜率存在，不妨设其为k，则直线l1的方程为ykx1.又圆C2：x2y24，(2)求ABD面积取最大值时直线l1的方程.又l2l1，故直线l2的方程为xkyk0.(2)求ABD面积取最大值时直线l1的方程.(2)求ABD面积取最大值时直线l1的方程.(2)求ABD面积取最大值时直线l1的方程.思维升华对直线、圆及圆锥曲线的交汇问题，要认真审题，学会将问题拆分成
14、基本问题，然后综合利用数形结合思想、化归与转化思想、方程的思想等来解决问题，这样可以渐渐增强自己解决综合问题的能力.(2)已知直线l：ykx与椭圆C分别交于两点A，B,与圆M分别交于两点G,H(其中点G在线段AB上),且|AG|BH|,求k的值.显然，若点H也在线段AB上，则由对称性知，直线ykx就是y轴，矛盾.因为|AG|BH|，所以|AB|GH|，整理得4k43k210.解得k21，即k1.234561解由题意：抛物线焦点为(1,0)，设l：xty1，代入抛物线y24x，消去x得y24ty40，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y24t，y1y24，234561234561解设l
15、：xtyb，代入抛物线y24x，消去x得y24ty4b0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y24t，y1y24b.234561令b24b4，b24b40，b2，直线l过定点(2,0).2.已知中心在坐标原点O的椭圆C经过点A(2,3)，且点F(2，0)为其右焦点.(1)求椭圆C的方程；345612345612345612345612(2)是否存在平行于OA的直线l，使得直线l与椭圆C有公共点，且直线OA与l的距离等于4？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由.345612因为直线l与椭圆C有公共点，345612245613245613解1v0，234615所以x12x2.23
16、4615整理，得(9m24)k282m2，又9m240时等式不成立，2346156.在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C1：2x2y21.(1)过C1的左顶点引C1的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及x轴围成的三角形的面积.234516234516234516234516(2)设斜率为1的直线l交C1于P、Q两点.若l与圆x2y21相切，求证：OPOQ.证明设直线PQ的方程是yxb.234516又y1y2(x1b)(x2b)，故OPOQ.234516(3)设椭圆C2：4x2y21.若M、N分别是C1、C2上的动点，且OMON，求证：O到直线MN的距离是定值.234516234516设O到直线MN的距离为d，因为(|OM|2|ON|2)d2|OM|2|ON|2，234516
