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1、第四章第四章 因式分解因式分解1.1.完全平方公式是什么样子？完全平方公式是什么样子？2.2.运运用完全平方公式计算：用完全平方公式计算：试计算：试计算：试计算：试计算：9999999999992 2 2 2 + 1998 + 1 + 1998 + 1 + 1998 + 1 + 1998 + 12 29999991 1= (999+1)= (999+1)2 2 = 10 = 106 6此处运用了什么公式此处运用了什么公式此处运用了什么公式此处运用了什么公式? ? ? ?完全平方公式完全平方公式逆用逆用 就像平方差公式一样，完全平方公式也可就像平方差公式一样，完全平方公式也可以逆用，从而进行一些
2、简便计算与因式分解。以逆用，从而进行一些简便计算与因式分解。即：即：这个公式可以用文字表述为：这个公式可以用文字表述为：这个公式可以用文字表述为：这个公式可以用文字表述为： 两个数的平方和加上（或减去）这两个数的两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的两倍，等于这两个数的和（或差）的平方。积的两倍，等于这两个数的和（或差）的平方。 牛刀小试牛刀小试( (对下列各式因式分解对下列各式因式分解) )： a a2 2+6+6a a+9 = _+9 = _ n n2 21010n n+25 = _+25 = _ 4 4t t2 28 8t t+4 = _+4 = _ 4 4x x2 21212xyx
3、y+9+9y y2 2 = _ = _(a+3)2(n5)24(t1)2(2x3y)2 16x16x16x16x2 2 2 2 + 24x + 9 + 24x + 9 + 24x + 9 + 24x + 9 4x 4x 4x 4x2 2 2 2 + 4xy + 4xy + 4xy + 4xy y y y y2 2 2 2 x x x x2 2 2 2 + 2x + 2x + 2x + 2x 1 1 1 1 4x 4x 4x 4x2 2 2 2 8xy + 4y 8xy + 4y 8xy + 4y 8xy + 4y2 2 2 2 1 1 1 1 2a 2a 2a 2a2 2 2 2 + a +
4、a + a + a4 4 4 4 (p+q) (p+q) (p+q) (p+q)2 2 2 2 12(p+q) + 36 12(p+q) + 36 12(p+q) + 36 12(p+q) + 36形如形如a a2 22ab+b2ab+b2 2的式子称为完全平方式。的式子称为完全平方式。 完全平方完全平方式一定可以式一定可以利用完全平利用完全平方公式因式方公式因式分解。分解。完全平方式完全平方式完全平方式的特点：完全平方式的特点： 1.1.必须是三项式（或可以看成三项的）必须是三项式（或可以看成三项的） 2.2.有两个同号的平方项有两个同号的平方项 3.3.有一个乘积项（等于平方项底数的有一个
5、乘积项（等于平方项底数的2 2倍）倍）简记口诀：简记口诀： 首平方，尾平方，首尾两倍在中央。首平方，尾平方，首尾两倍在中央。 16x16x16x16x2 2 2 2 + 24x + 9 + 24x + 9 + 24x + 9 + 24x + 9 4x 4x 4x 4x2 2 2 2 + 4xy + 4xy + 4xy + 4xy y y y y2 2 2 2 4x 4x 4x 4x2 2 2 2 8xy + 4y 8xy + 4y 8xy + 4y 8xy + 4y2 2 2 2= (4x+3)= (4x+3)2 2= = (4x (4x2 24xy+y4xy+y2 2) )= = (2x (
6、2xy)y)2 2= 4 (x= 4 (x2 22xy+y2xy+y2 2) )= 4 (x= 4 (xy)y)2 2 根据因式分解和整式乘法的关系，我们可以利根据因式分解和整式乘法的关系，我们可以利用乘法公式把某些多项式因式分解，这种因式解的用乘法公式把某些多项式因式分解，这种因式解的方法叫做方法叫做公式法。公式法。例如例如例例例例3 3 3 3 把下列完全平方式因式分解。把下列完全平方式因式分解。把下列完全平方式因式分解。把下列完全平方式因式分解。（1 1）x x2 2+14x+49+14x+49；（2 2）（）（m+nm+n）2 2-6-6（m+nm+n）+9.+9.例例例例4 4 4
7、4 把下列各式因式分解。把下列各式因式分解。把下列各式因式分解。把下列各式因式分解。（1 1）3ax3ax2 2+6axy+3ay+6axy+3ay2 2；（2 2）-x-x2 2-4y-4y2 2+4xy+4xy。解：解：把把 因式分解因式分解补例补例把把 因式分解因式分解解解解：解：把把 因式分解因式分解x42x21x42x211.1.下列多项式是否具有完全平方公式右端的形式？下列多项式是否具有完全平方公式右端的形式？不具有完全平方式不具有完全平方式不具有完全平方式不具有完全平方式2.2.把下列多项式因式分解把下列多项式因式分解2.2.分解因式的步骤：分解因式的步骤： (1)(1)优先考虑提公因式法优先考虑提公因式法 (2)(2)其次看是否能用公式其次看是否能用公式 (3)(3)两者都不行，综合运用两种方法两者都不行，综合运用两种方法 (4)(4)务必检查是否分解到底了务必检查是否分解到底了1.1.分解因式的方法分解因式的方法 (1)(1)提公因式法提公因式法 (2)(2)公式法：公式法： a a 平方差公式平方差公式 b b 完全平方公式完全平方公式
