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1、第第3 3讲讲 解答题的做法解答题的做法 1.高考数学解答题的基本题型高考数学解答题的基本题型我们认真分析近几年各省市高考数学试题，虽略有差我们认真分析近几年各省市高考数学试题，虽略有差别，但总体上高考五至六个解答题的模式基本不变，别，但总体上高考五至六个解答题的模式基本不变，分别为三角函数、平面向量型解答题、立体几何型解分别为三角函数、平面向量型解答题、立体几何型解答题、排列组合、二项式定理及概率型解答题、函数答题、排列组合、二项式定理及概率型解答题、函数与不等式型解答题、解析几何型解答题、数列型解答与不等式型解答题、解析几何型解答题、数列型解答题题.这是高考数学的重头戏，这部分内容包含的知
2、识这是高考数学的重头戏，这部分内容包含的知识容量大、解题方法多、综合能力要求高，它们突出了容量大、解题方法多、综合能力要求高，它们突出了中学数学的主要思想和方法，考查了考生的创新能力中学数学的主要思想和方法，考查了考生的创新能力和创新意识和创新意识.2.2.高考数学解答题的答题策略高考数学解答题的答题策略（1 1）审题要慢，解答要快）审题要慢，解答要快. .审题是整个解题过程的审题是整个解题过程的“基础工程基础工程”题目本身是题目本身是“怎样解题怎样解题”的信息源，必须的信息源，必须充分搞清题意，综合所有条件，提炼全部线索，形成充分搞清题意，综合所有条件，提炼全部线索，形成整体认识整体认识.
3、.（2 2）确保运算准确，立足一次成功）确保运算准确，立足一次成功. . （3 3）讲求书写规范，力争既对又全）讲求书写规范，力争既对又全. .这就要求考生在这就要求考生在面对试题时不但会而且要对、对而且全，全而规范面对试题时不但会而且要对、对而且全，全而规范. .（4 4）面对难题，讲究策略，争取得分）面对难题，讲究策略，争取得分. .会做的题目当会做的题目当然要力求做对、做全、得满分，而对于不能全部完成然要力求做对、做全、得满分，而对于不能全部完成的题目应：的题目应：缺步解答；缺步解答；跳步解答跳步解答. .解题过程卡在解题过程卡在其一中间环节上时，可以承接中间结论，往下推，或其一中间环节
4、上时，可以承接中间结论，往下推，或直接利用前面的结论做下面的（直接利用前面的结论做下面的（2 2）、（）、（3 3）问）问. .总之，总之，对高三学子来说：准确、规范、速度，高考必胜；刻对高三学子来说：准确、规范、速度，高考必胜；刻苦、坚韧、自信，势必成功！苦、坚韧、自信，势必成功！ 一、一、 三角函数、平面向量型解答题三角函数、平面向量型解答题 三角函数和平面向量不仅是数学的重要基础知识，同三角函数和平面向量不仅是数学的重要基础知识，同时也是解决其他问题的一种数学工具时也是解决其他问题的一种数学工具.若三角函数单若三角函数单独命题则一般考查求三角函数值、三角函数图象和性独命题则一般考查求三角
5、函数值、三角函数图象和性质、三角形中的三角函数问题，都属于难度较小的题质、三角形中的三角函数问题，都属于难度较小的题目目.而平面向量作为中学教材新增内容，是高考的必而平面向量作为中学教材新增内容，是高考的必考内容，尤其是平面向量的运算、数量积，既有代数考内容，尤其是平面向量的运算、数量积，既有代数形式的计算又有一定的几何意义，能够体现重要的数形式的计算又有一定的几何意义，能够体现重要的数形结合思想，所以更是高考中的热点内容形结合思想，所以更是高考中的热点内容.高考命题高考命题者常在平面向量与三角函数、解析几何等知识交汇处者常在平面向量与三角函数、解析几何等知识交汇处命题命题. 例例1 1 已知
6、向量已知向量a a=(4cos =(4cos B B, cos 2, cos 2B B-2cos -2cos B B),),b b=(sin=(sin2 2( ),1)( ),1)，f f( (B B)=)=a ab b. .（1 1）若）若f f( (B B)=2,)=2,且且0 0B Bm2 2恒成立，求恒成立，求 实数实数m m的取值范围的取值范围. .思维启迪思维启迪 （1 1）由向量数量积的运算、三角函数化）由向量数量积的运算、三角函数化简求出简求出f f（B B）的最简表达式）的最简表达式. .（2 2）求角的范围是关键）求角的范围是关键. .解解 （1 1）f f( (B B)=
7、)=a ab b=4cos =4cos B Bsinsin2 2( )( )+ cos 2+ cos 2B B-2cos -2cos B B=2cos =2cos B B1-cos2( )1-cos2( )+ cos 2+ cos 2B B-2cos -2cos B B=-2cos =-2cos B Bcos( +cos( +B B)+ cos 2)+ cos 2B B=2cos =2cos B Bsin sin B B+ cos 2+ cos 2B B=sin 2=sin 2B B+ cos 2+ cos 2B B=2sin(2=2sin(2B B+ )+ )f f( (B B)=2)=22
8、sin(22sin(2B B+ )=2+ )=2即即sin(2sin(2B B+ )=1+ )=1B B(0, )(0, )22B B+ + （ , , ）2 2B B+ =+ =B B= .= .（2 2）由（）由（1 1）知）知f f( (B B)=2sin(2)=2sin(2B B+ ),+ ),又又0 0B B , , 2 2B B+ + ,- ,- sin(2sin(2B B + )1+ )1，- - m2 2恒成立，恒成立，mfmf( (B B)-2)-2恒成立恒成立. .mmm2 2恒成立，则问恒成立，则问题应转化为求题应转化为求f f( (B B) )的最小值的最小值t t;
9、;若若f f( (B B)-)-mm2 2恒成立，则恒成立，则问题应转化为求问题应转化为求f f（B B）的最大值）的最大值t t. .变式训练变式训练1 1 （20092009杭州模拟）在杭州模拟）在ABCABC中，角中，角A A、B B、C C的对边分别为的对边分别为a a、b b、c c，已知向量，已知向量m m=(cos ,sin ),=(cos ,sin ),n n=(cos ,sin ),=(cos ,sin ),且满足且满足| |m m+ +n n|= .|= .（1 1）求角）求角A A的大小；的大小；（2 2）若）若b b+ +c c= = a a，试判断，试判断ABCABC
10、的形状的形状. .解解 （1 1）由）由| |m m+ +n n|= |= ，得，得m m2 2+ +n n2 2+2+2m mn n=3,=3,即即1+1+2( )=3.1+1+2( )=3.cos cos A A= .= .00A A ,A A= .= . (2)(2)b b+ +c c= = a a, ,sin sin B B+sin+sin C C= sin = sin A A. .sin sin B B+sin+sin( )= .( )= .即即 sin sin B B+ + coscos B B= ,= ,sin(sin(B B+ )= .+ )= .00B B ,B B+ = +
11、 = 或或 ，则，则B B= = 或或 . .B B= = 时，时，C C= = ；B B= = 时，时，C C= .= .ABCABC为直角三角形为直角三角形. .二、二、 概率、统计型解答题概率、统计型解答题 概率、统计型解答题一般是以实际问题为背景，考查概率、统计型解答题一般是以实际问题为背景，考查概率统计知识的实际应用，是近年来高考考查应用问概率统计知识的实际应用，是近年来高考考查应用问题的一个主要命题点题的一个主要命题点.这类试题的命题背景十分广泛，这类试题的命题背景十分广泛，既可以是高中数学的某些常规知识点，也可以是当前既可以是高中数学的某些常规知识点，也可以是当前的社会热点问题，
12、但考查的主要问题是概率统计的基的社会热点问题，但考查的主要问题是概率统计的基础知识和基本方法础知识和基本方法.解决概率统计型解答题，分析问解决概率统计型解答题，分析问题的实际意义，把实际问题中所蕴含的数学关系找出题的实际意义，把实际问题中所蕴含的数学关系找出来是十分重要的，这往往成为能不能解答这类题目的来是十分重要的，这往往成为能不能解答这类题目的关键，同时要注意准确地使用概率统计的基础知识和关键，同时要注意准确地使用概率统计的基础知识和基本方法基本方法. 例例2 2 一个均匀的正四面体的四个面上分别涂有一个均匀的正四面体的四个面上分别涂有1 1，2 2，3 3，4 4四个数字，现随机投掷两次
13、，正四面体面朝下四个数字，现随机投掷两次，正四面体面朝下的数字分别为的数字分别为x x1 1, ,x x2 2, ,记记 =(=(x x1 1-3)-3)2 2+(+(x x2 2-3)-3)2 2. .(1)(1)分别求出分别求出 取得最大值和最小值时的概率；取得最大值和最小值时的概率；(2)(2)求随机变量求随机变量 的分布列及数学期望的分布列及数学期望. .思维启迪思维启迪 容易知道基本事件的总数是容易知道基本事件的总数是1616个，可以以个，可以以点（点（x x1 1, ,x x2 2）为坐标，将）为坐标，将 =(=(x x1 1-3)-3)2 2+(+(x x2 2-3)-3)2 2
14、所有可能所有可能取值找出来，然后再找到各随机事件所含有的基本事取值找出来，然后再找到各随机事件所含有的基本事件的数目，问题就解决了件的数目，问题就解决了. .解解 （1 1）掷出点数）掷出点数x x可能是可能是1 1，2 2，3 3，4 4，则，则x x-3-3分别分别得得-2,-1,0,1.-2,-1,0,1.于是（于是（x x-3-3）2 2的所有取值分别为的所有取值分别为0 0，1 1，4.4.因此因此 的所有取值为的所有取值为0 0，1 1，2 2，4 4，5 5，8.8.因为是投掷两次，因此基本事件（因为是投掷两次，因此基本事件（x x1 1, ,x x2 2）共有）共有1616个个
15、. .只有当基本事件是（只有当基本事件是（1 1，1 1）时，）时， =(=(x x1 1-3)-3)2 2+(+(x x2 2-3)-3)2 2可可取得最大值取得最大值8 8，此时，此时，P P( =8)= ;( =8)= ;只有当基本事件是（只有当基本事件是（3 3，3 3）时，）时， =(=(x x1 1-3)-3)2 2+(+(x x2 2-3)-3)2 2可可取得最小值取得最小值0 0，此时，此时，P P（ =0=0）= .= .（2 2）由（）由（1 1）知）知, , 的所有取值为的所有取值为0 0，1 1，2 2，4 4，5 5，8.8.P P（ =0=0）= =P P（ =8=
16、8）= = ；当当 =1=1时，（时，（x x1 1，x x2 2）的所有取值为（）的所有取值为（2 2，3 3）、（）、（4 4，3 3）、（）、（3 3，2 2）、（）、（3 3，4 4），），即即P P（ =1=1）= ;= ;当当 =2=2时，时，( (x x1 1, ,x x2 2) )的所有取值为（的所有取值为（2 2，2 2）、（）、（4 4，4 4）、）、（4 4，2 2）、（）、（2 2，4 4），），即即P P（ =2=2）= ;= ;当当 =4=4时，时，( (x x1 1，x x2 2) )的所有取值为（的所有取值为（1 1，3 3）、（）、（3 3，1 1），），即即
17、P P（ =4=4）= ;= ;当当 =5=5时，（时，（x x1 1, ,x x2 2）的所有取值为（）的所有取值为（2 2，1 1）、（）、（1 1，4 4）、（）、（1 1，2 2）、（）、（4 4，1 1），），即即P P（ =5=5）= .= .所以所以 的分布列为的分布列为即即 的期望的期望E E =0=0 +1 +1 +2 +2 +4 +4 +5 +5 +8+8 =3. =3.012458P探究提高探究提高 求解离散型随机变量及其分布和离散型随求解离散型随机变量及其分布和离散型随机变量的期望、方差时，最主要的就是弄清楚随机变机变量的期望、方差时，最主要的就是弄清楚随机变量可以取哪
18、些值，搞清楚这些值的实际含义，将随机量可以取哪些值，搞清楚这些值的实际含义，将随机变量取这些值的概率正确地求出来，从而写出该离散变量取这些值的概率正确地求出来，从而写出该离散型随机变量的分布列，这是进一步解决问题的基础，型随机变量的分布列，这是进一步解决问题的基础，考生在解决这类试题时要有这种明确的指导思想考生在解决这类试题时要有这种明确的指导思想.变式训练变式训练2 2 （20092009陕西理，陕西理，1919）某食品企业一个）某食品企业一个月内被消费者投诉的次数用月内被消费者投诉的次数用 表示，据统计，随机变表示，据统计，随机变量量 的概率分布如下表：的概率分布如下表：0123P0.10
19、.32aa(1)(1)求求a a的值和的值和 的数学期望；的数学期望；(2)(2)假设一月份与二月份被消费投诉的次数互不影响，假设一月份与二月份被消费投诉的次数互不影响，求该企业在这两个月内共被消费者投诉求该企业在这两个月内共被消费者投诉2 2次的概率次的概率. .解解 （1 1）由概率分布的性质有）由概率分布的性质有0.1+0.3+20.1+0.3+2a a+ +a a=1,=1,解得解得a a=0.2.=0.2. 的概率分布为的概率分布为 0123P0.10.30.40.2E E =0=00.1+10.1+10.3+20.3+20.4+30.4+30.2=1.7.0.2=1.7.(2)(2
20、)设事件设事件A A表示表示“两个月内共被投诉两个月内共被投诉2 2次次”；事件；事件A A1 1表示表示“两个月内有一个月被投诉两个月内有一个月被投诉2 2次，另一个月被投次，另一个月被投诉诉0 0次次”；事件；事件A A2 2表示表示“两个月均被投诉两个月均被投诉1 1次次”. .则由事件的独立性得则由事件的独立性得P P（A A1 1）= = P P（ =2=2）P P( =0)=2( =0)=20.40.40.1=0.08,0.1=0.08,P P( (A A2 2)=)=P P( =1)( =1)2 2=0.3=0.32 2=0.09.=0.09.P P( (A A)=)=P P(
21、(A A1 1)+)+P P( (A A2 2)=0.08+0.09=0.17.)=0.08+0.09=0.17.故该企业在这两个月内共被消费者投诉故该企业在这两个月内共被消费者投诉2 2次的概率为次的概率为0.17.0.17.三、三、 数列型解答题数列型解答题 数列问题中蕴含着丰富的思想方法，是考查考生数学数列问题中蕴含着丰富的思想方法，是考查考生数学素养的良好素材，数列解答题历来为高考命题者所青素养的良好素材，数列解答题历来为高考命题者所青睐，这些新型的数列解答题往往背景新颖，结构简明，睐，这些新型的数列解答题往往背景新颖，结构简明，数学关系式对称优美，而涉及的知识仅仅是高中数学数学关系式
22、对称优美，而涉及的知识仅仅是高中数学中所讲的数列的基本问题，解决问题的方法也是考生中所讲的数列的基本问题，解决问题的方法也是考生所熟悉的，这类试题也往往是整套试卷的压轴题所熟悉的，这类试题也往往是整套试卷的压轴题.解解决这类试题除了灵活地使用基础知识外，更重要的是决这类试题除了灵活地使用基础知识外，更重要的是要灵活地使用数学的各种推理论证方法，用数学思想要灵活地使用数学的各种推理论证方法，用数学思想方法作指导灵活地解决问题方法作指导灵活地解决问题. 例例3 已知数列已知数列 an 的前的前n项和为项和为Sn且且a1= = ,an=-=-2SnSn-1( (n2).2).(1)(1)数列数列 是
23、否为等差数列？请证明你的结论；是否为等差数列？请证明你的结论；(2)(2)求求Sn和和an；(3)(3)求证：求证： .思维启迪思维启迪 （1 1）利用等比数列的定义利用等比数列的定义；（；（2 2）an=Sn-Sn-1，注意验证，注意验证n= =1时的情况；（时的情况；（3 3）放缩与裂项放缩与裂项.（1 1）解解 当当n2 2时，时，an= =Sn n- -Sn n-1 1由已知得：由已知得：Sn-Sn-1=-2SnSn-1（*）又又a1 1= ，Sn与与S Sn n-1-1不可能为不可能为0 0. （* *）式可化为）式可化为 , ,即即 ( (n n2),2), 是等差数列，公差是等差
24、数列，公差d d=2.=2.(2)(2)解解 由（由（1 1）知）知 +(+(n n-1)-1)2 2= += +（n n-1-1）2=22=2n n, ,S Sn n= .= .当当n n22时，时，a an n= =S Sn n- -S Sn n-1-1=- =- ，a an n= .= .（3 3）证明由（）证明由（2 2）知，）知，S Sn n= = ，= = = = .= . . .当且仅当当且仅当n n=1=1时等号成立时等号成立. .探究提高探究提高 （1 1）已知数列的前）已知数列的前n n项和，求通项公式的项和，求通项公式的方法步骤：方法步骤：在已知条件中令在已知条件中令n
25、n=1,=1,求出求出a a1 1= =S S1 1; ;当当n n22时，时，a an n= =S Sn n- -S Sn n-1-1，求出，求出a an n；验证第验证第步求出的通项公式是否符合第一项，若符步求出的通项公式是否符合第一项，若符合写在一起，若不符合，应用分段的形式写合写在一起，若不符合，应用分段的形式写. .（2 2）利用）利用a an n与与S Sn n的关系解题是近几年高考重点考查的关系解题是近几年高考重点考查的内容之一，由的内容之一，由a an n= =f f( (S Sn n) )可求可求a an n，也可求，也可求S Sn n，关键是，关键是用用a an n= =S
26、 Sn n- -S Sn n-1-1( (n n2)2)来转化来转化. .若想求若想求a an n，则用，则用a an n表示式表示式子中的子中的S Sn n，使条件等式转化为关于，使条件等式转化为关于a an n的等式，若想求的等式，若想求S Sn n，则用，则用S Sn n表示式子中表示式子中a an n，使条件等式转化为关于，使条件等式转化为关于S Sn n的等式，在解题过程中，向哪个方向转化简单，应视的等式，在解题过程中，向哪个方向转化简单，应视题目而定，具体问题，具体分析题目而定，具体问题，具体分析. .变式训练变式训练3 3 （1 1）设）设a a1 1, ,a a2 2, ,，a
27、 an n是各项均不为零的是各项均不为零的等差数列（等差数列（n n44），且公差），且公差d d00，若将此数列删去某，若将此数列删去某一项得到的数列（按原来的顺序）是等比数列，一项得到的数列（按原来的顺序）是等比数列，当当n n=4=4时，求时，求 的数值；的数值；求求n n的所有可能值的所有可能值. .（2 2）求证：对于一个给定的正整数）求证：对于一个给定的正整数n n（n n44），存在），存在一个各项及公差都不为零的等差数列一个各项及公差都不为零的等差数列b b1 1, ,b b2 2, ,，b bn n, ,其其中任意三项（按原来顺序）都不能组成等比数列中任意三项（按原来顺序）都
28、不能组成等比数列. .(1)(1)解解 当当n n=4=4时时, ,a a1 1, ,a a2 2, ,a a3 3, ,a a4 4中不可能删去首项或中不可能删去首项或末项末项, ,否则等差数列中连续三项成等比数列否则等差数列中连续三项成等比数列, ,则推出则推出d d=0.=0.若删去若删去a a2 2, ,则有则有 = =a a1 1a a4 4, ,即即( (a a1 1+2+2d d) )2 2= =a a1 1( (a a1 1+3+3d d),),化简化简a a1 1d d+4+4d d2 2=0,=0,因为因为d d0,0,所以所以a a1 1+4+4d d=0,=0,故得故得
29、 =-4;=-4;若删去若删去a a3 3, ,则有则有 = =a a1 1a a4 4, ,即即( (a a1 1+ +d d) )2 2= =a a1 1( (a a1 1+3+3d d),),化简得化简得a a1 1d d= =d d2 2, ,因为因为d d0,0,所以所以a a1 1= =d d, ,故得故得 =1.=1.综上综上 =1=1或或-4.-4.若若n n66，则从满足题设的数列，则从满足题设的数列a a1 1, ,a a2 2, , ,a an n中删去一中删去一项后得到的数列，必有原数列中的连续三项，从而这项后得到的数列，必有原数列中的连续三项，从而这三项既成等差数列又
30、成等比数列，故由三项既成等差数列又成等比数列，故由“基本事实基本事实”知，数列知，数列a a1 1, ,a a2 2, , ,a an n的公差必为的公差必为0,0,这与题设矛盾这与题设矛盾. .所以所以满足题设的数列的项数满足题设的数列的项数n n5.5.又因题设又因题设n n4,4,故故n n=4=4或或5.5.当当n n=4=4时，由时，由中的讨论知存在满足题设的数列中的讨论知存在满足题设的数列. .当当n n=5=5时，若存在满足题设的数列时，若存在满足题设的数列a a1 1, ,a a2 2, ,a a3 3, ,a a4 4, ,a a5 5, ,则则由由“基本事实基本事实”知，删
31、去的项只能是知，删去的项只能是a a3 3，从而，从而a a1 1，a a2 2，a a4 4，a a5 5成等比数列成等比数列. .故故( (a a1 1+ +d d) )2 2= =a a1 1( (a a1 1+3+3d d) )及及( (a a1 1+3+3d d) )2 2=(=(a a1 1+ +d d)()(a a1 1+4+4d d).).分别化简上述两个等式，得分别化简上述两个等式，得a a1 1d d= =d d2 2及及a a1 1d d=-5=-5d d, ,故故d d=0,=0,矛盾矛盾. .因此，不存在满足题设的项数为因此，不存在满足题设的项数为5 5的等差数列的等
32、差数列. .综上可知，综上可知，n n只能为只能为4.4.（2 2）证明证明 假设对于某个正整数假设对于某个正整数n n, ,存在一个公差为存在一个公差为d d的的n n项等差数列项等差数列b b1 1, ,b b1 1+ +d d,，b b1 1+(+(n n-1)-1)d d(b b1 1d d0),0),其中三项其中三项b b1 1+ +m m1 1d d,b b1 1+ +m m2 2d d,b b1 1+ +m m3 3d d成等比数列，成等比数列，这里这里00m m1 1mm2 2mm3 3n n-1,-1,则有则有 ( (b b1 1+ +m m2 2d d)2 2=(=(b b
33、1 1+ +m m1 1d d)()(b b1 1+ +m m3 3d d),),化简得化简得( (m m1 1+ +m m3 3-2-2m m2 2) )b b1 1d d=( -=( -m m1 1m m3 3) )d d2 2. (*). (*)由由b b1 1d d00知知, ,m m1 1+ +m m3 3-2-2m m2 2与与 - -m m1 1m m3 3或同时为零，或或同时为零，或均不为零均不为零. .若若m m1 1+ +m m3 3-2-2m m2 2=0,=0,且且 - -m m1 1m m3 3=0,=0,则有则有 - -m m1 1m m3 3=0,=0,即即( (
34、m m1 1- -m m3 3) )2 2=0,=0,得得m m1 1= =m m3 3, ,从而从而m m1 1= =m m2 2= =m m3 3, ,矛盾矛盾. .因此，因此，m m1 1+ +m m3 3-2-2m m2 2与与 - -m m1 1m m3 3都不为零，都不为零，故由（故由（* *）得）得 . .因为因为m m1 1, ,m m2 2, ,m m3 3均为非负整数，所以上式右边为有理均为非负整数，所以上式右边为有理数，从而数，从而 是一个有理数，于是对于任意的正整数是一个有理数，于是对于任意的正整数n n4,4,只要取只要取 为无理数，则相应的数列为无理数，则相应的数列
35、b b1 1, ,b b2 2, , ,b bn n, ,就满足要求就满足要求. . 四、四、 立体几何型解答题立体几何型解答题 立体几何的考查，主要有两类新题型，一是将空间几立体几何的考查，主要有两类新题型，一是将空间几何体的直观图、三视图引进解答题中，在考查对空间何体的直观图、三视图引进解答题中，在考查对空间几何体结构认识的前提下，综合性地考查对空间几何几何体结构认识的前提下，综合性地考查对空间几何体的体积、表面积的计算，考查空间线面位置关系，体的体积、表面积的计算，考查空间线面位置关系，角与距离的计算，这类试题以角与距离的计算，这类试题以“图图”引入，背景新颖，引入，背景新颖，对考生的空
36、间想象能力有较高要求；二是在考查立体对考生的空间想象能力有较高要求；二是在考查立体几何基本问题的前提下，将试题设计为几何基本问题的前提下，将试题设计为“探索性探索性”的的类类型，改变了给出明确结论让考生证明的局面，这类试型，改变了给出明确结论让考生证明的局面，这类试题由于结论不明确，对考生的数学素养有较高要求题由于结论不明确，对考生的数学素养有较高要求.要要想解决好如上所述的立体几何新型试题，除了牢固掌想解决好如上所述的立体几何新型试题，除了牢固掌握好立体几何的基础知识和基本方法外，还要在空间握好立体几何的基础知识和基本方法外，还要在空间想象能力、数学思想方法等方面下一番工夫，只有这想象能力、
37、数学思想方法等方面下一番工夫，只有这样考生才能面对新题型得心应手，将新题型转化为所样考生才能面对新题型得心应手，将新题型转化为所熟悉的常规题，以便顺利解决问题熟悉的常规题，以便顺利解决问题.在解答方面，除推在解答方面，除推理证明，运用空间向量也是一种重要方法理证明，运用空间向量也是一种重要方法. 例例4 4 （20092009湖北文，湖北文，1818）如图，四棱锥）如图，四棱锥S SABCD ABCD 的底面是正方形，的底面是正方形，SDSD平面平面ABCDABCD，SDSD= =ADAD= =a a, ,点点 E E是是SDSD上的点，且上的点，且DEDE= = a a(0 1).(0bab
38、0)0)右焦点右焦点F F且斜且斜率为率为1 1的直线交椭圆的直线交椭圆C C于于A A、B B两点，两点，N N为弦为弦ABAB的中点的中点. .又函数又函数y y= =a asin sin x x+3+3b bcos cos x x图象的一条对称轴的方程是图象的一条对称轴的方程是x x= .= .（1 1）求椭圆）求椭圆C C的离心率的离心率e e与直线与直线ONON的斜率的斜率; ;（2 2）对于椭圆）对于椭圆C C上的任意一点上的任意一点MM，试证：总存在角，试证：总存在角 ( ( R R) )使等式使等式 =cos +sin =cos +sin 成立成立. .思维启迪思维启迪 （1
39、1）只要能找到）只要能找到a a, ,b b的关系就可以求出椭的关系就可以求出椭圆的离心率，利用函数圆的离心率，利用函数y y= =a asin sin x x+3+3b bcos cos x x图象的一条图象的一条对称轴的方程是对称轴的方程是x x= = 找到这个关系，既然找到这个关系，既然a a, ,b b之间存之间存在着一个等量关系，那么椭圆方程就可以用一个参数在着一个等量关系，那么椭圆方程就可以用一个参数表示出来，这样就可以应用韦达定理把弦表示出来，这样就可以应用韦达定理把弦ABAB的中点的中点坐标用这个参数表示出来；（坐标用这个参数表示出来；（2 2）根据平面向量基本）根据平面向量基
40、本定理，对椭圆上任意一点定理，对椭圆上任意一点MM一定存在唯一的一对实数一定存在唯一的一对实数 ， 使得等式使得等式 = + = + 成立，只要能证明成立，只要能证明这里的这里的 , , 满足关系式满足关系式 + =1+ =1，即可通过三角恒等，即可通过三角恒等变换解决问题变换解决问题. . （1 1）解解 因为函数因为函数y y= =a asin sin x x+3+3b bcos cos x x图象的一条对称轴图象的一条对称轴的方程是的方程是x x= ,= ,所以对任意的实数所以对任意的实数x x都有都有f f( -( -x x) )= =f f( +( +x x) )，取，取x x= =
41、 ，得，得f f(0)=(0)=f f( ),( ),整理得整理得a a= = b b. .于是椭圆于是椭圆C C的离心率的离心率 e e= = . .由由a a= = b b，知椭圆，知椭圆C C的方程可化为的方程可化为x x2 2+3+3y y2 2=3=3b b2 2, ,又椭圆又椭圆C C的右焦点的右焦点F F为（为（ b b，0 0），直线），直线ABAB的方程为的方程为y y= =x x- - b b, ,把把代入代入展开整理，得展开整理，得4 4x x2 2-6 -6 bxbx+3+3b b2 2=0,=0,设设A A（x x1 1, ,y y1 1）, ,B B( (x x2
42、2, ,y y2 2) )，弦，弦ABAB的中点的中点N N（x x0 0, ,y y0 0），则），则x x1 1, ,x x2 2是方程是方程的两个不等的实数根，由韦达定理，得的两个不等的实数根，由韦达定理，得x x1 1+ +x x2 2= = b b, ,x x1 1x x2 2= = b b2 2, ,所以所以x x0 0= ,= ,y y0 0= =x x0 0- - b b=- =- b b. .于是直线于是直线ONON的斜率的斜率k kONON= .= .(2)(2)证明证明 与与 是平面内的两个不共线的向量，由平面是平面内的两个不共线的向量，由平面向量基本定理，对于这一平面内
43、的向量向量基本定理，对于这一平面内的向量 ，有且只有一，有且只有一对实数对实数 , , 使得等式使得等式 = + = + 成立成立. .设设MM( (x x, ,y y),),由由（1 1）中各点的坐标可得）中各点的坐标可得 ( (x x, ,y y)= ()= (x x1 1, ,y y1 1)+ ()+ (x x2 2, ,y y2 2) )，x x= = x x1 1+ + x x2 2, ,y y= = y y1 1+ + y y2 2. .又又MM在椭圆在椭圆C C上，代入上，代入式，得式，得( ( x x1 1+ + x x2 2) )2 2+3( +3( y y1 1+ + y
44、y2 2) )2 2=3=3b b2 2，展开整理，得，展开整理，得 又又x x1 1x x2 2+3+3y y1 1y y2 2= =x x1 1x x2 2+3(+3(x x1 1- - b b)()(x x2 2- - b b) )=4=4x x1 1x x2 2-3 -3 b b( (x x1 1+ +x x2 2)+6)+6b b2 2=3=3b b2 2-9-9b b2 2+6+6b b2 2=0.=0.A A，B B两点在椭圆上，故有两点在椭圆上，故有 代入代入式化简，得式化简，得 =1.=1.由同角三角函数关系知由同角三角函数关系知道总存在角道总存在角 ( ( R R) )使等
45、式使等式 . .成立，成立，即即 成立成立. .综上所述，对于椭圆综上所述，对于椭圆C C上的任意一点上的任意一点MM，总存在角（，总存在角（ R R）使等式）使等式 恒成立恒成立. .探究提高探究提高 在平面解析几何中研究直线和圆锥曲线的在平面解析几何中研究直线和圆锥曲线的位置关系时，位置关系时，“设而不求设而不求”是一种重要的整体思想，是一种重要的整体思想，这就要用到点在直线上、点在曲线上和一元二次方程这就要用到点在直线上、点在曲线上和一元二次方程根与系数的关系根与系数的关系.在化简过程中，要有在化简过程中，要有“整体整体”的意的意识，这样可以简化运算，提高效率识，这样可以简化运算，提高效
46、率.变式训练变式训练5 5 （20092009山东文，山东文，2222）设）设m mR R，在平面直，在平面直角坐标系中，已知向量角坐标系中，已知向量a a=(=(mxmx, ,y y+1)+1)，向量，向量b b=(=(x x, ,y y- -1),1),a ab b, ,动点动点MM（x x, ,y y）的轨迹为）的轨迹为E E. .(1)(1)求轨迹求轨迹E E的方程的方程, ,并说明该方程所表示曲线的形状；并说明该方程所表示曲线的形状；（2 2）已知）已知m m= ,= ,证明：存在圆心在原点的圆，使得该证明：存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与轨迹圆的任意一条切线与轨迹E E
47、恒有两个交点恒有两个交点A A，B B，且，且OAOAOBOB（O O为坐标原点），并求该圆的方程；为坐标原点），并求该圆的方程；（3 3）已知）已知m m= ,= ,设直线设直线l l与圆与圆C C：x x2 2+ +y y2 2= =R R2 2(1(1RRm0 0且且m m11时，该方程表示椭圆；时，该方程表示椭圆；当当mm0 0时，该方程表示双曲线时，该方程表示双曲线. .(2)(2)证明证明 当当m m= = 时，轨迹时，轨迹E E的方程为的方程为 + +y y2 2=1,=1,设圆的方程为设圆的方程为x x2 2+ +y y2 2= =r r2 2(0(0rr 0 0，a a00两
48、种情况讨论两种情况讨论. .（2 2）求得）求得a a=1=1时，时，g g( (x x)=)=x x-1-1-f f( (x x) )的导数的导数g g(x x) )，利用，利用导数求函数导数求函数g g( (x x) )在在2 2，+）的最小值）的最小值g g( (x x) )minmin，只要，只要证明证明g g( (x x) )minmin00即可即可. . (1)(1)解解 由已知得函数由已知得函数f f( (x x) )的定义域为的定义域为 x x| |x x 1,1,当当n n=2=2时时, ,f f( (x x)= +)= +a aln(ln(x x-1),-1),所以所以f
49、f(x x)= .)= .当当a a 0 0时时, ,由由f f(x x)=0,)=0,得得x x1 1=1+ =1+ 1,1,x x2 2=1- =1- 1,1,此时此时f f(x x)= .)= .当当x x(1,(1,x x1 1) )时时, ,f f(x x) ) 0,0,f f( (x x) )单调递增单调递增. .当当a a00时时, ,f f(x x) ) a0 0时时, ,f f( (x x) )在在x x=1+ =1+ 处取得极小值处取得极小值, ,极小值为极小值为f f（1+ 1+ ）= .= .当当a a00时时, ,f f( (x x) )无极值无极值. .(2)(2)
50、证明证明 方法一方法一 因为因为a a=1,=1,所以所以f f( (x x)= +ln()= +ln(x x-1).-1).当当n n为偶数时为偶数时, ,令令g g( (x x)=)=x x-1- -ln(-1- -ln(x x-1),-1),则则（x x2）所以所以, ,当当x x2,+)2,+)时时, ,g g( (x x) )单调递增单调递增, ,又又g g(2)=0,(2)=0,因此因此, ,g g( (x x)=)=x x-1- -ln(-1- -ln(x x-1)-1)g g(2)=0(2)=0恒成立恒成立, ,所以所以f f( (x x)x x-1-1成立成立. .当当n n
51、为奇数时为奇数时, ,要证要证f f( (x x)x x-1,-1,由于由于 0,0,所以当所以当x x22时时, ,恒有恒有h h( (x x) ) 0,0,即即ln(ln(x x-1)-1)xa0,0,g g( (x x)=-()=-(a a2 2- -a a+1)e+1)ex x+2+2，问是否存在，问是否存在 , , -2-2，2 2, ,使得使得| |f f( )-( )-g g( )|1( )|1成立？若存在，成立？若存在，求求a a的取值范围；若不存在，说明理由的取值范围；若不存在，说明理由. .解解（1 1）f f(x x)=)=x x2 2+(+(a a+2)+2)x x+
52、+a a+ +b be ex x由由f f(0)=0(0)=0，得，得b b=-=-a af f( (x x)=()=(x x2 2+ +axax- -a a)e)ex xf f(x x)=)=x x2 2+(+(a a+2)+2)x xe ex x= =x x( (x x+ +a a+2)e+2)ex x令令f f( (x x)=0)=0，得，得x x1 1=0=0,x x2 2=-=-a a-2-2由于由于x x=0=0是是f f( (x x) )极值点，故极值点，故x x1 1x x2 2，即，即a a-2-2当当a a-2-2时，时，x x1 1 -2-2时，时，x x1 x x2，故
53、，故f f( (x x) )的单调增区间是（的单调增区间是（- -,- -a a- -2 2和和0 0,+ +)，单调减区间是（，单调减区间是（- -a a-2-2,0 0）.(2)(2)当当a a00时，时，- -a a-2-2-2-2，f f( (x x) )在在-2-2，0 0上单调递减，上单调递减，在在0 0，2 2上单调递增，因此上单调递增，因此f f(x x)在在-2-2，2 2上的值上的值域为域为 f f(0)(0),max max f f(-2),(-2), f f(2)(2)= =-a a,(4+4+a a)e e2 2而而g g( (x x)=-()=-(a a2 2- -
54、a a+1)e+1)ex x+2+2=-=-( (a a- - ) )2 2+ + e ex x+2+2在在-2-2，2 2上单调递减，上单调递减，所以值域是所以值域是- -（a a2 2- -a a+1+1）e e4 4,-(,-(a a2 2- -a a+1)+1)因为在因为在-2-2，2 2上，上，f f( (x x) )minmin- -g g( (x x) )maxmax=-=-a a+(+(a a2 2- -a a+1)+1)=(=(a a-1)-1)2 200所以，所以，a a只需满足只需满足解得解得0 0aa2.2.即当即当a a(0,2(0,2时，存在时，存在 、 -2,2-
55、2,2使得使得| |f f( )-( )-g g( )|1( )|1成立成立. .规律方法总结规律方法总结1.1.解答题的审题要求解答题的审题要求解答题的设计，一般都比较综合，多为综合题解答题的设计，一般都比较综合，多为综合题. .综合综合题从题设到结论，从题型到内容，条件隐蔽，变化多题从题设到结论，从题型到内容，条件隐蔽，变化多样，因此就决定了审题思考的复杂性和解题设计的多样，因此就决定了审题思考的复杂性和解题设计的多样性样性. .在审题思考中，要把握好在审题思考中，要把握好“三性三性”，即（，即（1 1）目）目的性：明确解题结果的终极目标和每一步骤分项目标的性：明确解题结果的终极目标和每一
56、步骤分项目标. .（2 2）准确性：提高概念把握的准确性和运算的准确）准确性：提高概念把握的准确性和运算的准确性性. .（3 3）隐含性：注意题设条件的隐含性）隐含性：注意题设条件的隐含性. .审题这第审题这第一步，不要怕慢，其实慢中有快，解题方向明确，解一步，不要怕慢，其实慢中有快，解题方向明确，解题手段合理，这是提高解题速度和准确性的前提和保题手段合理，这是提高解题速度和准确性的前提和保证证. .2.2.将文字语言转化成数学语言将文字语言转化成数学语言解答题的解题关键是将文字语言用数学语言表达出来解答题的解题关键是将文字语言用数学语言表达出来. .这就要求考生有较强的转化能力这就要求考生有
57、较强的转化能力. .即：（即：（1 1）语言转换）语言转换能力能力. .每个数学综合题都是由一些特定的文字语言、每个数学综合题都是由一些特定的文字语言、符号语言、图形语言所组成符号语言、图形语言所组成. .解综合题往往需要较强解综合题往往需要较强的语言转换能力的语言转换能力. .还需要有把普通语言转换成数学语还需要有把普通语言转换成数学语言的能力言的能力. .（2 2）概念转换能力）概念转换能力. .综合题的转译常常需综合题的转译常常需要较强的数学概念的转换能力要较强的数学概念的转换能力. .（3 3）数形转换能力）数形转换能力. .解题中的数形结合，就是对题目的条件和结论既分析解题中的数形结
58、合，就是对题目的条件和结论既分析其代数含义又分析其几何意义，力图在代数与几何的其代数含义又分析其几何意义，力图在代数与几何的结合上找出解题思路结合上找出解题思路. .运用数形转换策略要注意特殊运用数形转换策略要注意特殊性，否则解题会出现漏洞性，否则解题会出现漏洞. .3.3.答卷的基本要求答卷的基本要求（1 1）准确）准确. .准确是最基本的要求，注意做到概念公式准确是最基本的要求，注意做到概念公式应用准；逻辑推理思路准；数式运算结果准应用准；逻辑推理思路准；数式运算结果准. .（2 2）迅速）迅速. .没有速度，就没有高效益没有速度，就没有高效益. .在保证准确的前在保证准确的前提下，尽可能
59、提高速度提下，尽可能提高速度. .不要为某一难点浪费过多时间不要为某一难点浪费过多时间. .（3 3）严谨）严谨. .数学解答题，一般离不开逻辑推理和数式数学解答题，一般离不开逻辑推理和数式的化简的化简. .这就要求推理过程和化简过程严密，无缺漏这就要求推理过程和化简过程严密，无缺漏. .（4 4）规范）规范. .解答题的解答一般都有一定的格式解答题的解答一般都有一定的格式. .在解答在解答时，一定要按照要求规范解答时，一定要按照要求规范解答. .1.1.已知已知a a=2(cos =2(cos x x,cos ,cos x x),),b b=(cos =(cos x x， ) ) ( (其中
60、其中0 0 1)1)，函数，函数f f( (x x)=)=a ab b，若直线，若直线 x x= = 是函数是函数f f( (x x) )图象的一条对称轴图象的一条对称轴. .（1 1）试求）试求 的值；的值；（2 2）先列表再作出函数）先列表再作出函数f f( (x x) )在区间在区间- , - , 上的图象上的图象. .解解 f f( (x x)=)=a ab b=2(cos =2(cos x x,cos ,cos x x) )(cos (cos x x, sin , sin x x) )=2cos=2cos2 2 x x+2 cos +2 cos x xsin sin x x=1+co
61、s 2 =1+cos 2 x x+ sin 2 + sin 2 x x=1+2sin(2 =1+2sin(2 x x+ ).+ ).(1)(1)直线直线x x = = 为对称轴，为对称轴，sin( + )=sin( + )=1 1， + =+ =k k + (+ (k kZ Z) ) = = k k+ ,0+ ,0 1 1，- - kkbab0)0)，把点（，把点（-2-2，0 0）（）（ , , ）代入得）代入得C C1 1的方程为的方程为 + +y y2 2=1.=1. (2)(2)假设存在这样的直线假设存在这样的直线l l过抛物线焦点过抛物线焦点F F（1 1，0 0）. .设其方程为设
62、其方程为x x-1=-1=mymy, ,设设MM（x x1 1, ,y y1 1）, ,N N( (x x2 2, ,y y2 2),),由由 =0=0，得，得x x1 1x x2 2+ +y y1 1y y2 2=0=0(*)(*)由由消去消去x x，得，得( (m m2 2+4)+4)y y2 2+2+2mymy-3=0-3=0，=16=16m m2 2+48+48 0,0,y y1 1+ +y y2 2= ,= ,y y1 1y y2 2= = x x1 1x x2 2=(1+=(1+mymy1 1)(1+)(1+mymy2 2)=1+)=1+m m( (y y1 1+ +y y2 2)
63、+)+m m2 2y y1 1y y2 2=1+=1+m m + +m m2 2 = =将将代入（代入（* *）式，得）式，得 =0=0解得解得m m= = 假设成立，即存在直线假设成立，即存在直线l l过抛物线焦点过抛物线焦点F Fl l的方程为的方程为2 2x xy y-2=0.-2=0.6.6.（20092009山东文，山东文，2121）已知函数）已知函数f f( (x x)= )= axax3 3+ +bxbx2 2+ +x x+3, +3, 其中其中a a0.0. （1 1）当）当a a, ,b b满足什么条件时，满足什么条件时，f f( (x x) )取得极值？取得极值？ （2 2
64、）已知）已知aa0,0,且且f f( (x x) )在区间（在区间（0,10,1上单调递增，试上单调递增，试 用用a a表示出表示出b b的取值范围的取值范围. . (1) (1)解解 f f(x x)=)=axax2 2+2+2bxbx+1.+1. 当（当（2 2b b）2 2-4-4a a00时无极值时无极值. . 当（当（2 2b b）2 2-4-4aa0,0,即即b b2 2aa时，时，f f(x x)=)=axax2 2+2+2bxbx+1=0+1=0有两有两 个不同的解，即个不同的解，即x x1 1= ,= ,x x2 2= .= .因此因此f f( (x x) ) = =a a(
65、 (x x- -x x1 1)()(x x- -x x2 2).).当当aa0 0时时, ,f f( (x x),),f f(x x) )随着随着x x的变化情况如下表：的变化情况如下表：由此表可知由此表可知f f( (x x) )在点在点x x1 1, ,x x2 2处分别取得极大值和极小值处分别取得极大值和极小值. .当当aaaa时，时，f f( (x x) )能取得极值能取得极值. .x(-，x1)x1(x1,x2)x2(x2,+)f(x)+0-0+f(x)极大值极小值x(-，x2)x2(x2,x1)x1(x1,+)f(x)-0+0-f(x)极小值 极大值 (2)(2)方法一方法一 由题
66、意由题意f f(x x)=)=axax2 2+2+2bxbx+10+10在区间（在区间（0 0，1 1上恒成立，即上恒成立，即b b , ,x x(0,1(0,1, ,当当 (0,1(0,1, ,即即a a11时，时，g g( (x x)=- -2 =- .)=- -2 =- .等号成立的条件为等号成立的条件为x x= (0,1= (0,1, ,g g( (x x) )最大值最大值= =g g =- ,=- ,因此因此b b- .- .当当 1 1，即，即0 0aa 0.0.g g( (x x) )最大值最大值= =g g(1)= ,(1)= ,所以所以b b- .- .综上所述，当综上所述，
67、当a a11时，时，b b- ;- ;当当0 0aa 0;0;x x 时，时，g g(x x) ) 0.0.即即g g( (x x) )在在 上单调递增，在上单调递增，在 上单调递减，上单调递减，所以所以g g( (x x) )最大值最大值= =g g , ,因此因此b b- .- .当当 (1,+),(1,+),即即a a（0,10,1时，由于时，由于x x（0,10,1时，时，g g(x x)0,)0,即即g g( (x x) )在（在（0 0，1 1上单调递增，上单调递增，所以所以g g( (x x) )最大值最大值= =g g(1)=-(1)=-因此因此b b- .- .综上所述，当综上所述，当a a11时，时，b b- ;- ;当当0 0aa1 1时，时，b b- .- .返回
