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1、现代控制理论总结 第一章：控制系统的状态空间表达式 1、状态变量，状态空间与状态轨迹的概念: 在描述系统运动的所有变量中,必定可以找到数目最少的一组变量， 他们足以描述系统的全部运动，这组变量就称为系统的状态变量. 以状态变量 X1,，X2，X3，Xn为坐标轴所构成的 n 维欧式空间（实数域上的向量空间）称为状态空间。 随着时间的推移，x(t）在状态空间中描绘出一条轨迹,称为状态轨迹。 2、状态空间表达式： 状态方程和输出方程合起来构成对一个系统完整的动态描述，称为系统的状态空间表达式。 3、实现问题: 由描述系统输入输出关系的运动方程或传递函数建立系统的状态空间表达式，这样的问题称为实现问题
2、 单入单出系统传函:W（s)=，实现存在的条件是系统必须满足mt0内，使得根据t0，tf期间的输出 y（t）能唯一的确定系统在初始时刻的状态 x(t0） ，则称状态 x(t0)是能观测的,若系统的每一个状态都是能观测的则称此系统是状态完全能观测的。 2、能控性能观性的判别: 1）能控性：常用的有格拉姆矩阵判据，秩判据，约旦标准型判据，pbh 判据 约旦判据： 若线性定常系统的系统矩阵 A 为对角标准型， 则系统状态完全能控的充要条件是输入矩阵 B 没有任何一行元素全部为零。 若线性定常系统的系统矩阵 A 为约当标准型， 则系统状态完全能控的充要条件是输入矩阵B中对应于每个约当块最后一行的元素不
3、全为零输入矩阵B中对应于互异特征根的各行元素不全为零 一般系统的能控性判据: 若系统矩阵 A 的特征值互异，A 可变化为对角标准型，此时系统完全能控的充要条件是的各行元素没有全为零的行. 若系统矩阵 A 的特征值有重根，A 可变化为约旦标准型，此时系统完全能控的充要条件是输入矩阵中对应于每个约当块最后一行的元素不全为零输入矩阵中对应于互异特征根的各行元素中，没有一行元素全部为零 秩判据： 线性定常系统的状态方程为 x=Ax+bu 其状态完全能控的充要条件是由 A,b 构成的能控性矩阵 M=b Ab A2b .。 An-1b满秩，即 rankM=n，否则当 rankMn 时系统为不完全能控。 2
4、)能观性：判别方法通过线性变化把状态空间表达式化为约旦标准型，再根据标准型下的 C 阵的特点判别其能观性直接根据 A,C 阵进行判别 约旦标准型判据: 若线性定常系统的系统矩阵 A 为对角标准型,则系统完全能观的充要条件是输出矩阵 C中没有任何一列元素全部为零； 若线性定常系统的系统矩阵 A 为约旦标准型，则系统完全能观的充要条件是输出矩阵 C 中对应于每个约旦块第一列的一列元素不全为零输出矩阵 C 中对应于互异特征值的各列元素中，没有一列元素全部为零. 秩判据： 由 A,C 构成的能观性矩阵 满秩，即 rankN=n。 3、对偶关系： 4、对偶特性： 5、对偶原理： 6、能控能观转换及线性系
5、统的结构分解： 见书上吧。.不好打 第四章:系统运动稳定性与李雅普诺夫方法 1、第一法与第二法的基本思想及判断稳定性步骤： 第一法:又称为间接法，它通过求解系统状态方程，根据解的性质来判定系统的稳定性; 基本思想：对非线性系统在平衡状态进行小偏差线性化处理，之后领用线性系统特征值判定系统稳定性. 线性定常系统平衡状态=0渐进稳定的充要条件是系统矩阵A的所有特征根均具有负实部。 如果系统对于有界输入 u 引起的输出 y 是有界的，则称系统是输出稳定（BIBO 稳定) ，其稳定的充要条件是其传递函数 W(s)=c的极点全部位于 S 平面的左半面。 线性定常系统状态稳定与输出稳定的关系： 态稳定一定是输出稳定，但输出稳定不一定是状态稳定 状态稳定与输出稳定等价的条件是系统的传函 W(s)不出现零极点对消， 即系统状态完全能控且能观。 第一法的局限性： 为局部稳定，不是全剧稳定f（x）必须是连续光滑的 第二法：又称直接法,是通过一个叫做李雅普诺夫函数的标量函数来直接判定系统的稳定性。 基本思想:基于能量思想，定义一个正定的标量函数 V（x)作为虚构的广义能量函数,然后根据正定的标量函数沿状态轨线对时间的一阶导数的正负定性质来判断稳定性。
