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1、成才之路成才之路 数学数学路漫漫其修远兮路漫漫其修远兮 吾将上下而求索吾将上下而求索人教人教A版版 必修必修1 函数的应用函数的应用第三章第三章1.1.1集合的概念章末归纳总结章末归纳总结第三章第三章1.1.1集合的概念题型探究题型探究专题一函数的零点与方程根的关系一般结论：函数yf(x)的零点就是方程f(x)的零点就是方程f(x)0的实数根，也就是函数yf(x)的图象与x轴的交点的横坐标所以方程f(x)0有实数根函数yf(x)的图象与x轴有交点函数yf(x)有零点例1实数a，b，c是图象连续不断的函数f(x)定义域中的三个数，且满足abc，f(a)f(b)0，f(b)f(c)0，则函数yf(
2、x)在区间(a，c)上零点的个数为()A2 B奇数C偶数D至少是2解析由f(a)f(b)0，知在区间(a，b)上至少有一个零点，由f(b)f(c)0知在区间(b，c)上至少有一个零点，故在区间(a，c)上至少有两个零点答案D点评本题利用零点的存在性定理就可直接判断，但要注意零点存在性定理不能判断零点个数例2函数f(x)x2(m22)xm在(1,1)上零点的个数为()A1 B2C0 D不能确定答案A点评单调函数至多存在一个零点专题二一元二次方程根的分布一元二次方程根的分布问题，表面上是方程问题，实际上往往是二次函数的图象性质问题和解不等式的综合考查它在应用上的灵活性和广泛性，使其成为考试的热点问
3、题例3设集合A(x，y)|x2mxy20，B(x，y)|yx1,0x2，AB，求实数m的取值范围分析本题考查一元二次方程根的分布问题，应用等价转化思想及数形结合的思想，先将AB转化为方程组在x0,2上有解，然后由一元二次方程构造二次函数，利用根的分布求解例4(对数函数模型)测量地震级别的里氏是地震强度(即地震释放的能量)的常用对数值，显然级别越高，地震的强度也越高，如日本1923年地震是8.9级，旧金山1996年地震是8.3级，1989年地震是7.1级，试计算日本1923年地震强度是8.3级的几倍？是7.1级的几倍？(已知lg20.3)分析依题意将各次地震的地震强度设出，然后寻找它们之间的关系
4、解析设日本1923年地震强度是x，旧金山1996年地震强度为y,1989年地震强度为z，则lgx8.9，lgy8.3，lgz7.1，则lgxlgy8.98.30.62lg2lg4，从而lgxlg4lgylg(4y)，x4y.lgxlgz8.97.11.86lg2lg64，从而lgxlgzlg64lg(64z)，x64z.8.9级地震强度是8.3级地震强度的4倍，是7.1级地震强度的64倍点评由题设知道是对数函数后利用对数的运算性质即可解决专题四数学思想方法1数形结合思想数与形是数学中两个最古老的，也是最基本的研究对象，它们在一定条件下相互转化，借助背景图形的性质可使那些抽象的概念、复杂的数量关
5、系变得直观，以便于探求解题思路或找到问题的结论精选数形结合，不仅是一种重要的解题方法，而且也是一种重要的思维方法，因此它在中学数学中占有重要地位本章对于数形结合思想的应用主要体现在：一是读图识图，二是由图求解析式例5向高为H的水瓶中注水，若注满为止，注水量V与水深h的函数关系图象如图所示，那么水瓶的形状是()分析解决这道函数应用题，不可能列出V与h的精确解析式，需要对图形整体把握，取特殊情况加以分析，或通过观察已知图象的特征，取模型函数判断规律总结：该题是一道综合性较强的题目，意在考查学生整体观察、直觉思维、取特殊值验证等多方面的能力根据解法1、解法2的分析，亦可画出A，C，D三个图形中的水瓶
6、的容量V与高度h的函数关系曲线的草图分别如下图所示2函数与方程思想函数与方程的思想是中学数学的基本思想函数思想，是用运动和变化的观点，集合与对应的思想，去分析和研究数学问题中的数量关系，建立函数关系或构造函数，利用函数的图象和性质去分析问题和解决问题，使问题获得解决方程思想，就是分析数学问题中的变量间等量关系，从而建立方程或方程组，通过解方程或方程组，使问题获得解决方程的思想和函数的思想密切相关，是相互转化的函数与方程的思想方法，渗透到中学数学的各个领域，在解题中有着广泛的应用本章函数与方程思想的应用，主要体现在：求方程f(x)0的实数根，就是确定函数yf(x)的零点，就是求函数yf(x)的图
7、象与x轴的交点的横坐标；其次，在应用题中利用函数建模，解决实际问题例6方程log2(x4)2x的实数解的个数是()A0 B1 C2 D3解析要判断方程的实数解的个数，只需判断函数ylog2(x4)与y2x的图象的交点个数即可令f(x)log2(x4)，g(x)2x，在同一坐标系中作出函数f(x)与g(x)的图象如图所示，据图象可知函数f(x)与g(x)的图象有两个交点，所以方程log2(x4)2x有两个实数解答案C点评方程f(x)0有实数解函数f(x)的图象与x轴有交点函数yf(x)有零点相应两函数交点的横坐标3分类讨论思想分类讨论，通俗地讲，就是“化整为零，各个击破”分类讨论要弄清楚是依据哪
8、个参数进行分类的，采用的标准是什么分类讨论的原则是：(1)不重不漏；(2)一次分类只能按所确定的同一个标准进行例7试讨论函数f(x)x22|x|1a(aR)的零点的个数分析函数f(x)的零点的个数即为方程x22|x|1a0的根的个数作出函数g(x)的图象，如图所示当a在R上取值时，函数h(x)的图象是一系列垂直于y轴的直线当a1时，g(x)的图象与直线h(x)的图象有两个交点，即函数f(x)有两个零点；当2a1时，函数g(x)的图象与直线h(x)的图象有四个交点，即函数f(x)有四个零点；当a1时，函数g(x)的图象与直线h(x)的图象有三个交点，即函数f(x)有三个零点综上所述，当a1时，函数f(x)有两个零点；当2a1时，函数f(x)有四个零点；当a1时，函数f(x)有三个零点规律方法分类讨论的一般步骤：(1)明确讨论对象，确定讨论范围；(2)确定分类标准，进行合理分类；(3)逐类讨论，获得阶段性成果；(4)归纳总结，得到结论4转化与化归的思想转化与化归是把未知解的问题转化为在已知知识范围内可解的问题的一种重要的思想方法，通过不断的转化，把不熟悉、不规范、复杂的问题转化为熟悉、规范甚至模式化、简单的问题，从而使问题得到解决分析将函数零点个数转化为同一坐标系中两个函数交点的个数问题
