信号与系统：第3章 周期信号的傅里叶级数表示

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1、Fourier Series Representation of Periodic Signals第第3章章 周期信号的傅里叶级数表示周期信号的傅里叶级数表示本章内容：本章内容：. . 周期信号的频谱分析周期信号的频谱分析. . LTI系统的频域分析系统的频域分析. . 傅里叶级数的性质傅里叶级数的性质3.0 引言引言 Introduction v时域分析方法的基础：时域分析方法的基础：(1) 信号在时域的分解。信号在时域的分解。(2) LTI系统满足线性、时不变性。系统满足线性、时不变性。2.具有普遍性，能够用其构成相当广泛的信号。具有普遍性，能够用其构成相当广泛的信号。 1.本身简单，且本

2、身简单，且LTI系统对它的响应能简便得到。系统对它的响应能简便得到。v 从分解信号的角度出发，基本信号单元必须满从分解信号的角度出发，基本信号单元必须满足两个要求：足两个要求：3.1历史的回顾历史的回顾 （A Historical Perspective） 任何科学理论任何科学理论, , 科学方法的建立都是经过许多科学方法的建立都是经过许多人的不懈努力而得来的人的不懈努力而得来的, , 其中有争论其中有争论, , 还有人为还有人为之献出了生命。历史的经验告诉我们之献出了生命。历史的经验告诉我们, , 要想在科要想在科学的领域有所建树，必须倾心尽力为之奋斗。学的领域有所建树，必须倾心尽力为之奋斗

3、。 我们将要学习的傅里叶分析法，也经历了曲折我们将要学习的傅里叶分析法，也经历了曲折漫长的发展过程，刚刚发布这一理论时，有人反漫长的发展过程，刚刚发布这一理论时，有人反对，也有人认为不可思议。但在今天，这一分析对，也有人认为不可思议。但在今天，这一分析方法已在许多领域发挥了巨大的作用。方法已在许多领域发挥了巨大的作用。v17681768年生于法国年生于法国v18071807年提出年提出“任何周任何周期信号都可以用正弦期信号都可以用正弦函数的级数来表示函数的级数来表示”v拉格朗日反对发表拉格朗日反对发表v18221822年首次发表年首次发表“热热的分析理论的分析理论”v18291829年狄里赫利

4、第一年狄里赫利第一个给出收敛条件个给出收敛条件 傅里叶生平傅里叶生平17681830傅里叶的两个最重要的贡献傅里叶的两个最重要的贡献v“周期信号都可以表示为成谐波关系的正弦信周期信号都可以表示为成谐波关系的正弦信 号的加权和号的加权和”傅里叶的第一个主要论点傅里叶的第一个主要论点v“非周期信号都可以用正弦信号的加权积分来非周期信号都可以用正弦信号的加权积分来表示表示”傅里叶的第二个主要论点傅里叶的第二个主要论点由时域分析方法有，由时域分析方法有，3.2 LTI系统对复指数信号的响应系统对复指数信号的响应The Response of LTI Systems to Complex Exponen

5、tialsv 考查考查LTI系统对复指数信号系统对复指数信号 和和 的响应的响应 可见可见LTI系统对复指数信号的响应是很容易求得系统对复指数信号的响应是很容易求得的。这说明的。这说明 和和 符合对单元信号的第一项要符合对单元信号的第一项要求。求。特征函数特征函数 (Eigenfunction)v 如果系统对某一信号的响应只不过是该信号乘如果系统对某一信号的响应只不过是该信号乘以一个常数，则称该信号是这个系统的以一个常数，则称该信号是这个系统的特征函数特征函数。系统对该信号加权的常数称为系统与特征函数相对系统对该信号加权的常数称为系统与特征函数相对应的应的特征值特征值。结论：结论：v 只有复指

6、数函数才能成为一切只有复指数函数才能成为一切LTI系统的特征系统的特征函函数。数。v 复指数函数复指数函数 、 是一切是一切LTI系统的特征函系统的特征函数。数。 、 分别是分别是LTI系统与复指数信号相对系统与复指数信号相对应的特征值。应的特征值。对时域的任何一个信号对时域的任何一个信号 或者或者 , ,若能将若能将其表示为下列形式：其表示为下列形式：利用系统的齐次性与叠加性，则有利用系统的齐次性与叠加性，则有同理同理：即：即：* *问题：问题：究竟有多大范围的信号可以用复指数信号的究竟有多大范围的信号可以用复指数信号的线性组合来表示？线性组合来表示？所以有所以有由于由于Fourier Se

7、ries Representation of Continuous-Time Periodic Signals3.3 连续时间周期信号的傅里叶级数表示连续时间周期信号的傅里叶级数表示如果将该信号集中所有的信号线性组合起来，如果将该信号集中所有的信号线性组合起来，一一. 连续时间傅里叶级数连续时间傅里叶级数 成谐波关系的复指数信号集成谐波关系的复指数信号集: ，其中每个信号都是以，其中每个信号都是以 为周期的，它们的公共周期为为周期的，它们的公共周期为 ，且该，且该集合中所有的信号都是彼此独立的。集合中所有的信号都是彼此独立的。 例例1： 显然显然 也是以也是以 为周期的。该级数就是为周期的。该

8、级数就是傅里傅里叶级数叶级数， 称称为傅里叶级数的系数。为傅里叶级数的系数。有有 这表明：用傅里叶级数可以表示连续时间周期信这表明：用傅里叶级数可以表示连续时间周期信号，即号，即: 连续时间周期信号可以分解成无数多个复连续时间周期信号可以分解成无数多个复指数谐波分量指数谐波分量。例例2： 显然该信号中有两个谐波分量，显然该信号中有两个谐波分量， 为相为相应分量的加权因子应分量的加权因子，即傅里叶系数即傅里叶系数。 这表明：这表明：连续时间周期信号可以按傅里叶级数分连续时间周期信号可以按傅里叶级数分解成无数多个复指数谐波分量的线性组合。解成无数多个复指数谐波分量的线性组合。在在该信号中有四个谐波

9、分量，即：当该信号中有四个谐波分量，即：当时对应的谐波分量。时对应的谐波分量。二二. .频谱频谱（Spectral）的概念的概念 在傅里叶级数中，各个信号分量（谐波分量）在傅里叶级数中，各个信号分量（谐波分量） 间的区别也仅仅是幅度（可以是复数）和频率不同。间的区别也仅仅是幅度（可以是复数）和频率不同。因此，可以用一根线段来表示某个分量的幅度，用因此，可以用一根线段来表示某个分量的幅度，用线段的位置表示相应的频率。线段的位置表示相应的频率。 信号集信号集 中的每一个信号，除了成谐中的每一个信号，除了成谐波关系外，每个信号随时间波关系外，每个信号随时间 的变化规律都是的变化规律都是一样的，差别仅

10、仅是频率不同。一样的，差别仅仅是频率不同。分量分量 可表示可表示为为 因此，当把周期信号因此，当把周期信号 表示为傅里叶级数表示为傅里叶级数 时时，就可以将就可以将 表示为表示为这样绘出的图这样绘出的图称为称为频谱图频谱图表示为表示为 频谱图其实就是将频谱图其实就是将 随频率的分布表示出来，随频率的分布表示出来，即即 的关系。由于的关系。由于信号的频谱完全代表了信信号的频谱完全代表了信号号，研究它的频谱就等于研究信号本身。因此，研究它的频谱就等于研究信号本身。因此，这种表示信号的方法称为这种表示信号的方法称为频域表示法频域表示法。三.傅里叶级数的其它形式傅里叶级数的其它形式 或或 若若 是实信

11、号是实信号, ,则有则有，于是，于是若令若令，则，则 为实数。于是为实数。于是即即：表明表明 的的模关于模关于 偶对称偶对称，幅角关于幅角关于 奇对称奇对称。或或 傅里叶级数的三角函数表示式傅里叶级数的三角函数表示式 若令若令则则因此因此即即 的的实部关于实部关于 偶对称偶对称，虚部关于虚部关于 奇对称奇对称。 傅里叶级数的另一种三角函数形式傅里叶级数的另一种三角函数形式将此关系代入，可得到将此关系代入，可得到四四. .连续时间傅里叶级数系数的确定连续时间傅里叶级数系数的确定对等式两边同时在一个周期内积分，有对等式两边同时在一个周期内积分，有则有则有如果周期信号如果周期信号 可以表示为傅里叶级

12、数可以表示为傅里叶级数即即 在确定此积分时，只要积分区间是一个周期即可，在确定此积分时，只要积分区间是一个周期即可，对积分区间的起止并无特别要求，因此可表示为对积分区间的起止并无特别要求，因此可表示为是信号在一个周期的平均值，常称为是信号在一个周期的平均值，常称为直流分量直流分量。五五. .周期性矩形脉冲信号的频谱周期性矩形脉冲信号的频谱其中其中 根据根据 可绘出可绘出 的频谱图。的频谱图。 称为称为占空比。占空比。不变不变 时时不变不变 时时周期性矩形脉冲信号的频谱特征：周期性矩形脉冲信号的频谱特征： 1. 1. 离散性离散性 2. 2. 谐波性谐波性 3. 3. 收敛性收敛性 考查周期考查

13、周期 和脉冲宽度和脉冲宽度 改变时频谱的变化：改变时频谱的变化：2. 当当 不变，改变不变，改变 时，随时，随 使占空比减小，使占空比减小，谱线间隔变小，幅度下降谱线间隔变小，幅度下降。但。但频谱包络的形状频谱包络的形状不变不变，包络主瓣内包含的谐波，包络主瓣内包含的谐波数数量也增加。量也增加。1. 当当 改变，改变， 不变时，随不变时，随 使占空比减使占空比减小，小，谱谱 线间隔不变，幅度下降线间隔不变，幅度下降。频谱的包络改变频谱的包络改变，包包 络主瓣变宽络主瓣变宽。主瓣内包含的谐波数量增加。主瓣内包含的谐波数量增加。当当 时，有时，有当当 时，有时，有表明：表明：奇信号的奇信号的 是关

14、于是关于 的奇函数、虚函数。的奇函数、虚函数。表明：表明：偶信号的偶信号的 是关于是关于 的偶函数、实函数。的偶函数、实函数。信号对称性与频谱的关系：信号对称性与频谱的关系：3.4 连续时间傅里叶级数的收敛连续时间傅里叶级数的收敛 本节研究用傅里叶级数表示周期信号的普遍性问本节研究用傅里叶级数表示周期信号的普遍性问题，即满足什么条件的周期信号可以表示为傅里叶题，即满足什么条件的周期信号可以表示为傅里叶级数。级数。一一. . 傅里叶级数是对信号的最佳近似傅里叶级数是对信号的最佳近似若若 以以 为周期为周期用有限个谐波分量近似用有限个谐波分量近似 时，有时，有Convergence of the

15、Fourier series误差为误差为 以均方误差作为衡量误差的准则，其均方误差为以均方误差作为衡量误差的准则，其均方误差为于是：于是：结论：结论：在均方误差最小的准则下，傅里叶级数在均方误差最小的准则下，傅里叶级数是对是对周期信号的最佳近似。周期信号的最佳近似。 在均方误差最小的准则下，可以证明，此时在均方误差最小的准则下，可以证明，此时应满足：应满足：这就是傅氏级数的系数这就是傅氏级数的系数其中其中二二. . 傅里叶级数的收敛傅里叶级数的收敛傅里叶级数收敛的两层含义傅里叶级数收敛的两层含义： 是否存在是否存在? ? 级数是否收敛于级数是否收敛于 ? ?两组条件：两组条件：1.平方可积条件

16、：平方可积条件： 如果如果 则则 必存在，必存在，即即 。 在一个周期内能量有限，在一个周期内能量有限， 一定存在。一定存在。1. ，在任何周期内信号绝对可积。，在任何周期内信号绝对可积。因此，信号绝对可积就保证了因此，信号绝对可积就保证了 的存在。的存在。2. 在任何有限区间内，只有有限个极值点，且极在任何有限区间内，只有有限个极值点，且极 值为有限值。值为有限值。2. Dirichlet 条件：条件：3. 在任何有限区间内，只有有限个第一类间断点。在任何有限区间内，只有有限个第一类间断点。这两组条件并不完全等价。它们都是傅里叶级数这两组条件并不完全等价。它们都是傅里叶级数收敛的收敛的充分条

17、件充分条件。相当广泛的信号都能满足这两组。相当广泛的信号都能满足这两组条件中的一组，因而用傅里叶级数表示周期信号具条件中的一组，因而用傅里叶级数表示周期信号具有相当的普遍适用性有相当的普遍适用性。几个不满足几个不满足 Dirichlet 条件的信号条件的信号三三. .Gibbs现象现象 满足满足 Dirichlet 条件条件的信号，其傅里叶级数是如的信号，其傅里叶级数是如何收敛于何收敛于 的。特别当的。特别当 具有间断点时，在间具有间断点时，在间断点附近，如何收敛于断点附近，如何收敛于 ? ? 用有限项傅里叶级数表示有间断点的信号时，用有限项傅里叶级数表示有间断点的信号时，在间断点附近不可避免

18、的在间断点附近不可避免的会会出现振荡和超量。出现振荡和超量。Gibbs现象表明：现象表明： 超量的幅度不会随所取项数的增加而减小。只超量的幅度不会随所取项数的增加而减小。只是随着项数的增多，振荡频率变高，并向间断点是随着项数的增多，振荡频率变高，并向间断点处压缩，从而使它所占有的能量逐步减少。处压缩，从而使它所占有的能量逐步减少。Properties of Continuous-Time Fourier Series3.5 连续时间傅里叶级数的性质连续时间傅里叶级数的性质学习这些性质，有助于对概念的理解和对信号进学习这些性质，有助于对概念的理解和对信号进行级数展开。行级数展开。一一. . 线性

19、：线性：若若 和和 都是以都是以 为周期的信号，且为周期的信号，且则则二二. .时移时移: :三三. .反转反转: :若若 是以是以 为周期的信号，且为周期的信号，且则则若若 是以是以 为周期的信号，且为周期的信号，且则则四四. .尺度变换尺度变换: : 若若 是以是以 为周期的信号，且为周期的信号，且则则 以以 为周期，于是为周期，于是令令 ，当，当 在在 变化时，变化时， 从从 变化，变化，于是有：于是有：五五. 相乘相乘: 若若 和和 都是以都是以 为周期的信号，且为周期的信号，且则则也即也即六六. .共轭对称性共轭对称性: :若若 是以是以 为周期的信号，且为周期的信号，且则则由此可推

20、得，由此可推得，对实信号有对实信号有： 或或时有：时有：当当七七. .Parseval 定理：定理：表明：表明：一个周期信号的平均功率就等于它所有谐波一个周期信号的平均功率就等于它所有谐波分量的平均功率之和分量的平均功率之和. .* * 掌握表掌握表3.1对实信号，对实信号，当当 时，时，（实（实偶函数）偶函数）当当 时，时，（虚奇函数）虚奇函数）时有：时有：当当例例1：-T(1)T010-TT例例2：周期性矩形脉冲：周期性矩形脉冲将其微分后，可利用例将其微分后，可利用例1表示为表示为设设由由时域微分性质有时域微分性质有根据时移特性，有根据时移特性，有由例由例1知知（1）0Fourier Se

21、ries Representation of Discrete-Time Periodic Signals一一. .离散时间傅里叶级数离散时间傅里叶级数（DFS） Discrete-Time Fourier Series 考察成谐波关系的复指数信号集考察成谐波关系的复指数信号集: : 该信号集中每一个信号都以该信号集中每一个信号都以 为周期，且该集合中为周期，且该集合中只有只有 个信号是彼此独立的。个信号是彼此独立的。 3.6 离散时间周期信号的傅里叶级数表示离散时间周期信号的傅里叶级数表示 这个级数就称为这个级数就称为离散时间傅里叶级数（离散时间傅里叶级数（DFS），其中其中 也称为周期信号

22、也称为周期信号 的频谱。的频谱。二二. . 傅里叶级数系数的确定傅里叶级数系数的确定给给 两边同乘以两边同乘以 ，得：，得： 将这将这 个独立的信号线性组合起来，一定能表个独立的信号线性组合起来，一定能表 示一个以示一个以 为周期的序列。即：为周期的序列。即：其中其中 为为 个相连的整数个相连的整数而而 显然显然 仍是以仍是以 为周期的，对两边求和为周期的，对两边求和即即或或对实信号同样有对实信号同样有： 显然上式满足显然上式满足 ，即，即 也是以也是以 为周为周期的，或者说期的，或者说 中只有中只有 个是独立的个是独立的。三三. .周期性方波序列的频谱周期性方波序列的频谱 显然显然 的包络具

23、有的包络具有 的形状。的形状。时时周期性方波序列的频谱周期性方波序列的频谱u当当 改变、改变、 不变时，由于不变时，由于 的包络的包络具有具有 的形状，而的形状，而 ，可知可知其包络形状一定其包络形状一定发生变化。当发生变化。当 时，包络的时，包络的第一个零点会远离第一个零点会远离原点从而使原点从而使频谱主瓣变宽频谱主瓣变宽。这一点也与连续时间周期矩形这一点也与连续时间周期矩形脉冲的情况类似。脉冲的情况类似。u当当 不变、不变、 时，频谱的时，频谱的包络形状不变包络形状不变，只是只是幅度减小，谱线间隔变小幅度减小，谱线间隔变小。三三. . DFS的收敛的收敛 DFS 是一个有限项的级数，确定是

24、一个有限项的级数，确定 的关系的关系式也是有限项的和式，因而式也是有限项的和式，因而不存在收敛问题不存在收敛问题，也，也不会产生不会产生Gibbs 现象现象。 周期序列的频谱也具有周期序列的频谱也具有离散性、谐波性离散性、谐波性，当在，当在 区间区间 考查时考查时，也具有也具有收敛性收敛性。不同的是，。不同的是，离散时间周期信号的频谱具有离散时间周期信号的频谱具有周期性周期性。 1. 相乘相乘 2. 差分差分周期卷积周期卷积Properties of Discrete-Time Fourier Series 3.7 DFS的性质的性质DFS 有许多性质，这里只选几个加以讨论。有许多性质，这里只

25、选几个加以讨论。3. 时域内插时域内插若若 以以N为周期，为周期，则则 以以mN为周期。为周期。令令令令 ，则有，则有时时4. Paseval 定理定理 等式左边是信号在一个周期内的平均功率，右等式左边是信号在一个周期内的平均功率，右边是信号的各次谐波的总功率。边是信号的各次谐波的总功率。 这表明：这表明：一个周期信号的平均功率等于它的所一个周期信号的平均功率等于它的所有谐波分量的功率之和。有谐波分量的功率之和。也表明：也表明：周期信号的功周期信号的功率既可以由时域求得，也可以由频域求得。率既可以由时域求得，也可以由频域求得。3.8 傅里叶级数与傅里叶级数与LTI系统系统Fourier Ser

26、ies and LTI Systems LTI系统对复指数信号所起的作用只是给输入信号系统对复指数信号所起的作用只是给输入信号加权了一个相应的特征值。加权了一个相应的特征值。对连续时间系统对连续时间系统对离散时间系统对离散时间系统、 被被称称为系统的为系统的系统函数系统函数。如果如果则则被称为连续时间被称为连续时间LTI系统的系统的频率响应频率响应如果如果则则称为离散时间称为离散时间LTI系统的系统的频率响应频率响应对对 而言，是以而言，是以 为周期的。为周期的。如果一个如果一个LTI系统系统输入周期性信号输入周期性信号 或或 则则* * 可见，可见，LTI系统对周期信号的响应仍是一个周系统对

27、周期信号的响应仍是一个周期信号，期信号，LTI系统的作用是对信号的各个谐波分系统的作用是对信号的各个谐波分量进行不同的加权处理。量进行不同的加权处理。例：例：某离散时间某离散时间LTI系统，系统， 输入为输入为 ，求输出，求输出 。即：即：由由得得3.9 滤波滤波 Filtering本节移至第本节移至第6章讲授。章讲授。3.10 用微分方程描述的连续时间滤波器举例用微分方程描述的连续时间滤波器举例本节移至第本节移至第6章讲授相关内容时由学生自学。章讲授相关内容时由学生自学。3.11用差分方程描述的离散时间滤波器举例用差分方程描述的离散时间滤波器举例本节移至第本节移至第6章讲授相关内容时由学生自学。章讲授相关内容时由学生自学。3.12 小结小结 Summary