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1、返回返回上页上页下页下页目录目录高等数学多媒体课件华南农业大学理学院数学系牛顿（牛顿（Newton）莱布尼兹（莱布尼兹（Leibniz）8/14/20241返回返回上页上页下页下页目录目录第第七章七章 多元函数微分法及其应用多元函数微分法及其应用推广推广一元函数微分学一元函数微分学 多元函数微分学多元函数微分学 注意注意: 善于类比善于类比, 区别异同区别异同8/14/20242返回返回上页上页下页下页目录目录主主 要要 内内 容容第一节第一节 多元函数的基本概念多元函数的基本概念 第二节第二节 偏导数偏导数第三节第三节 全微分全微分 第四节第四节 多元复合函数的微分法多元复合函数的微分法 第
2、五节第五节 隐函数的微分法隐函数的微分法 第六节第六节 多元微分学在几何上的应用多元微分学在几何上的应用 第七节第七节 方向导数与梯度方向导数与梯度 第八节第八节 多元函数的极值及其求法多元函数的极值及其求法 8/14/20243返回返回上页上页下页下页目录目录第一节第一节 多元函数的基本概念多元函数的基本概念 第七章第七章 (Conception of functions of several variables)四、多元函数的连续性四、多元函数的连续性一、平面点集一、平面点集 n 维空间维空间二、多元函数的概念二、多元函数的概念三、多元函数的极限三、多元函数的极限五、小结与思考练习五、小结
3、与思考练习8/14/20244返回返回上页上页下页下页目录目录1.平面点集平面点集 坐标平面上具有某种性质坐标平面上具有某种性质P的点的集合，称为平的点的集合，称为平面点集，记作面点集，记作 E=(x , y)|(x , y)具有性质具有性质P. 例如，平面上以原点为中心、例如，平面上以原点为中心、r为半径的圆内所有为半径的圆内所有点的集合是点的集合是一、平面点集一、平面点集 n 维空间维空间8/14/20245返回返回上页上页下页下页目录目录邻域邻域8/14/20246返回返回上页上页下页下页目录目录点集点集称为点称为点 P0 的的 邻域邻域. .例如例如, ,在平面上在平面上, ,( (圆
4、邻域圆邻域) )在空间中在空间中, ,( (球邻域球邻域) )说明：说明：若不需要强调邻域半径若不需要强调邻域半径 , ,也可写成也可写成点点 P0 的的去心邻域去心邻域记为记为8/14/20247返回返回上页上页下页下页目录目录在讨论实际问题中也常使用方邻域在讨论实际问题中也常使用方邻域, ,平面上的方邻域为平面上的方邻域为.因为方邻域与圆因为方邻域与圆邻域可以互相包含邻域可以互相包含. .8/14/20248返回返回上页上页下页下页目录目录(1) 内点、外点、边界点内点、外点、边界点、聚点聚点设有点集设有点集 E 及一点及一点 P : 若存在点若存在点 P 的某邻域的某邻域 U(P) E
5、, 若存在点若存在点 P 的某邻域的某邻域 U(P) E = , 若对点若对点 P 的任一邻域的任一邻域 U(P) 既含有既含有 E的点也含的点也含则称则称 P 为为 E 的的内点内点；则称则称 P 为为 E 的的外点外点 ;则称则称 P 为为 E 的的边界点边界点 . .有不是有不是E的点的点 ,显然显然, E 的内点必属于的内点必属于 E , E 的外点必不属于的外点必不属于 E , E 的的边界点可能属于边界点可能属于 E, 也可能不属于也可能不属于 E . 2. 区域区域8/14/20249返回返回上页上页下页下页目录目录若对若对任意给定的任意给定的 , ,点点P 的去心的去心邻域邻域
6、内总有内总有E 中的点中的点 , 则则称称 P 是是 E 的的聚点聚点.内点一定是聚点；内点一定是聚点；边界点可能是聚点边界点可能是聚点；说明：说明：例例(0,0)既是既是边界点也是聚点边界点也是聚点 点集点集E的聚点可以属于的聚点可以属于E，也可以不属于也可以不属于E例如例如,(0,0) 是聚点但不属于集合是聚点但不属于集合例如例如,边界上的点都是聚点也都属于集合边界上的点都是聚点也都属于集合8/14/202410返回返回上页上页下页下页目录目录开集开集: 如果点集如果点集E的点都是内点，则称的点都是内点，则称E为为开集开集.内点内点开集开集闭闭集：集：如果点集如果点集E的余集的余集 为开集
7、，则称为开集，则称E为闭集为闭集.开集开集既既非开集，非开集，也也非闭集非闭集.(2)开集、闭集开集、闭集8/14/202411返回返回上页上页下页下页目录目录连通集：连通集：如果点集如果点集E内的任何两点，都可用折线连接起内的任何两点，都可用折线连接起来，且该折线上的点都属于来，且该折线上的点都属于E，则称则称E为为连通集连通集.例如：例如：闭区域：开区域闭区域：开区域连同它的连同它的边界边界一起所构成的点集称为一起所构成的点集称为闭区域闭区域.区域区域(或开区域或开区域)：连通的连通的开集开集称为区域或称为区域或开区域开区域.例如：例如：（4）区域）区域8/14/202412返回返回上页上
8、页下页下页目录目录开区域开区域闭区域闭区域 例如，例如，在平面上在平面上8/14/202413返回返回上页上页下页下页目录目录 整个平面整个平面 点集点集 是开集，是开集， 是最大的开域是最大的开域 , 也是最大的闭域；也是最大的闭域；但非区域但非区域 .o 对区域对区域 D , 若存在正数若存在正数 K , 使一切点使一切点 P D 与某定与某定点点 A 的距离的距离 AP K , 则称则称 D 为为有界有界区区域域 , 无界域无界域 .否则称为否则称为有界集：有界集：对于平面点集对于平面点集E，如果存在某一正数如果存在某一正数r，使得使得 ，其中，其中O是坐标原点，则称是坐标原点，则称E为
9、为有界集有界集.无界无界集：集：不是有界集的集合称为不是有界集的集合称为无界集无界集. 8/14/202414返回返回上页上页下页下页目录目录n 元有序数组元有序数组的全体称为的全体称为 n 维空间维空间,n 维空间中的每一个元素维空间中的每一个元素称为空间中的称为空间中的称为该点的第称为该点的第 k 个个坐标坐标 .记作记作即即一个一个点点, 当当所有坐标所有坐标称该元素为称该元素为 中的零元中的零元,记作记作 O .3. n 维空间维空间8/14/202415返回返回上页上页下页下页目录目录 设设x=(x x1 1,x ,x2 2,x xn n) )，y y=(=(y y1 1,y ,y2
10、 2,y yn n) )为为为为R Rn n中任意两中任意两个元素个元素 ，规定，规定这样定义了这样定义了这样定义了这样定义了线性运算的集合线性运算的集合Rn称为称为n维空间维空间.8/14/202416返回返回上页上页下页下页目录目录的的距离距离记作记作规定为规定为 n n维空间中邻域、内点、边界点、区域、聚点等维空间中邻域、内点、边界点、区域、聚点等概念也可定义概念也可定义 特殊地当特殊地当 时，便为数轴、平面、时，便为数轴、平面、空间两点间的距离空间两点间的距离8/14/202417返回返回上页上页下页下页目录目录二、多元函数的概念二、多元函数的概念 引例引例: : 圆柱体的体积圆柱体的
11、体积 定量理想气体的压强定量理想气体的压强 三角形面积的海伦公式三角形面积的海伦公式8/14/202418返回返回上页上页下页下页目录目录点集点集 D 称为函数的称为函数的定义域定义域 ; 数集数集称为函数的称为函数的值域值域 . .特别地特别地 , 当当 n = 2 时时, 有二元函数有二元函数当当 n = 3 时时, 有三元函数有三元函数映射映射称为定义称为定义在在 D 上的上的 n 元函数元函数 , 记作记作定义定义1 设非空点集设非空点集8/14/202419返回返回上页上页下页下页目录目录例例1.1. 求求 的定义域的定义域解解所求定义域为所求定义域为8/14/202420返回返回上
12、页上页下页下页目录目录二元函数的几何意义：二元函数的几何意义： 设二元函数设二元函数z=f(x,y)的定义域为的定义域为xoy面上的面上的某一区域某一区域D，对于对于D上的每一点上的每一点P(x,y)，在空间在空间可以作出一点可以作出一点M(x,y,f(x,y)与它对应；当点与它对应；当点P(x,y)在在D中变动时，点中变动时，点M(x,y,f(x,y)就在空间就在空间作相应地变动，它的轨迹是一个曲面作相应地变动，它的轨迹是一个曲面. .8/14/202421返回返回上页上页下页下页目录目录定义域为定义域为圆域圆域说明说明: 二元函数二元函数 z = f (x, y), (x, y) D图形为
13、中心在原点的上半球面图形为中心在原点的上半球面.的图形一般为空间曲面的图形一般为空间曲面 .三元函数三元函数 定义域为定义域为图形为图形为空间中的超曲面空间中的超曲面.单位闭球单位闭球例如例如, 二元函数二元函数8/14/202422返回返回上页上页下页下页目录目录三、多元函数的极限三、多元函数的极限定义定义2 设设 n 元函数元函数点点 ,则称则称 A 为函数为函数(也称为也称为 n 重极限重极限)当当 n =2 时时, 记记二元函数的极限可写作：二元函数的极限可写作：P0 是是 D 的聚的聚若存在常数若存在常数 A ,对一对一记作记作都有都有对任意正数对任意正数 , 总存在正数总存在正数
14、,切切8/14/202423返回返回上页上页下页下页目录目录 (1) 不研究不研究P0(x0 ,y0)处的状态，仅研究点处的状态，仅研究点 的过程中，函数的过程中，函数f(x,y)的变化趋的变化趋势势. .所以，函数所以，函数z=f(x,y)在点在点P0(x0 ,y0)的极限与函数的极限与函数在点在点P0(x0 ,y0)有无定义无关有无定义无关. .(2)极限值极限值A应是一个确定的常数，它与应是一个确定的常数，它与P(x,y)趋近趋近P0(x0,y0)的方式无关的方式无关. .也就是说：也就是说：P(x,y)以任何方式趋以任何方式趋于于P0(x0,y0) )时，函数都无限接近于时，函数都无限
15、接近于A. .注意：注意：（3）若当点）若当点趋于不同值或有的极限不存在，趋于不同值或有的极限不存在， 则可以断定函数极限则可以断定函数极限以不同方式趋于以不同方式趋于不存在不存在 .函数函数8/14/202424返回返回上页上页下页下页目录目录求证：求证：证证:故故总有总有要证要证 （课本（课本 例例5）例例2 设设8/14/202425返回返回上页上页下页下页目录目录例例3 考察函数考察函数这也是一种特殊方式这也是一种特殊方式(2)当点当点P(x,y)沿沿y轴趋于点轴趋于点(0,0)时时,解：解：(1)当点当点P(x,y)沿沿x轴趋于点轴趋于点(0,0)时时,这是一种特殊的趋近方式这是一种
16、特殊的趋近方式当当 时时 的极限的极限.8/14/202426返回返回上页上页下页下页目录目录(3)当点当点P(x,y)沿直线沿直线y=kx趋于点趋于点(0,0)时时8/14/202427返回返回上页上页下页下页目录目录例例4 求求:8/14/202428返回返回上页上页下页下页目录目录例例5 5 求极限求极限 解解其中其中8/14/202429返回返回上页上页下页下页目录目录四、四、多元函数的连续性多元函数的连续性定义定义3 设二元函数设二元函数 f(P)=f(x,y)的定义域为的定义域为D， 为为D的聚点，且的聚点，且 . .如果如果则称函数则称函数f(x,y)在点在点P0(x0 ,y0)
17、处连续处连续. . 如果函数如果函数z=f(x,y)在定义域在定义域D上每一点都连续，则上每一点都连续，则称函数称函数z=f(x,y)在定义域在定义域D上连续，或者称上连续，或者称f(x,y)是是D上上的的连续函数连续函数. 以上关于二元函数的连续性概念，可相应地推广以上关于二元函数的连续性概念，可相应地推广到到n元函数元函数f(P)上上.8/14/202430返回返回上页上页下页下页目录目录 二元函数在点二元函数在点P0(x0 ,y0)处的连续，要求有以下处的连续，要求有以下三三个条件成立，即：个条件成立，即：(1)函数函数z=f(x ,y)在点在点P0(x0 ,y0)有定义，且点有定义，且
18、点P0(x0 ,y0)是函数是函数z=f(x ,y)定义域的聚点定义域的聚点. .(2)函数函数z=f(x,y)在点在点P0(x0 ,y0)有极限有极限. .(3)函数函数z=z=f(x ,y) 在点在点P0(x0 ,y0)处的极限值等于该处的极限值等于该点点 函数值，即：函数值，即：8/14/202431返回返回上页上页下页下页目录目录定义定义4 设函数设函数f(x,y)的定义域为的定义域为D， 是是D的聚点的聚点.如果函数如果函数f(x,y)在点在点 不连续，则称不连续，则称 为函数为函数f(x,y)的的间断点间断点. 例如函数例如函数其中定义域其中定义域 ，O(0,0)是是D的聚点的聚点
19、.f(x,y)当当 时的极限不存在，所以点时的极限不存在，所以点O(0,0)是该函是该函数的一个间断点；数的一个间断点；8/14/202432返回返回上页上页下页下页目录目录 圆周圆周 上的点都是上的点都是D的的聚点，聚点，而而f(x,y)在在C上没有定义，当然上没有定义，当然f(x,y)在在C上各点都上各点都不连不连续续，所以圆周所以圆周C上各点都是该函数的上各点都是该函数的间断点间断点.其定义域为其定义域为又如函数又如函数8/14/202433返回返回上页上页下页下页目录目录 一元函数中关于极限的一元函数中关于极限的运算法则，运算法则，对于多元函数对于多元函数仍然适用，根据多元函数的仍然适
20、用，根据多元函数的极限运算法则，极限运算法则，可以证明可以证明多元连续函数的多元连续函数的和、差、积仍为连续函数；和、差、积仍为连续函数；连续函数连续函数的的商在分母不为零处仍连续；商在分母不为零处仍连续；多元连续函数的多元连续函数的复合函复合函数也是连续函数数也是连续函数.8/14/202434返回返回上页上页下页下页目录目录 多元初等函数多元初等函数：由常数及具有不同变量的一元由常数及具有不同变量的一元基本初等函数经过有限次的四则运算和复合步基本初等函数经过有限次的四则运算和复合步骤所构成的可用一个式子所表示的多元函数叫骤所构成的可用一个式子所表示的多元函数叫多元初等函数多元初等函数一切多
21、元初等函数在其定义区域内是连续的一切多元初等函数在其定义区域内是连续的定义区域定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域是指包含在定义域内的区域或闭区域8/14/202435返回返回上页上页下页下页目录目录解解: : 原式原式例例6（课本（课本 例例9）求求8/14/202436返回返回上页上页下页下页目录目录在在 D 上可取得最大值上可取得最大值 M 及最小值及最小值 m ;(3) 对任意对任意(有界性定理有界性定理) (最值定理最值定理) (介值定理介值定理) 闭域闭域上多元连续函数有与一元函数类似的如下性质上多元连续函数有与一元函数类似的如下性质:定理：定理：若若 f (P) 在有界闭域在
22、有界闭域 D 上连续上连续, 则则8/14/202437返回返回上页上页下页下页目录目录内容小结内容小结1. 区域区域 邻域邻域 : 区域区域连通的开集连通的开集 2. 多元函数概念多元函数概念n 元函数元函数常用常用二元函数二元函数 (图形一般为空间曲面图形一般为空间曲面)三元函数三元函数8/14/202438返回返回上页上页下页下页目录目录有有4. 多元函数的连续性多元函数的连续性1) 函数函数2) 闭域上的多元连续函数的性质闭域上的多元连续函数的性质:有界定理有界定理 ;最值定理最值定理 ; 介值定理介值定理3) 一切多元初等函数在定义区域内连续一切多元初等函数在定义区域内连续3. 多元
23、函数的极限多元函数的极限8/14/202439返回返回上页上页下页下页目录目录作业作业习习 题题 7-1 P69-70 6(2)(3)(4)(5); 7(1)8/14/202440返回返回上页上页下页下页目录目录思考与练习思考与练习1. 习题习题71 7（2） 令令 x = k y ， 若令若令, 则则 可见极限可见极限不存在不存在8/14/202441返回返回上页上页下页下页目录目录2. 设设求求解法解法1 令令8/14/202442返回返回上页上页下页下页目录目录求求解法解法2 令令即即2 .设设8/14/202443返回返回上页上页下页下页目录目录是否存在？是否存在？解：解：所以极限不存在所以极限不存在.3.8/14/202444返回返回上页上页下页下页目录目录在全在全平面连续平面连续.证证:为为初等函数初等函数 , 故连续故连续.又又故故函数在全平面连续函数在全平面连续 .由由夹逼准则得夹逼准则得4. 证明证明8/14/202445
