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1、第四节第四节 随机变量函数的分随机变量函数的分布密度布密度已知连续型随机变量已知连续型随机变量X的密度函数的密度函数随机变量随机变量 Y = g( X ) ， 求随机变量求随机变量 Y 的密度函数。的密度函数。4.1 4.1 分布函数法分布函数法连续随机变量连续随机变量X的函数的函数Y=g(X)的分布密度函数的分布密度函数(1)使用如下公式计算使用如下公式计算Y的分布函数的分布函数(2)对对求导，得到求导，得到Y的密度函数：的密度函数：例例4.1设设X服从服从0,1上的均匀分布，令上的均匀分布，令求求Y的密度函数的密度函数.2、X的密度函数：的密度函数：3、X的分布函数：的分布函数：分析：分析
2、：1均匀分布的密度函数与分布函数均匀分布的密度函数与分布函数解：解：求导得：求导得：当当时时,当当时时,故：故： 例例4.2 某人驾车从甲地到乙地，两地相距某人驾车从甲地到乙地，两地相距180公里，速度值服从公里，速度值服从30,60(单位单位:公里公里/小时小时)区间内的均匀分布。求这段旅程所费区间内的均匀分布。求这段旅程所费时间的密度函数。时间的密度函数。解：设解：设X是速度是速度,Y=g(X)是这段旅程所花费的时间，则是这段旅程所花费的时间，则Y的分布函数：的分布函数：X的密度函数的密度函数分布函数为：分布函数为：即：即：对上式求导，得对上式求导，得Y的密度函数为：的密度函数为：本题计算
3、步骤：本题计算步骤：X的密度函数的密度函数 X的分布函数的分布函数 Y的分布函数的分布函数Y的密度函数的密度函数例例4.3 4.3 已知已知X 密度函数密度函数的密度函数的密度函数( (教材教材P64)P64)求随机变量求随机变量解解 当当y0 0时，时，应用复合函数求导法：应用复合函数求导法：4.2 4.2 线性函数线性函数用用X的密度函数表示线性函数的密度函数表示线性函数aX+b的密度函数：的密度函数： 第一步，计算第一步，计算aX的密度函数。的密度函数。aX的值域比的值域比X的值域大的值域大a倍。所倍。所以，以，aX的密度函数是将的密度函数是将X的密度函数在的密度函数在x轴方向拉长轴方向
4、拉长a倍。但为倍。但为了使了使aX的密度函数与的密度函数与x轴围成的面积为轴围成的面积为1，必须将，必须将X的密度函数的密度函数下拉到原来的下拉到原来的1/a.随机变量随机变量aX+b与与aX一样一样,只是将图形平移了只是将图形平移了b个单位。个单位。最后，得到随机变量最后，得到随机变量Y=aX+b的密度函数为：的密度函数为：随机变量随机变量X的线性函数的分布密度函数的线性函数的分布密度函数 假设假设X是连续变量，密度函数为是连续变量，密度函数为定义：定义：则则证明：证明：(只证只证a0的情形的情形)用复合函数求导法得：用复合函数求导法得：解解: :例例4.4 4.4 设设X X 服从服从0,
5、20,2上的均匀分布上的均匀分布, ,密度函数密度函数 求求Y=2X+1Y=2X+1的密度函数的密度函数. .(P63(P63） Y Y的密度的密度函数为函数为 例例4.5 (指数随机变量的线性函数指数随机变量的线性函数)随机变量随机变量X服从参数为服从参数为的指数的指数分布，密度函数为：分布，密度函数为：定义定义Y=aX+b,则则注：注：b=0,a0,Y仍是指数分布，但一般情况仍是指数分布，但一般情况Y不是指数分布。不是指数分布。4.3 4.3 单调函数单调函数 设设y=g(x)y=g(x)是是x x的单调可导函数的单调可导函数, ,其反函数为其反函数为x=h(y)x=h(y)， Y=g(X)Y=g(X)的的密度函数为密度函数为：证：证：则在则在内，内，例例4.2在区间在区间30,60内，内，h(y)=180/y,所以所以所以当所以当时，运用公式得到：时，运用公式得到：时，时，Y Y的概率密度的概率密度 解解是单调增加的函数，其导函数是单调增加的函数，其导函数恒不为零，恒不为零，反函数为反函数为例例设随机变量设随机变量X X的密度函数为的密度函数为求求的密度函数的密度函数. .值域为值域为y0y0，由定理可得，由定理可得，当当（教材（教材P65P65）时，概率密度为时，概率密度为当当的概率密度为的概率密度为从而从而
