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1、解解一、问题的提出微分方程微分方程: :凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程. .例例实质实质: : 联系自变量联系自变量, ,未知函数以及未知函数的未知函数以及未知函数的某些导数某些导数( (或微分或微分) )之间的关系式之间的关系式. .分类分类1 1: : 常微分方程常微分方程, , 偏微分方程偏微分方程. .微分方程的阶微分方程的阶: : 微分方程中出现的未知函数的最微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数高阶导数的阶数. .一阶微分方程一阶微分方程高阶高阶( (n) )微分方程微分方程分类分类2:2:分类分类3 3: : 单个微分方程
2、与微分方程组单个微分方程与微分方程组. .微分方程的解微分方程的解: :代入微分方程能使方程成为恒等式的函数代入微分方程能使方程成为恒等式的函数. . 微分方程的解的分类：微分方程的解的分类：(1)(1)通解通解: : 微分方程的解中含有任意常数微分方程的解中含有任意常数, ,且任且任意常数的个数与微分方程的阶数相同意常数的个数与微分方程的阶数相同. .(2)(2)特解特解: : 确定了通解中任意常数以后的解确定了通解中任意常数以后的解. .解的图象解的图象: : 微分方程的积分曲线微分方程的积分曲线. .通解的图象通解的图象: : 积分曲线族积分曲线族. .初始条件初始条件: : 用来确定任
3、意常数的条件用来确定任意常数的条件. .过定点的积分曲线过定点的积分曲线;一阶一阶:二阶二阶:过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线.初值问题初值问题: : 求微分方程满足初始条件的解的问题求微分方程满足初始条件的解的问题. .解解所求特解为所求特解为微分方程的初等解法微分方程的初等解法: : 初等积分法初等积分法. .求解微分方程求解微分方程求积分求积分(通解可用初等函数或积分表示出来通解可用初等函数或积分表示出来)可可分离变量的微分方程分离变量的微分方程:2.两边同时积分两边同时积分:解解可简写为：可简写为：例例 解解例例 例例. . 解初值问
4、题解初值问题解解: 分离变量得分离变量得两边积分得两边积分得即即由初始条件得由初始条件得 C = 1,( C 为任意常数为任意常数 )故所求特解为故所求特解为2.可化为分离变量的某些方程可化为分离变量的某些方程(1). 齐次方程齐次方程 形如令代入原方程得两边积分, 得积分后再用代替 u, 便得原方程的通解.解法:分离变量: 例例 解微分方程解解:代入原方程得分离变量两边积分得故原方程的通解为( 当 C = 0 时, y = 0 也是方程的解)( C 为任意常数 )例例解解是齐次方程是齐次方程, , 例例. 解微分方程解：将右端函数的分子，分母同时除以自变量解：将右端函数的分子，分母同时除以自
5、变量x此为齐次方程，令此为齐次方程，令分离变量，再两边积分分离变量，再两边积分将将u带回得带回得 (2). 型方程作变换作变换例例. 求方程 的通解解：令解：令 则则得方程通解为得方程通解为将将 代回得原方程通解代回得原方程通解(3) 形如形如解解代入原方程得代入原方程得分离变量、积分得分离变量、积分得得原方程的通解得原方程的通解方程变为方程变为3 3、一阶线性微分方程、一阶线性微分方程一阶线性微分方程一阶线性微分方程的标准形式的标准形式:上方程称为上方程称为齐次的齐次的.上方程称为上方程称为非齐次的非齐次的.例如例如线性的线性的;非线性的非线性的.齐次线性齐次线性方程方程1 1、方程、方程(
6、1)(1)的任意两个解的任意两个解的的和仍是和仍是(1)(1)的解；的解；2 2、方程、方程(1)(1)的任意一个解的常数倍仍是的任意一个解的常数倍仍是(1)(1)的解；的解；3 3、方程方程(1)(1)的任意一个解加上方程的任意一个解加上方程(2)(2)的任意一个的任意一个解是解是(2)(2)的解；的解；4 4、方程方程(2)(2)的任意两个解之差是的任意两个解之差是(1)(1)的解的解 . .线性方程解的性质线性方程解的性质非齐次线性非齐次线性方程方程那么方程那么方程(2)的通解为的通解为那么方程那么方程(2)的通解为的通解为对应齐次方对应齐次方程的通解程的通解非齐次方程特解非齐次方程特解
7、的特解的特解, ,线性方程解的线性方程解的叠加性质叠加性质和和的一个特解的一个特解. . 齐次方程的通解为齐次方程的通解为1. 线性齐次方程线性齐次方程一阶线性微分方程的一阶线性微分方程的解法解法使用分离使用分离变量法变量法形式求积：形式求积：形式求解的结果给了我们重要启示：形式求解的结果给了我们重要启示：若方程有解，其解必若方程有解，其解必 先来观察，若（先来观察，若（1）有解，其解形状如何？对方程作形式）有解，其解形状如何？对方程作形式求解：将（求解：将（1）改写成）改写成 上述解方程的方法，叫做上述解方程的方法，叫做常数变易法常数变易法，用于求解线性非齐，用于求解线性非齐次方程。次方程。
8、将将 y 和和 代入（代入（1）：）：齐次方程通解非齐次方程特解即解解：也可以直接代公式求解也可以直接代公式求解例 用常数变易法求一阶线性方程通解解：齐次方程通解：用常数变易法，令代入原方程得即故通解为解：若将方程写为解：若将方程写为它显然不是线性方程，将方程改写作它显然不是线性方程，将方程改写作解：因解：因“”右端均为可导函数，故左端也可导，两边右端均为可导函数，故左端也可导，两边对对x求导求导伯努利伯努利 ( Bernoulli )方程方程 伯努利方程的标准形式:令求出此方程通解后,除方程两边 , 得换回原变量即得伯努利方程的通解.解法解法:(线性方程)例例 求方程 的通解解：这是伯努力方
9、程解：这是伯努力方程 ，其中 则则 可降阶高阶微分方程 (1) 型的微分方程型的微分方程 (2) 型的微分方程型的微分方程 (3) 型的微分方程型的微分方程 (1)、 型的微分方程型的微分方程 令 则两端积分得则再积分，得通解例 求方程的通解 积分一次得再积分一次得最后积分得型的微分方程型的微分方程 设原方程化为一阶方程设其通解为则得再一次积分, 得原方程的通解(2)、例 求方程 满足初始条件 的特解。 解：设原式为分离变量并积分即用 代替 ，得积分得代入初始条件得故特解是(3)、型的微分方程型的微分方程 令故方程化为设其通解为即得分离变量后积分, 得原方程的通解例例 . 求解故所求通解为解解
10、:原始可写为两端积分得可降阶微分方程的解法 降阶法逐次积分令令注意：注意： 对于 型的微分方程根据具体方程选择用方法2或方法3，使得降阶后所得方程容易求解（1）、恰当方程的定义及条件）、恰当方程的定义及条件如果方程就可以马上写出它的隐式解恰当方程和积分因子恰当方程和积分因子定义1则称微分方程是恰当方程.如是恰当方程.需考虑的问题(1) 方程(1)是否为恰当方程?(2) 若(1)是恰当方程,怎样求解?(3) 若(1)不是恰当方程,有无可能转化为恰当方程求解? 方程为恰当方程的充要条件定理1为恰当方程的充要条件是（2）恰当方程的求解：求全微分的原函数）恰当方程的求解：求全微分的原函数不定积分法解:
11、故所给方程是恰当方程.例 验证方程是恰当方程,并求它的通解.即积分后得:故从而方程的通解为分组凑微法 采用“分项组合”的方法,把本身已构成全微分的项分出来,再把余的项凑成全微分.-应熟记一些简单二元函数的全微分.如例 求方程的通解.解:故所给方程是恰当方程. 把方程重新“分项组合”得即或写成故通解为:例 验证方程是恰当方程,并求它满足初始条件y(0)=2的解.解:故所给方程是恰当方程.把方程重新“分项组合”得即或写成故通解为:故所求的初值问题的解为: 线积分法由数学分析曲线积分与路径无关的定理知:从而(1)的通解为例 求解方程解:故所给方程是恰当方程.故通解为:（2）积分因子）积分因子非恰当方程如何求解?对变量分离方程:不是恰当方程.是恰当方程.对一阶线性方程:不是恰当方程.则是恰当方程.可见,对一些非恰当方程,乘上一个因子后,可变为恰当方程. 定义例解:对方程有由于把以上方程重新“分项组合”得即也即故所给方程的通解为:积分因子的确定即尽管如此,方程还是提供了寻找特殊形式积分因子的途径.命题1，2 微分方程变成即此时求得积分因子例例解解
