《几何与代数：第五章 特征值与特征向量》由会员分享，可在线阅读，更多相关《几何与代数：第五章 特征值与特征向量（101页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 第五章 特征值与特征向量 第一节第一节 矩阵的特征值与特征矩阵的特征值与特征 向量向量 第二节第二节 相似矩阵相似矩阵 第三节第三节 实对称矩阵的相似对实对称矩阵的相似对 角化角化 第四节第四节 矩阵的矩阵的JordanJordan标准型标准型 第五节第五节 用用Matlab解题解题 柯西柯西柯西柯西 法法法法 A. L. A. L. Cauchy Cauchy (1789.8-1857.5) (1789.8-1857.5) 凯莱凯莱凯莱凯莱 英英英英 A. A. Cayley Cayley (1821.8-1895.1) (1821.8-1895.1) 克莱伯施克莱伯施克莱伯施克莱伯施 德
2、德德德 R.F.A. R.F.A. ClebschClebsch (1833.1-1872.11) (1833.1-1872.11) 约当约当约当约当 法法法法 M.E.C. M.E.C. Jordan Jordan (1838.1-1922.1) (1838.1-1922.1) 第五章第五章第五章第五章 特征值与特征向量特征值与特征向量特征值与特征向量特征值与特征向量 5.1 5.1 矩阵的特征值与特征向量矩阵的特征值与特征向量矩阵的特征值与特征向量矩阵的特征值与特征向量 5.1 矩阵的特征值与特征向量矩阵的特征值与特征向量 0 0 7 7 5 5 0 0 5 5 7 7 0 0 7 7 5
3、 5 1 1 5 5 6 6 1 0 1 0 0. 0.2 12 1 x x y y x x y y 5 5 0 0 5 5 0 0 5 5 7 7 5 5 7 7 0 0 7 7 0 0 7 7 第五章第五章第五章第五章 特征值与特征向量特征值与特征向量特征值与特征向量特征值与特征向量 5.1 5.1 矩阵的特征值与特征向量矩阵的特征值与特征向量矩阵的特征值与特征向量矩阵的特征值与特征向量 1 0 0.2 1 x y = x y = x y 1 00 1= x y 0 0 x y 0 0 1 0 0.2 1= 0 0 x y 1 0 0.2 1= 0 0 ( 1)2 = 0 = 0 1 0
4、0.2 1 = 1 x y 0 0 0.2 0 0 0 = x y = ( k R) 0 k 0 0.2x = 0 0 第五章第五章第五章第五章 特征值与特征向量特征值与特征向量特征值与特征向量特征值与特征向量 5.1 5.1 矩阵的特征值与特征向量矩阵的特征值与特征向量矩阵的特征值与特征向量矩阵的特征值与特征向量 0 0 7 7 5 5 0 0 5 5 7 7 0 0 7 7 5 5 1 1 5 5 6 6 1 0 0.2 1 0 k 0 k = 1 ( k R) 0 k 第五章第五章第五章第五章 特征值与特征向量特征值与特征向量特征值与特征向量特征值与特征向量 5.1 5.1 矩阵的特征值
5、与特征向量矩阵的特征值与特征向量矩阵的特征值与特征向量矩阵的特征值与特征向量 A = 2 A = 0.5 2 00 0.5A = /6 cos sin sin cos B = 一一. 特征值与特征向量的概念特征值与特征向量的概念 第五章第五章第五章第五章 特征值与特征向量特征值与特征向量特征值与特征向量特征值与特征向量 5.1 5.1 矩阵的特征值与特征向量矩阵的特征值与特征向量矩阵的特征值与特征向量矩阵的特征值与特征向量 A = n阶方阵阶方阵 非零非零向量向量 特征值特征值 特征向量特征向量 对应对应 第五章第五章第五章第五章 特征值与特征向量特征值与特征向量特征值与特征向量特征值与特征向
6、量 5.1 5.1 矩阵的特征值与特征向量矩阵的特征值与特征向量矩阵的特征值与特征向量矩阵的特征值与特征向量 A = ( E A) = 0 | E A| = 0 特征方程特征方程 | E A| = a11 a12 a1n a21 a22 a2n an1 an2 ann 特征多项式特征多项式 特征值特征值 特征向量特征向量 第五章第五章第五章第五章 特征值与特征向量特征值与特征向量特征值与特征向量特征值与特征向量 5.1 5.1 矩阵的特征值与特征向量矩阵的特征值与特征向量矩阵的特征值与特征向量矩阵的特征值与特征向量 例例1. 求求A = 的特征值和特征向量的特征值和特征向量. 解解:所以所以A
7、的特征值为的特征值为 1=2, 2=4. 解之得解之得 A的对应于的对应于 1=2的特征向量为的特征向量为 对于对于 1=2, (2E A)x = 0 即即 3 1 1 3| E A| = 3 1 1 3 = ( 2)( 4). x1 + x2 = 0 x1 x2 = 0 x1x2= k 11(k R). kk(0 k R). 第五章第五章第五章第五章 特征值与特征向量特征值与特征向量特征值与特征向量特征值与特征向量 5.1 5.1 矩阵的特征值与特征向量矩阵的特征值与特征向量矩阵的特征值与特征向量矩阵的特征值与特征向量 例例1. 求求A = 的特征值和特征向量的特征值和特征向量. 解解:所以
8、所以A的特征值为的特征值为 1=2, 2=4. 解之得解之得 A的对应于的对应于 2=4的特征向量为的特征向量为 对于对于 2=4, (4E A)x = 0 即即 3 1 1 3| E A| = 3 1 1 3 = ( 2)( 4). x1 + x2 = 0x1 + x2 = 0 x1x2= k 1 1(k R). k k(0 k R). 第五章第五章第五章第五章 特征值与特征向量特征值与特征向量特征值与特征向量特征值与特征向量 5.1 5.1 矩阵的特征值与特征向量矩阵的特征值与特征向量矩阵的特征值与特征向量矩阵的特征值与特征向量 解解: | E A| = ( 2)( 1)2. 所以所以A的
9、特征值为的特征值为 1=2, 2= 3= 1. 对于对于 1=2, 求得求得(2E A)x = 0 的基础解系的基础解系: p1=(0,0,1)T. 对应于对应于 1=2的特征向量为的特征向量为kp1 (0 k R). 对于对于 2= 3=1, 求得求得(E A)x = 0 的基础解系的基础解系: p2=( 1, 2,1)T. 对应于对应于 2= 3 =1的特征向量为的特征向量为kp2 (0 k R).例例2. 求求A = 的特征值和特征向量的特征值和特征向量. 1 1 0 1 1 0 4 3 0 4 3 0 1 0 2 1 0 2 第五章第五章第五章第五章 特征值与特征向量特征值与特征向量特
10、征值与特征向量特征值与特征向量 5.1 5.1 矩阵的特征值与特征向量矩阵的特征值与特征向量矩阵的特征值与特征向量矩阵的特征值与特征向量 解解: | E A| = ( +1)( 2)2. 所以所以A的特征值为的特征值为 1= 1, 2= 3= 2. ( E A)x = 0的基础解系的基础解系: p1=(1,0,1)T. 对应于对应于 1= 1的特征向量为的特征向量为kp1 (0 k R). (2EA)x = 0的基础解系的基础解系: p2=(0, 1, 1)T, p3=(1, 0, 4)T. 对应于对应于 2= 3 =2的特征向量为的特征向量为k2p2 +k3p3 (k2, k3不同时为零不同
11、时为零).例例3. 求求A = 的特征值和特征向量的特征值和特征向量. 2 1 1 2 1 1 0 2 0 0 2 0 4 1 3 4 1 3 第五章第五章第五章第五章 特征值与特征向量特征值与特征向量特征值与特征向量特征值与特征向量 5.1 5.1 矩阵的特征值与特征向量矩阵的特征值与特征向量矩阵的特征值与特征向量矩阵的特征值与特征向量 二二. 特征值的性质特征值的性质 a11 a12 a1n a21 a22 a2n an1 an2 ann( a11)( a22)( ann) f(0) = | A| = ( 1)n|A|. A的的迹迹, 记为记为tr(A) f( ) = | E A| = =
12、 n (a11+a22+ann) n 1 + 第五章第五章第五章第五章 特征值与特征向量特征值与特征向量特征值与特征向量特征值与特征向量 5.1 5.1 矩阵的特征值与特征向量矩阵的特征值与特征向量矩阵的特征值与特征向量矩阵的特征值与特征向量 定理定理5.1. | E An n|是是 的的n次首次首1多项式多项式. | E An n|的的n 1次项的系数为次项的系数为 tr(A). | E An n|的常数项为的常数项为( 1)n|A|. 推论推论1. 若若| E An n| = ( 1)( 2)( n), 则则 1+ 2+ n = tr(A), 1 2 n = |A|. 推论推论2. An
13、n可逆可逆 A的特征值均不为零的特征值均不为零. 例例4. 若若3阶方阵阶方阵E A, E+A, 2E 3A都不可逆都不可逆, 则则|1E A| = | 1E A| = | E A| = 0, 2 2 3 3 tr(A) = 1 1 + = , 2 2 3 32 2 3 32 2 3 3|A| = . 第五章第五章第五章第五章 特征值与特征向量特征值与特征向量特征值与特征向量特征值与特征向量 5.1 5.1 矩阵的特征值与特征向量矩阵的特征值与特征向量矩阵的特征值与特征向量矩阵的特征值与特征向量 A = 特征值特征值 特征向量特征向量 A2 = A(A )= = A( ) = A = 2 An
14、 = n (anAn + a1A + a0E) = anAn + a1A + a0 = an n + a1 + a0 = (an n + a1 + a0) (A) = = ( ) 第五章第五章第五章第五章 特征值与特征向量特征值与特征向量特征值与特征向量特征值与特征向量 5.1 5.1 矩阵的特征值与特征向量矩阵的特征值与特征向量矩阵的特征值与特征向量矩阵的特征值与特征向量 A = 特征值特征值 特征向量特征向量 An = n , (A) = ( ) ( ) = O = ( ) = 0 (A) = O = A 1 A 1 = 1 A可逆可逆 A n = n A*A = A* 0 |A|E =
15、|A| = A* = 1|A| 第五章第五章第五章第五章 特征值与特征向量特征值与特征向量特征值与特征向量特征值与特征向量 5.1 5.1 矩阵的特征值与特征向量矩阵的特征值与特征向量矩阵的特征值与特征向量矩阵的特征值与特征向量 A = 特征值特征值 特征向量特征向量 An = n , (A) = ( ) (A) = O ( ) = 0 A可逆可逆 A n = n 0 A* = 1|A| 例例5. 若若A3 3的特征值为的特征值为1, 1, 2, 则则|A| = 2. A*的特征值为的特征值为 2, 2, 1. 5.2 相似矩阵相似矩阵 一一. 矩阵的相似矩阵的相似 5.2 5.2 相似矩阵相
16、似矩阵相似矩阵相似矩阵 第五章第五章第五章第五章 特征值与特征向量特征值与特征向量特征值与特征向量特征值与特征向量 P s.t. P 1AP = B 1. A与与B相似相似(记为记为AB): 第五章第五章第五章第五章 特征值与特征向量特征值与特征向量特征值与特征向量特征值与特征向量 5.2 5.2 相似矩阵相似矩阵相似矩阵相似矩阵 2. 性质性质 (1) 反身性反身性: AA. E 1AE = A 第五章第五章第五章第五章 特征值与特征向量特征值与特征向量特征值与特征向量特征值与特征向量 5.2 5.2 相似矩阵相似矩阵相似矩阵相似矩阵 P 1AP = B 2. 性质性质 (1) 反身性反身性
17、: AA. (2) 对称性对称性: AB BA. PBP 1 = A 第五章第五章第五章第五章 特征值与特征向量特征值与特征向量特征值与特征向量特征值与特征向量 5.2 5.2 相似矩阵相似矩阵相似矩阵相似矩阵 P 1AP = B 2. 性质性质 (1) 反身性反身性: AA. (2) 对称性对称性: AB BA. (3) 传递性传递性: AB, BC AC. Q 1BQ = C Q 1(P 1AP)Q = (PQ) 1A(PQ) = 第五章第五章第五章第五章 特征值与特征向量特征值与特征向量特征值与特征向量特征值与特征向量 5.2 5.2 相似矩阵相似矩阵相似矩阵相似矩阵 P 1AP = B
18、 2. 性质性质 (1) 反身性反身性: AA. (2) 对称性对称性: AB BA. (3) 传递性传递性: AB, BC AC. (4) AB f(A) f(B). P 1A2P = P 1APP 1AP = B2 P 1AnP = Bn P 1f(A)P = anP 1AnP+a1P 1AP+a0 P 1EP = P 1(anAn+a1A+a0E)P = anBn+a1B+a0E = f(B) 第五章第五章第五章第五章 特征值与特征向量特征值与特征向量特征值与特征向量特征值与特征向量 5.2 5.2 相似矩阵相似矩阵相似矩阵相似矩阵 2. 性质性质 (1) 反身性反身性: AA. (2)
19、 对称性对称性: AB BA. (3) 传递性传递性: AB, BC AC. (4) AB f(A) f(B). (5) P 1AP = B A与与B等价等价, r(A) = r(B). 第五章第五章第五章第五章 特征值与特征向量特征值与特征向量特征值与特征向量特征值与特征向量 5.2 5.2 相似矩阵相似矩阵相似矩阵相似矩阵 P 1AP = B 2. 性质性质 (1) 反身性反身性: AA. (2) 对称性对称性: AB BA. (3) 传递性传递性: AB, BC AC. (4) AB f(A) f(B). (5) P 1AP = B A与与B等价等价, r(A) = r(B). (6)
20、可逆矩阵可逆矩阵AB A 1 B 1. (P 1AP) 1 = B 1 P 1A 1P = B 1 第五章第五章第五章第五章 特征值与特征向量特征值与特征向量特征值与特征向量特征值与特征向量 5.2 5.2 相似矩阵相似矩阵相似矩阵相似矩阵 二二. 矩阵相似的必要条件矩阵相似的必要条件 定理定理5.2. P 1AP = B | E A| = | E B|P| 1 | E A| |P| = |P 1| | E A| |P| = |P 1( E A)P| = |( P 1E P 1A)P| = | P 1EP P 1AP| = | P 1P B| = | E B|. 第五章第五章第五章第五章 特征
21、值与特征向量特征值与特征向量特征值与特征向量特征值与特征向量 5.2 5.2 相似矩阵相似矩阵相似矩阵相似矩阵 二二. 矩阵相似的必要条件矩阵相似的必要条件 定理定理5.2. P 1AP = B | E A| = | E B|. 1+ 2+ n 1 2 n ( 1)( 2)( n) = tr(A) = tr(B) |A| = = |B| 第五章第五章第五章第五章 特征值与特征向量特征值与特征向量特征值与特征向量特征值与特征向量 5.2 5.2 相似矩阵相似矩阵相似矩阵相似矩阵 二二. 矩阵相似的必要条件矩阵相似的必要条件 定理定理5.2. P 1AP = B | E A| = | E B|.
22、推论推论. AB A与与B有相同的特征值有相同的特征值 tr(A) = tr(B), |A| = |B|. P 1AP = B A = B(P 1 ) = P 1APP 1 = P 1A = P 1 = (P 1 ) |B| = |P 1AP| = |P 1| |A| |P| = |P| 1 |A| |P| = |A|. 第五章第五章第五章第五章 特征值与特征向量特征值与特征向量特征值与特征向量特征值与特征向量 5.2 5.2 相似矩阵相似矩阵相似矩阵相似矩阵 二二. 矩阵相似的必要条件矩阵相似的必要条件 定理定理5.2. P 1AP = B | E A| = | E B|. 推论推论. AB
23、 A与与B有相同的特征值有相同的特征值 tr(A) = tr(B), |A| = |B|. 例例6. 0 1 x 3 2 5 0 y 0+3 = 2+y x = 2y x = 2, y = 1. 第五章第五章第五章第五章 特征值与特征向量特征值与特征向量特征值与特征向量特征值与特征向量 5.2 5.2 相似矩阵相似矩阵相似矩阵相似矩阵 注注: 特征多项式相同的矩阵未必相似特征多项式相同的矩阵未必相似. 例如例如 A = 1 0 1 1 , B = 1 0 0 1 , 假若假若P 1AP = B, 则则A = PBP 1 = B. 矛盾矛盾!| E A| = | E B| = = ( 1)2.
24、1 1 0 1 = ( 1)2. 1 0 0 1 第五章第五章第五章第五章 特征值与特征向量特征值与特征向量特征值与特征向量特征值与特征向量 5.2 5.2 相似矩阵相似矩阵相似矩阵相似矩阵 三三. 相似对角化问题相似对角化问题 求求A11. 设设P 1AP = , P = , = 1 41 1 1 0 0 2, A = P P 1 A11 = (P P 1)(P P 1)(P P 1)(P P 1) 11 = 1 0 0 211= P 11P 1 第五章第五章第五章第五章 特征值与特征向量特征值与特征向量特征值与特征向量特征值与特征向量 5.2 5.2 相似矩阵相似矩阵相似矩阵相似矩阵 A
25、= = P 1AP 1 0 0 0 2 0 0 0 nP = ( 1, , n)可逆可逆 1, , n线性无关线性无关 P 1AP = AP = P (A 1, , A n) = ( 1 1, , n n) 第五章第五章第五章第五章 特征值与特征向量特征值与特征向量特征值与特征向量特征值与特征向量 5.2 5.2 相似矩阵相似矩阵相似矩阵相似矩阵 定理定理5.3. An n相似于对角矩阵相似于对角矩阵 A有有n个线性无关的特征向量个线性无关的特征向量. 第五章第五章第五章第五章 特征值与特征向量特征值与特征向量特征值与特征向量特征值与特征向量 5.1 5.1 矩阵的特征值与特征向量矩阵的特征值
26、与特征向量矩阵的特征值与特征向量矩阵的特征值与特征向量 例例1. 求求A = 的特征值和特征向量的特征值和特征向量. 解解:所以所以A的特征值为的特征值为 1=2, 2=4. 解之得解之得 A的对应于的对应于 1=2的特征向量为的特征向量为 对于对于 1=2, (2E A)x = 0 即即 3 1 1 3| E A| = 3 1 1 3 = ( 2)( 4). x1 + x2 = 0 x1 x2 = 0 x1x2= k 11(k R). kk(0 k R). 第五章第五章第五章第五章 特征值与特征向量特征值与特征向量特征值与特征向量特征值与特征向量 5.1 5.1 矩阵的特征值与特征向量矩阵的
27、特征值与特征向量矩阵的特征值与特征向量矩阵的特征值与特征向量 例例1. 求求A = 的特征值和特征向量的特征值和特征向量. 解解:所以所以A的特征值为的特征值为 1=2, 2=4. 解之得解之得 A的对应于的对应于 2=4的特征向量为的特征向量为 对于对于 2=4, (4EA)x = 0 即即 3 1 1 3| EA| = 3 1 1 3 = ( 2)( 4). x1 + x2 = 0x1 + x2 = 0 x1x2= k 1 1(k R). k k(0 k R). 评注评注 令令P = 1 1 1 1 , 则则P 1AP = 2 0 0 4 . 令令Q = 1 1 1 1 , 则则Q 1AQ
28、 = 4 0 0 2 . 第五章第五章第五章第五章 特征值与特征向量特征值与特征向量特征值与特征向量特征值与特征向量 5.1 5.1 矩阵的特征值与特征向量矩阵的特征值与特征向量矩阵的特征值与特征向量矩阵的特征值与特征向量 解解: | E A| = ( 2)( 1)2. 所以所以A的特征值为的特征值为 1=2, 2= 3= 1. 对于对于 1=2, 求得求得(2E A)x = 0 的基础解系的基础解系: p1=(0,0,1)T. 对应于对应于 1=2的特征向量为的特征向量为kp1 (0 k R). 对于对于 2= 3=1, 求得求得(E A)x = 0 的基础解系的基础解系: p2=( 1,
29、2,1)T. 对应于对应于 2= 3 =1的特征向量为的特征向量为kp2 (0 k R).例例2. 求求A = 的特征值和特征向量的特征值和特征向量. 问问 A相似于对角矩阵吗相似于对角矩阵吗? 1 1 0 1 1 0 4 3 0 4 3 0 1 0 2 1 0 2 第五章第五章第五章第五章 特征值与特征向量特征值与特征向量特征值与特征向量特征值与特征向量 5.1 5.1 矩阵的特征值与特征向量矩阵的特征值与特征向量矩阵的特征值与特征向量矩阵的特征值与特征向量 解解: | E A| = ( +1)( 2)2. 所以所以A的特征值为的特征值为 1= 1, 2= 3= 2. ( E A)x = 0
30、的基础解系的基础解系: p1=(1,0,1)T. 对应于对应于 1= 1的特征向量为的特征向量为kp1 (0 k R). (2E A)x = 0的基础解系的基础解系: p2=(0, 1, 1)T, p3=(1, 0, 4)T. 对应于对应于 2= 3 =2的特征向量为的特征向量为k2p2 +k3p3 (k2, k3不同时为零不同时为零).例例3. 求求A = 的特征值和特征向量的特征值和特征向量. 2 1 1 2 1 1 0 2 0 0 2 0 4 1 3 4 1 3 第五章第五章第五章第五章 特征值与特征向量特征值与特征向量特征值与特征向量特征值与特征向量 5.2 5.2 相似矩阵相似矩阵相
31、似矩阵相似矩阵 1 A的特征向量的特征向量 1 A的特征值的特征值 结论结论: 条件条件: 1线性无关线性无关 第五章第五章第五章第五章 特征值与特征向量特征值与特征向量特征值与特征向量特征值与特征向量 5.2 5.2 相似矩阵相似矩阵相似矩阵相似矩阵 1, 2 A的特征向量的特征向量 1, 2 A的互异的特征值的互异的特征值 结论结论: 条件条件: 1, 2线性无关线性无关 k1 1 + k2 2 = A(k1 1 + k2 2) = k1A 1 + k2A 2 = k1 2 1 + k2 2 2 = k1 1 1 + k2 2 2 = k1( 1 2) 1 = k1( 1 2) = 0 k
32、1 = 0 k2 2 = k2 = 0 第五章第五章第五章第五章 特征值与特征向量特征值与特征向量特征值与特征向量特征值与特征向量 5.2 5.2 相似矩阵相似矩阵相似矩阵相似矩阵 1, 2, 3 A的特征向量的特征向量 1, 2, 3 A的互异的特征值的互异的特征值 结论结论: 条件条件: 1, 2, 3线性无关线性无关 k k1 1 1 1+ +k k2 2 2 2+ +k k3 3 3 3 = = A A( (k k1 1 1 1+ +k k2 2 2 2+ +k k3 3 3 3) = ) = k k1 1A A 1 1+ +k k2 2A A 2 2+ +k k3 3A A 3 3
33、= = k k1 1 3 3 1 1+ +k k2 2 3 3 2 2+ +k k3 3 3 3 3 3 = = k k1 1 1 1 1 1+ +k k2 2 2 2 2 2+ +k k3 3 3 3 3 3 = = k1( 1 3) 1 + k2( 2 3) 2 = k1( 1 2) = k2( 2 3) = 0 k1 = k2 = 0 k3 3 = k3 = 0 第五章第五章第五章第五章 特征值与特征向量特征值与特征向量特征值与特征向量特征值与特征向量 5.2 5.2 相似矩阵相似矩阵相似矩阵相似矩阵 1, 2, , s A的特征向量的特征向量 1, 2, , s A的互异的特征值的互异
34、的特征值 结论结论: 条件条件: 1, 2, , s线性无关线性无关 k k1 1 1 1 + + k k2 2 2 2 + + + + k ks s 1 1 s s 1 1 + + k ks s s s = = A A( (k k1 1 1 1+ +k k2 2 2 2+ + k ks s 1 1 s s 1 1+ +k ks s s s) = ) = k k1 1A A 1 1+ +k k2 2A A 2 2+k ks s 1 1A A s s 1 1+ +k ks sA A s s = = k k1 1 s s 1 1+ +k k2 2 s s 2 2+ + k ks s 1 1 s s
35、 s s 1 1+ +k ks s s s s s = = k k1 1 1 1 1 1+ +k k2 2 2 2 2 2+ + k ks s 1 1 s s 1 1 s s 1 1+ +k ks s s s s s = = k k1 1( ( 1 1 s s) ) 1 1+ +k k2 2( ( 2 2 s s) ) 2 2+k ks s 1( ( s 1 s s) ) s 1 = = k k1 1( ( 1 1 2 2) = ) = k k2 2( ( 2 2 3 3) = = ) = = k ks s 1 1( ( s s 1 1 s s) = 0 ) = 0 k k1 1 = = k
36、k2 2 = = = = k ks s 1 1 = 0 = 0 k ks s s s = = k ks s = 0 = 0 第五章第五章第五章第五章 特征值与特征向量特征值与特征向量特征值与特征向量特征值与特征向量 5.2 5.2 相似矩阵相似矩阵相似矩阵相似矩阵 定理定理5.4. 1, 2, , s A的特征向量的特征向量 1, 2, , s A的互异的特征值的互异的特征值 1, 2, , s线性无关线性无关 1 2 A , 线性无关线性无关 第五章第五章第五章第五章 特征值与特征向量特征值与特征向量特征值与特征向量特征值与特征向量 5.2 5.2 相似矩阵相似矩阵相似矩阵相似矩阵 定理定理
37、5.4. 1, 2, , s A的特征向量的特征向量 1, 2, , s A的互异的特征值的互异的特征值 1, 2, , s线性无关线性无关 推论推论. An n有有n个互异的特征值个互异的特征值 1, 2, , n A . n 1 2 第五章第五章第五章第五章 特征值与特征向量特征值与特征向量特征值与特征向量特征值与特征向量 5.2 5.2 相似矩阵相似矩阵相似矩阵相似矩阵 例例7. 1 2 3 0 4 5 0 0 6 1 0 0 0 4 0 0 0 6例例8. 若若A = 相似于对角矩阵相似于对角矩阵, a x y 0 a z 0 0 a| E A| = a x y 0 a z 0 0 a
38、= ( a)3 第五章第五章第五章第五章 特征值与特征向量特征值与特征向量特征值与特征向量特征值与特征向量 5.2 5.2 相似矩阵相似矩阵相似矩阵相似矩阵 例例7. 1 2 3 0 4 5 0 0 6 1 0 0 0 4 0 0 0 6例例8. 若若A = 相似于对角矩阵相似于对角矩阵, a x y 0 a z 0 0 a则则(aE A)x = 有有3个线性无关的解个线性无关的解, 故故3 r(aE A) = 3, 即即r(aE A) = 0, 可见可见aE A = 0 x y 0 0 z 0 0 0= O, 即即 x = y = z = 0. As nx = 有有n r(A) 个线性无关的
39、解个线性无关的解 第五章第五章第五章第五章 特征值与特征向量特征值与特征向量特征值与特征向量特征值与特征向量 5.2 5.2 相似矩阵相似矩阵相似矩阵相似矩阵 例例7. 1 2 3 0 4 5 0 0 6 1 0 0 0 4 0 0 0 6例例8. 若若A = 相似于对角矩阵相似于对角矩阵, a x y 0 a z 0 0 a则有则有P 1AP = 于是于是 A = P(aE)P 1 a 0 0 0 a 0 0 0 a= aE. = aPP 1= aE. 即即 x = y = z = 0. 第五章第五章第五章第五章 特征值与特征向量特征值与特征向量特征值与特征向量特征值与特征向量 5.2 5.
40、2 相似矩阵相似矩阵相似矩阵相似矩阵 定理定理5.5. 1, 2, , s A 11, , 1t , 1 1 线性无关线性无关线性无关线性无关 11, , 1t , 21, , 2t , , s1, , sr 线性无关线性无关 1 1 2 2 s s 2 2 线性无关线性无关线性无关线性无关 21, , 2t , , s s 线性无关线性无关线性无关线性无关 s1, , st 第五章第五章第五章第五章 特征值与特征向量特征值与特征向量特征值与特征向量特征值与特征向量 5.2 5.2 相似矩阵相似矩阵相似矩阵相似矩阵 s = 2的情形的情形: 1 1 1, , , , s s 1 1, , ,
41、, r r 2 线性无关线性无关线性无关线性无关 线性无关线性无关线性无关线性无关 1, , s, 1, , r线性无关线性无关 k1 1+ks s + l1 1+lr r = 0 证明证明: k1 1+ks s = l1 1+lr r = 0 k1 = = ks = l1 = = lr = 0 A k1 1+ks s + l1 1+lr r = 0 k1 1+ks s = l1 1+lr r = 0 假若假若假若假若k k1 1 1 1 + + + + k ks s s s 0, 0, 则则则则 l l1 1 1 1 + + + + l lr r r r 0 0 A A( (k k1 1 1
42、 1 + + + + k ks s s s) ) k k1 1 1 1 + + + + k ks s s s是是是是A A的对应于的对应于的对应于的对应于 1 1的特征向量的特征向量的特征向量的特征向量 = = k k1 1A A 1 1 + + + + k ks sA A s s = = k k1 1 1 1 1 1 + + + + k ks s 1 1 s s = = 1 1( (k k1 1 1 1 + + + + k ks s s s) ) l l1 1 1 1 + + + + l lr r r r是是是是A A的对应于的对应于的对应于的对应于 2 2的特征向量的特征向量的特征向量的特
43、征向量 而而而而k k1 1 1 1 + + + + k ks s s s与与与与l l1 1 1 1 + + + + l lr r r r线性相关线性相关线性相关线性相关 矛盾矛盾矛盾矛盾! ! 第五章第五章第五章第五章 特征值与特征向量特征值与特征向量特征值与特征向量特征值与特征向量 5.2 5.2 相似矩阵相似矩阵相似矩阵相似矩阵 1 1 1, , , , s s 1 1, , , , r r 2 A 线性无关线性无关线性无关线性无关 线性无关线性无关线性无关线性无关 1, , s, 1, , r线性无关线性无关 k1 1+ks s + l1 1+lr r = 0 证明证明: k1 1+
44、ks s = l1 1+lr r = 0 k1 = = ks = l1 = = lr = 0 s = 2的情形的情形: 第五章第五章第五章第五章 特征值与特征向量特征值与特征向量特征值与特征向量特征值与特征向量 5.1 5.1 矩阵的特征值与特征向量矩阵的特征值与特征向量矩阵的特征值与特征向量矩阵的特征值与特征向量 解解: | E A| = ( 2)( 1)2. 所以所以A的特征值为的特征值为 1=2, 2= 3= 1. 对于对于 1=2, 求得求得(2E A)x = 0 的基础解系的基础解系: p1=(0,0,1)T. 对应于对应于 1=2的特征向量为的特征向量为kp1 (0 k R). 对
45、于对于 2= 3=1, 求得求得(E A)x = 0 的基础解系的基础解系: p2=( 1, 2,1)T. 对应于对应于 2= 3 =1的特征向量为的特征向量为kp2 (0 k R).例例2. 求求A = 的特征值和特征向量的特征值和特征向量. 二重二重 一重一重 一个一个 一个一个 1 1 0 1 1 0 4 3 0 4 3 0 1 0 2 1 0 2 第五章第五章第五章第五章 特征值与特征向量特征值与特征向量特征值与特征向量特征值与特征向量 5.1 5.1 矩阵的特征值与特征向量矩阵的特征值与特征向量矩阵的特征值与特征向量矩阵的特征值与特征向量 解解: | E A| = ( +1)( 2)
46、2. 所以所以A的特征值为的特征值为 1= 1, 2= 3= 2. ( E A)x = 0的基础解系的基础解系: p1=(1,0,1)T. 对应于对应于 1= 1的特征向量为的特征向量为kp1 (0 k R). (2E A)x = 0的基础解系的基础解系: p2=(0, 1, 1)T, p3=(1, 0, 4)T. 对应于对应于 2= 3 =2的特征向量为的特征向量为k2p2 +k3p3 (k2, k3不同时为零不同时为零).例例3. 求求A = 的特征值和特征向量的特征值和特征向量. 二重二重 一重一重 一个一个 二个二个 2 1 1 2 1 1 0 2 0 0 2 0 4 1 3 4 1
47、3 第五章第五章第五章第五章 特征值与特征向量特征值与特征向量特征值与特征向量特征值与特征向量 5.2 5.2 相似矩阵相似矩阵相似矩阵相似矩阵 例例9. 若若A5 5的特征值为的特征值为 特征向量特征向量: , , 1, 2, 3 (线性无关线性无关) 1(一重一重), 2(一重一重), 1, 1, 1(三重三重), 令令P = ( , , 1, 2, 3), 则则 P 1AP = 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 第五章第五章
48、第五章第五章 特征值与特征向量特征值与特征向量特征值与特征向量特征值与特征向量 5.2 5.2 相似矩阵相似矩阵相似矩阵相似矩阵 反之反之, 若若 则则P 1( 1E A)P = P 1AP = 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 ( 1E P 1AP)0 0 3 3 2 2 2 2 2 2 = 1 1 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 = 第五章第五章第五章第五章 特征值与特征向量特征值与特征
49、向量特征值与特征向量特征值与特征向量 5.2 5.2 相似矩阵相似矩阵相似矩阵相似矩阵 反之反之, 若若则则r( 1E A) = r(P 1( 1E A)P) = 4, P 1AP = 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 3 3 2 2 2 2 2 2 = 1 1 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 5 4 = 1, 因而因而( 1E A)x = 有有1个个线性无关的解线性无关的解, 即即
50、A有有1个个线性无关的特征向量与线性无关的特征向量与 1对应对应. As nx = 有有n r(A) 个线性无关的解个线性无关的解 第五章第五章第五章第五章 特征值与特征向量特征值与特征向量特征值与特征向量特征值与特征向量 5.2 5.2 相似矩阵相似矩阵相似矩阵相似矩阵 反之反之, 若若r(2E A) = r(P 1(2E A)P) = 4, P 1AP = 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 A有有1个个线性无关的特征向量与线性
51、无关的特征向量与2对应对应. 则则P 1(2E A)P = (2E P 1AP)3 3 0 0 2 2 2 2 2 2 = 1 1 2 2 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 = 第五章第五章第五章第五章 特征值与特征向量特征值与特征向量特征值与特征向量特征值与特征向量 5.2 5.2 相似矩阵相似矩阵相似矩阵相似矩阵 反之反之, 若若则则P 1(1E A)P = P 1AP = 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0
52、0 1 1 (1E P 1AP)2 2 1 1 0 0 0 0 0 0 = 1 1 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 = r(1E A) = r(P 1(1E A)P) = 2, 5 2 = 3, 因而因而A有有3个个线性无关的特征向量与线性无关的特征向量与1对应对应. 第五章第五章第五章第五章 特征值与特征向量特征值与特征向量特征值与特征向量特征值与特征向量 5.2 5.2 相似矩阵相似矩阵相似矩阵相似矩阵 定理定理5.6. A相似于对角矩阵相似于对角矩阵 k重重特征值对应特征值对应 k个个线性无关的特征向量线性无关的特征向量. 第五章第五章第五章第五章
53、 特征值与特征向量特征值与特征向量特征值与特征向量特征值与特征向量 5.2 5.2 相似矩阵相似矩阵相似矩阵相似矩阵 例例10. 若若2是是A = 1 1 1 a 4 b 3 3 5r(2E A) = 1, 可见可见 a = 2, b = 2.A相似于对角矩阵相似于对角矩阵, 的二重特征值的二重特征值, 且且 则则3 r(2E A) = 2, 而而2E A = 1 1 1 a 2 b 3 3 31 1 10 a 2 a b 0 0 0 a a ( ( 3 3) ) 此时此时(2E A)x = 的一个基础解系为的一个基础解系为: (1, 0, 1)T, (0, 1, 1)T. 第五章第五章第五章
54、第五章 特征值与特征向量特征值与特征向量特征值与特征向量特征值与特征向量 5.2 5.2 相似矩阵相似矩阵相似矩阵相似矩阵 例例10. 若若2是是A = 1 1 1 a 4 b 3 3 5又因为又因为tr(A) = 10, (6E A)x = 的一个基础解系为的一个基础解系为: A相似于对角矩阵相似于对角矩阵, 的二重特征值的二重特征值, 且且 则则a = 2, b = 2. 所以所以A的另一个特征值为的另一个特征值为10 2 2 = 6. 此时此时(2E A)x = 的一个基础解系为的一个基础解系为: (1, 0, 1)T, (0, 1, 1)T. (1, 2, 3)T. 第五章第五章第五章
55、第五章 特征值与特征向量特征值与特征向量特征值与特征向量特征值与特征向量 5.2 5.2 相似矩阵相似矩阵相似矩阵相似矩阵 例例10. 若若2是是A = 1 1 1 a 4 b 3 3 5A相似于对角矩阵相似于对角矩阵, 的二重特征值的二重特征值, 且且 则则a = 2, b = 2. 令令P = , 1 0 10 1 2 1 1 3则则P 1AP = . 2 2 6 第五章第五章第五章第五章 特征值与特征向量特征值与特征向量特征值与特征向量特征值与特征向量 5.2 5.2 相似矩阵相似矩阵相似矩阵相似矩阵 例例11. 5400万万 A公司公司 B公司公司 2600 2600 2800 280
56、0 一周后一周后 10% 12% ak+1 = 0.9ak + 0.12bk bk+1 = 0.1ak + 0.88bk ak+1 bk+1ak bk= A 2600 2800 a0 b0= 0.9 0.12 0.1 0.88 A = 第五章第五章第五章第五章 特征值与特征向量特征值与特征向量特征值与特征向量特征值与特征向量 5.2 5.2 相似矩阵相似矩阵相似矩阵相似矩阵 2600 2800 a0 b0= ak+1 bk+1ak 1 bk 1= A2 0.9 0.12 0.1 0.88 A = , , ak bk= A = = a0 b0Ak+1 A=0.9,0.12;0.1,0.88; A
57、=0.9,0.12;0.1,0.88; P,D=eig(A) P,D=eig(A) 第五章第五章第五章第五章 特征值与特征向量特征值与特征向量特征值与特征向量特征值与特征向量 5.2 5.2 相似矩阵相似矩阵相似矩阵相似矩阵 A=0.9,0.12;0.1,0.88; A=0.9,0.12;0.1,0.88; P,D=eig(A) P,D=eig(A) P =P = 0.7682 -0.7071 0.7682 -0.7071 0.6402 0.7071 0.6402 0.7071D =D = 1.0000 0 1.0000 0 0 0.7800 0 0.7800P 1AP = D, A = PD
58、P 1, Ak+1 = (PDP 1)(PDP 1)(PDP 1)(PDP 1)(PDP 1) PDk+1P 1. 第五章第五章第五章第五章 特征值与特征向量特征值与特征向量特征值与特征向量特征值与特征向量 5.2 5.2 相似矩阵相似矩阵相似矩阵相似矩阵 P*1,0;0,0.78(k+1)*P(-1)*2600;2800 P*1,0;0,0.78(k+1)*P(-1)*2600;2800 P*1,0;0,0.78(k+1)*P(-1)*2600;2800 P*1,0;0,0.78(k+1)*P(-1)*2600;2800 syms k syms k % %定义符号变量定义符号变量 ans =
59、ans = 32400/11-3800/11*(39/50)(k+1) 32400/11-3800/11*(39/50)(k+1) 27000/11+3800/11*(39/50)(k+1) 27000/11+3800/11*(39/50)(k+1) ak+1 bk+1a0 b0= Ak+1 a0 b0= PDk+1P 1 ak+1 bk+1= 2945.5 2454.5 5.3 实对称矩阵的相似对角化实对称矩阵的相似对角化 一一. 实对称矩阵的性质实对称矩阵的性质 5.3 5.3 实对称矩阵的相似对角化实对称矩阵的相似对角化实对称矩阵的相似对角化实对称矩阵的相似对角化 第五章第五章第五章第五
60、章 特征值与特征向量特征值与特征向量特征值与特征向量特征值与特征向量 AT = A Mn(R), A = , = (a1, , an)T Cn. ( ) T = 0 TA T = T = = TA T = (A )T = T = (A )T T = a1a1 + + anan 0 = 0 性质性质5.1. 实对称矩阵的特征值均为实数实对称矩阵的特征值均为实数. 第五章第五章第五章第五章 特征值与特征向量特征值与特征向量特征值与特征向量特征值与特征向量 5.3 5.3 实对称矩阵的相似对角化实对称矩阵的相似对角化实对称矩阵的相似对角化实对称矩阵的相似对角化 1 1T( 1 2) 1T 2 = 0
61、 1 1T 2AT = A Mn(R), 1, 2 Rn, A 1 = 1 1, A 2 = 2 2, 1 2 R, = 1TA = (A 1)T = 1TAT = 2 1T 2, = 1TA 2 = 1T( 2 2) 1T 2 = 0. 性质性质5.2. 实对称矩阵的实对称矩阵的对应于对应于不同特征值的不同特征值的 特征向量相互正交特征向量相互正交. 第五章第五章第五章第五章 特征值与特征向量特征值与特征向量特征值与特征向量特征值与特征向量 5.3 5.3 实对称矩阵的相似对角化实对称矩阵的相似对角化实对称矩阵的相似对角化实对称矩阵的相似对角化 定理定理5.7. AT = A Mn(R) 正
62、交矩阵正交矩阵Q使得使得 Q 1AQ = QTAQ是对角矩阵是对角矩阵. 二二. 实对称矩阵正交相似对角化的计算实对称矩阵正交相似对角化的计算 ( E A)x = | E A| = 0 特征值特征值 特征向量特征向量 正交化正交化 单位化单位化 Q 第五章第五章第五章第五章 特征值与特征向量特征值与特征向量特征值与特征向量特征值与特征向量 5.3 5.3 实对称矩阵的相似对角化实对称矩阵的相似对角化实对称矩阵的相似对角化实对称矩阵的相似对角化 例例11. 把把A = 正交相似对角化正交相似对角化. 解解解解: |: | E E A A| = (| = ( 2)(2)( 4)4)2 2. . 所
63、以所以所以所以A A的特征值为的特征值为的特征值为的特征值为 1 1= = 2 2, , 2 2= = 3 3= 4.= 4. ( (2 2E E A A) )x x = = 的基础解系的基础解系的基础解系的基础解系: : 1 1 = (0,1, = (0,1, 1)1)T T. . ( (4 4E E A A) )x x = = 的基础解系的基础解系的基础解系的基础解系: : 2 2 = (1, = (1, 0 0, , 0 0) )T T, , 3 3 = (0, = (0, 1 1, 1), 1)T T. . 1 1, , 2 2, , 3 3已经两两正交已经两两正交已经两两正交已经两两
64、正交, , 将它们单位化可得将它们单位化可得将它们单位化可得将它们单位化可得4 0 0 0 3 1 0 1 3 Q = , Q Q 1 1AQ AQ = = Q QT TAQAQ = . = . 2 0 0 0 4 0 0 0 4 第五章第五章第五章第五章 特征值与特征向量特征值与特征向量特征值与特征向量特征值与特征向量 5.3 5.3 实对称矩阵的相似对角化实对称矩阵的相似对角化实对称矩阵的相似对角化实对称矩阵的相似对角化 例例12. 把把A = 正交相似对角化正交相似对角化. 解解解解: |: | E E A A| = | = 2 2( ( 3).3). 所以所以所以所以A A的特征值为的
65、特征值为的特征值为的特征值为 1 1= = 2 2= = 0 0, , 3 3= 3.= 3. ( (0 0E E A A) )x x = = 的基础解系的基础解系的基础解系的基础解系: : 1 1 = ( = ( 1, 1, 1 1, , 0 0) )T T, , 2 2 = ( = ( 1, 0, 1), 0, 1)T T. . ( (3 3E E A A) )x x = = 的基础解系的基础解系的基础解系的基础解系: : 3 3 = (1, 1, 1) = (1, 1, 1)T T. . 1 1 1 1 1 1 1 1 1 第五章第五章第五章第五章 特征值与特征向量特征值与特征向量特征值
66、与特征向量特征值与特征向量 5.3 5.3 实对称矩阵的相似对角化实对称矩阵的相似对角化实对称矩阵的相似对角化实对称矩阵的相似对角化 1 1 = ( = ( 1, 1, 1 1, , 0 0) )T T, , 2 2 = ( = ( 1, 0, 1), 0, 1)T T, , 3 3 = (1, 1, 1) = (1, 1, 1)T T. . 令令p2 = 2 2, 1 1, 1 1 . = 1/2 1/2 1 1 1 0 1 2 = 1 0 1 再令再令q1 = 1 | 1| , = 1/ 2 1/ 2 0 q2 = p2 |p2| , = 1/ 6 1/ 6 2/ 6 q3 = 3 | 3
67、| , = 1/ 3 1/ 3 1/ 3 Q = (q1, q2, q3), 则则Q 1AQ = QTAQ = . 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 0 0 3 第五章第五章第五章第五章 特征值与特征向量特征值与特征向量特征值与特征向量特征值与特征向量 5.3 5.3 实对称矩阵的相似对角化实对称矩阵的相似对角化实对称矩阵的相似对角化实对称矩阵的相似对角化 例例11. 把把A = 正交相似对角化正交相似对角化. 另解另解另解另解: : 由于由于A是是3阶实对称矩阵阶实对称矩阵, 1 1 1 1 1 1 1 1 1 又因为又因为r(A) = 1, 所以所以 1, 2,
68、3中有两个为零中有两个为零, 一个非零一个非零. 根据根据 1 + 2 + 3 = tr(A) = 3, 可设可设 1 = 3, 2 = 3 = 0. 1 0 0 0 2 0 0 0 3 . 故故A (3E A)x = 的基础解系的基础解系: 1 = (1, 1, 1)T. 第五章第五章第五章第五章 特征值与特征向量特征值与特征向量特征值与特征向量特征值与特征向量 5.3 5.3 实对称矩阵的相似对角化实对称矩阵的相似对角化实对称矩阵的相似对角化实对称矩阵的相似对角化 (0E A)x = 的一个非零解为的一个非零解为: 2 = ( 1, 1, 0)T, (3E A)x = 的基础解系的基础解系
69、: 1 = (1, 1, 1)T. x1 + x2 + x3 = 0 x1 + x2 = 0的一个非零解为的一个非零解为: 3 = ( 1, 1, 2)T. , 1/ 2 1/ 2 0 q2 = , 1/ 6 1/ 6 2/ 6 q3 = 令令q1 = , 1/ 3 1/ 3 1/ 3 Q = (q1, q2, q3), 则则Q 1AQ = QTAQ = . 3 0 0 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 第五章第五章第五章第五章 特征值与特征向量特征值与特征向量特征值与特征向量特征值与特征向量 5.3 5.3 实对称矩阵的相似对角化实对称矩阵的相似对角化实对称矩阵的相
70、似对角化实对称矩阵的相似对角化 (0E A)x = 的一个非零解为的一个非零解为: 2 = ( 1, 1, 0)T, (3E A)x = 的基础解系的基础解系: 1 = (1, 1, 1)T. , 1/ 2 1/ 2 0 q2 = , 1/ 6 1/ 6 2/ 6 q3 = 令令q1 = , 1/ 3 1/ 3 1/ 3 Q = (q1, q2, q2), 则则Q 1AQ = QTAQ = . 3 0 0 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 令令 3 = 1 2 = ( 1, 1, 2)T. 1 1 1 0, 1 1 0 1 , 1 1 1 1= T 第五章第五章第五章
71、第五章 特征值与特征向量特征值与特征向量特征值与特征向量特征值与特征向量 5.3 5.3 实对称矩阵的相似对角化实对称矩阵的相似对角化实对称矩阵的相似对角化实对称矩阵的相似对角化 例例12. AT = A M3(R), | EA| = ( 1)2( 10), 3 = (1, 2, 2)T, A 3 = 10 3. (1) 由性质由性质5.2可知可知: A = ( ) 3; 因而因而 = k1 1+k2 2是对应于是对应于1的特征向量的特征向量. 反之反之, 设设 3, ( ( 1 1, , 2 2是是是是A A的对应于的对应于的对应于的对应于1 1的线性无关的特征向量的线性无关的特征向量的线性
72、无关的特征向量的线性无关的特征向量). ). 且且 = k1 1 + k2 2 + k3 3 则则 = 0. , 3 k3| 3|2 = k k1 1 1 1, , 3 3 + + k k2 2 2 2, , 3 3 + + k k3 3 3 3, , 3 3 =综上所述综上所述, A = ( ) 3. 故故k3 = 0, 第五章第五章第五章第五章 特征值与特征向量特征值与特征向量特征值与特征向量特征值与特征向量 5.3 5.3 实对称矩阵的相似对角化实对称矩阵的相似对角化实对称矩阵的相似对角化实对称矩阵的相似对角化 (2) 对应于对应于1两个线性无关的特征向量可取为两个线性无关的特征向量可取
73、为 将正交向量组将正交向量组 1, 2, 3单位化得正交矩阵单位化得正交矩阵 x1+2x2 2x3 = 0的正交的基础解系的正交的基础解系: 1 = (2, 1, 2)T, 2 = ( 2, 2, 1)T, 例例12. AT = A M3(R), | EA| = ( 1)2( 10), 3 = (1, 2, 2)T, A 3 = 10 3. (1) A = ( ) 3; Q = , 2/3 2/3 1/3 1/3 2/3 2/3 2/3 1/3 2/3 第五章第五章第五章第五章 特征值与特征向量特征值与特征向量特征值与特征向量特征值与特征向量 5.3 5.3 实对称矩阵的相似对角化实对称矩阵的
74、相似对角化实对称矩阵的相似对角化实对称矩阵的相似对角化 A = Q QT = 例例12. AT = A M3(R), | EA| = ( 1)2( 10), 3 = (1, 2, 2)T, A 3 = 10 3. Q = , 2/3 2/3 1/3 1/3 2/3 2/3 2/3 1/3 2/3 QTAQ = Q 1AQ = = , 1 0 0 0 1 0 0 0 10 2 2 2 2 5 4 2 4 5 . 第五章第五章第五章第五章 特征值与特征向量特征值与特征向量特征值与特征向量特征值与特征向量 5.3 5.3 实对称矩阵的相似对角化实对称矩阵的相似对角化实对称矩阵的相似对角化实对称矩阵的
75、相似对角化 (2) 对应于对应于1两个线性无关的特征向量可取为两个线性无关的特征向量可取为 令令P = ( 1, 2, 3), x1+2x2 2x3 = 0的基础解系的基础解系: 1 = ( 2, 1, 0)T, 2 = (2, 0, 1)T. 例例12. AT = A M3(R), | EA| = ( 1)2( 10), 3 = (1, 2, 2)T, A 3 = 10 3. (1) A = ( ) 3; 则则P 1AP = . A = P P 1 = 2 2 2 2 5 4 2 4 5 . 5.4 矩阵的矩阵的Jordan标准型标准型 一一. Cayley-Hamilton定理定理 5.4
76、 5.4 矩阵的矩阵的矩阵的矩阵的JordanJordan标准型标准型标准型标准型 第五章第五章第五章第五章 特征值与特征向量特征值与特征向量特征值与特征向量特征值与特征向量 凯莱凯莱凯莱凯莱 英英英英 A. A. Cayley Cayley (1821.8-1895.1) (1821.8-1895.1) 哈密尔顿哈密尔顿哈密尔顿哈密尔顿 英英英英 W.R. W.R. Hamilton Hamilton (1805.8-1865.9) (1805.8-1865.9) 第五章第五章第五章第五章 特征值与特征向量特征值与特征向量特征值与特征向量特征值与特征向量 5.4 5.4 矩阵的矩阵的矩阵的矩
77、阵的JordanJordan标准型标准型标准型标准型 定理定理5.8. c( ) = | EAn n| 则则c(A) = O. 注注: c(A) = |AE A|? | EAn n| = a11 a12 a1n a21 a22 a2n an1 an2 ann= n + an 1 n 1 + + a1 + a0 = n tr(A) n 1 + + ( 1)n|A|. 第五章第五章第五章第五章 特征值与特征向量特征值与特征向量特征值与特征向量特征值与特征向量 5.4 5.4 矩阵的矩阵的矩阵的矩阵的JordanJordan标准型标准型标准型标准型 c( ) = n + an 1 n 1 + + a
78、1 + a0 c(A) = An + an 1An 1 + + a1A + a0E c(A) = O An + an 1An 1 + + a1A = a0E = A(An 1 + an 1An 2 + + a1E)当当A可逆时可逆时, a0 = ( 1)n|A| 0, 于是于是A 1 = 1a0 (An 1 + an 1An 2 + + a1E) A* = |A|A 1 = 第五章第五章第五章第五章 特征值与特征向量特征值与特征向量特征值与特征向量特征值与特征向量 5.4 5.4 矩阵的矩阵的矩阵的矩阵的JordanJordan标准型标准型标准型标准型 例例13. 已知已知A = 1 2 2
79、1 0 3 1 1 2 , 求求A100. 解解: c( ) = | EA| = ( +1)2( 1). 分别将分别将 = 1, 1代入上式得代入上式得 100 99 = ( 100) 1 = a + b + c, 设设 100 = c( )g( ) + a 2 + b + c, 1 = a b + c. = c( )g( ) + a 2 + b + c = c( ) g( ) + c( )g( ) + 2a + b 将将 = 1代入上式得代入上式得 100 = 2a + b. 于是可得于是可得a = 50, b = 0, c = 49. 第五章第五章第五章第五章 特征值与特征向量特征值与特征
80、向量特征值与特征向量特征值与特征向量 5.4 5.4 矩阵的矩阵的矩阵的矩阵的JordanJordan标准型标准型标准型标准型 = 50A2 49E 故故A100 = c(A)g(A) + 50A2 49E = 50= 50即即 100 = c( )g( ) + 50 2 49, 3 3 0 8 0 8 2 1 4 2 1 4 2 0 5 2 0 5 4949 0 0 0 0 0 49 0 0 49 0 0 0 49 0 0 49 = 199199 0 400 0 400 100 1 200 100 1 200 100 0 201 100 0 201 . 例例13. 已知已知A = 1 2 2
81、 1 0 3 1 1 2 , 求求A100. 第五章第五章第五章第五章 特征值与特征向量特征值与特征向量特征值与特征向量特征值与特征向量 5.4 5.4 矩阵的矩阵的矩阵的矩阵的JordanJordan标准型标准型标准型标准型 A = 0 1 1 0 1 0 1 1 2 c( ) = | EA| = ( 1)3满足满足c(A) = O f( ) = ( 1)2 = 2 2 +1满足满足f(A) = O. c( )的次数为的次数为3 f( )的次数为的次数为2 不存在更低次数的多项式不存在更低次数的多项式g( )使得使得g(A) = O. A的零化多项式的零化多项式 次数最低次数最低, 首首项系
82、数为项系数为1 例例14. 第五章第五章第五章第五章 特征值与特征向量特征值与特征向量特征值与特征向量特征值与特征向量 5.4 5.4 矩阵的矩阵的矩阵的矩阵的JordanJordan标准型标准型标准型标准型 二二. 最小多项式最小多项式 1. 定义定义: A的的次数最低次数最低的的最高次项系数为最高次项系数为1的的 零化零化多项式称为多项式称为A的的最小多项式最小多项式. 2. 性质性质:(1) A的最小多项式的最小多项式 | A的任一化零多项式的任一化零多项式. (2) A的最小多项式是唯一的的最小多项式是唯一的, 记为记为mA( )或简记为或简记为m( ). (3) 则则m( 0) =
83、0 c( 0) = 0. (4) A B mA( ) = mB( ). 但反之未必但反之未必! 第五章第五章第五章第五章 特征值与特征向量特征值与特征向量特征值与特征向量特征值与特征向量 5.4 5.4 矩阵的矩阵的矩阵的矩阵的JordanJordan标准型标准型标准型标准型 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 21 1 0 0 0 1 0 0 0 0 2 0 0 0 0 2例如例如: 与与 的最小多项式都是的最小多项式都是( 1)2( 2), 但是它们的特征多项式分别为但是它们的特征多项式分别为 因而这两个矩阵不相似因而这两个矩阵不相似. ( 1)3( 2)和和( 1
84、)2( 2)2, 第五章第五章第五章第五章 特征值与特征向量特征值与特征向量特征值与特征向量特征值与特征向量 5.4 5.4 矩阵的矩阵的矩阵的矩阵的JordanJordan标准型标准型标准型标准型 推论推论7. 设设A, B分别为分别为s n矩阵和矩阵和n t矩阵矩阵, 则则 r(AB) r(A) + r(B) n. 回忆回忆2.5 引理引理. 设设A1, A2, , As都是都是n阶方阵阶方阵, 且且 A1A2 As = O, 则则 r(Ai) (s 1)n. i i = 1 = 1s s r(A1A2 As) r(A1) +r(A2 As) n r(A1) +r(A2) + r(A3 A
85、s) 2n r(A1) +r(A2) + r(As) (s 1)n. 第五章第五章第五章第五章 特征值与特征向量特征值与特征向量特征值与特征向量特征值与特征向量 5.4 5.4 矩阵的矩阵的矩阵的矩阵的JordanJordan标准型标准型标准型标准型 定理定理5.9. A相似于对角矩阵相似于对角矩阵 mA( )没有重根没有重根. 对角阵的最小多项式对角阵的最小多项式没有重根没有重根. 因而因而 r( iE A) (s 1)n, i i = 1 = 1s s 证明证明: () 相似的矩阵的最小多项式相同相似的矩阵的最小多项式相同; () 设设mA( ) = ( 1)( 2)( s), 则则( 1
86、E A)( 2E A)( sE A) = O, 故故 n r( iE A) n. i i = 1 = 1s s 第五章第五章第五章第五章 特征值与特征向量特征值与特征向量特征值与特征向量特征值与特征向量 5.4 5.4 矩阵的矩阵的矩阵的矩阵的JordanJordan标准型标准型标准型标准型 例例15. 若若n阶方阵阶方阵A满足满足A2 3A + 2E = O, r(A E) = r, 则行列式则行列式|A+3E| = _. 解解: A2 3A + 2E = O (A E)(A 2E) = O 存在可逆矩阵存在可逆矩阵P使得使得P 1AP = |A+3E| = |P 1| |A+3E| |P|
87、 E En n r r O O O O 2 2E Er r 秩秩(A E) = r = |P 1(A+3E)P| = |P 1AP +3E| = 4En r O O 5Er = 4n r 5r. 第五章第五章第五章第五章 特征值与特征向量特征值与特征向量特征值与特征向量特征值与特征向量 5.4 5.4 矩阵的矩阵的矩阵的矩阵的JordanJordan标准型标准型标准型标准型 三三. Jordan标准形标准形 0 0 0 1 1 0 mm mm m阶阶Jordan块块: 例如例如: 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 注注: 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1
88、 0 0 1 0 = 第五章第五章第五章第五章 特征值与特征向量特征值与特征向量特征值与特征向量特征值与特征向量 5.4 5.4 矩阵的矩阵的矩阵的矩阵的JordanJordan标准型标准型标准型标准型 J1 J2 Js Jordan形矩阵形矩阵: 若当块若当块 例如例如: 1 0 0 0 2 0 0 0 3 0 1 0 0 0 1 0 0 0 2 1 0 0 2 0 0 0 3 1 1 0 0 2 0 0 0 3 但但 不是不是Jordan形矩阵形矩阵. 第五章第五章第五章第五章 特征值与特征向量特征值与特征向量特征值与特征向量特征值与特征向量 5.4 5.4 矩阵的矩阵的矩阵的矩阵的Jor
89、danJordan标准型标准型标准型标准型 若若A与与Jordan形矩阵形矩阵J相似相似, 则称则称J为为A的的 Jordan当标准形当标准形. 注注: J1 O O J2 O E E O O E E O 1 J2 O O J1 = 而且在不计而且在不计Jordan块的次序的块的次序的 意义下是唯一的意义下是唯一的. 定理定理5.10. 任何复方阵都有任何复方阵都有Jordan标准形标准形, 推论推论. 两个复方阵相似两个复方阵相似它们具有相同的它们具有相同的 Jordan标准形标准形. 第五章第五章第五章第五章 特征值与特征向量特征值与特征向量特征值与特征向量特征值与特征向量 5.4 5.4
90、 矩阵的矩阵的矩阵的矩阵的JordanJordan标准型标准型标准型标准型 例例16.设设A = . 1 a a 0 a 1+a b 0 0 1 (1) 求求A的特征值和所有可能的若当标准形的特征值和所有可能的若当标准形. 解解: | E A| = ( 1)3.由此可得由此可得A的特征值为的特征值为 1 = 2 = 3 = 1. 因此因此A的所有可能的若当标准形如下的所有可能的若当标准形如下: 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 J1 = , 1 1 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 J2 = , 1 1 1 0 1 0 0 1
91、 1 0 1 1 0 0 1 0 0 1 J3 = . 第五章第五章第五章第五章 特征值与特征向量特征值与特征向量特征值与特征向量特征值与特征向量 5.4 5.4 矩阵的矩阵的矩阵的矩阵的JordanJordan标准型标准型标准型标准型 例例16.设设A = . 1 a a 0 a 1+a b 0 0 1 (2) a, b满足什么条件时满足什么条件时, A相似于对角矩阵相似于对角矩阵? 解解: 由由(1)知知, A相似于对角矩阵相似于对角矩阵 A相似于相似于E 存在可逆矩阵存在可逆矩阵P使得使得P 1AP = E A = E 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0
92、1 J1 = , 1 1 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 J2 = , 1 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 1 0 0 1 0 0 1 J3 = . a = b = 0. 第五章第五章第五章第五章 特征值与特征向量特征值与特征向量特征值与特征向量特征值与特征向量 5.4 5.4 矩阵的矩阵的矩阵的矩阵的JordanJordan标准型标准型标准型标准型 例例16.设设A = . 1 a a 0 a 1+a b 0 0 1 (3) 当当a = 1, b = 2时时, 求求A的的Jordan标准形标准形. 解解: 当当a = 1, b = 2时时, A = r
93、(E A) = 2. 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 J1 = , 1 1 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 J2 = , 1 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 1 0 0 1 0 0 1 J3 = . r(E J3) = 2. 0 0 1 0 1 0 1 2 2 1 2 2 0 0 1 0 0 1 , 可见可见A的的Jordan标准形为标准形为J3. r(E J2) = 1, r(E J1) = 0, 矩阵相似必等价，矩阵相似必等价， 常问可否对角化。常问可否对角化。 一般方阵难求幂，一般方阵难求幂， 对角化后事好办
94、。对角化后事好办。 为此先求特征值，为此先求特征值， 解罢方程得向量。解罢方程得向量。 特征向量如不足，特征向量如不足， 标准形式归若当。标准形式归若当。 特征值和特征向量特征值和特征向量 直接计算直接计算直接计算直接计算| | E E A A| | A A = = 2 1 1 2 1 1 1 2 1 1 2 1 1 1 2 1 1 2 , , 2 2 1 1 1 1 1 1 2 2 1 1 1 1 1 1 2 2 A A = = 1 2 3 1 2 3 0 0 4 4 0 0 5 6 7 5 6 7 , | , | E E A A| = | = 1 1 2 2 3 3 0 0 4 4 0 0
95、 5 5 6 6 7 7 = (= ( 4 4). ). A A = = 1 1 2 3 2 3 0 0 4 4 5 5 0 0 0 0 6 6 , | , | E E A A| = | = 1 1 2 2 3 3 0 0 4 4 5 5 0 0 0 0 6 6 = (= ( 1 1)( )( 4 4)( )( 6 6). ). = = 4 4 4 4 4 4 1 1 2 2 1 1 1 1 1 1 2 2 = (= ( 4 4). ). A A = = 1 1 2 2 0 0 0 0 4 4 0 0 3 5 3 5 6 6 , | , | E E A A| = | = 1 1 2 2 0 0
96、 0 0 4 4 0 0 3 3 5 5 6 6 = (= ( 1 1)( )( 4 4)( )( 6 6). ). A A = = 1 1 2 2 2 2 1 0 1 0 3 3 1 1 1 1 2 2, , 1 1 2 2 2 2 1 1 3 3 1 1 1 1 + +2 2 = = 1 1 2 2 2 2 0 0 1 1 + +1 1 1 1 1 1 + +2 2 = (= ( 1 1). ). 间接计算间接计算间接计算间接计算| | E E A A| | = ( = (a a1 1, , , , a an n) )T T, , A A = = T T, , 若若若若A A3 3 3 3
97、的特征值为的特征值为的特征值为的特征值为1, 1, 1 1, 2, 2, , A A = = 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 , , r(r(A A) = 1, ) = 1, 1 1+ + 2 2+ + 3 3 = 3, = 3, 3 3阶方阵阶方阵阶方阵阶方阵E E A A, , E E+ +A A, 2, 2E E 3 3A A都不可逆都不可逆都不可逆都不可逆, , | | E E A A| = (| = ( 1 1)( )( + +1 1)( )( 2/32/3). ). 若若若若A A3 3 3 3满足满足满足满足A A2 2 A A = = O
98、 O, r(, r(A A) = 2, ) = 2, | | E E A A| = | = 2 2( ( 3 3). ). 则则则则 | | E E A A 1 1| = (| = ( 1 1)( )( + +1 1)( )( 1/21/2), ), | | E E A A* *| = (| = ( + +2 2)( )( 2 2)( )( + +1 1). ). | | E E A A| = | = n n 1 1( ( | | | |2 2). ). 则则则则 | | E E A A| = | = ( ( 1 1) )2 2. . 5.5 5.5 用用用用MatlabMatlab解题解题解
99、题解题 5.5 用用Matlab解题解题 一一. 求矩阵的特征值和特征向量求矩阵的特征值和特征向量 A=1,2,3;0,1,2;0,0,2; A=1,2,3;0,1,2;0,0,2; A=1,2,3;0,1,2;0,0,2; A=1,2,3;0,1,2;0,0,2; P,D=eig(A) P,D=eig(A) P,D=eig(A) P,D=eig(A) P = P = P = P = 1.0000 -1.0000 0.9526 1.0000 -1.0000 0.9526 1.0000 -1.0000 0.9526 1.0000 -1.0000 0.9526 0 0 0.2722 0 0 0.2
100、722 0 0 0.2722 0 0 0.2722 0 0 0.1361 0 0 0.1361 0 0 0.1361 0 0 0.1361 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 2 0 0 2 0 0 2 0 0 2 D = D = D = D = 第五章第五章第五章第五章 特征值与特征向量特征值与特征向量特征值与特征向量特征值与特征向量 注注注注: : 这里的矩阵这里的矩阵这里的矩阵这里的矩阵P P不可逆不可逆不可逆不可逆. . 事实上事实上事实上事实上, , A A不相似于对角阵不相似于对角阵不相似于对角阵不相似于对角阵.
101、. 但由此可得但由此可得但由此可得但由此可得A A的特征值和的特征值和的特征值和的特征值和 特征向量特征向量特征向量特征向量. . 5.5 5.5 用用用用MatlabMatlab解题解题解题解题 A=1,2,3,4;4,1,2,3;3,4,1,2;2,3,4,1; A=1,2,3,4;4,1,2,3;3,4,1,2;2,3,4,1; A=1,2,3,4;4,1,2,3;3,4,1,2;2,3,4,1; A=1,2,3,4;4,1,2,3;3,4,1,2;2,3,4,1; P,D=eig(A) P,D=eig(A) P,D=eig(A) P,D=eig(A) P = P = P = P = -
102、0.5000 0.5000 0.5000 -0.5000 -0.5000 0.5000 0.5000 -0.5000 -0.5000 0.5000 0.5000 -0.5000 -0.5000 0.5000 0.5000 -0.5000 -0.5000 -0.0000-0.5000i 0.0000+0.5000i 0.5000 -0.5000 -0.0000-0.5000i 0.0000+0.5000i 0.5000 -0.5000 -0.0000-0.5000i 0.0000+0.5000i 0.5000 -0.5000 -0.0000-0.5000i 0.0000+0.5000i 0.50
103、00 -0.5000 -0.5000 -0.5000 -0.5000 -0.5000 -0.5000 -0.5000 -0.5000 -0.5000 -0.5000 -0.5000 -0.5000 -0.5000 -0.5000 -0.5000 -0.5000 -0.5000 0.0000+0.5000i -0.0000-0.5000i 0.5000 -0.5000 0.0000+0.5000i -0.0000-0.5000i 0.5000 -0.5000 0.0000+0.5000i -0.0000-0.5000i 0.5000 -0.5000 0.0000+0.5000i -0.0000-
104、0.5000i 0.5000 D = D = D = D = 10.0000 0 0 0 10.0000 0 0 0 10.0000 0 0 0 10.0000 0 0 0 0 -2.0000+2.0000i 0 0 0 -2.0000+2.0000i 0 0 0 -2.0000+2.0000i 0 0 0 -2.0000+2.0000i 0 0 0 0 -2.0000-2.0000i 0 0 0 -2.0000-2.0000i 0 0 0 -2.0000-2.0000i 0 0 0 -2.0000-2.0000i 0 0 0 0 -2.0000 0 0 0 -2.0000 0 0 0 -2.
105、0000 0 0 0 -2.0000第五章第五章第五章第五章 特征值与特征向量特征值与特征向量特征值与特征向量特征值与特征向量 5.5 5.5 用用用用MatlabMatlab解题解题解题解题 A=0,1,1,1;1,0,1,1;1,1,0,1;1,1,1,0; A=0,1,1,1;1,0,1,1;1,1,0,1;1,1,1,0; A=0,1,1,1;1,0,1,1;1,1,0,1;1,1,1,0; A=0,1,1,1;1,0,1,1;1,1,0,1;1,1,1,0; P,D=eig(A) P,D=eig(A) P,D=eig(A) P,D=eig(A) % % % %若若若若A A A A为
106、对称阵为对称阵为对称阵为对称阵, , , ,则则则则P P P P为正交阵为正交阵为正交阵为正交阵 P = P = P = P = 0.7887 -0.2113 0.2887 0.5000 0.7887 -0.2113 0.2887 0.5000 0.7887 -0.2113 0.2887 0.5000 0.7887 -0.2113 0.2887 0.5000 -0.2113 0.7887 0.2887 0.5000 -0.2113 0.7887 0.2887 0.5000 -0.2113 0.7887 0.2887 0.5000 -0.2113 0.7887 0.2887 0.5000 -0
107、.5774 -0.5774 0.2887 0.5000 -0.5774 -0.5774 0.2887 0.5000 -0.5774 -0.5774 0.2887 0.5000 -0.5774 -0.5774 0.2887 0.5000 0 0 -0.8660 0.5000 0 0 -0.8660 0.5000 0 0 -0.8660 0.5000 0 0 -0.8660 0.5000 D = D = D = D = -1.0000 0 0 0 -1.0000 0 0 0 -1.0000 0 0 0 -1.0000 0 0 0 0 -1.0000 0 0 0 -1.0000 0 0 0 -1.0
108、000 0 0 0 -1.0000 0 0 0 0 -1.0000 0 0 0 -1.0000 0 0 0 -1.0000 0 0 0 -1.0000 0 0 0 0 3.0000 0 0 0 3.0000 0 0 0 3.0000 0 0 0 3.0000 二二. 求正交矩阵将实对称矩阵化成对角矩阵求正交矩阵将实对称矩阵化成对角矩阵 第五章第五章第五章第五章 特征值与特征向量特征值与特征向量特征值与特征向量特征值与特征向量 5.5 5.5 用用用用MatlabMatlab解题解题解题解题 A=-1,-2,6;-1,0,3;-1,-1,4; A=-1,-2,6;-1,0,3;-1,-1,4;
109、A=-1,-2,6;-1,0,3;-1,-1,4; A=-1,-2,6;-1,0,3;-1,-1,4; P,J=jordan(A) P,J=jordan(A) P,J=jordan(A) P,J=jordan(A) P = P = P = P = -2 4 3 -2 4 3 -2 4 3 -2 4 3 -1 0 0 -1 0 0 -1 0 0 -1 0 0 -1 1 1 -1 1 1 -1 1 1 -1 1 1 J = J = J = J = 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 三三. 求求Jordan标准形及相应的相似变换矩阵标准形及相应的相似变换矩阵 第五章第五章第五章第五章 特征值与特征向量特征值与特征向量特征值与特征向量特征值与特征向量
