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1、1第二章第二章 电力系统潮流计算电力系统潮流计算2.1 概述2.2 潮流计算的数学模型2.3 牛顿法潮流计算2.4 P-Q分解法潮流计算2.5 潮流计算中负荷静态特性的考虑2.6 保留非线性潮流算法 2.7 病态潮流潮流算法2.8 其它特殊性质潮流计算问题2021/7/11第二章第二章 电力系统潮流计算电力系统潮流计算2.1 概述22021/7/122.1 概述3n潮流（潮流（Power Flow）计算）计算即根据给定的系统接线和运行参数等条件，求解电即根据给定的系统接线和运行参数等条件，求解电力系统的运行状态，如各母线的电压幅值及相位、网络中力系统的运行状态，如各母线的电压幅值及相位、网络中
2、的功率分布及功率损耗等的功率分布及功率损耗等n用途用途、系统正常运行性能分析、系统正常运行性能分析、故障分析、故障分析、稳定计算、稳定计算 4、电力系统规划、电力系统规划2021/7/13n离线潮流离线潮流: : 系统规划设计和安排系统的运行方式系统规划设计和安排系统的运行方式n在线潮流在线潮流: SCADA/EMS : SCADA/EMS n潮流方程为一组非线性代数方程，其求解使用迭代的方法，潮流方程为一组非线性代数方程，其求解使用迭代的方法，对潮流计算的要求对潮流计算的要求: : (1) (1)算法的收敛性。算法的收敛性。 (2) (2)计算速度快和内存占用量小。计算速度快和内存占用量小。
3、 (3) (3)方便性和灵活性。方便性和灵活性。（实用）（实用） 为满足上述要求，电力科研工作者不断提出新的方法。为满足上述要求，电力科研工作者不断提出新的方法。42021/7/14 5Gauss SiedelGauss Siedel法（导纳法、阻法（导纳法、阻抗法、分块阻抗法）抗法、分块阻抗法）Newton-RaphsonNewton-Raphson法法PQPQ分解法分解法保留非线性法保留非线性法非线性规划法非线性规划法其它特殊潮流其它特殊潮流直流潮流直流潮流随机潮流随机潮流三相潮流（谐波）三相潮流（谐波）最优潮流最优潮流连续潮流连续潮流开断潮流开断潮流常规潮流常规潮流2021/7/15 n
4、Gauss Sidel:Gauss Sidel:以节点导纳矩阵为基础的高斯一赛德尔迭代以节点导纳矩阵为基础的高斯一赛德尔迭代法（以下简称导纳法）。这个方法的原理比较简单，要求法（以下简称导纳法）。这个方法的原理比较简单，要求的数字计算机内存量也比较小，适应当时的电子数字计算的数字计算机内存量也比较小，适应当时的电子数字计算机制造水平和电力系统理论水平，但它的收敛性较差机制造水平和电力系统理论水平，但它的收敛性较差. .n阻抗法：阻抗法：2020世纪世纪6060年代初，数字计算机已发展到第二代，年代初，数字计算机已发展到第二代，计算机的内存和计算速度发生了很大计算机的内存和计算速度发生了很大 的
5、飞跃，从而为阻抗的飞跃，从而为阻抗法的采用创造了条件法的采用创造了条件, ,阻抗矩阵是满矩阵，阻抗法要求数字阻抗矩阵是满矩阵，阻抗法要求数字计算机储存表征系统接线和参数的阻抗矩阵，这就需要较计算机储存表征系统接线和参数的阻抗矩阵，这就需要较大的内存量。而且阻抗法每迭代一次都要求顺次取阻抗矩大的内存量。而且阻抗法每迭代一次都要求顺次取阻抗矩阵中的每一个元素进行运算，因此，每次迭代的计算量很阵中的每一个元素进行运算，因此，每次迭代的计算量很大。大。62021/7/16n分块阻抗法：为了克服阻抗法在内存和速度方面的缺点，分块阻抗法：为了克服阻抗法在内存和速度方面的缺点，后来发展了以阻抗矩阵为基础的分
6、块阻抗法。这个方法后来发展了以阻抗矩阵为基础的分块阻抗法。这个方法把一个大系统分割为几个小的地区系统，在计算机内只把一个大系统分割为几个小的地区系统，在计算机内只需要存储各个地区系统的阻抗矩阵及它们之间联络线的需要存储各个地区系统的阻抗矩阵及它们之间联络线的阻抗，这样不仅大幅度地节省了内存容量，同时也提高阻抗，这样不仅大幅度地节省了内存容量，同时也提高了计算速度。了计算速度。72021/7/17n牛顿一拉夫逊法：是克服阻抗法缺点的另一途径。牛牛顿一拉夫逊法：是克服阻抗法缺点的另一途径。牛顿法是数学中求解非线性方程式的典型方法，有较好顿法是数学中求解非线性方程式的典型方法，有较好的收敛性。解决电
7、力系统潮流计算问题是以导纳矩阵的收敛性。解决电力系统潮流计算问题是以导纳矩阵为基础的，因此，只要在迭代过程中尽可能保持方程为基础的，因此，只要在迭代过程中尽可能保持方程式系数矩阵的稀疏性，就可以大大提高牛顿法潮流程式系数矩阵的稀疏性，就可以大大提高牛顿法潮流程序的效率。自从序的效率。自从2020世纪世纪6060年代中期利用了最佳顺序消年代中期利用了最佳顺序消去法以后，牛顿法在收敛性、内存要求、计算速度方去法以后，牛顿法在收敛性、内存要求、计算速度方面都超过了阻抗法，成为直到目前仍被广泛采用的方面都超过了阻抗法，成为直到目前仍被广泛采用的方法。法。82021/7/18n在牛顿法的基础上，根据电力
8、系统的特点，抓住主要在牛顿法的基础上，根据电力系统的特点，抓住主要矛盾，对纯数学的牛顿法进行改造，得到了矛盾，对纯数学的牛顿法进行改造，得到了P-QP-Q分解法。分解法。P-QP-Q分解法在计算速度方面较牛顿法有显著的提高，迅分解法在计算速度方面较牛顿法有显著的提高，迅速得到了推广。速得到了推广。n牛顿法的特点是将非线性方程线性化。牛顿法的特点是将非线性方程线性化。2020世纪世纪7070年代年代后期，有人提出采用更精确的模型，即将泰勒级数的后期，有人提出采用更精确的模型，即将泰勒级数的高阶项也包括进来，希望以此提高算法的性能，这便高阶项也包括进来，希望以此提高算法的性能，这便产生了保留非线性
9、的潮流算法。另外，为了解决病态产生了保留非线性的潮流算法。另外，为了解决病态潮流计算，出现了将潮流计算表示为一个无约束非线潮流计算，出现了将潮流计算表示为一个无约束非线性规划问题的模型，即非线性规划潮流算法。性规划问题的模型，即非线性规划潮流算法。92021/7/19n近近2020多年来，潮流问题算法的研究仍然非常活跃，但是多年来，潮流问题算法的研究仍然非常活跃，但是大多数研究都是围绕着改进牛顿法和大多数研究都是围绕着改进牛顿法和P-QP-Q分解法进行的。分解法进行的。此外，随着人工智能理论的发展，遗传算法、人工神经此外，随着人工智能理论的发展，遗传算法、人工神经网络、模糊算法也逐渐被引人潮流
10、计算。网络、模糊算法也逐渐被引人潮流计算。n但是，到目前为止这些新的模型和算法还不能取代牛顿但是，到目前为止这些新的模型和算法还不能取代牛顿法和法和P-QP-Q分解法的地位。由于电力系统规模不断扩大，对分解法的地位。由于电力系统规模不断扩大，对计算速度的要求不断提高，计算机的并行计算技术也将计算速度的要求不断提高，计算机的并行计算技术也将在潮流计算中得到广泛的应用，成为重要的研究领域。在潮流计算中得到广泛的应用，成为重要的研究领域。102021/7/110第二章第二章 电力系统潮流计算电力系统潮流计算2.2 常规潮流计算的数学模型112021/7/111一、潮流计算中的节点分类n采用节点法，以
11、导纳矩阵表示的节点电流与节点电压之间的关系为：122021/7/112n其展开式为:式中: 分别为节点导纳矩阵及其相应的元素；n为电力系统节点数。132021/7/113 或142021/7/114节点类型：PQ、PV、平衡节点(1) PQ节点。这类节点的有功功率P和无功功率Q是给定的，节点电压相量(V,)是待求量，通常将变电所母线作为PQ节点。在一些情况下，系统中某些发电厂送出的功率在一定时间内为固定时，该发电厂母线也作为PQ节点。因此，电力系统中的绝大多数节点属于这一类型。152021/7/115 (2) PV节点。这类节点的有功功率P和电压幅值V是给定的，节点的无功功率Q和电压相角是待求
12、量。这类节点必须有足够的可调无功容量，用以维持给定的电压幅值，因而又称之为电压控制节点。一般是选择有一定无功储备的发电厂和具有可调无功电源设备的变电所作为PV节点。在电力系统中，这一类节点的数目很少。162021/7/116(3)平衡节点。在潮流计算中，平衡节点只有一个，它的电压幅值V和相角。给定(一般 =0)，其有功功率P和无功功率Q是待求量。在潮流分布算出以前，网络中的功率损耗是未知的，因此，网络中至少有一个节点的有功功率P不能给定，这个节点承担了系统的有功功率平衡，故称之为平衡节点。另外必须选定一个节点，指定其电压相角为零，作为计算各节点电压相角的参考，这个节点称为基准节点，基准节点的电
13、压幅值也是给定的。为了计算上的方便，常将平衡节点和基准节点选为同一个节点，习惯上称之为平衡节点。172021/7/117n一般选择主调频发电厂为平衡节点比较合理，但在进行潮流计算时也可以按照别的原则来选择。例如，为了提高导纳矩阵法潮流程序的收敛性，也可以选择出线最多的发电厂作为平衡节点。n由于平衡节点的电压已经给定，所以平衡节点的方程不必参与迭代求解。182021/7/118二、节点功率方程 式中: 表示节点j与节点i直接相连，并包括j =i的情况。192021/7/119直角坐标形式潮流方程n节点电压可表示为:n导纳矩阵元素则表示为:n功率可表示为：202021/7/120n功率误差方程:2
14、12021/7/121极坐标形式潮流方程n节点电压可表示为:n功率方程:222021/7/122n功率误差方程:232021/7/123三、潮流计算的约束条件n(1)所有节点电压幅值必须满足：n为保证电能质量和供电安全，电力系统的所有电气设备都必须运行在额定电压附近，PV节点的电压幅值必须按上述条件给定。因此，这一约束主要是对PQ节点而言。242021/7/124n(2)所有电源节点的有功功率和无功功率必须满足：nPQ节点的有功功率和无功功率以及PV节点的有功功率在给定时就必须满足这一条 件。因此，对平衡节点的P和Q以及PV节点的Q应按上述条件进行检验。252021/7/125n(3)某些节点
15、之间的电压相角差满足：n为了保证系统运行的稳定性，要求某些输电线路两端的电压相角差不超过一定的数值。n在潮流计算中，如果上述约束条件不能满足，则应修改某些变量的给定值，甚至修改系统的运行方式，重新进行计算。262021/7/126第二章第二章 电力系统潮流计算电力系统潮流计算2.3 牛顿法潮流计算272021/7/127一、牛顿法的基本原理n对于非线性代数方程组即n修正方程式、收敛判据、迭代格式282021/7/128n在待求量x的某一个初始估计值 附近，将上式展开成泰勒级数并略去二阶及以上的高阶项，得到如下的线性方程组：这是对于变量的修正量 的线性方程式，亦称为牛顿法的修正方程式，解此方程可
16、得第一次迭代的修正量n将 和 相加，得到变量的第一次修正值 ，即292021/7/129n接着就从 出发，重复上述计算过程。因此从一定的初值 开始，应用牛顿法求解的修正方程式与迭代格式为：n由上式可知，牛顿法的核心便是反复形成并求解修正方程式的过程。迭代过程一直进行到满足以下收敛判据为止。或式中： 为预先给定的小正数。302021/7/130二、牛顿法潮流计算的修正方程1.直角坐标形式312021/7/131修正方程式修正方程式修正方程式2021/7/132n或用（分块）矩阵表示为：n其中332021/7/133nJ为雅可比矩阵，各元素的表达式如下：n当ji时，342021/7/134n当j=
17、i时，352021/7/135n2.极坐标形式362021/7/136修正方程式修正方程式修正方程式2021/7/137n当ij时382021/7/138n当i=j时392021/7/139三、修正方程式的处理和求解n1.修正方程式的处理技巧(1)“压缩”存储。对于稀疏矩阵，在计算机中以“应缩”方式只储存其非零元素，且只有非零元素才参加运算。(2)修正方程式的求解采取边形成、边消元、边存储的 方式。对包括修正方程式常数项的增广矩阵进行消元运算时采用按行消去而不是传统的按列消去，因此不需先形成整个增广矩阵，然后进行消元运算，而是采取边形成、边消元、边存储的方式，即每形成增广矩阵的一行，便马上进行
18、消元，并且消元结束后便随即将结果送内存存储。402021/7/140(3)节点编号优化(消元的最优顺序)。经过消元运算得到的上三角矩阵一般仍是稀疏 矩阵，但由于消元过程中在原来是零元素的位置上有新元素注入，使得它的稀疏度比原来雅可比矩阵的上三角有所降低。但分析表明，注入元素的多少和消元的顺序或节点编号顺序有关。节点编号优化的作用即在于找到一种网络节点的重新编号方案，使得按此构成的节点导纳矩阵以及和它相应的雅可比矩阵在高斯消元或三角分解过程中出现的注入元素数目能大大减少。412021/7/141n2.牛顿法的求解过程n牛顿法潮流计算首先要输人网络的原始数据以及各节点的给定值并形成节点导纳矩阵；输
19、入节点电压初值 和 置迭代次数k=0；然后开始进人牛顿法的迭代过程。在进行第k +1次迭代时，其计算步骤如下(以直角坐标形式为例)。422021/7/142432021/7/143四、牛顿潮流算法的性能分析n牛顿潮流算法突出的优点是收敛速度快，若初值选择较好，算法将具有平方收敛特性，一般迭代45次便可以收敛到一个非常精确的解，而且其迭代次数与所计算的网络规模基本无关。牛顿法也具有良好的收敛可靠性，对于呈病态的系统，牛顿法均能可靠地收敛。由于雅可比矩阵元素的数目约为2(n-1)X2(n-1)个，且其数值在迭代过程中不断变化，因此牛顿法每次迭代的计算量和所需的内存量较大，不过，内存占用量及每次迭代
20、所需的时间与程序设计技巧密切相关。442021/7/144n牛顿法的可靠收敛取决于有一个良好的启动初值，如果初值选择不当，算法有可能根本不收敛或收敛到一个无法运行的解点上。对于正常运行的系统，各节点电压一般均在额定值附近，偏移不会太大，并且各节点间的相角差也不大，所以对各节点可以采用统一的电压初值，如（平启动）452021/7/145第二章第二章 电力系统潮流计算电力系统潮流计算2.4 P-Q分解法潮流计算462021/7/146一、P-Q分解法的基本原理n极坐标形式的牛顿潮流算法的修正方程为472021/7/147nRX的情况下：有功功率的变化主要取决于电压相角的变化，而无功功率的变化则主要
21、取决于电压幅值的变化。n解耦的方程组nn-1+m 阶分解为一个 n-1阶和一个m阶的方程。大大节省了内存需求量和求解时间，但是矩阵H和L的元素仍然是节点电压的函数且不对称。482021/7/148n把系数矩阵H和L简化成常数对称矩阵。n(1)一般情况下，线路两端电压的相角差不大(不超过1020)，因此可以认为n(2)与系统各节点无功功率相对应的导纳 通常远小于该节点自导纳的虚部 ，即49 2021/7/149502021/7/150n于是系数矩阵H和L可表示成式中:V是由各节点电压幅值组成的对角阵。由于PV节点的存在， B及B的阶数不同，分别为n-1阶和m阶。nP-Q分解法的修正方程式为512
22、021/7/151n通过这一步简化，修正方程式中的系数矩阵B和B由节点导纳矩阵的虚部构成，从而是常数对称矩阵。其区别只是阶数不同，矩阵B为n -1阶，不含平衡节点对应的行和列，矩阵B为m阶，不含平衡节点和PV节点所对应的行和列。但在实际P-Q分解法程序中，为了提高收敛速度，对B与B的构成作了下面一些修改:n(1)在B中尽量去掉那些对有功功率及电压相角影响较小的因素，如略去变压器非标准电压比和输电线路充电电容的影响；在B中尽量去掉那些对无功功率及电压幅值影响较小的因素，如略去输电线路电阻的影响。522021/7/152n(2)为了减少在迭代过程中无功功率及节点电压幅值对有功迭代的影响，将式右端V
23、的各元素均置为标么值1. 0，也即令V为单位矩阵。n(3)当潮流程序要求考虑负荷静态特性时，B中对角元素除导纳矩阵对角元素的虚部 以外，还要附加反映负荷静态特性的部分，而B中各元索和潮流程序是否考虑负荷静态特性无关(见第五节)。n于是，目前通用的P-Q分解法的修正方程式可写成532021/7/153542021/7/154二、P-Q分解法的特点和性能分析n1. P-Q分解法修正方程式的特点n(1) 用一个n-1阶和一个m阶的线性方程组代替了牛顿法的n-1+m阶线性方程组，显著地减少了内存需求量及计算量。552021/7/155n(2)系数矩阵B和B为常数矩阵。因此，不必像牛顿法那样每次迭代都要
24、形成雅可比矩阵并进行三角分解，只需要在进入迭代过程以前一次形成雅可比矩阵并进行三角分解形成因子表，然后反复利用因子表对不同的常数项P/V或Q/V进行消去回代运算，就可以迅速求得修正量，从而显著提高了迭代速度。n(3)系数矩阵B和B是对称矩阵。因此，只需要形成并贮存因子表的上三角或下三角部分，这样又减少了三角分解的计算量并节约了内存。562021/7/156n2.P-Q分解法的收敛特性nP-Q分解法所采取的一系列简化假定只影响了修正方程式的结构，也就是说只影响了 迭代过程，并不影响最终结果。因为P-Q分解法和牛顿法都采用相同的数学模型式，最后计算功率误差和判断收敛条件都是严格按照精确公式进行的，
25、所以P-Q分解法和 牛顿法一样可以达到很高的精度。572021/7/157nP-Q分解法改变了牛顿法迭代公式的结构，就改变了迭代过程的收敛特性。事实上，依一个不变的系数矩阵进行非线性方程组的迭代求解，在数学上属于“等斜率法”，其选代过程是按几何级数收敛的，若画在对数坐标系上，这种收敛特性基本上接近一条直线。而牛顿法是按平方收敛的，在对数坐标纸上基本上是一条抛物线，如图2-3所示。582021/7/158n由图2-3可以看出，牛顿法在开始时收敛得比较慢，当收敛到一定程度后，它的收敛速度就非常快，而P-Q分解法几乎是按同一速度收敛的。如果给出的收敛条件小于图中A点相应的误差，那么P-Q分解法所需要
26、的迭代次数要比牛顿法多几次。可以粗略地认为P-Q分解法的选代次数与精度的要求之间存在着线性关系。n表2-1给出了对IEEE的几个标准测试系统进行潮流计算的收敛情况。大量计算表明，BX法与XB法在收敛性方面没有显著差别，这两种算法均有很好的收敛性，凡是牛顿法可以收敛的潮流问题，它们也可以收敛。592021/7/159n虽然P-Q分解法比牛顿法所需的选代次数要多，但每次迭代的计算量却要小很多。因此P-Q分解法的计算速度比牛顿法有明显提高。n目前P-Q 分解法不仅大量地用在规划设计等离线计算的场合，也已经广泛地应用在安全分析等在线计算中，它是目前计算速度最快的交流潮流算法。602021/7/160n
27、3.元件R/X大比值的病态问题n由于P-Q分解法修正方程式是建立在元件 RX 以及线路两端电压相角差比较小等简化假设基础之上的，因此，当系统参数不符合这些简化条件时，就会影响它的收敛性。而其中又以出现元件R/X大比值的机会最多，例如低电压网络、某些电缆线路、三绕组变压器的等值电路以及通过某些等值方法所得到的等值网络等均会出现大部分或个别支路R/X比值偏高的问题。常用参数补偿的方法解决。612021/7/161n(1)串联补偿法。这种方法的原理由图2-5是显而易见的，其中m为增加的虚拟节点， 为新增的补偿电容。Xc的数值应使i-m支路满足 的条件。这种方法的缺点是如果原来支路的R/X比值非常大，
28、从而使Xc的值选得过大时，新增节点m的电压值有可能偏离节点i及节点j的电压很多，从而这种不正常的电压本身将导致潮流 计算收敛缓慢，甚至不能收敛。622021/7/162n(2)并联补偿法。如图2-6所示，经过补偿的支路i-j的等值导纳为：即仍等于原来支路ij的导纳值。n并联补偿新增节点m的电压 不论 的取值大小都始终介于支路ij两端点的电压之间，不会产生病态的电压现象，从而克服了串联补偿法的缺点。632021/7/163第二章第二章 电力系统潮流计算电力系统潮流计算2.5 潮流计算中负荷静态特性的考虑642021/7/1642.5 潮流计算中负荷静态特性的考虑n电力系统的负荷从系统吸取的有功功
29、率及无功功率一般都要随其端电压的波动而变化。因此，在潮流计算时，这里所给定的各节点负荷功率，严格地讲，只有在一定电压下才有意义，当该点电压和预定的电压值有差别时，它的负荷功率就要按照其静特性而变化。特别当系统因故障或检修而开断某些元件(如输电线路或变压器时，系统某些局部地区的电压可能发生较大的变动，与正常值相差较大。在这种情况下，潮流计算应该计及电压变化对各节点负荷功率的影响，否则计算结果与实际情况就可能不符合。652021/7/165n由于各节点负荷的组成成分及特性千差万别，要精确地写出各节点负荷的负荷电压特性表达式是困难的，因此，在潮流程序中考虑负荷静特性时，一般采用把负荷功率当作该点电压
30、的线性函数和非线性函数两种方法，现分别叙述如下。n(1)把负荷功率当作该点电压的线性函数，即把各节点负荷的变化量看作与相应节点电压的增量成比例:662021/7/166式中: 为有功功率静特性系数，一般取 ; 为无功功率静特性系数，一般取 ; 为节点i在正常运行情况下的电压给定值; 为节点i计算电压 与给定电压 的差值。 为节点i在正常运行电压 情况下的负荷功率。n因此，在潮流计算中，各节点在时刻t应维持的负荷功率应不断按下式进行计算:672021/7/167n当在牛顿法或P-Q分解法潮流程序中考虑负荷静特性时，基本方程式中的 和 不再是常数，而是电压的函数。在这种情况下，潮流问题的基本方程式
31、应改写为(以极坐标形式为例)n修正方程式也要作相应的变化。682021/7/168n(2)把负荷功率当作该点电压的非线性函数。一般把负荷功率用电压的二次多项式来表示：式中: 均为负荷功率的标么值，分别以给定的 和 为基准值; 为该点电压的标么值，以给定的电压 为基准值 及 为系统负荷由静特性试验得到的常数，且满足 。n这种负荷静特性的表示方法实际上相当于把系统各节点的负荷看成由恒定阻抗、恒定电流及恒定功率3部分组成，它比第一种方法更能在较大的电压波动范围内精确地描述负荷特性，不仅可用于潮流计算，也广泛地应用于电力系统暂态稳定及静态稳定计算中。692021/7/169n对于牛顿法和P-Q分解法来
32、说，当考虑负荷静特性时显然应按照下式计算各节点功率误差n雅可比矩阵中有关元素的表达式应改为702021/7/170第二章第二章 电力系统潮流计算电力系统潮流计算2.6 保留非线性潮流算法712021/7/1712.6 保留非线性潮流算法n思路： 牛顿法求解非线性潮流方程时采用了逐次线性化的方法，20世纪70年代后期，人们开始研究这样的问题，即如果采用更加精确的数学模型，将泰勒级数的高阶项或非线性项也考虑进来，也许会进一步提高算法的收敛性能及计算速度，于是便产生了一类称之为保留非线性的潮流算法。一般保留到泰勒级数的前3项，即取到泰勒级数的二阶项，所以也称为二阶潮流算法。n 实现这种想法的第一个尝
33、试是在极坐标形式的牛顿法修正方程式中增加了泰勒级数的二阶项，所得到的算法对收敛性能略有改善，但计算速度元没有显著提高。后来，根据直角坐标形式的潮流方程是一个二次代数方程组这一特点，提出了采用直角坐标形式的保留非线性的快速潮流算法，在速度上比牛顿法有较多的提高，引起了广泛的重视。722021/7/172一、保留非线性潮流算法的数学模型n直角坐标形式的潮流方程为n方程中右边没有关于自变量的一次项，也没有常数项，属于二次型。二次型函数特点有：n1、对自变量的二阶偏导是常数，对二阶以上偏导为0；n2、残项R(x）与y（x）形式相同，即732021/7/173二、保留非线性潮流算法的基本原理n1.泰勒级
34、数展开式n2.迭代格式n上式为准确的表达式，不存在近似。实用中往往采用平启动，并保持J不变。nK=0时，令 ，与牛顿法的第一次迭代相同。742021/7/174752021/7/175三、保留非线性潮流算法的特点和性能分析n与牛顿法相比：n设求解的方程是 ，则牛顿法的迭代公式是：n保留非线性潮流算法的迭代公式是：762021/7/176n由迭代公式可见，与牛顿法的在迭代过程中变化的雅可比矩阵不同，保留非线性快速潮流算法采用的是用初值 计算而得到的恒定雅可比矩阵，整个计算过程只需形成一次，并三角分解构成因子表。n就每一次迭代所需的计算量而言，牛顿法要重新计算 ，而保留非线性快速潮流算法则要计算
35、，由于计算函数式完全相同，仅变量不同，所以这部分的计算量是相同的，但由于保留非线性快速潮流算法不需重新形成雅可比矩阵并三角分解，所以每次迭代所需的时间可以大大节省。772021/7/177782021/7/178n保留非线性快速潮流算法达到收敛所需的迭代次数比牛顿法要多，在半对数坐标纸上其收敛特性近似为一条直线，但由于每次迭代所需的计算量比牛顿法节省很多，所以总的计算速度比牛顿法提高很多。n由于利用以初始值计算得到的恒定雅可比矩阵进行迭代，因此初始值的选择对保留非线性快速潮流算法的收敛特性有很大影响。792021/7/179第二章第二章 电力系统潮流计算电力系统潮流计算2.7 病态潮流算法80
36、2021/7/1802.7 非线性规划潮流算法 1、 非线性方程组求解的病态问题： 对方程组 其条件数Cond(A)大，小的参数误差可能引起解的失真。称为病态方程。2、病态潮流：对潮流方程修正方程式的求解，Jacobi矩阵条件数大，就会出现无解或难以收敛的情况。实际中，如重负荷系统、具有梳子状放射结构的系统以及具有邻近多根运行条件的系统等，却往往会出现计算过程振荡甚至不收敛的现象。（无解？初值？）812021/7/1813、20世纪60年代末，一些学者相继提出了潮流计算问题在数学上也可以表示为求某一个 由潮流方程构成的函数(称为目标函数)的最小值问题，并以此来代替代数方程组的直接求解。这就形成
37、了一种采用数学规划或最小化技术的、和前面介绍的各种算法在原理上完全不同的方法，并称之为非线性规划潮流算法。 该方法计算潮流从原理上可以保证计算过程永远不会发散。只要在给定的运行条件下，潮流问题有解，则上述的目标函数最小值就迅速趋近于零;如果从某一个初值出发，潮流问题无解，则目标函数就先是逐渐减小，但最后却停留在某一个不为零的正值上。 常用的病态潮流计算方法有：无约束非线性规划法、最优乘子法。822021/7/182一、非线性规划潮流算法的数学模型n设将潮流计算问题概括为求解如下的非线性代数方程组或式中: x为待求变量组成的n维向量，为给定的常量。n可以构造标量函数为或简写832021/7/18
38、3n若原非线代数方程组的解存在，则标量函数F(x)的最小值应该为零。n若此最小值不能变为零，则说明不存在能满足原方程组的解。n可将潮流计算问题归为如下的非线性规划问题: 即求 ，从而使 。 842021/7/184二、非线性规划潮流算法的计算过程n要求出目标函数F(x)的极小点，按照数学规划的方法，通常由下述步骤组成(设k为迭代次数):n(1)确定一个初始估计值 ；n(2)置迭代次数k =0；n(3)从 出发，按照能使目标函数下降的原则，确定一个搜索或寻优方向 ；n(4)沿着 的方向确定能使目标函数下降得最多的一个点，也就是决定移动的步长。由此得到了一个新的迭代点，即852021/7/185n
39、式中:为步长因子，其数值的选择应使目标函数下降最多，用算式表示即为：n当 决定以后 即是步长因子 的一个一元函数。 称为最优步长因子，可通过求F对的极值而得。n(5)校验 是否成立。如成立，则 就是要求的解；否则，令k =k+1，转向步骤(3)，重复循环计算。862021/7/186n如图所示为应用上述步骤求目标函数最小值的过程，这里假设变量向量是二维的，其中标有 为定值的曲线族为等高线族，要求的极小点 的点。872021/7/187n方法关键：n(1)确定第k次迭代的搜索方向 ；n(2)确定第k次迭代的最优步长因子 。882021/7/188三、带有最优乘子的牛顿潮流算法n在决定搜索方向 时
40、，可以利用常规牛顿潮流算法每次迭代所求出的修正量向量作为搜索方向，并称之为目标函数在 处的牛顿方向。892021/7/189n最优步长因子的决定：n对一定的 ，目标函数 是n最优乘子满足使上述目标函数最小，即潮流方程的失配量最小。n该方法亦称为阻尼牛顿法。902021/7/190n(1)从一定的初值出发，原来的潮流问题有解。 当用带有最优乘子的牛顿潮流算法求解时，目标函数 将下降为零，在经过几次迭代以后，稳定在1.0附近。n(2)从一定的初值出发，原来的潮流问题无解。这种情况下当用这种算法求解时，目标 函数开始时也能逐渐减小，但迭代到一定的次数以后即停滞在某一个不为零的正值上，不能继续下降。
41、的值则逐渐减小，最后趋近于零。 趋近于零是所给的潮流问题无解的一个标志，因为这说明了 有异常的变化，只是由于存在着一个趋于零的 ，才使得计算过程不致发散。912021/7/191n(3)有别于以上两种情况，当采用这个方法计算时，不论迭代多少次， 的值始终在 1.0附近摆动，但目标函数却不断波动、不能降为零。 的值能趋近于1.0说明了解的存在，而目标函数产生波动或不能继续下降可能是由于计算精度不够所致，这时若改用双精度计算往往可能解决问题。n由上可见，采用带有最优乘子的牛顿潮流算法以后，潮流计算永远不会发散，即从算法上保证了计算过程的收敛性，从而有效地解决了病态潮流的计算问题。而 的数值，即是在
42、给定的运算条件下，潮流问题是否有解的一个判断标志。922021/7/192第二章第二章 电力系统潮流计算电力系统潮流计算2.8 其它特殊性质的潮流计算问题932021/7/193942.8 其它特殊性质的潮流计算问题n一、直流潮流一、直流潮流n 前面介绍的潮流计算都属于精确的交流潮流计算，前面介绍的潮流计算都属于精确的交流潮流计算，所采用的数学模型和得到的计算结果都是精确的，但所采用的数学模型和得到的计算结果都是精确的，但其计算量较大、耗费的时间也比较多。在有些场合如其计算量较大、耗费的时间也比较多。在有些场合如系统规划设计时，原始数据本身就并不很精确而规划系统规划设计时，原始数据本身就并不很
43、精确而规划方案却很多方案却很多; ;再如在实时安全分析中，要进行大量的预再如在实时安全分析中，要进行大量的预想事故筛选等。这些场合对计算速度的要求比对计算想事故筛选等。这些场合对计算速度的要求比对计算精确度的要求更高，因此就产生了采用近似模型的直精确度的要求更高，因此就产生了采用近似模型的直流法潮流计算，其计算速度是所有潮流算法中最快的。流法潮流计算，其计算速度是所有潮流算法中最快的。2021/7/194n对交流网络中某条支路 ，其首端流入功率的表达式为：952021/7/195n假设:n(1)高压输电线路的电阻远小于电抗，即 。n(2)输电线路两端电压相角差不大，可以认为 n(3)假定系统中
44、各节点电压标么值等于1，即n(4)不计接地支路的影响。 962021/7/19697n对于有n个节点的系统，设定平衡节点s的角 ，节点功率等于与节点相连的支路功率之和，即n式中:P和 分别为n-1阶节点有功功率注入和电压相角向量，其中不包括作为角度参考点的平衡节点的有关量。不难看到， 的构成和快速解精法有功迭代方程式的系数矩阵 完全相同。潮流方程组（线性）潮流方程组（线性） 2021/7/197二、随机潮流（概率潮流）n常规潮流假定所有给定量都是确定量，其计算结果也是确定的。但实际上，有些量具有不确定性：n1、运行状态量存在测量误差；负荷的不确定性；n2、规划阶段的网络的负荷具有不确定性；n3
45、、网络元件的运行可靠性；n 为了估计这些不确定因素对系统带来的影响，若采用确定性的潮流计算方法，就需要根据各种可能的变动情况组成众多方案进行大量计算。1974年B Borkowasa提出随即潮流的概念。n 随机潮流则是把潮流计算的已知量和待求量都作为随机变量来处理的一种潮流计算方法。随机潮流输入的原始数据给出的是PQ及PV节点相应的节点注人功率或节点电压的期望值、方差和概率密度函数等，而计算结果所提供的也是节点电压及支路潮流等的概率统计特性(如期望值、方差、概率分布函数等)，所以只要通过一次计算就为电力系统的运行和规划提供了更全面的信息。982021/7/198n例如通过概率分布曲线，可以知道
46、线路过负荷的概率有多大，线路最经常出现的潮流值是多少；根据所提供的信息，还可以更恰当地确定输电线及无功补偿设备的容量以及系统的备用容量等。n随机潮流问题最初提出时采用的是直流模型，以后逐步发展为线性化的交流模型，此外还有采用最小二乘法及保留非线性的交流模型等。目前，这个问题的研究方法及应用领域正在不断深入发展。992021/7/199三、三相潮流n 以上所提到的各种潮流计算都是针对三相对称系统而言的，系统各元件的参数以及各节点的注入功率都是三相对称的，为此可以用单线图来表示三相系统并在此基础上建立归结为一相的计算模型，因此往往也称为单相潮流计算。n 在某些场合，例如系统中含有未经换位的超高压输
47、电线路以及不平衡单相负载、配电网络等，这就破坏了三相对称条件并产生了建立完整的三相模型和研究三相潮流计算方法的必要。1002021/7/1100四、其它n1、谐波潮流n2、连续潮流（电压稳定）n3、最优潮流（下一章）n4、断线潮流（安全分析）1012021/7/1101作业：n1、选用一种计算软件，计算IEEE14母线标准试验系统的潮流。并在此基础上，计算观察：n1）、负荷功率的变化对负荷节点电压水平的影响；n2）、变压器变比的调节对两端电压水平的影响；n3）、PV节点母线电压水平控制调节对无功电源设备输出功率的影响。n2、电力系统实际运行中，经常需要维持联络线有功功率在预先给定的功率水平上。试对此建立潮流计算模型。n3、在直角坐标形式潮流方程的基础上，试推导最优乘子法潮流计算公式。2021/7/1102 结束语结束语若有不当之处，请指正，谢谢！若有不当之处，请指正，谢谢！
