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1、- - 第一讲：立体几何中的向量方法 利用空间向量求异面直线所成的角 大家知道，立体几何是高中数学学习的一个难点，以往学生学习立体几何时，主要采取“形到形”的综合推理方法，即根据题设条件，将空间图形转化为平面图形，再由线线，线面等关系确定结果，这种方法没有一般规律可循， 对人的智力形成极大的挑战， 技巧性较强， 致使大多数学生都感到束手无策。 高中新教材中，向量知识的引入，为学生解决立体几何问题提供了一个有效的工具。它能利用代数方法解决立体几何问题，体现了数形结合的思想。并且引入向量，对于某些立体几何问题提供通法，避免了传统立体几何中的技巧性问题，因此降低了学生学习的难度，减轻了学生学习的负担
2、，体现了新课程理念。 为适应高中数学教材改革的需要， 需要研究用向量法解决立体几何的各种问题。 本文举例说明如何用向量法解决立体几何的空间角问题。以此强化向量的应用价值，激发学生学习向量的兴趣，从而达到提高学生解题能力的目的。 利用向量法求空间角，不需要繁杂的推理，只需要将几何问题转化为向量的代数运算，方便快捷。空间角主要包括线线角、线面角和二面角，下面对线线角的求法进行总结。 教学目标 1.使学生学会求异面直线所成的角的向量方法； 2.使学生能够应用向量方法解决一些简单的立体几何问题； 3.使学生的分析与推理能力和空间想象能力得到提高. 教学重点 求解异面直线所成的角的向量法. 教学难点 求
3、解异面直线所成的角的向量法. 教学过程 - - 、复习回顾 一、回顾有关知识： 1、两异直线所成的角： （范围：2, 0(） （1）定义：过空间任意一点 o 分别作异面直线 a 与 b 的平行线 a与 b，那么直线 a与 b 所成的锐角或直角，叫做异面直线 a 与 b 所成的角. （2）用向量法求异面直线所成角，设两异面直线 a、b 的方向向量分别为a和b， 问题 1： 当a与b的夹角不大于 90时，异面直线 a、b 所成 的角与a 和b 的夹角的关系？ 问题 2：a与b的夹角大于 90时， ，异面直线 a、b 所成的角 与a 和b的夹角的关系？ 两向量数量积的定义：bababa,cos| O
4、baObaba,ba,a b O - - 两向量夹角公式：|,cosbababa 结论：异面直线 a、b 所成的角的余弦值为|,cos|cosbababa 2、用空间向量解决立体几何问题的“三步曲” ： （1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题； （化为向量问题） （2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题； （进行向量运算） （3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。 （回到图形） 、典例分析与练习 思考：在正方体1111DCBAABCD 中，若1E与1F分别为11BA、 11DC的
5、四等分点，求异面直线1DF与1BE的夹角余弦值？ （1）方法总结：几何法；向量法 （2）11,cosBEDF与BEDF11,cos相等吗？ （3）空间向量的夹角与异面直线的夹角有什么区别？ 例 1 如图，正三棱柱111CBAABC的底面边长为a,侧棱长为a2，求1AC和1CB所成的角. 分析：建立空间直角坐标系，转化为向量与向量的夹角问题。 步骤：1.写出异面直线的方向向量的坐标。 AxDCB1Azy1D1C1B1E1Fx y Z AyxCB1AD1B1C- - 2.利用空间两个向量的夹角公式求出夹角。 解：如图建立空间直角坐标系xyzA， 则)2, 0(),0 ,21,23(),2,21,2
6、3(),0 , 0 , 0(11aaBaaCaaaCA )2,21,23(1aaaAC，)2,21,23(1aaaCB 即21323|,cos22111111aaCBACCBACCBAC 1AC和1CB所成的角为3 总结: （1）11,cosBEDF与BEDF11,cos相等吗？ （2）空间向量的夹角与异面直线的夹角有什么区别？ 点拨 求异面直线所成的角可利用空间向量表示直线的方向向量，转化为向量所成的角。两异面直线所成角的范围是0,2， 两向量的夹角的范围是0,。 当异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时， 就是该异面直线的夹角； 当异面直线的方向向量的夹角为钝角时， 其补角才是异面直线的夹
7、角。 练习 1：在中，90，现将沿着平面的法向量方向平移到A1O1B1的位置，已知1，取A1B1 、A1O1的中点D1 、F1，求异面直线1与1所成的角的余弦值。 解：以点 O 为坐标原点建立空间直角坐标系，并设1OA , 则 A(1,0,0) ，B(0,1,0) ，F1(21 ,0,1) ，D1(21 , 21 ,1) - - ) 1 , 0 ,21(1 AF) 1 ,21,21(,1BD 103023451041|,cos111111BDAFBDAFBDAF 所以，异面直线与所成的角的余弦值为1030 . 练习2：在正方体ABCD中，M是的中点，求对角线与所成角的余弦值. 解：建立如图所示的直角坐标系，设正方体的棱长为 1， 则D(0，0，0)，C(0，1，0)，B1(1，1，1)，. 1(1，1，1)， 1，. 异面直线1与所成角的余弦值为. 、小结与收获 1、异面直线所成的角的余弦值：|,cos|cosbababa； 2、用空间向量解决立体几何问题的一般步骤. 、课后练习 1、如图，在棱长为的正方体1111ABCDABC D中，E、F 分别是棱1111,AD AB的中点 求异面直线1DEFC与所成的角. - - 2、如图, 在直三棱柱A1B1C1中，3，4，14，点D是的中点. 求异面直线1AC与CB1所成角的余弦值
