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1、 习 题 8-1 构件受力如图所示。 （ 1）确定危险点的位置； （ 2）用单元体表示危险点的应力状态。 解： (a) 在任意横截面上，任意一点 P d2 4 (b) 在 BC 段的外表面处 P3M d 2d3 416 (c)A 截面的最上面一点 PlM d3d3 3216 8-2 图示悬臂粱受载荷 P=20kN 作用，试绘单元体 A、 B、 C 的应力图，并确定主应力的大小及方位。 288 解： A M 20 1000 60MPa W 5 20 2 6 6 10 10 2 B M yB 20000 5 30MPa J 5 203 10 8 6 B B 5 5 7.5 10 20000 B B
2、 2 10 8 5 20 5 10 6 6 2250KPa 2.25 MPa 2 C 0 C C 1.5 Q 20000 1.5 3MPa A 20 5 10 4 3 31 1 0 1 A点3 60 B 点3 90 1 0.168 30.168 85.7 289 3 1 C 点3 1 3 3 45 8-3 主应力单元体各面上的应力如图所示，试用解析法或图解法计算指定斜截面上的 正应力和剪应力，并找出最大剪应力值及方位（应力单位：MPa）。 解： (a) 12 12 20 5 20 5 cos2 2 cos60 13.75MPa 2 2 2 290 1 2 sin 2 20 5 sin 60 1
3、0.825 MPa 2 2 20 5 12.5 MPa max 2 45 （与 1 20 方向夹角） (b) 1 2 1 2 cos 2 20 10 20 10 1355.606MPa 2 cos 2 2 2 1 2 sin 2 20 10 sin 135 10.606 MPa 2 2 2 0 1 0 m a x 2 15MPa 45 （与 1方向夹角）或 135 （与水平方向交角） (c) 40 10 40 10 cos 120 1 2 1 2 cos2 17.5MPa 2 2 2 2 1 2 sin 2 40 10 sin 120 13.0MPa 2 2 40 10 max 2 15MPa
4、 45 （与 1 40 方向夹角） (d) 20 20 20 20 cos 45 1 2 1 2 cos2 20MPa 2 2 2 2 0 m a x 0 8-4 单元体各面的应力如图示（应力单位为 MPa），试用解析法和图解法计算主应 力的大小及所在截面的方位，并在单元体内注明。 291 解： (a) 2 1 x y x y 2 3 2 2 xy 40 20 40 20 2 52.426 302 MPa 2 2 32.426 1 tg 1 2 xy 22.5 2 x y 31 (b) 292 2 1 x y x y 2 3 2 2 xy 30 20 30 20 2 37 202 MPa 2
5、2 27 1 tg1 2 20 70.67 2 30 20 31 (c) 2 1 x y x y 2 2 2 2 xy 30 50 30 50 2 62.4 202 MPa 2 2 17.6 1 tg1 2 20 58 17 2 30 50 21 (d) 293 2 1 x y x y 2 3 2 2 xy 100 100 2 120.7 502 MPa 20.72 2 1 tg 1 2 50 22.5 2 100 3 1 A点3 1 0 60 90 8-5作出图示单元体的三向应力图，并求出主应力和最大剪应力，画出主单元体。 解： (a)(b) 294 max max 3 (c ) 2 1 3
6、 1 2 1 88.3, 3 28.3 1 51, 3 41 2 0, max 58.3 2 0, max 46 (d) 3 max 21 30 (e) 1 120, 3 22.5 1 30, 3 30 2 72.5, max 71.2 2 30, max 0 max 3 2 1 1 52, 3 42 2 50, max 47 8-6 已知矩形截面梁某截面上的弯矩和剪力分别为 M 10kN m， FS 120kN ，试绘出截面上 1、 2、 3、 4 各点单元体的应力状态，并求其主应力。 295 解： 1 2 3 4 10 103 120MPa 5 102 10 6 6 103 1.5 Q 1
7、.5 120 36MPa A 5 10 10 4 10 103 2.5 10 2 60MPa 3 5 103 10 8 12 120 103 2.5 5 2.5 2.5 10 6 Qs 103 2 27MPa 5 8 2 10 5 10 12 120MPa 120MPa 36 3 3 36MPa 1 170.36MPa1120MPa 60310.36MPa 27 8-7 在棱柱形单元体的 AB面上以及与 ABC 面平行的前后面上（与纸平面平行的面），均无应力作用。 在 AC 面和 BC 面上的正应力均为 -15MPa ，试求 AC 和 BC 面上的剪应力与此单元体主应力的大小和方向。 296
8、x 0 解： 15MPa 2 151502 1 22 15 0 MPa 15 30 1 20;3 30MPa （方向平行于 AB ） 8-8 某点的应力状态如图所示， 已知 、 与 y ，试参考如何根据已知数据直接作 出应力图。 解：x , y 面上无故为主应力2,3 ，所以可以直接作应力圆。 8-9 每边均为 1cm 的钢质立方体，放在边长均为 1.0001cm 的刚性方槽内，立方体顶上承受总压力 P 15kN ，材料的 E 200GPa ， 0.30 。试求钢质立方体内三个主应力之值。 解： 3 P 15 1000 150MPa ( 上下面） 1 10 4 10 4 1 6 3 a 0.0
9、001 0.3 150 109 1 102 0.0001 E 200 10 0.125 10 3 cm 0.125 10 3 0.125 10 3 a 1 109 0.125 10 3 E 200 35.7MPa 侧面 1 0.7 所以三个主应力： 1 235.7MPa 150MPa 3 8-10 在一块厚钢块上挖了一条贯穿的槽， 槽的宽度 297 和深度都是 1cm。在此槽内紧密无隙地嵌入了一铝质立方块，其尺寸是1 1 1cm，并受 P 6kN 压缩力如图示，试求铝立方块的三个主应力。假定厚钢块是不变形的，铝的 E=71GPa ， 0.33 。 解 36 1000460MPa 1110 1
10、0 2310.33 60 10619.8 Pa 8-11 已知单元体的应力圆如图所示（应力单位： MPa）。试作出主单元体的受力图，并指出与应力圆上 A点相对应的截面位置（在主单元体图上标出）。 解： (a) A A 45 A 100MPa 1 A 100MPa 2 1 200 (b) 200MPa 0MPa 298 A A 45A0MPa A30MPa 1200 3 (c) 3 1 1 2 A 60MPa 3 A A 20MPa A 45 1200 1 30MPa 2 0MPa 3 30MPa 1 80MPa 2 40MPa 3 20MPa 2 (d) 3 1 1 2 3 A200MPa 1
11、 200MPa 2 200MPa 3 200MPa 8-12 直径 d 2cm 的受扭圆轴，今测得与轴线成已知 E 200GPa ， =0.3，试求扭转力矩Mn。 45 方向的线应变45520 10 6。 299 解： 1 1 45 E 1 3 E E 45 200 10 9 520 10 6 80 MPa 1 1 0.3 M n d 3 80 10 6 8 10 6 16 16 125.6 NM 8-13 一个 No28a 工字钢梁，受力如图所示， 今测得在梁的中性层上 K 点、与轴线成45 方向上的线应变 45 260 10 6。已知 E200GPa ， =0.3。试求此时梁承受的载荷 P
12、。 解： No.28aI : 7114.14cm4 J J / S 24.62cm 【纯剪】 t 0.35cm 1 3 1 1 45 E E E 45 200 109 260 10 6 40MPa 1 1 0.3 2 P 3 J / S t 3 J / S t 3 40 106 24.62 0.85 10 4 P 2 2 125.56 KN 8-14 钢质构件上截取一单元体 abcd ，各面上作用有应力30MPa ，15MPa 如 图示。已知 E 200GPa ， 0.28。试求此单元体对角线bc 长度的变化。 解： 30 30 cos60 15 sin 60 2 2 9.50 MPa 20.
13、49 30 1 9.5 106 0.28 20.49 106 0.000018814 E lBC 25 2 0.000018814 94.07 10 5 cm 8-15 由光弹性法测得图示应力状态的主剪应力 12 ，又测得厚度改变率为 。 如材料的 E 和 已知，试求主应力 1和2之值。 解： 12 1 2 2 1 E 1 2 1 12 E 2 2 12 E 2 1 0 2 E 8-16 在一块每边长为 2.5cm 的正方体上，进行压缩试验，当载荷为 400kN 时，它沿着 通过顶面的对角线以及相邻垂直面上的对角线平面破坏，如图示阴影线平面。试求在破坏的瞬间，这个面上的全应力、正应力和剪应力。
14、解： 301 1 n 3 N 3 n2 400 103 1 213.33MPa 2.52 10 4 3 3 N 3 n2 3 n4 3 n 1 n2 400 1 1 3 10 2 2 2.52 10 4 3 301.69MPa p N2N 2213.332 301.692369.49MPa 8-17 单元体受力如图示，应力单位为 MPa，试求 （ 1）画出三向应力图，计算最大剪应力； （ 2）将单元体的应力状态分解为只有体积改变和只有形状改变的应力状态； （ 3）计算单元体图（ b）应力状态下的形状改变比能（ E=200GPa ， 0.3 ）。 解： (1) max80 max 45 0 60
15、 30 50 120 160 a (2) (a) b 302 a m m 160 60 0 m m 3 73.33MPa 3 2 1 6 0 73. 33 8 6M.6P6a7 1 6 0 7 3. 3 3 1 3M. P3 3a 1 2 0 7 3. 3 3 7 3M. 3P3a 3 (b) m m (3) f 1 3E 120 50 30 m m 3 66.66MPa 3 2 120 66.67 53.33MPa 1 50 66.67 16.667MPa 1 2 30 66.67 36.667MPa 3 222 1231 22 31 3 1 0.3 1012 2 2 2 120 50 50
16、 30 30 120 3 200 103 120 50 30 0.0145MJ / m3 8-18 P 力通过铰链机构压缩正立方体 ABCD 的四面，因而在此立方体的四个面上得 到均匀分布的压应力，若 E=40GPa ， 0.3 ，P50kN。试求 7 7 7cm3的正立方体的体 积将减小若干？ 解： 303 P R2 50 70.71KN cos45 1 0 2 3 R 14.43MPa 72 10 4 1 1 1 2 3 1 9 0 0.3 2 14.43 106 E 40 10 216.5 10 6 2 3 1 2 3 40 1 9 14.43 106 1 0.3 E 10 252.5
17、106 1 2 3 216.5 2 252.5 10 6 288.5 10 6 8-19 在钢结构的表面某点处，利用直角应变花分别测得应变值为 0 561 10 6 ， 45 450 10 6，90 100 10 6，试确定该点的主应变大小、方向和最大剪应变值。 8-20 若已测得等角应变花三个方向的应变分别为 0 400 10 6 ， 304 60400 10 6，120600 10 6。试求主应变及其方向，若材料为碳钢， E200GPa ， =0.25 。试求主应力及其方向。 解： 0 90 2 2 2 1 2 2 0 45 45 90 2 561 100 10 6 2 561 450 2
18、 100 2 6 2 450 10 2 230.5 10 6 396.75 10 6 627.25 10 6 166.25 10 6 1 1 2 450 10 6 561 100 10 6 16.8 tg 561 100 10 6 2 max 1 2 627.85 166.25 10 6 793.5 10 6 8-21 钢质薄壁容器，承受内压力 p 作用，容器平均直径 D m 50cm ，壁厚 t=1cm。 弹性模量 E=200GPa ， 0.30 ，观测得圆筒外周向应变 350 10 6。试求内压p为 多少？ 解： 0 60 90 2 2 2 2 1 3 3 0 60 60 120 120
19、0 2 400 400 600 2 02 10002 10002 10 6 3 3 66.667 10 6 666.667 10 6 733.3336 10 6 600 10 6 1 tg1 3 600 400 30 2 400 400 600 2 305 1 2 1 E 1 E 1 2 21 733.3336 10 6 1 10 1 0.25 2 200 600 10 6 1 10 2 0.25 1 200 1 124.44MPa 2 88.889MPa 8-22 图示半径为R ，厚度为 t 的圆板，在周边受径向均有载荷 q 作用，试求圆板厚 度变化量t 及体积应变。 解： 1 2q 3 0 （ 1） t : t t 2 qt ,t 12 E E (2) : 1 2 1 2 1 2 3 2q E E 306
