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1、 1 比较二次根式大小的巧妙方法 一、移动因式法 将根号外的正因式移入根号内，从而转化为比较被开方数的大小。 例 1 ：比较的大小。 解： 二、运用平方法 两边同时平方, 转化为比较幂的大小。此法的依据是：两个正数的平方是正数，平方大的数就大；两个负数的平方也是正数，平方大的数反而小。 例 2 ：比较与的大小。 解：， 0 ，0 三、分母有理化法 此法是先将各自的分母有理化，再进行比较。 例 3 ：比较与的大小。 解： 四、分子有理化法 此法是先将各自的分子有理化，再比较大小。 例 4 ：比较与的大小 2 解： 五、求差或求商法 求差法的基本思路是：设为任意两个实数，先求出与的差，再根据“当
2、0 时，；当时，；当0 时，”来比较与的大小。 求商法的基本思路是： 设为任意两个实数， 先求出与的商， 再根据 “同号：当1 时，；1 时，；1 时，。异号：正数大于负数” 来比较与的大小。 例 5 ：比较的大小。 解： 例 6 ：比较的大小。 解：1 3 六、求倒数法 先求两数的倒数，而后再进行比较。 例 7 ：比较的大小。 解： 七、设特定值法 如果要比较的二次根式中含有字母， 为了快速比较， 解答时可在许可的条件下设定特殊值来进行比较。 例 9 ：比较 与 的大小。 解：设，则： 1 ， 1 ， 九、局部缩放法 如果要比较的二次根式一眼看不出有什么特点，又不准求近似值，可采取局部缩放法
3、，以确定它们的取值范围，从而达到比较大小的目的。 例 10：比较的大小。 解：设， ，7 8 ，即 7 8 ，8 9 ，即 8 9 ，即 例 11：比较与的大小。 解： 4 十、“结论”推理 通过二次根式的不断学习，不难得出这样的结论：“（0 ）”，利用此结论也可以比较一些二次根式的大小（结论证明见文末）。 例 12：比较 1 与的大小。 解：， 由（0 ）可知： 即 又 ，即 1 总的来说，比较二次根式大小的方法不仅仅局限于以上十种，除此之外诸如移项、拆项法，类比推理法，数形结合法，数轴法，还有假设推理法等等，但不管使用哪种方法，都必须在掌握二次根式的基本性质和运算法则上进行， 要根据问题的特征， 二次根式的结构特点，多角度地探索思考，做到具体问题具体分析，针对不同问题采取不同的策略，另外还应多做这方面的训练，方能达到熟练而又快捷，运用自如的程度。 附：“（0 ）”的证明。 证明：， （0 ）
