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1、第九章第九章 资产组合理论资产组合理论第一节第一节 马科维茨资产组合理论概述马科维茨资产组合理论概述第二节第二节 马科维茨模型马科维茨模型1授课：XXX第一节第一节 马科维茨资产组合理论概述马科维茨资产组合理论概述一、前提假设一、前提假设（1 1）单一期间是指投资者持有资产的期间是确定单一期间是指投资者持有资产的期间是确定的，在期间开始时持有证券并在期间结束时售出。的，在期间开始时持有证券并在期间结束时售出。由此即简化了对一系列现金流的贴现和对复利的由此即简化了对一系列现金流的贴现和对复利的计算。计算。（2 2）终点财富的预期效用最大化）终点财富的预期效用最大化 。因为财富最。因为财富最大化本
2、身不是投资者的目标，而效用这一概念既大化本身不是投资者的目标，而效用这一概念既包括了财富的期望值，也考虑了获得这种预期财包括了财富的期望值，也考虑了获得这种预期财富的不确定性，即风险效用的最大化才是投资者富的不确定性，即风险效用的最大化才是投资者真正追求的目标。真正追求的目标。 2授课：XXX（3 3）证券市场是有效的。即该市场是一个信息完全）证券市场是有效的。即该市场是一个信息完全公开、信息完全传递、信息完全解读、无信息时滞的公开、信息完全传递、信息完全解读、无信息时滞的市场。市场。（4 4）投资者为理性的个体，服从不满足（）投资者为理性的个体，服从不满足（餍足餍足）和）和风险厌恶的行为方式
3、；影响投资决策的变量是预期收风险厌恶的行为方式；影响投资决策的变量是预期收益和风险两个因素；在同一风险水平上，投资者偏好益和风险两个因素；在同一风险水平上，投资者偏好收益较高的资产组合；在同一收益水平上，则偏好风收益较高的资产组合；在同一收益水平上，则偏好风险较小的资产组合。险较小的资产组合。（5 5）投资者在单一期间内以均值和方差标准来评价）投资者在单一期间内以均值和方差标准来评价资产和资产组合。该前提隐含证券收益率的正态分布资产和资产组合。该前提隐含证券收益率的正态分布假设，正态分布的特性在于随机变量的变化规律通过假设，正态分布的特性在于随机变量的变化规律通过两个参数就可以完全确定，即期望
4、值和方差。两个参数就可以完全确定，即期望值和方差。 3授课：XXX二、风险厌恶型投资者的无差异曲线二、风险厌恶型投资者的无差异曲线投资者无差异曲线投资者无差异曲线 资本市场的无差异曲线表示在一定的风资本市场的无差异曲线表示在一定的风险和收益水平下（即在同一曲线上），投资者对险和收益水平下（即在同一曲线上），投资者对不同资产组合的满足程度是无区别的，即同等效不同资产组合的满足程度是无区别的，即同等效用水平曲线，如图。图中，纵轴用水平曲线，如图。图中，纵轴E(r)E(r)表示预期收表示预期收益，横轴益，横轴为风险水平。为风险水平。 E(r) C B AE(r) C B A E(r3) E(r2)
5、E(r1) 1 2 4授课：XXX风险厌恶型投资者无差异曲线的特点风险厌恶型投资者无差异曲线的特点 1 1，斜率为正。即为了保证效用相同，如果投资，斜率为正。即为了保证效用相同，如果投资者承担的风险增加，则其所要求的收益率也会增者承担的风险增加，则其所要求的收益率也会增加。对于不同的投资者其无差异曲线斜率越陡峭，加。对于不同的投资者其无差异曲线斜率越陡峭，表示其越厌恶风险：即在一定风险水平上，为了表示其越厌恶风险：即在一定风险水平上，为了让其承担等量的额外风险，必须给予其更高的额让其承担等量的额外风险，必须给予其更高的额外补偿；反之无差异曲线越平坦表示其风险厌恶外补偿；反之无差异曲线越平坦表示
6、其风险厌恶的程度越小。的程度越小。 5授课：XXX 2 2，下凸，下凸 。这意味着随着风险的增加要使投资。这意味着随着风险的增加要使投资者再多承担一定的风险，其期望收益率的补偿越者再多承担一定的风险，其期望收益率的补偿越来越高。如图，在风险程度较低时，当风险上升来越高。如图，在风险程度较低时，当风险上升（由（由1 12 2），投资者要求的收益补偿为），投资者要求的收益补偿为E(rE(r2 2)-E)-E(r(r1 1) )；而当风险进一步增加，虽然是较小的增加；而当风险进一步增加，虽然是较小的增加（由（由2 2 3 3），收益的增加都要大幅上升为），收益的增加都要大幅上升为E(rE(r3 3)
7、 )。这说明风险厌恶型投资者的无差异曲线不。这说明风险厌恶型投资者的无差异曲线不仅是非线性的，而且该曲线越来越陡峭。这一现仅是非线性的，而且该曲线越来越陡峭。这一现象实际上是边际效用递减规律在投资上的表现。象实际上是边际效用递减规律在投资上的表现。 6授课：XXX 3 3，不同的无差异曲线代表着不同的效用水平。，不同的无差异曲线代表着不同的效用水平。越靠左上方无差异曲线代表的效用水平越高，如越靠左上方无差异曲线代表的效用水平越高，如图中的图中的A A曲线。这是由于给定某一风险水平，越靠曲线。这是由于给定某一风险水平，越靠上方的曲线其对应的期望收益率越高，因此其效上方的曲线其对应的期望收益率越高
8、，因此其效用水平也越高；同样，给定某一期望收益率水平，用水平也越高；同样，给定某一期望收益率水平，越靠左边的曲线对应的风险越小，其对应的效用越靠左边的曲线对应的风险越小，其对应的效用水平也就越高。此外，在同一无差异曲线图（即水平也就越高。此外，在同一无差异曲线图（即对同一个投资者来说）中，任两条无差异曲线都对同一个投资者来说）中，任两条无差异曲线都不会相交。不会相交。7授课：XXX三、风险资产的可行集三、风险资产的可行集 通过给出风险资产的可行集，并从中分离出有效集，通过给出风险资产的可行集，并从中分离出有效集，是从理论上确定投资者投资组合的另一基础性工具。是从理论上确定投资者投资组合的另一基
9、础性工具。 所谓风险资产的可行集（所谓风险资产的可行集（Feasible Set Feasible Set ）是指资本）是指资本市场上由风险资产可能形成的所有投资组合的期望收益和市场上由风险资产可能形成的所有投资组合的期望收益和方差的集合。将所有可能投资组合的期望收益率和标准差方差的集合。将所有可能投资组合的期望收益率和标准差的关系描绘在期望收益率的关系描绘在期望收益率- -标准差坐标平面上，封闭曲线标准差坐标平面上，封闭曲线上及其内部区域表示可行集。上及其内部区域表示可行集。 假设由两种资产构成一个资产组合，这两种资产的相假设由两种资产构成一个资产组合，这两种资产的相关系数为关系数为1 11
10、2121 1。当相关系数分别在。当相关系数分别在12121 1和和12121 1时，可以得到资产组合可行集的顶部边界和底部边时，可以得到资产组合可行集的顶部边界和底部边界。其他所有可能的情况则在这两个边界之中。界。其他所有可能的情况则在这两个边界之中。8授课：XXX 首先我们考虑如果两种资产完全正相关，即首先我们考虑如果两种资产完全正相关，即12121 1，则组合的方差为：，则组合的方差为： p p(w(w1 1)=w)=w1 11 1+(1-w+(1-w1 1) )2 2 （4.14.1） 式中式中p p、1 1和和2 2分别为资产组合、资产分别为资产组合、资产1 1和资和资产产2 2的标准
11、差；的标准差；w w1 1为资产为资产1 1在组合中的比重，在组合中的比重，(1-w(1-w1 1) )即是资产即是资产2 2在组合中的比重。在组合中的比重。 组合的预期收益为：组合的预期收益为： (w(w1 1)= w)= w1 1+ (1-w+ (1-w1 1) ) （4.24.2） 当当w w1 11 1时，则有时，则有p p= =1 1，r rp p=r=r1 1 当当w w1 10 0时，即有时，即有p p= =2 2，r rp p=r=r2 2 因此，该可行集为连接（因此，该可行集为连接（ ，1 1）和（）和（ ，2 2）两点的直线。）两点的直线。如图。如图。9授课：XXX E(r
12、 E(rp p) ) r r1 1- -, ,1 1 r r2 2- -, ,2 2 p p 如果两种资产完全负相关，即如果两种资产完全负相关，即1212 =-1 =-1，则有：，则有： 和：和： (w(w1 1)=w)=w1 1 +(1-w+(1-w1 1) ) 当当w w1 1=2 2/(/(1 1+2 2) )时，时，p p=0=010授课：XXX 当当w w1 12 2/(/(1 1+2 2) )时，时，p p(w(w1 1)=w)=w1 11 1-(1-(1-w w1 1) )2 2, ,则可得到：则可得到： W W1 1=f(=f(p p) )从而有：从而有： ( (p p)= +
13、(1- ) )= +(1- ) = = 同理：同理： 当当w w1 12 2/(/(1 1+2 2) )时，时，p p(w(w1 1)=(1-w)=(1-w1 1) )2 2- -w w1 11 1, ,则则 ( (p p)= )= 也就是说，完全负相关的两种资产所构成的组也就是说，完全负相关的两种资产所构成的组合的可行集是两条直线，其截距相同，斜率异号。合的可行集是两条直线，其截距相同，斜率异号。如图如图 11授课：XXX E(rp) r1-,1 r2-,2 根据以上推导，在各种可能的相关系数下，根据以上推导，在各种可能的相关系数下，两种风险资产构成的可行集如图所示。由图可见，两种风险资产构
14、成的可行集如图所示。由图可见，可行集曲线的弯曲程度取决于相关系数，当相关可行集曲线的弯曲程度取决于相关系数，当相关系数由系数由1 1向向1 1转变时，曲线的弯曲程度逐渐加大：转变时，曲线的弯曲程度逐渐加大：当相关系数为当相关系数为1 1时，曲线是一条直线，即没有弯曲；时，曲线是一条直线，即没有弯曲；当相关系数为当相关系数为1 1时，曲线成为折线，即弯曲程度时，曲线成为折线，即弯曲程度达到最大；当达到最大；当1 112121 1时，曲线即介于直线和时，曲线即介于直线和折线之间，成为平滑的曲线。折线之间，成为平滑的曲线。12授课：XXX E(rp) ( ,1) 12=-1 12=1 12=0 (
15、,2) 考虑到一方面在现实中我们在资本市场上很考虑到一方面在现实中我们在资本市场上很难找到完全负相关的原生性资产难找到完全负相关的原生性资产，另一方面，进，另一方面，进行资产组合的目的之一就是通过降低资产之间的行资产组合的目的之一就是通过降低资产之间的相关性来降低投资风险。因此在一个实际资产组相关性来降低投资风险。因此在一个实际资产组合中一般不会存在相关系数为合中一般不会存在相关系数为1 1或或1 1的情况。也的情况。也就是说，正常的可行集应是一条有一定弯曲度的就是说，正常的可行集应是一条有一定弯曲度的平滑曲线。平滑曲线。13授课：XXX四、资产组合的有效边界四、资产组合的有效边界 有效集原则
16、有效集原则 : :（1 1）投资者在既定风险水平下）投资者在既定风险水平下要求最高收益率；（要求最高收益率；（2 2）在既定预期收益率水平下）在既定预期收益率水平下要求最低风险。要求最低风险。 为了更清晰地表明资产组合有效边界的确定为了更清晰地表明资产组合有效边界的确定过程，这里我们集中揭示可行集左侧边界的双曲过程，这里我们集中揭示可行集左侧边界的双曲线线FMHFMH。该双曲线上的资产组合都是同等收益水平。该双曲线上的资产组合都是同等收益水平上风险最小的组合，如上风险最小的组合，如图，既定收益水平图，既定收益水平E(rE(r1 1) )下，下，边界线上的边界线上的a a点所对应的风险为点所对应
17、的风险为4 4，而同样收益，而同样收益水平下，边界线内部的水平下，边界线内部的b b点所对应的风险则上升为点所对应的风险则上升为5 5。因此该边界线称为最小方差资产组合的集合。因此该边界线称为最小方差资产组合的集合。14授课：XXX FMHFMH双曲线左侧端点处的双曲线左侧端点处的M M点，其资产组合是所点，其资产组合是所有最小方差资产组合集合中方差最小的，被称为最有最小方差资产组合集合中方差最小的，被称为最小方差资产组合小方差资产组合MPVMPV。图中，。图中，M M点左侧的点左侧的c c点，其对应点，其对应的风险水平为的风险水平为1 1，但它脱离了可行集；，但它脱离了可行集；M M点右侧的
18、点右侧的d d点，则在同样收益点，则在同样收益E(rE(r2 2) )水平下，风险上升为水平下，风险上升为3 3。也就是说，同时满足前述两条有效集原则的只剩下也就是说，同时满足前述两条有效集原则的只剩下弧弧MHMH边界边界, ,称为有效集，亦即资产组合的有效边界。称为有效集，亦即资产组合的有效边界。 E(r) H E(r1) a b E(r2) c M d F 1 2 3 4 5 15授课：XXX练习练习选择两只股票，（或者债券，或者基金等）选择两只股票，（或者债券，或者基金等），自行计算其在某一时期的方差、协方差，自行计算其在某一时期的方差、协方差和期望收益，并构造出其有效前沿。和期望收益，
19、并构造出其有效前沿。16授课：XXX五、最优资产组合的确定五、最优资产组合的确定 由于有效边界上凸，而效用曲线下凸由于有效边界上凸，而效用曲线下凸, ,所以两条所以两条曲线必然在某一点相切，切点代表的就是为了达到曲线必然在某一点相切，切点代表的就是为了达到最大效用而应该选择的最优组合。最大效用而应该选择的最优组合。 不同投资者会在资产组合有效边界上选择不同不同投资者会在资产组合有效边界上选择不同的区域。风险厌恶程度较高的投资者会选择靠近端的区域。风险厌恶程度较高的投资者会选择靠近端点的资产组合；风险厌恶程度较低的投资者，会选点的资产组合；风险厌恶程度较低的投资者，会选择端点右上方的资产组合。如
20、图。择端点右上方的资产组合。如图。17授课：XXX E(r)UAUB18授课：XXX第二节第二节 马科维茨模型马科维茨模型 构造最优投资组合的过程，就是在所有构造最优投资组合的过程，就是在所有可以实施的组合集中，选择那些期望收益可以实施的组合集中，选择那些期望收益率固定时风险最小、或风险固定时期望收率固定时风险最小、或风险固定时期望收益率最大的组合。因此，这一过程是一个益率最大的组合。因此，这一过程是一个非线性规划问题。非线性规划问题。19授课：XXX一、模型一、模型1 1，假设构造风险最小的组合，则目标函数为：，假设构造风险最小的组合，则目标函数为： 式中式中w wi i，w wj j分别为
21、证券分别为证券i i和和j j所占的比重（权数），所占的比重（权数），ijiji ij jijij，ijij为证券为证券i i和和j j的相关系数。的相关系数。20授课：XXX 上式的约束条件为：上式的约束条件为： 且且 式中，式中， 为证券为证券i i的期望收益，的期望收益， 为组合的期望为组合的期望收益。收益。 2 2，假设是两证券的组合，则该组合的期望收益，假设是两证券的组合，则该组合的期望收益率和方差分别为：率和方差分别为： w w1 1 +(1-+(1-w w1 1) )21授课：XXX = =w w1 12 21 12 2+(1-+(1-w w1 1) )2 22 22 2+2+2
22、w w1 1(1-(1-w w1 1)1212 3 3，构造拉各朗日函数：，构造拉各朗日函数： L= - -wL= - -w1 1 -(1-w-(1-w1 1) ) 4 4，求最优解，得：，求最优解，得： 通过对上式求解，可得通过对上式求解，可得w w1 1的唯一解或边界解，的唯一解或边界解，从而可得到从而可得到w w2 2的值，最终构造出组合。的值，最终构造出组合。22授课：XXX二、有效集方程组二、有效集方程组 对于均值为对于均值为 的有效投资组合（允许卖空），其的有效投资组合（允许卖空），其组合中组合中n n个资产的权重个资产的权重w wi i(i=1,2,n)(i=1,2,n)与两个拉
23、格朗日与两个拉格朗日乘数乘数，满足：满足： （1 1） （2 2） （3 3） 公式（公式（1 1）中有）中有n n个方程，再加上（个方程，再加上（2 2）、（）、（3 3）两）两式，得到式，得到n+2n+2个方程组成的方程组，相应地，有个方程组成的方程组，相应地，有n+2n+2个个未知数未知数w wi i, ,和和。因此，求解后将得到均值为。因此，求解后将得到均值为r r- -的一的一个有效投资组合的权数。个有效投资组合的权数。23授课：XXX例题例题 假设有假设有3 3个不相关的资产，其各自的均个不相关的资产，其各自的均值分别为值分别为1 1，2 2，3 3，各资产的方差和协方差各资产的方
24、差和协方差分别为分别为1 1和和0 0。确定各产的投资比例及该组。确定各产的投资比例及该组合的方差。合的方差。24授课：XXX 解：根据题意，有：解：根据题意，有： 1 12 22 22 23 32 21 1；1212232313130 0。因。因此，公式（此，公式（1 1）变为：）变为： w w1 1- - -=0=0 w w2 2-2-2- -=0=0 w w3 3-3-3- -=0=0 公式（公式（2 2）、（）、（3 3）变为：）变为： w w1 1+2w+2w2 2+3w+3w3 3= = w w1 1+w+w2 2+w+w3 3=1=1 由公式（由公式（1 1）变形后的方程组解出）
25、变形后的方程组解出w w1 1,w,w2 2,w,w3 3，并，并将其代入公式（将其代入公式（2 2），（），（3 3）变形后的方程组，得）变形后的方程组，得到：到：25授课：XXX 14 146 6 6 6+3+31 1 解该方程组，得：解该方程组，得： ， 。将该结果代入方程。将该结果代入方程组组1 1，得：，得： w w1 1=(4/3)-(r=(4/3)-(r- -/2)/2) w w2 2=1/3=1/3 w w3 3=(r=(r- -/2)-(2/3)/2)-(2/3) 据此，求解标准差有：据此，求解标准差有： 26授课：XXX马科维茨模型的矩阵表示马科维茨模型的矩阵表示在矩阵形式
26、下，最有资产组合的选择问题就可以写成如在矩阵形式下，最有资产组合的选择问题就可以写成如下优化问题：下优化问题：其中，其中，w w是风险资产组合中各资产的权重构成的向量；是风险资产组合中各资产的权重构成的向量；V V为风险资产收益率的方差协方差举证；为风险资产收益率的方差协方差举证；e e为风险资产组为风险资产组合中各资产期望收益率构成的向量；合中各资产期望收益率构成的向量；1 1为单位向量。为单位向量。为了解这个最优化问题，构造为了解这个最优化问题，构造LagrangeLagrange函数如下：函数如下：27授课：XXX该最优化问题的一阶条件为：该最优化问题的一阶条件为：我们容易求得我们容易求
27、得 其中：其中：28授课：XXX将上述答案带回原式，得到最优资产组合的权重：将上述答案带回原式，得到最优资产组合的权重：其中，其中，g和和h为两个一维向量，其表达式分别为为两个一维向量，其表达式分别为从上式可以看出，如果一个边界组合的期望收益率等于从上式可以看出，如果一个边界组合的期望收益率等于0，那么这一，那么这一资产组合中各资产的权重就是资产组合中各资产的权重就是g。如果一个边界组合的期望收益率等。如果一个边界组合的期望收益率等于于1，组合中各项资产的权重就是，组合中各项资产的权重就是g+h，因此，因此，g和和g+h就对应着投资组就对应着投资组合边界上两个边界组合。合边界上两个边界组合。事
28、实上，投资组合边界中任意资产组合都可以由任意两个期望收益率事实上，投资组合边界中任意资产组合都可以由任意两个期望收益率不相等的边界组合按照一定权重构建出来。不相等的边界组合按照一定权重构建出来。29授课：XXX资产组合风险分散化资产组合风险分散化一、资产收益率的相关性与资产组合的风险分散一、资产收益率的相关性与资产组合的风险分散当存在两个风险资产的时候，资产组合的期望收益等于组合当存在两个风险资产的时候，资产组合的期望收益等于组合中每个资产期望收益的加权平均值，即：中每个资产期望收益的加权平均值，即：但是资产组合的方差并不是两个资产各自方差的加权平均值，但是资产组合的方差并不是两个资产各自方差
29、的加权平均值，而是：而是：可以看出，给定两项资产的期望收益率，如果这两项资产收益率的可以看出，给定两项资产的期望收益率，如果这两项资产收益率的协方差是负的，那么资产组合的方差就比较小。协方差是负的，那么资产组合的方差就比较小。只要两项资产的相关系数不等于只要两项资产的相关系数不等于1，也即只要两项资产不是完全正，也即只要两项资产不是完全正相关，资产组合的标准差就低于每个证券标准差的加权平均值。相关，资产组合的标准差就低于每个证券标准差的加权平均值。由它们组成的资产组合的风险由它们组成的资产组合的风险-收益机会总是犹豫资产组合中各资收益机会总是犹豫资产组合中各资产单独的风险产单独的风险-收益机会
30、。收益机会。30授课：XXX资产组合包含资产组合包含N个风险资产的情况个风险资产的情况该资产组合的方差为该资产组合的方差为可以看出，资产组合的风险可以分为两个部分：每个资产的方差可以看出，资产组合的风险可以分为两个部分：每个资产的方差和不同资产之间的协方差，前者反映了每个资产的风险状况对资和不同资产之间的协方差，前者反映了每个资产的风险状况对资产组合的贡献，后者则是不同资产相互作用对组合风险的影响。产组合的贡献，后者则是不同资产相互作用对组合风险的影响。上述矩阵形式中，对角线上是每个资产收益率的方差，矩阵其他上述矩阵形式中，对角线上是每个资产收益率的方差，矩阵其他位置上的元素则是不同资产收益率
31、的协方差。位置上的元素则是不同资产收益率的协方差。当资产组合有当资产组合有N个风险资产时，方差部分共个风险资产时，方差部分共N项，而协方差部分则项，而协方差部分则有有N2-N项。当项。当N较大时，协方差项目将远远超过方差项目。此时，较大时，协方差项目将远远超过方差项目。此时，资产组合的风险主要取决于资产收益率的协方差的大小。资产组合的风险主要取决于资产收益率的协方差的大小。31授课：XXX假设假设N N项资产以相同比例构成资产组合，即每项资产的权重均为项资产以相同比例构成资产组合，即每项资产的权重均为1/N1/N，而且每项资产的方差都等于而且每项资产的方差都等于2 2，不同资产之间的相关系数等
32、于，不同资产之间的相关系数等于,则则资产组合的方差即为：资产组合的方差即为：当当N N趋于无穷大的时候，方差部分趋于零，协方差部分趋于一个常数。趋于无穷大的时候，方差部分趋于零，协方差部分趋于一个常数。由此可见，当资产组合资产数目较大时，资产间的相互影响是资产组由此可见，当资产组合资产数目较大时，资产间的相互影响是资产组合的主要风险来源。合的主要风险来源。32授课：XXX二、系统性风险与非系统性风险二、系统性风险与非系统性风险随着资产组合中资产数量的增加，资产自身的风险对组合随着资产组合中资产数量的增加，资产自身的风险对组合风险水平的影响越来越小，而不同资产之间的相互作用并风险水平的影响越来越
33、小，而不同资产之间的相互作用并不能随资产数量的增加而消失。不能随资产数量的增加而消失。根据资产的这两种特性，风险可以划分为：根据资产的这两种特性，风险可以划分为：非系统性风险（个别风险）：反映资产本身特性，可以通过增加资产组非系统性风险（个别风险）：反映资产本身特性，可以通过增加资产组合数目而最终消除合数目而最终消除系统性风险（市场风险）：反映了各资产共同运动、无法通过资产组合系统性风险（市场风险）：反映了各资产共同运动、无法通过资产组合中资产数目的增加而消除的风险中资产数目的增加而消除的风险33授课：XXX作业作业选择两只股票（或者债券，或者基金等），选择两只股票（或者债券，或者基金等），自行计算其在某一时期的方差、协方差和自行计算其在某一时期的方差、协方差和期望收益，并在给定预期收益率的条件下，期望收益，并在给定预期收益率的条件下，确定各股票的投资比例和组合的方差。确定各股票的投资比例和组合的方差。34授课：XXXThank you!35
