概率论与数理统计第一章

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1、 概率论与数理统计概率论与数理统计 Probability Theory and Mathematical Statistics 教 案 主讲教师: 黄 旭 东 主讲教师: 黄 旭 东 E-mail: 安徽师范大学 安徽师范大学 数学计算机科学学院概率论教研室 数学计算机科学学院概率论教研室 引言引言 一、概率统计是研究什么的？一、概率统计是研究什么的？ 1. 客观世界中发生的现象 1. 客观世界中发生的现象 i）确定性的在一定条件下必然发生的现象。 i）确定性的在一定条件下必然发生的现象。 如：1)在标准大气压下，水加热到 100 摄氏度式时必然会沸腾。 2）早晨，太阳必然从东方升起。 i

2、i）随机性的在一定条件下，具有多种可能的结果，但事先又不能预知确切的结果。 ii）随机性的在一定条件下，具有多种可能的结果，但事先又不能预知确切的结果。 如：1)抛掷一枚硬币，其结果可能是国徽面朝上，也可能是国徽面朝下，并且在抛掷之前无法预知抛掷的结果。 2)足球比赛，其结果可能是胜、平、负，但在比赛之前无法预知其结果。 3)投掷一个骰子，其结果有 6 种，即可能出现 1,2,3,4,5,6 点，但每次投掷之前是无法预知投掷的结果的。 4)股市的变化。 2. 概率统计是一门什么样的学科？ 2. 概率统计是一门什么样的学科？ 对于某些随机现象，虽然对个别试验来说，无法预言其结果，但在相同的条件下

3、，进行大量的重复试验或观察时，却又呈现出某些规律性（如抛掷硬币） 。 概率统计研究和揭示随机现象统计规律性的学科概率统计研究和揭示随机现象统计规律性的学科。 二、为什么要学习概率统计？二、为什么要学习概率统计？ 一方面一方面，由于随机现象的普遍性，使得概率论与数理统计具有极其广泛的应用。如：气象预报、水文预报、地震预报、产品质量检验、产品的可靠性评估、寿命预测、生物统计、卫生统计、保险、金融等各领域。 另一方面另一方面，广泛的应用也促进概率论与数理统计有了极大的发展。 第一章 随机事件和概率第一章 随机事件和概率 一、教材说明一、教材说明 本章内容包括本章内容包括：样本空间、随机事件及其运算，

4、概率的定义及其确定方法（频率方法、古典方法及几何方法） ，概率的性质、条件概率的定义及三大公式，以及随机事件独立性的概念及相关概率计算。随机事件、概率的定义和性质是基础，概率的计算是基本内容，条件概率及事件独立性是深化。 1教学目的与教学要求教学目的与教学要求 本章的教学目的是本章的教学目的是： （1）使学生了解样本空间的概念，理解随机事件的概念，熟练掌握事件之间的关系和运算； （2）使学生掌握条件概率的三大公式并用这些公式进行相关概率计算； （3）使学生理解条件概率及独立性的概念并进行相关概率计算。 本章的教学要求是本章的教学要求是： () 理解样本空间、随机事件、古典概率、几何概率、频率概

5、率、条件概率及事件独立性的概念； () 熟练掌握事件之间的关系和运算，利用概率的性质及条件概率三大公式等求一般概率、条件概率以及独立情形下概率的问题； 1（）掌握有关概率、条件概率及独立情形下的概率不等式的证明及相关结论的推导。 本章的重点与难点本章的重点与难点 本章的重点、难点是概率、条件概率的概念及加法公式、乘法公式，全概率公式、贝叶斯公式及事件独立性的概念。 二、教学内容二、教学内容 本章共分随机事件、随机事件的频率与概率、古典概型与几何概型、条件概率、事件的独立性等 5 节来讲述本章的基本内容。 1.1 随机事件1.1 随机事件 本节包括随机试验与样本空间、随机事件、事件的运算等内容，

6、简要介绍上述内容的概念及事件间的基本运算。 一、 随机试验与样本空间一、 随机试验与样本空间 1. 随机试验 1. 随机试验 (1)试验可以在相同条件下重复进行； (2)试验的所有可能结果在试验前可以明确知道； (3)每次试验将要出现的结果是不确定的。 满足上述特点的试验称为随机试验，简称随机试验为试验。 2. 随机试验的例子 2. 随机试验的例子 E1：抛掷一枚质地均匀的硬币，观察正面和反面出现的情况； E2：掷一颗质地均匀的骰子，观察其出现的点数； E3：记录某网站一分钟内受到的点击次数； E4：将一枚硬币抛掷三次，观察出现正面的次数 ； E5：从某品牌的电视机中任取一台，观察其使用寿命。

7、 3. 样本空间样本空间 （1）样本空间：由随机试验的一切可能的结果组成的一个集合称为试验E样本空间，记为； （2）样本点：试验的每一个可能的结果（或样本空间的元素）称为一个样本点，记为。 例 1例 1试写出试验 E1E5 的样本空间。 （1），H 表示“正面朝上” ，T 表示“反面朝上” ； 1 , H T =（2）； 21,2,3,4,5,6 =（3）； 30,1,2, =?（4）； 40,1,2,3 =（5）。 5,0t t =二、随机事件二、随机事件 1.引例引例 从包含两件次品（记作 ）和三件正品（记作 ）的五件产品中，任取两件产品，观察次品个数。 12,a a123,b b b12

8、111213212223122313(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),( ,),(,),( ,)a aa ba ba ba ba ba bb bb bb b = 20=A“没有抽到次品” 122313( , ),( , ),( , )b bb bb b=1A=“抽到一件次品” 111213212223(,),(,),(,),(,),(,),(,)a ba ba bababab=2A =“抽到两件次品” 12( , ).a a=注意：它们都是样本空间注意：它们都是样本空间 的子集。的子集。 2. 定义定义 样本空间的子集称为随机事件随机事件，简称事件事件。 常用 表示随机事

9、件。 , ,ijA B C A B注注：随机事件A发生当且仅当随机事件A中有某一个样本点出现 。 这样集合论就和概率论联系起来了。 特殊地，当一个事件仅包含的一个样本点时，称该事件为基本事件。基本事件。 3. 两个特殊事件两个特殊事件 必然事件必然事件包含所有的样本点，是自身的子集，每次试验它总是发生的，称为必然事件。 不可能事件不可能事件 空集不包含任何样本点，它是的子集，每次试验总是不发生，称为不可能事件。 4维恩图维恩图 事件的集合表示。 5例例 掷一颗骰子的样本空间为：1,2,6 =?。 事件 A=“出现 1 点” ，它由的单个样本点“1”组成。 事件 B=“出现偶数点” ，它由三个样

10、本点“2，4，6”组成。 事件 C=“出现的点数大于 6” ，中的任意样本点都不在 C 中，所以 C 是空集，即不 可能事件。 三、事件的运算三、事件的运算 1. 事件之间的关系事件之间的关系 事件之间的关系包括包含关系、相等关系、互不相容关系等，以及各种关系的维恩图表示。 （1）事件的包含与相等：事件的包含与相等： 若事件A发生必然导致事件B发生，则称事件A包含于事件B，记为AB 或者BA。若BA且AB ，即BA =，则称事件A与事件B相等。 (2) 互不相容事件互不相容事件：若事件 A 和 B 不能同时发生，则称事件 A 与 B 互不相容(或互斥)。 2. 事件运算事件运算 1）事件的和、

11、积、差）事件的和、积、差 （1）事件的和）事件的和 事件A与事件B至少有一个发生的事件称为事件A与事件B的和事件，记为.事件发生意味着：或事件BABAA发生，或事件B发生，或事件A与事件B都发生。 事件的和可以推广到多个事件的情景。设有n个事件，定义它们的和事件为中至少有一个发生，记为. nAAA,21?nAAA,21?knkA1=（2）事件的积）事件的积 事件A与事件B都发生的事件称为事件A与事件B的积事件，记为，也简记为BAAB。事件（或BAAB）发生意味着事件A发生且事件B也发生， 3即A与B都发生。 类似的，可以定义n个事件的积事件=都发生。 nAAA,21?knkA1=nAAA,21

12、?注注：若事件 A 和 B 互不相容,则AB =. （3） 事件的差） 事件的差 事件A发生而事件B不发生的事件称为事件A与事件B的差事件， 记为BA。 （4） 对立事件（或逆事件）对立事件（或逆事件） ,B.ABAA BAB=若AB= ,AB=则称 为 的对立事件，记作易见 注：注：对立事件必为互不相容事件；互不相容事件未必为对立事件 。 2）事件的运算性质）事件的运算性质 （1）交换律交换律：,ABBA ABBA=； （2）结合律结合律：()(),()()ABCABCABCABC=； （3）分配律分配律： ()()(),()()()ABCACBCABCACBC=； （4）对偶律对偶律（德莫

13、根公式） ： ,ABAB ABAB=。 证明略。 注注：分配率和对偶公式可以推广到任意有限个或可数个事件的情形： ()(),()(),iiiiiiiiA CACA CAC= ,.iiiiiiiiA AAA=3. 完备事件组完备事件组 设12,A A?是有限或可数个事件，如果它们满足： （1） , ,1,2,;ijAAij i j= =?（2） ,iiA =则称12,A A?是一个完备事件组。 例例 2 向指定目标射三枪，观察射中目标的情况。用、分别表示事件“第 1、2、3 枪击中目标” ，试用、表示以下各事件： 1A2A3A1A2A3A（1）只击中第一枪； （2）只击中一枪； （3）三枪都没击

14、中； （4）至少击中一枪。 解解 （1）事件“只击中第一枪” ，意味着第二枪不中，第三枪也不中。所以，可以表示成 1A32AA。 4（2）事件“只击中一枪” ，并不指定哪一枪击中。三个事件“只击中第一枪” 、 “只击中第二枪” 、 “只击中第三枪”中，任意一个发生，都意味着事件“只击中一枪”发生。同时，因为上述三个事件互不相容，所以，可以表示成 123AA A+321AAA+321AAA. （3）事件“三枪都没击中” ，就是事件“第一、二、三枪都未击中” ，所以，可以表示成 123AA A. （4）事件“至少击中一枪” ，就是事件“第一、二、三枪至少有一次击中” ，所以，可以表示成 或 321

15、AAA123AA A+321AAA+321AAA+1A32AA+321AAA+321AAA+ . 321AAA 1.2 随机事件的频率与概率1.2 随机事件的频率与概率 本节包括随机事件的频率、概率的统计定义、概率的公理化定义以及概率的性质。 一、一、 随机事件的频率随机事件的频率 设为任一随机试验，EA为其中任一事件，在相同条件下，把独立的重复做En次，表示事件AnA在这n次试验中出现的次数 （称为频数频数） 。 比值nnAfAn=)(称为事件A在这n次试验中出现的频率频率。 人们在实践中发现：在相同条件下重复进行同一试验，当试验次数n很大时，某事件A发生的频率具有一定的“稳定性” ，就是说

16、其值在某确定的数值上下摆动。一般说，试验次数n越大，事件A发生的频率就越接近那个确定的数值。因此事件A发生的可能性的大小就可以用这个数量指标来描述。 频率具有如下的性质频率具有如下的性质： （1）对任一事件 A， ； 0()fA1n（2）对必然事件，；而 ( ) 1nf =( ) 0nf =； （3）可加性：若事件 A、B 互不相容，即 AB，则 ()( )(nnn)f A Bf Af B=+。 二、二、 概率的统计定义概率的统计定义 定义定义 设有随机试验，若当试验的次数En充分大时，事件A的发生频率稳定在某数附近摆动，则称数为事件的概率概率，记为：)( AfApppAP=)(。 概率的这种

17、定义，称为概率的统计定义，统计定义是以试验为基础的，但这并不是说概率取决于试验。值得注意的是事件A出现的概率是事件A的一种属性。也就是说完全决定于事件A本身的结果，是先于试验客观存在的。概率的统计定义只是描述性的，一般不能用来计算事件的概率。通常只能在n充分大时，以事件出现的频率作为事件概率的近似值。 三、 概率的公理化定义三、 概率的公理化定义 1.事件域事件域 定义定义 设是一样本空间，是的某些子集组成的集类，如果它满足下列条件： 5（1） ; （2）若则,A ;A （3）若则,1,2,nAn=?,1,nnA= 则称为上的一个事件域，中的元素称为事件。 注注：可以证明，对事件的有限或可数的

18、交、并、差运算都是封闭的。 如： 1,; = 若,A 2,A A= ,3 = 的一切子集等都是上的事件域。 2概率的公理化定义概率的公理化定义 定义定义 设随机试验的样本空间为，为上的一个事件域，( )P 是定义在上取值于0，1上的实值函数，若满足： ( )P (1) 非负性非负性 对于任一随机事件，有； ( )0P A (2) 规范性规范性 对于必然事件，有()1P =； (3) 可列可加性可列可加性 对于两两互不相容的事件有 12,nA AA?11()(iiii)PAP=A， 则称为上的概率，而称(,为一个概率空间 ( )P ,)P 概率论的公理化定义是前苏联著名的数学家柯尔莫哥洛夫在柯尔

19、莫哥洛夫在 1933 年年提出来的。 3概率的性质概率的性质 由概率的三条公理可导出下面概率的一些重要性质 (1) ()0P = (2) (有限可加性) 设 n 个事件12,nA AA?两两互不相容，则有 121()nnii()P AAAP A=? (3) 对于任意一个事件 A： ( ) 1( )P AP= A 例例 抛一枚质地均匀的硬币 5 次，求既出现正面又出现反面的概率。 (4) 若事件A，B满足AB，则有 ()( )(P BAP BP A=), （ ()()P AP B 注：注：对任意两个事件 A，B，有 ()()(P ABP AP AB=。 (5) 对于任意一个事件 A，有( )1P

20、 A (6) (加法公式) 对于任意两个事件 A，B，有 ()()()(P ABP AP BP AB=+). 对于任意 n 个事件12,nA AA?有 . 111111()()()()( 1)(nnniiijijkniij nij k niPAP AP AAP AA AP AA= m),要求第 i 组恰有个球(i=1,m)，共有分法：in1!.!mnnn 例 10（随机取数问题）例 10（随机取数问题）在的整数中可重复的随机取个数组成位数，求下列事件的概率： （）个数完全不同； 11（）个数不含奇数； （）个数中恰好出现 4 次。 解解 从 9 个数中允许重复的取 6 个数进行排列，共有种排列

21、方法。 69（1）事件 A=个数完全不同的取法有456789种取法，故 11. 09456789)(6=AP （2）事件 B=个数不含奇数的取法。因为 6 个数只能在 2，4，6，8 四个数中选，每次有 4 种取法，所以有取法。故 646694)(=BP （3）事件 C=个数中恰好出现 4 次的取法。因为 6 个数中恰好出现 4 次可以是 6 次中的任意 4 次，出现的方式有种，剩下的两种只能在 1，2，3，4，6，7，8，9 中任取，共有种取法。故 46C28624698)(CCP=。 二、 几何概型 二、 几何概型 上述古典概率是在有限样本空间下进行的， 为了克服这种局限性， 我们将古典概

22、型推广。 如果一个试验具有以下两个特点： （1） 样本空间是一个大小可以度量的几何区域（如线段、平面、立体） 。 （2） 向区域内任意投一点，落在区域内任意点处都是“等可能的” 。 那么，事件A的概率由下式计算： ( )( ),( )L AP AL= 这里 L(A)表示 A 的度量.则称此试验为几何概型几何概型. 注:注:几何概型中,等可能的含义是具有相同度量的事件有相同的概率. 例 11(会面问题) 例 11(会面问题) 甲乙两人相约8 12点在预定地点会面。先到的人等候另一人30分钟后离去，求甲乙两人能会面的概率。 解解 以，Y分别表示甲、乙二人到达的时刻，那末 X81X2 ，8 ；若以1

23、2Y(,)X Y表示平面上的点的坐标， 则所有基本事件可以用这平面上的边长为 4 的一个正方形： ，8 内所有点表示出来。 二人能会面的充要条件是 812X21Y1 2XY（图中阴影部分） ；所以所求的概率为： 641516214212162=）（的面积正方形阴影部分的面积ABCDP. 12例 12(蒲丰投针问题）例 12(蒲丰投针问题）平面上有一族平行线。其中任何相邻的两线距离都是 a (a0) 。向平面任意投一长为 l (l ()( | )( )P ABP A BP B= 为“在 B 发生下 A 的条件概率” ，简称条件概率。 注注:关于条件概率的计算，往往采用如下两种方法： (1) 在缩

24、减的样本空间上直接计算。 (2) 利用公式计算。 例 14例 14 设某种动物由出生而活到 20 岁的概率为 0.8，活到 25 岁的概率为 0.4，求现龄为 20岁的这种动物活到 25 岁的概率？ 解解 设A=活到 20 岁，B=活到 25 岁， 则 P(A)=0.8, P(B)=0.4. 由于 AB，有 AB=B，因此 P(AB)= P(B)=0.4， 于是所求概率为 ()0.4( | )0.5.( )0.8P ABP B AP A= 2.性质性质 条件概率是概率，即若，则有 ( )0P B （1） (|)0,;P A BAF（2） (|)1;PB=（3）若 F 中的12,nA AA?，两

25、两互不相容，则 11(| )(|nnnn).PABP AB+= 证明证明 略。 二、乘法公式二、乘法公式 若，则 ( )0P B ()()(|)P ABP B P A B=.0,).n? 若 1 21()nP AAA? 12121312121()( ) (|) (|)(|nnP AAAP A P A A P A AAP A AAA=?例例 15 在一批由 90 件正品，件次品组成的产品中, 不放回接连抽取两件产品，问第一件取正品，第二件取次品的概率。 解 解 设事件A=第一件取正品；事件B=第二件取次品。按题意，=()P A9390， 14)|(ABP=923.由乘法公式 0315.09239

26、390)|()()(=ABPAPABP. 例 16例 16 甲、乙、丙三人参加面试抽签，每人的试题通过不放回抽签的方式确定。假设被抽的10 个试题中有 4 个难题签，按甲、乙、丙次序抽签，试求甲抽到难题签，甲和乙都抽到难题签，甲没抽到难题签而乙抽到难题签，甲、乙、丙都抽到难题签的概率。 解 设A、B、C分别表示甲、乙、丙抽到难题签的事件 42(),105P A = 432()( ) (),10 915P ABP A P B A=644()( ) (),10 915P ABP A P B A= 43 21()( ) () ()10 9 830P ABCP A P B A P C AB=. 三、全

27、概率公式 三、全概率公式 为了计算复杂事件的概率，经常把一个复杂事件分解为若干个互不相容的简单事件的和，通过分别计算简单事件的概率，来求得复杂事件的概率。 全概率公式全概率公式：为样本空间nAAA,21?的一个事件组，且满足： （1）互不相容，且nAAA,21?), 2 , 1( 0)(niAPi?=; (2). 12nAAA =?则对中的任意一个事件B都有 )()()()()()()(2211nnABPAPABPAPABPAPBP+=? 证明证明: 因为 BBB= =()= nAAA?21nBABABA?21由假设jiBABAji= ,)(，得到 12( )()()()nP BP BAP B

28、AP BA=+?= )()()()()()(2211nnABPAPABPAPABPAP+? 注:注:若把事件 B 看作某一过程的结果， 12,nAAA?把看作该过程的若干个 15原因，则可形象地把全概率公式看作成为“由原因推结果” 。 例例 17 七人轮流抓阄，抓一张参观票，问第二人抓到的概率？ 解 解 设=第 人抓到参观票(iAi1, 2i =)，于是 61)|(, 0)|(,76)(,71)(121211=AAPAAPAPAP1 由全概率公式 7161760)|()()|()()(1211212=+=+=AAPAPAAPAPAP. 从这道题，我们可以看到，第一个人和第二个人抓到参观票的概率

29、一样；事实上，每个人抓到的概率都一样。这就是“抓阄不分先后原理抓阄不分先后原理” 。 例例 18 设有一仓库有一批产品，已知其中 50%、30%、20%依次是甲、乙、丙厂生产的，且甲、乙、 丙厂生产的次品率分别为111,10 15 20， 现从这批产品中任取一件， 求取得正品的概率？ 解解 以、表示诸事件 “取得的这箱产品是甲、 乙、 丙厂生产” ； 以1A2A3AB表示事件 “取得的产品为正品” ，于是： ;2019)|(,1514)|(,109)|(, 0102)(,103)(,105)(321321=ABPABPABPAPAPAP按全概率公式 ，有： 112233( )(|) ()(|)

30、 ()(|) ()951431920.9210 1015 1020 10P BP B A P AP B A P AP B A P A=+=+= 四、 贝叶斯公式 四、 贝叶斯公式 设B是样本空间的一个事件，为nAAA,21?的一个事件组，且满足： （1）互不相容，且nAAA,21?), 2 , 1( 0)(niAPi?=; (2). 12nAAA =?则 )()()()()()()()()|(11nnkkkkABPAPABPAPABPAPBPBAPBAP+=? 这个公式称为贝叶斯公式贝叶斯公式，也称为后验概率后验概率。 注：注：贝叶斯公式作用在于“由结果推原因” ：现在有一个“结果”B 已发生

31、了，在众多可能的“原因”中，到底是哪一个导致了这结果？ 16例例 19 发报台分别以概率 0.6 和 0.4 发出信号“ ”和“-” ，由于通讯系统受到干扰，当发出信号“ ”时，收报台未必收到信号“.” ，而是分别以 0.8 和 0.2 收到“ ”和“-” ；同样，发出“-”时分别以 0.9 和 0.1 收到“-”和“ ” 。如果收报台收到“ ” ，问它没收错的概率？ 解解 设A=发报台发出信号“ ”，A=发报台发出信号“-”，B收报台收到“ ” ，B 收报台收到 “-” ； 于是，()0.6P A =，( )0.4，0.8P A =P BA(|) =，( | )0.2P B A =，( |

32、)0.1P B A =，( | )0.9P B A =；按贝叶斯公式，有 ()( ) (|)0.6 0.8(|)0.92( )0.6 0.80.4 0.1( ) (|)( ) (|)P ABP A P B AP A BP BP A P B AP A P B A=+ 所以没收错的概率为0. 92例例 20 根据以往的记录，某种诊断肝炎的试验有如下效果：对肝炎病人的试验呈阳性的概率为 0.95 ；非肝炎病人的试验呈阴性的概率为 0.95 .对自然人群进行普查的结果为：有千分之五的人患有肝炎。现有某人做此试验结果为阳性，问此人确有肝炎的概率为多少？ 解 解 设A=某人做此试验结果为阳性，B=某人确有

33、肝炎；由已知条件有，(|)0.95P A B =( | )0.95P A B =，( )0.005P B =；从而( ) 1( ) 0.99P BP B= =5，( | ) 1P A B = ( | )0.05P A B =；由贝叶斯公式，有 ()( ) ( |)( |)0.087( )( ) ( |)( ) ( |)P BAP B P A BP B AP AP B P A BP B P A B=+ 1.5 独立性独立性 本节内容包括两个事件的独立性、 多个事件的相互独立性和试验的独立性等。 主要介绍事件独立性的概念及有关独立性的概率的计算问题。 一、 两个事件的独立性一、 两个事件的独立性

34、设A，B是两个事件，一般而言)|()(BAPAP，这表示事件B的发生对事件A的发生的概率有影响，只有当时才可以认为)|()(BAPAP=B的发生与否对A的发生毫无影响，这是就称两事件是独立的。这时，由条件概率可知， )()()()()|()()(BPAPAPBPBAPBPABP= 由此，我们引出下面的定义。 定义定义 如果对于事件 A，B 有 ()( ) ( )P ABP A P B=， 则称事件 A，B 相互独立，简称 A 与 B 独立。 注：注：1）必然事件与任意随机事件 A 相互独立； 不可能事件与任意随机事件 A 相互独立 172）设事件 A 与 B 满足：( ) ( )0P A P

35、B ，若事件 A 与 B 相互独立，则 AB； 若 AB =，则事件 A 与 B 不相互独立这说明：互不相容与相互独立不能同时成立。 例例 21 （不独立事件的例子）（不独立事件的例子） 袋中有 a 只黑球， b 只白球 每次从中取出一球， 取后不放回 令： A= 第一次取出白球 ， B= 第二次取出白球 ， 则( )bP Aab=+，()()()()()()()1,11b babP ABP ABabababab=+ 所以，( )()()P BP ABP AB=+得：()()()()()111b bababababab=+bab=+。 +()()( )()()()1111b bP ABabab

36、bP B AbP Aabab+=+而， 因此()( )P B AP B。 命题命题 若则 A，B 独立充要条件()0,P B (|)( ).P A BP A= 证明略。 定理定理 若四对事件,BABABABA中有一对是相互独立的，则另外三对也是相互独立的. 证明证明：略。 二、多个事件的相互独立性二、多个事件的相互独立性 1. 定义定义：设 A，B，C 是三个事件，如果有 ()( ) ( )P ABP A P B=， ()()()P ACP A P C=， ()()()P BCP B P C=， 则称 A，B，C 两两独立，若还有 ()()()()P ABCP A P B P C=， 则称 A

37、，B，C 相互独立。 注：注：在三个事件独立性的定义中，四个等式是缺一不可的即：前三个等式的成立不能推出第四个等式的成立；反之，最后一个等式的成立也推不出前三个等式的成立 例例 22 袋中装有 4 个外形相同的球，其中三个球分别涂有红、白、黑色，另一个球涂有红、白、黑三种颜色现从袋中任意取出一球，令： A= 取出的球涂有红色 B= 取出的球涂有白色 C= 取出的球涂有黑色 则：( )( )( )12P AP BP C=，()()()14P ABP BCP AC=，()14P ABC =。 由此可见，()( ) ( )()( ) ( )()( ) ( ),.P ABP A P B P BCP B

38、 P CP ACP A P C=但是 18()( )( )( )11.48P ABCP A P B P C= 这表明，A、B、C 这三个事件是两两独立的，但不是相互独立的 一般地有 定义定义：设有 个事件12,nA AA?，对任意的1ijkn?，如果以下等式 均成立 ()( ) ()ijijP AAP A P A=， ()( ) () (ijkijk)P AA AP A P A P A=， 1212()( ) ()(nn)P AAAP A P AP A=?， 则称此 n 个事件相互独立。 注注：1)在上面的公式中， 23nnCC?第一行有个等式，第二行有个等式，230122nnnnnnnnnC

39、CCCCC1nn+= ?最后一行共有个等式.因此共应满足个等式. 2）若 n 个事件相互独立，则它们中的任何(2)mmn个事件也相互独立。 2独立随机事件的性质独立随机事件的性质 12AAAnn?如果，这 个随机事件相互独立则它们中的任意一个或多个换成它的对立事件仍然相互独立。3.件独立性的应用举例件独立性的应用举例 事事1) 加法公式的简化：加法公式的简化： 若 12,nA AA? 是相互独立的事件，则 121212()1()1() ()nn()nP AAAP A AAP A P AP A= = ?。 特别的，如果( )()()12P AP AP Apn=?，则有 ()111nnPApii=

40、 =。 2)乘法公式的简化乘法公式的简化：若事件12,nA AA?相互独立, 则 1212()( ) ()(nn).P AAAP A P AP A=? 例例 23 设 A，B，C 相互独立，试证AB与相互独立。 证明证明 略。 例例 24 设某种高射炮每次击中飞机的概率为 0.2， 问至少需要多少这种高炮同时独立发射(每门射一次)，才能使击中飞机的概率达到 95%以上。 19解解 设所需高炮为n门，A表示击中飞机的事件，iA (i=1,2,n)表示第i门高炮击中飞机的事件，则由题意 12( )() 95%.nP AP AAA=?即 121()0.95nP AAA?。 121( ) ()() 1

41、 (1 0.2)0.95nnP A P AP A= ?，于是0.80.0514nn，。 故至少需 14 门高炮才能有 95%以上把握击中飞机。 三、贝努利（三、贝努利（Bernoulli）概型）概型 1.定义1.定义 在完全相同的条件下重复进行 n 次试验，如果每次试验的结果互不影响，即每次试验的结果与其他各次试验的结果无关，则称这 n 次重复试验为 n 重独立试验。 特别地，如果每次试验只有两个对立的结果，即事件 A 和A,且 ()P Ap=( ) 1P Apq= = , 则称这 n 重独立试验为 n 重贝努利试验，或贝努利概型。 2.定理2.定理 如果在 n 伯努利试验中，事件 A 在每一

42、次试验中发生的概率为 ，则事件 A 在 n 次试验中恰好发生 k 次的概率 (01)pp( )kkn knnP kC p q=，0,1,2, .kn=? 其中， q=1-p ，则上式称为贝努利公式 ，由于 kkn knC p q 恰好是二项式 ()np q+的展开式中的第 k+1 项，故上式也称为二项概率公式。 n 重重 Bernoulli 试验中恰好成功试验中恰好成功 k 次的概率次的概率 设在 n 重 Bernoulli 试验中，( )( )1P ApP Apq= =，现考虑事件 n kBnBernoulliAk=，重试验中事件 恰好发生 次， ()n kP B，现求概率：()()knnk

43、AnkAC在 次试验中，指定 次出现成功 ，其余次出现失败 ，这种指定的方法共有种 而对于每一种指定好的方法，由前面的讨论可知样本点 kn kp q的概率都为因此，()()1kkn kn knP BC p qqp= ，()012kn=?， ， ，。 例 25 例 25 某车间有 5 台车床彼此独立地工作，由于工艺原因，每台机床实际开动率为 0.8，求任一时刻 (1) 车间内恰有 4 台车床在工作的概率。 (2) 车间内至少有 1 台车床在工作的概率。 解解 因为各车床彼此独立地工作，且任一机床处于开动状态的概率为 p=0.8，可以看成是n=5,p=0.8 的贝努里概型。 (1) 5 台车床中恰

44、有 4 台开动的概率为 。 4455(4)0.80.20.409 6PC=(2) 设 A=“5 台中至少有 1 台开动”，则A=“5 台中有 0 台开动”，故 0055( ) 1( ) 10.8 0.20.999 68.P AP AC= = = 例 26例 26 设某种药物对某种疾病的治愈率为 0.8，现有 10 个这种病的患者同时服用此药，求 20其中至少有 6 个被治愈的概率。 解解 把每个病人服此药当作一次试验，每个病人服药后被治愈(记作 A)的概率 P(A)=0.8 各患者被治愈与否是相互独立的。可以认为这是 10 次重复独立试验，从而所求概率为 101010101066( )0.8 0.20.97.kkkkkPP kC= 作业作业： 21