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1、 在在核核心心工工具具中中经经常常直直接接引引用用一一些些统统计计学学的的知知识识，譬譬如如，在在SPCSPC中中提提到到了了样样本本容容量量对对过过程程指指数数的的影影响响等等知知识识；在在MSAMSA中中提提到到了了 2 2假假设设检检验验（一一致致性性KappaKappa值值评评估估) )，事事件件运运算算中中的的逆逆概概公公式式(Bayes (Bayes formula), formula), t分分布布表表等等概概念念。由由于于是是直直接接引引用用而而没没有有考考虑虑统统计计学学知知识识之之间间的的联联系系，往往往往使使学学习习或或应应用用者者感感到到费费解解。于于是是编编者者编编此
2、此“ “统统计计学学知知识识补补充充” ”讲讲义义。力力求求把把这这些些统计学之间的知识联系起来。统计学之间的知识联系起来。1统计学知识补充 统计学知识补充n n要注意逻辑和连贯要注意逻辑和连贯n n一个章节，应仅或主要参考一本书一个章节，应仅或主要参考一本书n n思路：思路：n nP1-15:P1-15:事件事件概率概率n n略过：略过：自学自学：二项分布：二项分布/ /讲义讲义：P34-39P34-39n nN, t N, t 分布：参考一本书分布：参考一本书n nP P1-221-22可以可以n nP22-P22-内容如何在正文和补充资料间分配？内容如何在正文和补充资料间分配？2统计学知
3、识补充随机事件随机事件 和及其概率定理和及其概率定理n n 随机事件和样本空间随机事件和样本空间随机事件和样本空间随机事件和样本空间/ / 考虑用图表示考虑用图表示，V Vn n“ “在一定条件下可能发生在一定条件下可能发生, ,也可能不发生的事件也可能不发生的事件” ”称为随机事称为随机事件件, , 常用大写常用大写A,B,C, A,B,C, 表示。表示。，V V 符号专门表示必然事件和符号专门表示必然事件和不可能事件不可能事件n n一个试验一个试验E,E,如果事先不能准确预言它的结果如果事先不能准确预言它的结果, ,并且在相同条并且在相同条件下重复进行件下重复进行,E,E称为随机试验称为随
4、机试验, ,简称简称“ “试验试验” ”. .n n随机试验的每个可能称为样本随机试验的每个可能称为样本( (基本事件基本事件). ).全体样本的集合全体样本的集合称为样本空间称为样本空间, , 用用 表示表示, w, w表示样本。表示样本。3统计学知识补充n n概率的初步定义n n对于一个随机事件对于一个随机事件A A，我们可来以用一个数，我们可来以用一个数p p来表示它在一来表示它在一次试验中出现的可能性大小我们把这个数称为事件次试验中出现的可能性大小我们把这个数称为事件A A的的概率概率记为记为P(A):P(A):n nP(A)=pP(A)=pn n设一批产品共设一批产品共100100件
5、，其中有件，其中有5 5件次品。现从中任取件次品。现从中任取5050件。件。n n问：无次品的概率是多少？问：无次品的概率是多少？ 自学自学P7/P7/和和随机变量题比较随机变量题比较随机变量题比较随机变量题比较4统计学知识补充n n古典概型：n n定义：样本空间有限，各样本出现机会均等地数定义：样本空间有限，各样本出现机会均等地数学模型学模型n n例一例一 见见“ “ 习题部分习题部分” ”n n古典概型的解法可有多种古典概型的解法可有多种5统计学知识补充 n n概率的加法定理概率的加法定理: :n n如图可直观地得到如图可直观地得到n nP(AB)=P(AB bar+A bar P(AB)
6、=P(AB bar+A bar +AB)+AB)n n=P(AB bar)+P(A barB) =P(AB bar)+P(A barB) =P(AB)=P(AB)n n当当A.B=VA.B=Vn n例：甲，乙同时向敌机炮例：甲，乙同时向敌机炮击，击中概率甲为击，击中概率甲为0 0.6 .6，乙，乙为为0 0.5, .5, 求敌机被击中的概求敌机被击中的概率。率。 自学自学P49P496统计学知识补充n n条件概率和概率乘法定理n n前例前例: :n n如果已知第一个人抽得球票，该事件记为如果已知第一个人抽得球票，该事件记为A A, , 问第二个人抽问第二个人抽得球票的概率多大得球票的概率多大?
7、 ?n n解解: :n n在在A A发生下发生下,B,B发生概率发生概率n n因只剩因只剩9 9张票中张票中1 1张球要张球要n nP P( (B B A)=1/9A)=1/97统计学知识补充n n条件概率和概率乘法条件概率和概率乘法定理定理n nA, BA, B两个事件两个事件,P(A),P(A) 0, 0,则称则称在在A A发生的前提下发生的前提下B B发生的发生的概率为概率为B B在假设在假设A A下的条件下的条件概率概率: :n n记作记作P(BP(B A)A)n n概率乘法公式概率乘法公式: :n nP(AB)=P(A)P(BP(AB)=P(A)P(B A)A)8统计学知识补充n n
8、全概率公式全概率公式n n我们已知前例我们已知前例n nP(B)=2/10P(B)=2/10n nB=AB=AbarbarB+A BB+A Bn nP(B)=P(AP(B)=P(A bar bar B B +AB)+AB)n n=P(A=P(AbarbarB)+P(AB)B)+P(AB)n n=P(A)P(B=P(A)P(B A A bar bar)+P(A)+P(A bar bar) ) P(BP(B A A bar bar) )n n=2/10*1/9+8/10*2/9=2/10=2/10*1/9+8/10*2/9=2/10n nP(B)=P(B)= P(Ai) P(BP(Ai) P(B
9、Ai)Ai)n n=P(A)P(B=P(A)P(B A)+P(A) P(BA)+P(A) P(B A)A)n n=2/10*1/9+8/10*2/9=2/10=2/10*1/9+8/10*2/9=2/10 n n全概公式的思想是当求全概公式的思想是当求P(B)P(B)有困有困难时难时, ,可观察其发生的原因可观察其发生的原因n n如图如图n n n n原因有两个原因有两个: AB: AB和和 AbarB , AbarB ,求出求出P(AbarB)P(AbarB)和和P(A B),P(A B),然后相加然后相加. .9统计学知识补充10统计学知识补充n n逆概公式逆概公式:(Bayes :(Ba
10、yes 公式公式): ):n n与全概率公式的与全概率公式的“ “由因导果由因导果” ”n n相反相反, , 它是它是“ “执果导因执果导因” ”n n n n求：求： P(AjB) P(AjB)n nP(AjP(Aj B B） = _ = _P(Aj)P(BP(Aj)P(B Aj)_Aj)_n n P(Ai)P(B P(Ai)P(B Ai)Ai)n n 11统计学知识补充n n假定用血清甲胎蛋白的方法诊断肝癌假定用血清甲胎蛋白的方法诊断肝癌: :n n令：令：C=C=“ “被检验者患有肝癌被检验者患有肝癌” ”n n A= A=“ “判断被检验者患有肝癌判断被检验者患有肝癌” ”n n设在人
11、群中：设在人群中：P( C)=0.0004P( C)=0.0004；又设用该法诊断时：；又设用该法诊断时：P(AP(A C)=0.95C)=0.95 P(A P(A C)=0.90C)=0.90n n现在若有一个人被诊断为患有肝癌现在若有一个人被诊断为患有肝癌, ,求：此人真的患有肝癌求：此人真的患有肝癌的概率的概率P(CP(C A)A)12统计学知识补充13统计学知识补充统计学知识补充随机变量及其分布随机变量及其分布n n随机变量随机变量随机变量随机变量n n令试验的每一个可能的结果（样本点）令试验的每一个可能的结果（样本点）w w唯一地对应与一唯一地对应与一个实数个实数 （w),w),则称
12、则称 （w)w)为随机变量随机变量是样本点为随机变量随机变量是样本点的函数的函数n n设一批产品共设一批产品共100100件，其中有件，其中有5 5件次品。现从中任取件次品。现从中任取5050件。件。n n问：取到的次品件数是多少？问：取到的次品件数是多少？ 讲义讲义P40/P40/和和概论题比较概论题比较概论题比较概论题比较n n离散型随机变量离散型随机变量n n连续型随机变量连续型随机变量1415统计学知识补充n n随机变量的两个参数随机变量的两个参数随机变量的两个参数随机变量的两个参数n n均值：均值： 用来表示分布的中心位置，通常用用来表示分布的中心位置，通常用E(X)E(X)或或 来
13、表示来表示. . 样本均值：样本均值：x=(xx=(xi i)/n)/n 样本均值处于样本的中间位置，它可以反映总体分布的均样本均值处于样本的中间位置，它可以反映总体分布的均值值, , 是是E(X)E(X)或或 的无偏点估计。的无偏点估计。n n方差：方差： 用来表示分布的散布大小，通常用用来表示分布的散布大小，通常用D(X)D(X)或或 2 2来表示，方差来表示，方差大意味着分布较宽较分散，方差小意味着分布窄较集中。大意味着分布较宽较分散，方差小意味着分布窄较集中。 样本方差：样本方差：s s2 2=(x=(xi i-x)-x)2 2/(n-1)/(n-1)是是 2 2无偏点估计。无偏点估计
14、。 样本标准差：样本标准差：s s统计学知识补充n n分布函数n n设设 是一个随机变量，是一个随机变量，x x是一个任意实数（是一个任意实数（ x+x+ ), ), 那那么么“ “x”x”是一个事件，它的概率是一个事件，它的概率P(P(x) x)是的是的x x函数，我函数，我们记作们记作Ft(x): Ft(x)=P(Ft(x): Ft(x)=P(x) x)n n由分布函数的定义，知道了由分布函数的定义，知道了Ft(x)Ft(x)，就知道了，就知道了 落在区间落在区间( ( ，x x的概率而且，的概率而且， Ft(x) Ft(x) P P（ x)=p(t)dt, x)=p(t)dt, ( (这
15、里这里p(t)p(t)是概率密度函数是概率密度函数1617统计学知识补充n n正态分布 N ( ，2) n n其中其中 是正态分布的中心，质量特性是正态分布的中心，质量特性X X在在 附近取值的机会附近取值的机会最大，最大， 2 2是正态分布的方差，是正态分布的方差， 越大，分布越分散，越大，分布越分散， 越小，越小，分布越集中分布越集中 N (0N (0，1)1)为标准正态分布为标准正态分布n n标准正态分布的特殊地位，它的标准正态分布的特殊地位，它的概率密度用符号概率密度用符号 ，分布，分布函数符号函数符号 表示：表示： n n由于由于正态分布对称：正态分布对称：n n (-x)=(-x)
16、= (x)(x)n n可以证明可以证明n n (-x)=1- (-x)=1- (x)(x) n n例：设例：设 N (0 N (0，1)1)，求，求PI PI I3 I3解：解： PI I3=P(-3 PI I3=P(-3 3) 3) = = (3)-(3)- (-3)(-3) =2 =2 (3)-(3)- 1 1 =1.9973-1 =1.9973-1 =0.9973 =0.9973这个数字重要，应该记住！这个数字重要，应该记住！正态概率的分布正态概率的分布1819统计学知识补充正态分布正态分布正态分布正态分布n n正态分布的标准化变换 可改写可改写 设设X XN (N (， 2 2) )，
17、 则则U=(X- )/U=(X- )/N(0N(0，1)1) 即：任一正态变量经过标准化变换即：任一正态变量经过标准化变换 (X- )/(X- )/后都可归一到标准正态分布后都可归一到标准正态分布 如：如： X XN (10 N (10 ，2 22 2) )，通过标准变换，通过标准变换 U= (X- 10)/2 U= (X- 10)/2 N(0N(0，1)1)统计学知识补充中心极限定理和中心极限定理和中心极限定理和中心极限定理和 t分布分布分布分布/ /加强加强加强加强n n中心极限定理的一般描述：中心极限定理的一般描述： 某一个随机变量，只要是由大量的互相独立的因数综合影某一个随机变量，只要
18、是由大量的互相独立的因数综合影响而成，其中每个因数在总的影响下作用很小，那么这种响而成，其中每个因数在总的影响下作用很小，那么这种随机变量近似地服从正态分布。随机变量近似地服从正态分布。n n设设X X，X X， X X， X X，为独立同分布的随机变量列，而且其期，为独立同分布的随机变量列，而且其期望望E(XE(X1 1) )和方差和方差(D(X(D(X1 1) ) 存在，存在，n n则则limPaSlimPaSn n-n E(X-n E(X1 1) / b =) / b =（待续）（待续）n n这表明只要这表明只要n n充分大，随机变量充分大，随机变量 -E(x)/Squ. D(x)/n
19、-E(x)/Squ. D(x)/n服从正服从正态分布。态分布。n n我们的我们的n n还不充分大，就用还不充分大，就用S S2 2取代取代D(x)D(x)，然后把它的分布，然后把它的分布列成表格，这就是列成表格，这就是t t分布。分布。2021统计学知识补充中心极限定理和中心极限定理和 t分布分布n nt分布：n n正态样本均值正态样本均值X X的标准化变换中用样本标准差的标准化变换中用样本标准差s s代替总体标代替总体标准差准差 后的分布是自由度为后的分布是自由度为n-1n-1的的t t分布，记为分布，记为t(n-1)t(n-1)，即，即 n(X- )/sn(X- )/st(n-1)t(n-
20、1)n nt分位数 P(ttP(tta a)=a)=a，记为，记为a a的分位数为的分位数为t ta a t ta a=-t=-t1-a1-an nt分布的查表练习 n=10 an=10 a取取0.05 0.05 查表查表t t1-a/21-a/2(n-1)(n-1)n n当当s s趋向趋向 ，s=s= ; ; t t分布就正态分布分布就正态分布22统计学知识补充统计学知识补充统计统计估计估计估计估计n n参数估计：点估计、区间估计参数估计：点估计、区间估计n n点估计点估计 用样本均值用样本均值X Xbarbar去估计总体均值去估计总体均值 用样本方差用样本方差S S2 2去估计总体方差去估
21、计总体方差 2 2 n n正态标准差正态标准差 的无偏估计有两个：的无偏估计有两个： R R=R/d=R/d2 2 ； SPCSPC中（中（X-R)X-R)图图 S S=S/c=S/c4 4 SPCSPC中（中（X-S) X-S) 图图23统计学知识补充n n区间估计(针对MSA中偏移的估计） （ 对于参数对于参数x x，如果估计，如果估计x x落在落在x x1 1和和x x2 2之间的概率为之间的概率为1-a1-a，即：，即：P (xP (x1 1xxxx2 2)=1-a)=1-a，则称随机区间，则称随机区间 x1x1，x2x2是是x x的置信水平的置信水平为为1-a1-a的置信区间）可删节
22、？的置信区间）可删节？ 为未知情形下，为未知情形下，的置信区间的置信区间n n 若 是未知参数，则以 的无偏估计 代替 ，这时由于枢轴变量n n （7-15）n n 所以对给定的置信度 ，存在 使n n （7-16）n n 这里 的是自由度为n-1的t分布的 -上侧分位数，它的值可查附表4求得，将（7-15）中的T代入（7-16）可得n n因此有 n n （7-17）n n所以的置信度为 的置信区间是n n （7-18）n n其长度为 n n 需要说明的是：置信区间公式中的 ， ，在实际问题中都是具体观测值，计算时应是 26统计学知识补充n n我们用有限样本对偏移置信区间进行统计推断，我们用有
23、限样本对偏移置信区间进行统计推断，用的就是用的就是这方法。这方法。27统计学知识补充假设检验假设检验假设检验假设检验n n其基本思想是根据所获样本，运用统计分析方法，对总体其基本思想是根据所获样本，运用统计分析方法，对总体X X的某种假设的某种假设H H0 0 作出接受或拒绝的判断。作出接受或拒绝的判断。n n具体方法具体方法( (针对针对MSAMSA中中9393页的线形案例）页的线形案例）1 1，建立原假设，建立原假设 H H0 0： 00 H H1 1： 002 2，选择检验统计量，给出拒绝的形式，选择检验统计量，给出拒绝的形式3 3，给出显著性水平，给出显著性水平a a，常取，常取a=0
24、.05a=0.054 4，定出临界值，定出临界值c c，写出拒绝域，写出拒绝域WW5 5，判断，判断统计学知识补充n n我们在生产中，有时会遇到以下类似的问题我们在生产中，有时会遇到以下类似的问题n n例：某厂有一批产品，例：某厂有一批产品，200200件，按规定，次品率不得超过件，按规定，次品率不得超过1%1%，今在其中任抽，今在其中任抽5 5件，发现有次品，问这批产品能出厂件，发现有次品，问这批产品能出厂吗？吗？n n+ + 内容内容n n假设检验的方法，能解决上述问题假设检验的方法，能解决上述问题n n它的基本思想是：它的基本思想是：n n用反证法用反证法n n首先假设，例首先假设，例
25、P 0.01 P 0.01，成立，成立n n而看由此会发生什么后果，如果而看由此会发生什么后果，如果n n导致不合格现象出现导致不合格现象出现n n则假设不成立，否则，不能拒绝这个假设则假设不成立，否则，不能拒绝这个假设28统计学知识补充n n应该指出应该指出n n 这里的反证法不是纯数的反证法这里的反证法不是纯数的反证法n n 而是基于在实践中广泛采用的原则：而是基于在实践中广泛采用的原则：n n “ “小概率事件（几乎不可能的事件）在一次观察中基本小概率事件（几乎不可能的事件）在一次观察中基本不会发生不会发生”n nMSA MSA 中对线性的研究，用的就是这方法中对线性的研究，用的就是这方
26、法2930统计学知识补充假设检验假设检验假设检验假设检验/ /要简化，明确要简化，明确要简化，明确要简化，明确n n正态总体均值正态总体均值 的假设检验的假设检验 n n 已知时，用已知时，用u u检验检验n n 未知时，用未知时，用t t 检验检验n n非参数时，用非参数时，用 2 2检验检验 统计学知识补充统计学知识补充假设检验假设检验n n 非参数的统计推断和一致性假设检验，非参数的统计推断和一致性假设检验，非参数的统计推断和一致性假设检验，非参数的统计推断和一致性假设检验，即即Kappa Kappa 检验检验 ( (结合讨论结合讨论 2 2检验检验) )。n n建立建立建立建立2 2行
27、行行行2 2列表（列表（列表（列表（22 contingency table22 contingency table）：）：）：）：计算理论数计算理论数（TRCTRC），计算公式为：），计算公式为： TRC=nR.nc/n TRC=nR.nc/n 公式公式 式中式中TRCTRC是表示第是表示第R R行行C C列格子的理论数，列格子的理论数，nRnR为理论数同行为理论数同行的合计数，的合计数，nCnC为与理论数同列的合计数，为与理论数同列的合计数，n n为总例数。为总例数。 结果就产生结果就产生MSAMSA中第中第128128页的四个数：页的四个数： 1515.7 .7R1C1R1C1, 34.
28、3, 34.3R1C2R1C2, 31.3, 31.3R2C1R2C1,68.7,68.7R2C2.R2C2.31统计学知识补充统计学知识补充假设检验假设检验n n计算计算计算计算kappakappa：n no o：P observedP observed（判断一致性比率，即不同作业员之间、（判断一致性比率，即不同作业员之间、同作业员不同次数之间）同作业员不同次数之间）= = (Pass Pass+Fail Fail)/ (Pass Pass+Fail Fail)/总的检验总的检验次数次数 Pc Pc：P chance P chance （预期偶然达成一致的比率）（预期偶然达成一致的比率） =
29、(Pass Pass +Fail Pass)*(Pass Pass +Pass Fail/=(Pass Pass +Fail Pass)*(Pass Pass +Pass Fail/总检验次数之总检验次数之平方平方+(Pass Fail +Fail Fail)*(Fail Pass +Fail Fail)/+(Pass Fail +Fail Fail)*(Fail Pass +Fail Fail)/总的检验次总的检验次数之方数之方kappa= (P observed-P chance) / (1-P chance)kappa= (P observed-P chance) / (1-P chan
30、ce)32统计学知识补充回归分析回归分析n n经验公式和最小二乘经验公式和最小二乘法法n n在计算在计算MSAMSA的线性时，用到的线性时，用到了一元回归分析了一元回归分析n n它的思想是：它的思想是：n n当我观察散点图上的散点很当我观察散点图上的散点很接近一条直线时接近一条直线时n n我们就根据经验公式估计：我们就根据经验公式估计：n n=a+bx=a+bxn n 我们用数量：我们用数量： Y Y t t -( a+ b -( a+ b t t ) )2 2刻划（刻划（ X X t t ,Y ,Y t t ) )到直线到直线L L远距离远距离 L L线线 (Xn, Yn) (Xn, Yn)
31、 （X X5 5，Y Y5 5） （X X3 3，Y Y3 3） （X X1 1，Y Y1 1） （X X4 4，Y Y4 4） 图图 （X X2 2，Y Y2 2）33统计学知识补充回归分析回归分析n n令令Q(Q( a, b)= Y-(a a, b)= Y-(a t t+ b + b t t) )2 2n n使使Q(Q( a, b) a, b)最小：最小： 最小最小= =乘原则乘原则 解得解得 a=y-b x a=y-b x b=. b=. 34统计学知识补充回归分析回归分析n n平方和分解公式与线性相关关系n n经验公式经验公式 Y=a+bY=a+bX Xn n即使是非线性关系也能求得，
32、所以要作线性相关判别即使是非线性关系也能求得，所以要作线性相关判别n n方法：方法： 求求U U：回归平方和（线性影响）：回归平方和（线性影响） Q Q：残差平方和（非线性影响）：残差平方和（非线性影响） 比较比较U U和和QQ 选取量选取量 F=U/QF=U/Q/(/(n-2)n-2)35统计学知识补充回归分析回归分析( (计算复杂，略去）计算复杂，略去）n n预报与控制预报与控制（在（在MSAMSA中，被用来估计线性的置信区间，在中，被用来估计线性的置信区间，在SPC SPC 附附录录A A中被用来估计样本量对指数的影响）：中被用来估计样本量对指数的影响）：n n当经验公式当经验公式Y=a
33、+bY=a+bX X 计算出以后，我们可以通过数据（计算出以后，我们可以通过数据（x x1 1,y ,y1 1), (x), (x2 2,y ,y2 2), ), (x (xn n,y ,yn n) ) 来预报来预报n nYhat=a+bYhat=a+bX+X+ 的范围。也就是的范围。也就是YhatYhat的置信区间。的置信区间。n n该区间为：该区间为： Yhat Yhat s, Yhat+s, Yhat+ s s n n 求求S S：见：见MSAMSA第第9393页；页；n n 求求 ：按：按MSAMSA线性中的例子，样本量较大（线性中的例子，样本量较大（n=60), n-2n=60),
34、n-2的的t t 分布接近分布接近N(0,1)N(0,1)（中心极限定理）。所以我们可以直接查标准正态分布表：（中心极限定理）。所以我们可以直接查标准正态分布表： 0.05, 0.05, =1.96.=1.96.n n这里这里S S是关键，是关键， S S越小，置信区间越窄，预报越准确。越小，置信区间越窄，预报越准确。36习题部分习题部分n n概概 率题例：率题例：n n1010个人抽两张球票个人抽两张球票,( ,(既既1010个签个签,8 ,8个写个写“ “无无”,2”,2个写个写 “ “有有”),”),一个一个依次抽取一个一个依次抽取 , , 求第求第k (k=1,2,.10)k (k=1
35、,2,.10)个人抽个人抽得球票概率得球票概率 n n古典概型题例：古典概型题例：n n盒中装有五个球（三个白球，两个黑球），从中任取一个。盒中装有五个球（三个白球，两个黑球），从中任取一个。问：取到白球的概率是多少？问：取到白球的概率是多少？n n条件概条件概 率题例：率题例：n n盒中装有五个球（三个白球，两个黑球），每次从中任取盒中装有五个球（三个白球，两个黑球），每次从中任取一个，无放回地取两次，一个，无放回地取两次，n n求：第一次取到白球的概率；第二次取到白球的概率；第求：第一次取到白球的概率；第二次取到白球的概率；第一次取到白球的条件下第二次取到白球的概率？一次取到白球的条件下第
36、二次取到白球的概率？37习题部分习题部分n n独立性题例：独立性题例：自自P25P25 n n盒中装有五个球（三个白球，两个黑球），每次从中任取盒中装有五个球（三个白球，两个黑球），每次从中任取一个，有放回地取两次。一个，有放回地取两次。n n n n全概全概 公式题例：公式题例：n n盒中装有五个球（三个白球，两个黑球），每次从中任取盒中装有五个球（三个白球，两个黑球），每次从中任取一个，无放回地取两次，一个，无放回地取两次，n n求：第二次取到白球的概率求：第二次取到白球的概率38习题部分习题部分n n逆概 公式题例：自自讲义讲义P34P34题题2 2n n盒中有盒中有1212个乒乓球，个乒乓球，9 9个新的，第一次比赛时取个新的，第一次比赛时取3 3个，比赛个，比赛后放回盒中。第二次比赛时再从盒中取后放回盒中。第二次比赛时再从盒中取3 3个。个。n n求第二次求第二次 从盒中取到新球的概率。从盒中取到新球的概率。n n又，已知第二次又，已知第二次 从盒中取到的都是新球，求第一次从盒中取到的都是新球，求第一次 从盒从盒中取到的都是新球的概率？中取到的都是新球的概率？39
