《单自由度系统在一般激励下的受迫振动.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《单自由度系统在一般激励下的受迫振动.ppt（42页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第第第第6 6 6 6讲讲讲讲 单自由度系统在一般激励下的受迫振动单自由度系统在一般激励下的受迫振动单自由度系统在一般激励下的受迫振动单自由度系统在一般激励下的受迫振动 Mechanical and Structural Vibration 6.1 6.1 6.1 6.1 周期激励作用下的受迫振动周期激励作用下的受迫振动周期激励作用下的受迫振动周期激励作用下的受迫振动 6.2 6.2 6.2 6.2 任意激励作用下的受迫振动任意激励作用下的受迫振动任意激励作用下的受迫振动任意激励作用下的受迫振动 6.3 6.3 6.3 6.3 响应谱响应谱响应谱响应谱 周期振动 展成傅氏级数一个周期 T中的平
2、均值 n=1,2,3,n=1,2,3,基频 6.1 6.1 6.1 6.1 周期激励作用下的受迫振动周期激励作用下的受迫振动周期激励作用下的受迫振动周期激励作用下的受迫振动Mechanical and Structural Vibration 一个周期振动可视为频率顺次为基频 及整倍数的若干或无数简谐振动分量的合成振动过程。 在振动力学中将傅氏展开称为谐波分析在振动力学中将傅氏展开称为谐波分析 周期函数的幅值频谱图，相位频谱图。周期函数的幅值频谱图，相位频谱图。周期函数的谱线是互相分开的，故称为离散频谱。周期函数的谱线是互相分开的，故称为离散频谱。周期振动的谐波分析周期振动的谐波分析 6.1
3、6.1 6.1 6.1 周期激励作用下的受迫振动周期激励作用下的受迫振动周期激励作用下的受迫振动周期激励作用下的受迫振动Mechanical and Structural Vibration 函数的频谱，说明了组成该函数的简谐成分，反映了该函数的频谱，说明了组成该函数的简谐成分，反映了该周期函数的特性。这种分析振动的方法称为频谱分析。周期函数的特性。这种分析振动的方法称为频谱分析。由于自变量由时间改变为频率，所以频谱分析实际上是由于自变量由时间改变为频率，所以频谱分析实际上是由时间域转入频率域。由时间域转入频率域。这是将周期振动展开为傅里叶级数的另一个物理意义。这是将周期振动展开为傅里叶级数的
4、另一个物理意义。 周期振动的谐波分析周期振动的谐波分析 6.16.16.16.1周期激励作用下的受迫振动周期激励作用下的受迫振动周期激励作用下的受迫振动周期激励作用下的受迫振动Mechanical and Structural Vibration 周周期期振振动动的的谐谐波波分分析析以以无无穷穷级级数数出出现现，但但一一般般可可以以用用有有限限项项近似表示周期振动。近似表示周期振动。例例 已知一周期性矩形波如图所示，试对其作谐波分析。已知一周期性矩形波如图所示，试对其作谐波分析。 解解 矩矩形形波波一一个个周周期期内内函函数数F (t)可表示为可表示为表示表示F(t)的波形关于的波形关于t轴对
5、称，故其平均值为零。轴对称，故其平均值为零。 周期振动的谐波分析周期振动的谐波分析 6.16.16.16.1周期激励作用下的受迫振动周期激励作用下的受迫振动周期激励作用下的受迫振动周期激励作用下的受迫振动Mechanical and Structural Vibration n=1，2，3于是，得于是，得F(t)的傅氏级数的傅氏级数F(t)是奇函数，在它的傅氏级数是奇函数，在它的傅氏级数中也只含正弦函数项。在实际中也只含正弦函数项。在实际的振动计算中，根据精度要求，的振动计算中，根据精度要求，级数均取有限项。级数均取有限项。F(t)的幅值频的幅值频谱如图所示。谱如图所示。 周期振动的谐波分析周
6、期振动的谐波分析 6.16.16.16.1周期激励作用下的受迫振动周期激励作用下的受迫振动周期激励作用下的受迫振动周期激励作用下的受迫振动Mechanical and Structural Vibration 非周期函数的连续频谱非周期函数的连续频谱函数函数f ( t )的傅氏积分公式的傅氏积分公式f ( t )的傅氏变换的傅氏变换 的傅氏逆变换的傅氏逆变换 又称非周期函数又称非周期函数f ( t )的频谱函数。频谱函数的值一般是复数。的频谱函数。频谱函数的值一般是复数。 连续频谱连续频谱 f ( t )称为非周期函数称为非周期函数 6.16.16.16.1周期激励作用下的受迫振动周期激励作用
7、下的受迫振动周期激励作用下的受迫振动周期激励作用下的受迫振动Mechanical and Structural Vibration 例例 试求图示单个矩形脉冲的频谱图形。试求图示单个矩形脉冲的频谱图形。可求得频谱函数可求得频谱函数f (t)的傅氏积分为的傅氏积分为解解: f ( t )可表示为可表示为非周期函数的连续频谱非周期函数的连续频谱 6.16.16.16.1周期激励作用下的受迫振动周期激励作用下的受迫振动周期激励作用下的受迫振动周期激励作用下的受迫振动Mechanical and Structural Vibration 其振幅频谱其振幅频谱频谱图频谱图傅氏积分和变换，是研究瞬态振动傅
8、氏积分和变换，是研究瞬态振动与随机振动的重要工具。实际应用与随机振动的重要工具。实际应用时，可使用计算机运算或应用各种时，可使用计算机运算或应用各种快速傅氏分析仪器快速傅氏分析仪器(FFT)。 非周期函数的连续频谱非周期函数的连续频谱 6.16.16.16.1周期激励作用下的受迫振动周期激励作用下的受迫振动周期激励作用下的受迫振动周期激励作用下的受迫振动Mechanical and Structural Vibration 6.16.16.16.1周期激励作用下的受迫振动周期激励作用下的受迫振动周期激励作用下的受迫振动周期激励作用下的受迫振动先对周期激励作谐波分析，将它分解为一系列不同频率的简
9、谐先对周期激励作谐波分析，将它分解为一系列不同频率的简谐激励。然后，求出系统对各个频率的简谐激励的响应。再由线激励。然后，求出系统对各个频率的简谐激励的响应。再由线性系统的叠加原理，将每个响应分别叠加，即得到系统对周期性系统的叠加原理，将每个响应分别叠加，即得到系统对周期激励的响应。激励的响应。 设粘性阻尼系统受到周期激振力设粘性阻尼系统受到周期激振力谐波分析方法，得到谐波分析方法，得到系统的运动微分方程为系统的运动微分方程为周期基频Mechanical and Structural Vibration由叠加原理，并考虑欠阻尼情况，得到系统的稳态响应由叠加原理，并考虑欠阻尼情况，得到系统的稳态
10、响应 6.16.16.16.1周期激励作用下的受迫振动周期激励作用下的受迫振动周期激励作用下的受迫振动周期激励作用下的受迫振动Mechanical and Structural Vibration 例例 弹弹簧簧质质量量系系统统，受受到到周周期期性性矩矩形形波波的的激激励励。试试求求系系统的稳态响应。统的稳态响应。(其中其中 )解：周期性矩形波的基频为解：周期性矩形波的基频为矩形波一个周期内函数矩形波一个周期内函数将矩形波分解为将矩形波分解为固有频率固有频率 6.16.16.16.1周期激励作用下的受迫振动周期激励作用下的受迫振动周期激励作用下的受迫振动周期激励作用下的受迫振动Mechanic
11、al and Structural Vibration 可得稳态响应可得稳态响应将矩形波分解为将矩形波分解为从频谱图中看，系统只对激励所包含的谐波分量有响应。对于从频谱图中看，系统只对激励所包含的谐波分量有响应。对于频率靠近系统固有频率的那些谐波分量，系统响应的振幅放大频率靠近系统固有频率的那些谐波分量，系统响应的振幅放大因子比较大，在整个稳态响应中占主要成分。因子比较大，在整个稳态响应中占主要成分。 画出系统的响应频谱图画出系统的响应频谱图奇数奇数 6.16.16.16.1周期激励作用下的受迫振动周期激励作用下的受迫振动周期激励作用下的受迫振动周期激励作用下的受迫振动Mechanical a
12、nd Structural Vibration 6.2 6.2 6.2 6.2任意激励作用下的受迫振动任意激励作用下的受迫振动任意激励作用下的受迫振动任意激励作用下的受迫振动物块受到冲量的作用时，物块的位移可忽略不计。但物块的物块受到冲量的作用时，物块的位移可忽略不计。但物块的速度却变化明显。根据力学中的碰撞理论，可得物块受冲量速度却变化明显。根据力学中的碰撞理论，可得物块受冲量作用获得的速度作用获得的速度设冲量的大小为设冲量的大小为作用在单自由度系统中，求响应。作用在单自由度系统中，求响应。对作用时间短、变化急剧的力常用它的冲量进行描述。对作用时间短、变化急剧的力常用它的冲量进行描述。1.
13、用冲量描述瞬态作用用冲量描述瞬态作用Mechanical and Structural Vibration 如果取如果取 为冲量作用的瞬时等价于对初始条件的响应为冲量作用的瞬时等价于对初始条件的响应初位移初位移初速度初速度得到单自由度无阻尼振动系统对冲量的响应得到单自由度无阻尼振动系统对冲量的响应如如果果 作作用用在在 的的时时刻刻，未未加加冲冲量量前前，系系统统静静止止，则则物物块块的响应为的响应为 6.2 6.2 6.2 6.2任意激励作用下的受迫振动任意激励作用下的受迫振动任意激励作用下的受迫振动任意激励作用下的受迫振动Mechanical and Structural Vibratio
14、n同同理理，如如果果在在t = 0时时，冲冲量量作作用用在在有有粘粘性性阻阻尼尼的的物物块块上上，对对欠阻尼的情形，得其响应欠阻尼的情形，得其响应如果如果 作用在作用在 的时刻，则物块的响应为的时刻，则物块的响应为 6.2 6.2 6.2 6.2任意激励作用下的受迫振动任意激励作用下的受迫振动任意激励作用下的受迫振动任意激励作用下的受迫振动Mechanical and Structural Vibration用用 (t)函数表示作用在极短时间内冲击力函数表示作用在极短时间内冲击力 6.2 任意激励作用下的受迫振动任意激励作用下的受迫振动任意激励作用下的受迫振动任意激励作用下的受迫振动 表明只在
15、近旁极其短暂的时间内起作用，其数值为无限大。表明只在近旁极其短暂的时间内起作用，其数值为无限大。 但它对时间积分是有限数但它对时间积分是有限数1。函数的定义是函数的定义是 从积分式可见，如果时间以秒计，从积分式可见，如果时间以秒计， (t)函数的单位是函数的单位是1/s。用用单位脉冲单位脉冲(unit impulse)函数函数 (t)表示表示冲击力冲击力冲量表示施加冲量的瞬时Mechanical and Structural Vibration如果在如果在t = 0的瞬时施加冲量，则相应的冲击力的瞬时施加冲量，则相应的冲击力 当当 ，即施加单位冲量时，冲击力为，即施加单位冲量时，冲击力为F是冲
16、击力是冲击力, (t)函数又称单位脉冲函数，就是由此而得名。函数又称单位脉冲函数，就是由此而得名。单位脉冲力作用于单自由度系统时，其振动微分方程为单位脉冲力作用于单自由度系统时，其振动微分方程为 6.2 6.2 6.2 6.2任意激励作用下的受迫振动任意激励作用下的受迫振动任意激励作用下的受迫振动任意激励作用下的受迫振动Mechanical and Structural Vibration单位脉冲力作用于单自由度系统时，其振动微分方程为单位脉冲力作用于单自由度系统时，其振动微分方程为单位脉冲力作用等价于冲量单位脉冲力作用等价于冲量 作用在有粘性阻尼的物块上，作用在有粘性阻尼的物块上，对欠阻尼的
17、情形，对欠阻尼的情形，根据初始条件可确定根据初始条件可确定A和和 。最后得其响应。最后得其响应 6.2 6.2 6.2 6.2任意激励作用下的受迫振动任意激励作用下的受迫振动任意激励作用下的受迫振动任意激励作用下的受迫振动Mechanical and Structural Vibration为了应用方便，单位脉冲函数的响应用为了应用方便，单位脉冲函数的响应用h(t)表示。得单表示。得单自由度无阻尼系统对单位脉冲函数的响应自由度无阻尼系统对单位脉冲函数的响应有粘性阻尼系统对单位脉冲函数的响应有粘性阻尼系统对单位脉冲函数的响应称为单自由度系统的时域响应函数称为单自由度系统的时域响应函数 6.2 6
18、.2 6.2 6.2任意激励作用下的受迫振动任意激励作用下的受迫振动任意激励作用下的受迫振动任意激励作用下的受迫振动Mechanical and Structural Vibrationh(t)有以下特性不难发现不难发现h(t)的表达式包含系统的所有的动特性参数，它实的表达式包含系统的所有的动特性参数，它实质上是系统动特性在时域的一种表现形式。质上是系统动特性在时域的一种表现形式。h(t)是单位脉冲是单位脉冲冲量的响应，其量纲为冲量的响应，其量纲为位移位移/冲量冲量。 2.3.2系统对单位脉冲力的响应系统对单位脉冲力的响应 6.2 6.2 6.2 6.2任意激励作用下的受迫振动任意激励作用下的
19、受迫振动任意激励作用下的受迫振动任意激励作用下的受迫振动Mechanical and Structural Vibration 6.2 6.2 6.2 6.2任意激励作用下的受迫振动任意激励作用下的受迫振动任意激励作用下的受迫振动任意激励作用下的受迫振动 作用有一任意激振力作用有一任意激振力F(t)欠阻尼情形物块的运动微分方程欠阻尼情形物块的运动微分方程将激振力看作是一系列元冲量的叠加将激振力看作是一系列元冲量的叠加元冲量为元冲量为 得到系统的响应得到系统的响应Mechanical and Structural Vibration由由线线性性系系统统的的叠叠加加原原理理，系系统统对对任任意意激
20、激振振力力的的响响应应等等于于系系统统在在 时时间间区区间间内内各各个个元元冲量的总和，即冲量的总和，即 得到系统的响应 6.2 6.2 6.2 6.2任意激励作用下的受迫振动任意激励作用下的受迫振动任意激励作用下的受迫振动任意激励作用下的受迫振动Mechanical and Structural Vibration上上式式的的积积分分形形式式称称为为卷卷积积。因因此此，线线性性系系统统对对任任意意激激振振力力的的响响应应等等于于激激励励与与单单位位脉脉冲冲响响应应函函数数的的卷卷积积。这这个个结结论论称称为为博博雷雷尔尔(Borel)定理，也称杜哈梅定理，也称杜哈梅(Duhamel)积分。积
21、分。对无阻尼的振动系统，得到任意激振力的响应对无阻尼的振动系统，得到任意激振力的响应用单位脉冲函数响应表示，得到单自由度系统对任意激振力响用单位脉冲函数响应表示，得到单自由度系统对任意激振力响应的统一表达式应的统一表达式 6.2 6.2 6.2 6.2 任意激励作用下的受迫振动任意激励作用下的受迫振动任意激励作用下的受迫振动任意激励作用下的受迫振动Mechanical and Structural Vibration 系统有初始位移和初始速度，则系统对任意激振力的响应为系统有初始位移和初始速度，则系统对任意激振力的响应为对于无阻尼振动系统的响应为对于无阻尼振动系统的响应为t t1 即激振力停止
22、作用后，物块的运动称为剩余运动。即激振力停止作用后，物块的运动称为剩余运动。以以为初始条件的运动为初始条件的运动 6.2 6.2 6.2 6.2 任意激励作用下的受迫振动任意激励作用下的受迫振动任意激励作用下的受迫振动任意激励作用下的受迫振动Mechanical and Structural Vibration例例 无阻尼弹簧质量系统受到突加常力无阻尼弹簧质量系统受到突加常力F0的作用，试求其响应。的作用，试求其响应。积分后得响应为积分后得响应为代入代入在突加的常力作用下，物块的运动在突加的常力作用下，物块的运动仍是简谐运动，只是其振动中心沿仍是简谐运动，只是其振动中心沿力力F0的方向移动一距
23、离的方向移动一距离解解：取取开开始始加加力力的的瞬瞬时时为为t = 0，受受阶阶跃跃函函数数载载荷荷的的图图形形如图所示。设物块处于平衡位置，且如图所示。设物块处于平衡位置，且 。也是弹簧产生的静变形。也是弹簧产生的静变形。 6.2 6.2 6.2 6.2 任意激励作用下的受迫振动任意激励作用下的受迫振动任意激励作用下的受迫振动任意激励作用下的受迫振动Mechanical and Structural Vibration若若阶阶跃跃力力从从t = a 开开始始作作用用，则则系系统统的响应为的响应为t a 6.2 6.2 6.2 6.2 任意激励作用下的受迫振动任意激励作用下的受迫振动任意激励作
24、用下的受迫振动任意激励作用下的受迫振动Mechanical and Structural Vibration解：在解：在 阶段，系统的响应阶段，系统的响应显然与上例的相同，即显然与上例的相同，即 例例2-10 无阻尼弹簧质量系统，受到矩形脉冲无阻尼弹簧质量系统，受到矩形脉冲作用，试求其响应。作用，试求其响应。当t t1时，F ( t ) = 0，得 6.2 6.2 6.2 6.2 任意激励作用下的受迫振动任意激励作用下的受迫振动任意激励作用下的受迫振动任意激励作用下的受迫振动Mechanical and Structural Vibration 系统的响应为系统的响应为t t1实际上，在实际上
25、，在t t1阶段，物块是以阶段，物块是以t = t1的位移的位移x1和速度和速度 为初为初始条件作自由振动。因此，其响应也可用下面的方法求得。始条件作自由振动。因此，其响应也可用下面的方法求得。 将初始条件将初始条件 6.2 6.2 6.2 6.2 任意激励作用下的受迫振动任意激励作用下的受迫振动任意激励作用下的受迫振动任意激励作用下的受迫振动Mechanical and Structural Vibration 6.2 6.2 6.2 6.2 任意激励作用下的受迫振动任意激励作用下的受迫振动任意激励作用下的受迫振动任意激励作用下的受迫振动 作为研究线性振动系统的工具，作为研究线性振动系统的工
26、具，拉普拉斯变换方法有广方法有广泛的用途。它是求解线性微分方程，特别是常系数的线性微泛的用途。它是求解线性微分方程，特别是常系数的线性微分方程的有效工具。用拉氏变换可简单地写出激励与响应间分方程的有效工具。用拉氏变换可简单地写出激励与响应间的代数关系。的代数关系。 现在说明如何用拉氏变换方法求解单自由度具有粘性欠现在说明如何用拉氏变换方法求解单自由度具有粘性欠阻尼系统对任意激励的响应。由物块的运动微分方程阻尼系统对任意激励的响应。由物块的运动微分方程其中其中f (t)表示任意激振力。并设表示任意激振力。并设t = 0时，时， 对式两端各项作拉氏变换对式两端各项作拉氏变换Mechanical a
27、nd Structural Vibration如不计运动的初始条件，即令如不计运动的初始条件，即令 ，则写成，则写成传递函数 在拉氏域中，系统的响应是系统的传递函数和激励的乘积。在拉氏域中，系统的响应是系统的传递函数和激励的乘积。 6.2 6.2 6.2 6.2 任意激励作用下的受迫振动任意激励作用下的受迫振动任意激励作用下的受迫振动任意激励作用下的受迫振动Mechanical and Structural Vibration对式两端各项作拉氏变换对式两端各项作拉氏变换经整理得经整理得是系统的响应在拉氏域中的表达式是系统的响应在拉氏域中的表达式 6.2 6.2 6.2 6.2 任意激励作用下的
28、受迫振动任意激励作用下的受迫振动任意激励作用下的受迫振动任意激励作用下的受迫振动Mechanical and Structural Vibration例例 具有粘性欠阻尼的系统，受到阶跃力具有粘性欠阻尼的系统，受到阶跃力F (t) = F0的作用，且的作用，且 t = 0时，时， ，试用拉氏变换方法求系统的响应。，试用拉氏变换方法求系统的响应。解：解： 系统的传递函数由式求出系统的传递函数由式求出阶跃力的拉氏变换为阶跃力的拉氏变换为响应的拉氏变换为响应的拉氏变换为引入记号引入记号上式写成上式写成例例 题题 6.2 6.2 6.2 6.2 任意激励作用下的受迫振动任意激励作用下的受迫振动任意激励
29、作用下的受迫振动任意激励作用下的受迫振动Mechanical and Structural Vibration 其中系数可由部分分式方法确定其中系数可由部分分式方法确定最后得到最后得到对上式作拉氏逆变换，即得响应对上式作拉氏逆变换，即得响应例例 题题 6.2 6.2 6.2 6.2 任意激励作用下的受迫振动任意激励作用下的受迫振动任意激励作用下的受迫振动任意激励作用下的受迫振动Mechanical and Structural Vibration例例 题题 系统基础有阶跃加速度系统基础有阶跃加速度 ，初始条件为，初始条件为 ，求质，求质 量量m的相对位移。的相对位移。 解：由牛顿定律，可得系统
30、的微分方程为解：由牛顿定律，可得系统的微分方程为 系统的激振力为系统的激振力为 可得响应为可得响应为 其中 6.2 6.2 6.2 6.2 任意激励作用下的受迫振动任意激励作用下的受迫振动任意激励作用下的受迫振动任意激励作用下的受迫振动Mechanical and Structural Vibration例例 题题 解：由上题可得系统的微分方程为解：由上题可得系统的微分方程为基础有阶跃位移基础有阶跃位移系统的激振力为系统的激振力为可得响应为可得响应为上题中，若基础有阶跃位移，求零初始条件下的绝对位移。上题中，若基础有阶跃位移，求零初始条件下的绝对位移。 6.2 6.2 6.2 6.2 任意激励
31、作用下的受迫振动任意激励作用下的受迫振动任意激励作用下的受迫振动任意激励作用下的受迫振动Mechanical and Structural Vibration例例 题题 求系统响应。求系统响应。 解：由图得激振力方程为解：由图得激振力方程为 当 0 t t1时， 零初始条件的无阻尼系统受图的半正弦脉冲作用，若零初始条件的无阻尼系统受图的半正弦脉冲作用，若 6.2 6.2 6.2 6.2 任意激励作用下的受迫振动任意激励作用下的受迫振动任意激励作用下的受迫振动任意激励作用下的受迫振动Mechanical and Structural Vibration例例 题题 无阻尼系统的支承运动加速度如图，
32、求零初始条件下系统的相对位移。无阻尼系统的支承运动加速度如图，求零初始条件下系统的相对位移。 解：系统运动的微分方程为解：系统运动的微分方程为 支承运动加速度方程为支承运动加速度方程为 当 0 t t1时， 6.2 6.2 6.2 6.2 任意激励作用下的受迫振动任意激励作用下的受迫振动任意激励作用下的受迫振动任意激励作用下的受迫振动Mechanical and Structural Vibration响应谱是系统在给定激励下的响应谱是系统在给定激励下的最大响应值与系统或激励最大响应值与系统或激励的某一参数之间的关系曲线图的某一参数之间的关系曲线图。最大响应值最大响应值可以是系统可以是系统的最
33、大位移、最大加速度、最大应力或出现最大值的时的最大位移、最大加速度、最大应力或出现最大值的时刻等；刻等；参数参数可以选择为系统的固有频率或激励的作用时可以选择为系统的固有频率或激励的作用时间等。间等。响应谱中有关的量都化为无量纲的参数表示响应谱中有关的量都化为无量纲的参数表示。响应谱在工程实际中是很重要的，它揭示出最大值出现响应谱在工程实际中是很重要的，它揭示出最大值出现的条件或时间等。如受迫振动的幅频特性曲线。当振动的条件或时间等。如受迫振动的幅频特性曲线。当振动系统已定，激振力的大小已定时，该曲线表示出受迫振系统已定，激振力的大小已定时，该曲线表示出受迫振动的振幅和激振力频率的关系。振幅就
34、是振动位移的最动的振幅和激振力频率的关系。振幅就是振动位移的最大值，由曲线便能确定最大振幅出现时的激振力频率的大值，由曲线便能确定最大振幅出现时的激振力频率的值。因此，值。因此，幅频特性曲线就是一种响应谱幅频特性曲线就是一种响应谱。 6.3 6.3 6.3 6.3 响应谱响应谱响应谱响应谱Mechanical and Structural Vibration现以前例中，在矩形脉冲现以前例中，在矩形脉冲 作用下的系统作用下的系统为例，说明响应谱的概念。为例，说明响应谱的概念。当当 时时其中其中 ，表示静力，表示静力F F0 0使弹簧产生的变形。使弹簧产生的变形。当当 时时在此阶段，物体作自由振动
35、，振幅为在此阶段，物体作自由振动，振幅为 6.3 6.3 6.3 6.3响应谱响应谱响应谱响应谱Mechanical and Structural Vibration当当t1 时时x(t)与与 都都是是正正值值，x(t)单单调调增增加加，其其极极值值出出现现在在t t1的范围，而且等于剩余振动的振幅。的范围，而且等于剩余振动的振幅。如果以 为纵坐标， xm表示位移的极值， 为横坐标，式的图形就是矩形脉冲力的位移响应谱，如图。 6.3 6.3 6.3 6.3响应谱响应谱响应谱响应谱Mechanical and Structural Vibration 如用tm表示出现位移极值的时刻，由式求出速度的表达式令 ，得它表示在矩形脉冲力的作用下其位移极值出现的时刻与作用力持续时间的关系。 式的图形就是响应谱 6.3 6.3 6.3 6.3响应谱响应谱响应谱响应谱Mechanical and Structural Vibration
