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1、习习 题题 课课一、初等变换一、初等变换初初 等等 变变 换换逆逆 变变 换换换法变换换法变换倍法变换倍法变换消法变换消法变换三种初等变换都是可逆的三种初等变换都是可逆的, 且其逆变换是同一类且其逆变换是同一类型的初等变换型的初等变换.二、矩阵的等价二、矩阵的等价 如果矩阵如果矩阵A可经过有限次初等变换变为矩阵可经过有限次初等变换变为矩阵B, 则则称称矩阵矩阵A与矩阵与矩阵B等价等价. 记作记作A B.三、初等矩阵三、初等矩阵 定义定义: 由单位矩阵由单位矩阵E经过一次初等变换得到的方阵经过一次初等变换得到的方阵称为称为初等矩阵初等矩阵. 三种初等变换对应着三种初等方阵三种初等变换对应着三种初
2、等方阵.对调两行或两列对调两行或两列对调对调E中第中第i, j两行两行, 即即rirj, 得初等方阵得初等方阵: 用用m阶初等矩阵阶初等矩阵Em(i, j)左左乘乘A=(aij)m n, 相当于对相当于对矩阵矩阵A施行第一种初等施行第一种初等行行变换变换: 把把A的第的第i 行与第行与第j 行对行对调调(rirj). 用用n阶初等矩阵阶初等矩阵En(i, j)右右乘乘A=(aij)m n, 相当于对矩相当于对矩阵阵A施行第一种初等施行第一种初等列列变换变换: 把把A的第的第i 列与第列与第j 列对调列对调(cicj).以非零数以非零数k乘某行或某列乘某行或某列以数以数k 0乘单位矩阵的第乘单位
3、矩阵的第i 行得初等矩阵行得初等矩阵E(i (k).以数以数k 0乘某行乘某行(列列)加到另一行加到另一行(列列)上去上去以以k乘乘E的第的第j 行加到第行加到第i 行上行上(ri+krj),或以或以k乘乘E的第的第i 列加到第列加到第j 列上列上(cj+kci). 以以Em(i(k)左左乘矩阵乘矩阵A=(aij)m n, 相当于以数相当于以数k乘乘A的的第第i 行行(ri k). 以以En(i (k)右右乘矩阵乘矩阵A=(aij)m n, 相当于以数相当于以数k乘乘A的第的第i 列列(ci k). 以以Em(ij(k)左左乘矩阵乘矩阵A=(aij)m n,相当于把相当于把A的的第第j 行行乘
4、数乘数k加到加到A的的第第i 行行上上(ri+krj). 以以En(ij(k)右右乘矩阵乘矩阵A=(aij)m n, 相当于把相当于把A的的第第i 列列乘数乘数k加到加到A的的第第j 列列上上(cj+kci).四、初等矩阵与初等变换的关系四、初等矩阵与初等变换的关系 定理定理: 设设A为可逆方阵为可逆方阵, 则存在有限个初等方阵则存在有限个初等方阵P1, P2, Pl , 使使A=P1, P2, , Pl . 推论推论: m n矩阵矩阵A B的充分必要条件是存在的充分必要条件是存在m阶阶可逆方阵可逆方阵P及及n阶可逆方阵阶可逆方阵Q, 使使 PAQ = B .利用初等变换求逆阵的方法利用初等变
5、换求逆阵的方法:即对即对n 2n矩阵矩阵(A|E), 施行初等施行初等行行变换变换, 当把当把A变成变成E时时, 原来的原来的E就变成了就变成了A-1.五、行阶梯形矩阵五、行阶梯形矩阵特点特点是是: 可画出一条阶梯线可画出一条阶梯线, 线的下方全为线的下方全为0; 每个每个台阶只有一行台阶只有一行, 台阶数即是非零行的行数台阶数即是非零行的行数, 阶梯线的竖阶梯线的竖线线(每段竖线的长度为一行每段竖线的长度为一行)后面的第一个元素为非零后面的第一个元素为非零元元,也就是非零行的第一个非零元也就是非零行的第一个非零元.六、行最简形矩阵六、行最简形矩阵行阶梯形矩阵还可以进一步化为行最简形矩阵行阶梯
6、形矩阵还可以进一步化为行最简形矩阵, 其其特点特点是是: 非零行的非零首元为非零行的非零首元为1, 且这些非零元所在且这些非零元所在列的其它元素都为列的其它元素都为0.七、矩阵的标准形七、矩阵的标准形 所有与矩阵所有与矩阵A等价的矩阵组成的一个集合等价的矩阵组成的一个集合, 称为一称为一个个等价类等价类, 标准形标准形F是这个等价类中最简单的矩阵是这个等价类中最简单的矩阵.任一个矩阵任一个矩阵Am n总可经过初等变换化为标准形总可经过初等变换化为标准形 标准形由标准形由m, n, r三个数唯一确定三个数唯一确定, 其中其中r 就是行阶就是行阶梯形矩阵中梯形矩阵中非零行的行数非零行的行数.八、矩
7、阵的秩八、矩阵的秩 若在矩阵若在矩阵A中有一个中有一个r 阶子式阶子式D非零非零, 且所有的且所有的r+1阶子式阶子式(如果存在的话如果存在的话)都为零都为零, 则称则称D为为矩阵矩阵A的一个的一个最高阶非零子式最高阶非零子式, 称称数数 r 为为矩阵矩阵A的秩的秩, 记作记作R(A). 矩阵秩的性质及定理矩阵秩的性质及定理矩阵秩的性质及定理矩阵秩的性质及定理R(AT) = R(A).定理定理: 若若A B, 则则 R(A) = R(B).如果如果A中有一个中有一个r 阶子式非零阶子式非零, 则则 R(A) r .如果如果A的所有的的所有的r+1阶子式都为零阶子式都为零, 则则 R(A) r
8、.行阶梯形矩阵的秩等于非零行的行数行阶梯形矩阵的秩等于非零行的行数.若若A为为n阶可逆矩阵阶可逆矩阵, 则则(1) A的最高阶非零子式为的最高阶非零子式为|A|; (2) R(A)=n;(3) A的标准形为单位矩阵的标准形为单位矩阵E; (4) A E.九、线性方程组有解判别定理及解法九、线性方程组有解判别定理及解法 齐次线性方程组的解法齐次线性方程组的解法: 系数矩阵化成行最简形系数矩阵化成行最简形矩阵矩阵, 便可写出其通解便可写出其通解. 非齐次线性方程组的解法非齐次线性方程组的解法: 增广矩阵化成行阶梯增广矩阵化成行阶梯忢矩阵忢矩阵, 便可判断其是否有解便可判断其是否有解. 若有解若有解
9、, 化成行最简形化成行最简形矩阵矩阵, 便可写出其通解便可写出其通解; 定理定理1: n元线性方程组元线性方程组Am nx=b (1) 无解的充分必要条件是无解的充分必要条件是R(A)R(B); (2) 有唯一解的充分必要条件是有唯一解的充分必要条件是R(A)=R(B)=n; (3) 有无穷多解的充分必要条件是有无穷多解的充分必要条件是R(A)=R(B)n.典型例题典型例题例例1: 求下列矩阵的秩求下列矩阵的秩解解: 对对A施行初等行变换化为阶梯形矩阵施行初等行变换化为阶梯形矩阵,A因此因此, R(A)=R(B)=2.注意注意: 在求矩阵的秩时在求矩阵的秩时, 初等行初等行, 列变换可以同时列
10、变换可以同时兼用兼用, 但一般多用初等行变换把矩阵化成阶梯形但一般多用初等行变换把矩阵化成阶梯形.例例2: 求非齐次线性方程组的通解求非齐次线性方程组的通解. 解解: 对方程组的增广矩阵对方程组的增广矩阵B行初等行变换行初等行变换, 使其成使其成为行最简单形为行最简单形.r23r1r32r1r4 2r1r55r1r22r4r3 (-1)r2r3r4+2r2r5+5r2r52r4r4 6r4r3r25r3r13r3r12r2r1+r3r2+r3r4+r3r5r2由此可知由此可知, R(A)=R(B)=3, 而方程组而方程组(1)中未知量的中未知量的个数是个数是n=4, 故有一个自由未知量故有一个
11、自由未知量. 在此选在此选x4. 令令x4=6k (为任意常数为任意常数). 得方程组得方程组(1)的通解为的通解为:r1r2r4r2r12r4r4r1另解另解:r2+5r1r3+2r1r2 5r3-3r2r1 (-1)由此可知由此可知, R(A)=R(B)=3, 而方程组而方程组(1)中未知量的中未知量的个数是个数是n=4, 故有一个自由未知量故有一个自由未知量. 在此选在此选x3. 令令x3=5k (为任意常数为任意常数). 得方程组得方程组(1)的通解为的通解为: 例例3: 当当a取何值时取何值时, 下述齐次线性方程组有非零解下述齐次线性方程组有非零解, 并且求出它的通解并且求出它的通解
12、.解法一解法一: 系数矩阵系数矩阵A的行列式为的行列式为当当a=-1时时, 把系数矩阵把系数矩阵A化成最简形化成最简形:从而得到方程组的通解从而得到方程组的通解:k为任意常数为任意常数.当当a=-1或者或者a=2时时, |A|=0, 方程组有非零解方程组有非零解.当当a=2时时, 把系数矩阵把系数矩阵A化成最简形化成最简形:从而得到方程组的通解从而得到方程组的通解:k为任意常数为任意常数.解法二解法二: 用初等行变换把系数矩阵用初等行变换把系数矩阵A化为阶梯形化为阶梯形 当当a=1或者或者a=2时时, R(A)4, 此时方程组有非零解此时方程组有非零解.可仿照解法一求出它的解可仿照解法一求出它的解.例例4: 求矩阵求矩阵解解: 作分块矩阵作分块矩阵(A|E), 施行初等行变换施行初等行变换.的逆矩阵的逆矩阵.所以所以 注意注意: 用初等行变换求逆矩阵时用初等行变换求逆矩阵时, 必须始终用必须始终用行变行变换换, 其间其间不能作任何列变换不能作任何列变换. 初等变换法解矩阵方程初等变换法解矩阵方程(1) AX=B(2) XA=B例例5: 设设且且AX=A+2X, 求矩阵求矩阵X.解解: 因为因为 AX=A+2X, 所以所以(A2E)=A, 而而又又所以所以
