向量与三角形五心证明及知识运用(精华版AAA)精品资料175

向量与三角形五心证明及知识运用(精华版AAA) 精品资料 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢2 向量与三角形内心、外心、重心、垂心知识的交汇 一、四心的概念介绍 1.定义：我们把三角形三个内角的角平分线的交点叫做三角形的内心,即三角形内切圆圆心;三角形三条边上的中垂线的交点叫做三角形的外心,即三角形外接圆圆心;三角形三条边上的中线的交点叫做三角形的重心;三角形三条高线的交点叫做三角形的垂心.我们将三角形的“内心”、“外心”、“重心”、“垂心”合称为三角形的“四心”. （1）重心——中线的交点：重心将中线长度分成 2：1； （2）垂心——高线的交点：高线与对应边垂直； （3）内心——角平分线的交点（内切圆的圆心）：角平分线上的任意点到角两边的距离相等； （4）外心——中垂线的交点（外接圆的圆心）：外心到三角形各顶点的距离相等 2.应用:三角形的内心到三角形三边的距离相等;三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等;三角形的重心到三角形的顶点的距离是相应中线长的三分之二 ;三角形的垂心与顶点的连线垂直于该顶点的对边 . 3.注意点:三角形的“四心”与平面向量知识的结合. 二、四心与向量的结合 （1）0OCOBOAO是ABC的重心. 证法 1：设),(),,(),,(),,(332211yxCyxByxAyxO 0OCOBOA0)()()(0)()()(321321yyyyyyxxxxxx33321321yyyyxxxx O是ABC的重心. 证法 2：如图 OABCDE精品资料 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢3 OCOBOA02ODOA ODAO2 DOA、、三点共线，且O分AD为 2：1 O是ABC的重心 （2）OAOCOCOBOBOAO为ABC的垂心. 证明：如图所示 O是三角形 ABC 的垂心，BE 垂直 AC，AD垂直 BC， D、E是垂足. 0)(CAOBOCOAOBOCOBOBOA ACOB  同理BCOA ，ABOC  O为ABC的垂心 （3）设a,b,c是三角形的三条边长，O 是ABC 的内心 OOCcOBbOAa0为ABC的内心. 证明：bACcAB、分别为ACAB、方向上的单位向量， bACcAB平分BAC, (AObACcAB)，令cbabc cbabcAO（bACcAB) 化简得0)(ACcABbOAcba 0OCcOBbOAa （4）OCOBOAO为ABC的外心。

典型例题： 例 1、O是平面上一定点，CBA、、是平面上不共线的三个点，动点P满足)(ACABOAOP，, 0 ，则点P的轨迹一定通过ABC的（ ） OABCDE精品资料 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢4 A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 分析：如图所示ABC，ED、分别为边ACBC、的中点. ADACAB2 ADOAOP2 APOAOP ADAP2 AP//AD 点P的轨迹一定通过ABC的重心，即选C. 例 2、（03 全国理 4）O是平面上一定点，CBA、、是平面上不共线的三个点，动点P满足)(ACACABABOAOP，, 0 ，则点P的轨迹一定通过ABC的（ B ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 分析：ACACABAB、分别为ACAB、方向上的单位向量， ACACABAB平分BAC, 点P的轨迹一定通过ABC的内心，即选B. 例 3、O是平面上一定点，CBA、、是平面上不共线的三个点，动点P满足)coscos(CACACBABABOAOP，, 0 ，则点P的轨迹一定通过ABC的（ ） A ．外心 B ．内心 C ．重心 D ．垂心 ABCDE精品资料 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢5 分析：如图所示 AD 垂直 BC，BE垂直 AC， D、E是垂足. )coscos(CACACBABABBC=CACBCACBABBCABcoscos =CACCBCACBABBBCABcoscoscoscos=BC+BC=0 点P的轨迹一定通过ABC的垂心，即选D. 例 4、已知点 G是ABC内任意一点,点 M是ABC所在平面内一点.试根据下列条件判断 G点可能通过ABC的__________心.(填“内心”或“外心”或“重心”或“垂心”). (1)若存在常数,满足()(0)ABACMGMAABAC,则点 G可能通过ABC的__________. (2)若点 D是ABC的底边 BC 上的中点,满足GCGDGBGD,则点 G可能通过ABC的__________. (3)若存在常数,满足0sinsinCACACBABABMAMG,则点 G可能通过ABC的__________. ABCDE精品资料 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢6 (4)若存在常数,满足0coscosCACACBABABMAMG,则点 G可能通过ABC的__________. 例 5、若 O点是ABC的外心, H点是ABC的垂心, 且()OHm OAOBOC,求实数 m的值. 练习 1： 1．已知ABC三个顶点CBA、、及平面内一点P，满足0PCPBPA，若实数满足：APACAB，则的值为（ ） A．2 B ．23 C．3 D ．6 2．若ABC的外接圆的圆心为 O，半径为 1，0OCOBOA，则OBOA( ) A．21 B．0 C．1 D．21 3．点O在ABC内部且满足022OCOBOA，则ABC面积与凹四边形ABOC面积之比是（ ） A．0 B．23 C．45 D．34 4．ABC的外接圆的圆心为 O，若OCOBOAOH，则H是ABC的（ ） A． 外心 B ． 内心 C． 重心 D． 垂心 5．O是平面上一定点，CBA、、是平面上不共线的三个点，若222OBBCOA 精品资料 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢7 222ABOCCA，则O是ABC的（ ） A．外心 B ．内心 C．重心 D．垂心 6．ABC的外接圆的圆心为 O，两条边上的高的交点为H，)(OCOBOAmOH， 则实数 m = 7．（06 陕西）已知非零向量 AB→与AC→满足(AB→|AB→| +AC→|AC→| )·BC→=0 且AB→|AB→| ·AC→|AC→| =12 , 则 △ABC 为( ) A．三边均不相等的三角形 B．直角三角形 C．等腰非等边三角形 D．等边三角形 8．已知ABC三个顶点CBA、、，若CABCCBABACABAB2，则ABC为（ ） A．等腰三角形 B ．等腰直角三角形 C．直角三角形 D ．既非等腰又非直角三角形 练习答案： C、D、C、D、D、1、D、C 练习 2： 举一反三：通过上述例题及解答,我们可以总结出关于三角形“四心”的向量表达式.若P点为ABC内任意一点，若P点满足: 精品资料 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢8 1．(),0()0ABACAPABACPABCBABCBPttBABC为的内心，; 2.DE、两点分别是ABC的边BCCA、上的中点,且 DP PBDP PCPABCEP PCEP PA为的外心; 3. 1(),31()3APABACPABCBPBABC为的重心，; 4. 00AP BCPABCBP AC为的垂心. 5．已知 A、B、C 是平面上不共线的三点，O是三角形 ABC 的重心，动点 P满足 OP=31 (21OA+OB21+2OC),则点 P一定为三角形 ABC 的 （ B ） A.AB边中线的中点 B.AB边中线的三等分点（非重心） C.重心 D.AB边的中点 6.B取 AB边的中点 M，则OMOBOA2，由OP=31 (21OA+OB21+2OC)可得 3MCOMOP23，∴MCMP32，即点P为三角形中AB边上的中线的一个三等分点，且点 P不过重心，故选 B. 7.在同一个平面上有ABC及一点Ｏ满足关系式： 2OA＋2BC＝2OB＋2CA＝2OC＋2AB，则Ｏ为ABC的 （ D ） Ａ 外心 Ｂ 内心 C 重心 D 垂心 8.已知△ABC 的三个顶点 A、B、C 及平面内一点 P 满足：0PAPBPC，则P 为ABC的 （ C ） 精品资料 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢9 Ａ 外心 Ｂ 内心 C 重心 D 垂心 9．已知 O 是平面上一 定点，A、B、C 是平面上不共线的三个点，动点 P 满足： )(ACABOAOP，则 P 的轨迹一定通过△ ABC 的 （ C ） Ａ 外心 Ｂ 内心 C 重心 D 垂心 10．已知△ABC，P 为三角形所在平面上的动点，且动点 P 满足： 0PA PCPA PBPBPC•••，则 P 点为三角形的 （ D ） Ａ 外心 Ｂ 内心 C 重心 D 垂心 11．已知△ABC，P 为三角形所在平面上的一点，且点 P 满足：0a PAb PBc PC  •，则 P 点为三角形的 （ B ） Ａ 外心 Ｂ 内心 C 重心 D 垂心 12．在三角形 ABC 中，动点 P 满足：CPABCBCA•222，则 P点轨迹一定通过△ABC 的： （ B ） Ａ 外心 Ｂ 内心 C 重心 D 垂心 13.已知非零向量AB→与AC→满足(AB→|AB→| +AC→|AC→| )·BC→=0且AB→|AB→| ·AC→|AC→| =12 , 则△ABC 为( ) A.三边均不相等的三角形 B.直角三角形 C.等腰非等边三角形 D.等边三角形 解析：非零向量与满足(||||ABACABAC)·=0，即角 A的平分线垂直于 BC，∴ AB=AC，又cos A|| ||ABACABAC=12 ，∠A=3，所以△ABC 为等边三角形，选D． 精品资料 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢10 14.ABC的外接圆的圆心为 O，两条边上的高的交点为H，)(OCOBOAmOH，则实数 m = 1 15.点 O 是三角形 ABC 所在平面内的一点，满足OAOCOCOBOBOA，则点 O 是ABC的（B ） （A）三个内角的角平分线的交点 （B）三条边的垂直平分线的交点 （C）三条中线的交点 （D）三条高的交点 三角形“四心”向量形式的充要条件应用 1、O是ABC的重心0OCOBOA; 若 O是ABC的重心，则ABCAOBAOCBOCS31SSS。

故0OCOBOA; 1()3PGPAPBPCG为ABC的重心. 2、O是ABC的垂心OAOCOCOBOBOA; 若 O是ABC(非直角三角形)的垂心，则CtanBtanAtanSSSAOBAOCBOC：：：： 故0OCCtanOBBtanOAAtan 精品资料 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢11 3、O是ABC的外心|OC||OB||OA|(或222OCOBOA) 若 O是ABC外心0OCC2sinOBB2sinOAA2sin C2sin:B2sin:A2sinAOBsinAOCsinBOCsinSSSAOBAOCBOC：：：： 4、O是内心ABC的充要条件是： 0)|CB|CB|CA|CA(OC)|BC|BC|BA|BA(OB)ACAC|AB|AB(OA 引进单位向量，使条件变得更简洁如果记CA,BC,AB的单位向量为321e ,e ,e，则刚才 O 是ABC内心的充要条件可以写成： 0)ee(OC)ee(OB)ee(OA322131 ； O是ABC内心的充要条件0OCcOBbOAa； 若 O是ABC的内心，则cbaSSSAOBAOCBOC：：：： ； 故 0OCCsinOBBsinOAAsin0OCcOBbOAa或; ||||||0AB PCBC PACA PBPABC的内心; 向量()(0)||||ACABABAC所在直线过ABC的内心(是BAC的角平分线所在直线)； 范 例 (一)将平面向量与三角形内心结合考查 例 1．O是平面上的一定点，A,B,C 是平面上不共线的三个点，动点 P 满足)(ACACABABOAOP，, 0则 P 点的轨迹一定通过ABC的（ ） （A）外心 （B）内心 （C）重心 （D）垂心 解析：因为ABAB是向量AB的单位向量设AB与AC方向上的单位向量分别为21ee 和， 又APOAOP，则原式可化为)(21eeAP，由菱形的基本性质知 AP平分BAC，那么在ABC中，AP 平分BAC，则知选 B. (二)将平面向量与三角形垂心结合考查“垂心定理” 例 2． H是△ABC 所在平面内任一点，HAHCHCHBHBHA点 H是△ABC 的垂心. 由ACHBACHBHAHCHBHCHBHBHA00)(, 同理ABHC ，BCHA .故 H是△ABC 的垂心. （反之亦然（证略）） A C B 1e2eP 精品资料 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢12 例 3.(湖南)P 是△ABC 所在平面上一点，若PAPCPCPBPBPA，则 P 是△ABC 的（D ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 解析:由0PCPBPBPAPCPBPBPA得. 即0, 0)(CAPBPCPAPB即 则ABPCBCPACAPB,,同理 所以 P 为ABC的垂心. 故选 D. 点评：本题考查平面向量有关运算，及“数量积为零，则两向量所在直线垂直”、三角形垂心定义等相关知识.将三角形垂心的定义与平面向量有关运算及“数量积为零，则两向量所在直线垂直” 等相关知识巧妙结合。

(三)将平面向量与三角形重心结合考查“重心定理” 例 4． G是△ABC 所在平面内一点，GCGBGA=0点 G是△ABC 的重心. 证明 作图如右，图中GEGCGB 连结 BE和 CE，则 CE=GB，BE=GCBGCE 为平行四边形D是 BC 的中点，AD 为 BC 边上的中线. 将GEGCGB代入GCGBGA=0， 得EGGA=0GDGEGA2，故 G是△ABC 的重心.（反之亦然（证略）） 例 5． P是△ABC 所在平面内任一点.G是△ABC 的重心)(31PCPBPAPG. 证明 CGPCBGPBAGPAPG)()(3PCPBPACGBGAGPG ∵G是△ABC 的重心 ∴GCGBGA=0CGBGAG=0，即PCPBPAPG3 由此可得)(31PCPBPAPG.（反之亦然（证略）） 例 6若O 为ABC内一点，0OAOBOC ，则O 是ABC 的（ ） A．内心 B ．外心 C．垂心 D．重心 解析：由0OAOBOC得OBOCOA ，如图以 OB、OC 为相邻两边构作平行四边形，则OBOCOD，由平行四边形性质知12OEOD，2OAOE，同理可证其它两边上的这个性质，所以是重心，选 D。

点评：本题需要扎实的平面几何知识，平行四边形的对角线互相平分及三角形重心性质：重心是三角形中线的内分点，所分这比为21本题在解题的过程中将平面向量的有关运算与平行四边形的对角线互相平分及三角形重心性质等相关知识巧妙结合 (四)．将平面向量与三角形外心结合考查 例 7若O 为ABC内一点，OAOBOC，则O 是ABC 的（ ） ABCEDO精品资料 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢13 A B(x1,0) C(x2,y2) y x H Q G D E F A．内心 B．外心 C．垂心 D．重心 解析：由向量模的定义知O到ABC的三顶点距离相等故O 是ABC 的外心 ，选B 点评：本题将平面向量模的定义与三角形外心的定义及性质等相关知识巧妙结合 (五)将平面向量与三角形四心结合考查 例 8．已知向量1OP，2OP，3OP满足条件1OP+2OP+3OP=0，|1OP|=|2OP|=|3OP|=1， 求证 △P1P2P3是正三角形.（《数学》第一册（下），复习参考题五 B组第 6 题） 证明 由已知1OP+2OP=-3OP，两边平方得1OP·2OP=21， 同理 2OP·3OP=3OP·1OP=21， ∴|21PP|=|32PP|=|13PP|=3，从而△P1P2P3是正三角形. 反之，若点 O是正三角形△P1P2P3的中心，则显然有1OP+2OP+3OP=0 且|1OP|=|2OP|=|3OP|. 即 O是△ABC 所在平面内一点， 1OP+2OP+3OP=0 且|1OP|=|2OP|=|3OP|点 O是正△P1P2P3的中心. 例 9．在△ABC 中，已知 Q、G、H 分别是三角形的外心、重心、垂心。

求证：Q、G、H 三点共线，且 QG:GH=1:2 【证明】：以 A 为原点，AB 所在的直线为 x 轴，建立如图所示的直角坐标系设 A(0,0)、B（x1,0）、C(x2,y2)，D、E、F 分别为 AB、BC、AC 的中点，则有： 112222,0)(,)(,)22222xxxyxyEFD（、、 由题设可设1324,)(,)2xQyH xy（、,122(,)33xxyG 212243(,)(,)222xxyAHxyQFy， 212(,)BCxxy 2212422142()0()AHBCAHBCxxxy yxxxyy•  212223221232()()0222()22QFA CxxyQFA Cxyyxxxyyy• 121221224323()(,),)22xxxxxxyQHxyy2（22y 精品资料 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢14 2112212221232122122122122()(,),)3233223()23()1 (,)(,)6321 =3xxxyxxyxxxyQGyxxxxxyxxxxxyQH222（62y66y22y 即=3QHQG，故Q、G、H三点共线，且QG：GH=1：2 【注】：本例如果用平面几何知识、向量的代数运算和几何运算处理，都相当麻烦，而借用向量的坐标形式，将向量的运算完全化为代数运算，这样就将“形”和“数”紧密地结合在一起，从而，很多对称、共线、共点、垂直等问题的证明，都可转化为熟练的代数运算的论证。

例 10．若 O、H 分别是△ABC 的外心和垂心. 求证 OCOBOAOH. 证明 若△ABC 的垂心为 H，外心为 O，如图. 连 BO并延长交外接圆于 D，连结 AD，CD. ∴ABAD ，BCCD .又垂心为 H，BCAH ，ABCH ， ∴AH∥CD，CH∥AD， ∴四边形 AHCD 为平行四边形， ∴OCDODCAH，故OCOBOAAHOAOH. 著名的“欧拉定理”讲的是锐角三角形的“三心”——外心、重心、垂心的位置关系： （1）三角形的外心、重心、垂心三点共线——“欧拉线”； （2）三角形的重心在“欧拉线”上，且为外——垂连线的第一个三分点，即重心到垂心的距离是重心到外心距离的 2倍 “欧拉定理”的向量形式显得特别简单，可简化成如下的向量问题 . 例 11． 设 O、G、H 分别是锐角△ABC 的外心、重心、垂心. 求证 OHOG31 证明 按重心定理 G是△ABC 的重心)(31OCOBOAOG 按垂心定理 OCOBOAOH 由此可得 OHOG31. 补充练习 1．已知 A、B、C 是平面上不共线的三点， O是三角形 ABC 的重心，动点 P满足 OP=31 (21OA+OB21+2OC),则点 P一定为三角形 ABC 的 （ B ） A.AB边中线的中点 B.AB边中线的三等分点（非重心） C.重心 D.AB边的中点 精品资料 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢15 1. B取 AB边的中点 M，则OMOBOA2，由OP=31 (21OA+OB21+2OC)可得 3MCOMOP23，∴MCMP32，即点P为三角形中AB边上的中线的一个三等分点，且点 P不过重心，故选 B. 2．在同一个平面上有ABC及一点Ｏ满足关系式： 2OA＋2BC＝2OB＋2CA＝2OC＋2AB，则Ｏ为ABC的 （ D ） Ａ 外心 Ｂ 内心 C 重心 D 垂心 2．已知△ABC 的三个顶点 A、B、C 及平面内一点 P 满足：0PAPBPC，则 P 为ABC的 （ C ） Ａ 外心 Ｂ 内心 C 重心 D 垂心 3．已知 O 是平面上一 定点，A、B、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足： )(ACABOAOP，则 P 的轨迹一定通过△ ABC 的 （ C ） Ａ 外心 Ｂ 内心 C 重心 D 垂心 4．已知△ABC，P 为三角形所在平面上的动点，且动点 P 满足： 0PA PCPA PBPBPC•••，则 P 点为三角形的 （ D ） Ａ 外心 Ｂ 内心 C 重心 D 垂心 5．已知△ABC，P 为三角形所在平面上的一点，且点 P 满足：0a PAb PBc PC  •，则 P 点为三角形的 （ B ） Ａ 外心 Ｂ 内心 C 重心 D 垂心 6．在三角形 ABC 中，动点 P 满足：CPABCBCA•222，则 P 点轨迹一定通过△ABC 的： （ B ） Ａ 外心 Ｂ 内心 C 重心 D 垂心 7.已知非零向量AB→与AC→满足(AB→|AB→| +AC→|AC→| )·BC→=0且AB→|AB→| ·AC→|AC→| =12 , 则△ABC 为( ) A.三边均不相等的三角形 B.直角三角形 C.等腰非等边三角形 D.等边三角形 解析：非零向量与满足(||||ABACABAC)·=0，即角 A的平分线垂直于 BC，∴ AB=AC，又cos A|| ||ABACABAC=12 ，∠A=3，所以△ABC 为等边三角形，选D． 8.ABC的外接圆的圆心为 O，两条边上的高的交点为H，)(OCOBOAmOH，则实数 m = 1 精品资料 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢16 A B C M N G 图 1 9.点 O 是三角形 ABC 所在平面内的一点，满足OAOCOCOBOBOA，则点 O 是ABC的（B ） （A）三个内角的角平分线的交点 （B）三条边的垂直平分线的交点 （C）三条中线的交点 （D）三条高的交点 10. 如图 1，已知点 G 是ABC的重心，过 G 作直线与 AB，AC 两边分别交于M，N 两点，且AMxAB， ANyAC，则113xy。

证: 点 G 是ABC的重心，知GAGBGCO， 得()()AGABAGACAGO，有1()3AGABAC 又 M，N，G 三点共线（A 不在直线 MN 上）， 于是存在, ，使得(1)AGAMAN且， 有AGxAByAC=1()3ABAC， 得113xy，于是得113xy 三角形中与向量有关的问题 1、课前练习 1.1 已知 O 是△ABC 内的一点，若222OCOBOA，则 O 是△ABC 的〔 〕 A、重心 B 、垂心 C 、外心 D 、内心 1.2 在△ABC 中，有命题①BCACAB；②0CABCAB；③若0•ACABACAB，则△ABC 为等腰三角形；④若0• ACAB，则△ABC 为锐角三角形，上述命题中正确的是〔 〕 A、①② B 、①④ C 、②③ D 、②③④ 精品资料 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢17 2、知识回顾 2.1 三角形的重心、内心、垂心、外心及简单的三角形形状判断方法 2.2 向量的有关性质； 2.3 上述两者间的关联 3、利用向量基本概念解与三角形有关的向量问题 例 1、已知△ABC 中，有0•BCACACABAB和21•ACACABAB,试判断△ABC的形状。

练习 1、已知△ABC 中，aAB ，bBC ，B 是△ABC 中的最大角，若0•ba，试判断△ABC 的形状 4、运用向量等式实数互化解与三角形有关的向量问题 例 2、已知 O 是△ABC 所在平面内的一点，满足222222ABOCACOBBCOA，则 O 是△ABC 的〔 〕 A、重心 B 、垂心 C 、外心 D 、内心 5、运用向量等式图形化解与三角形有关的向量问题 例 3、已知 P 是△ABC 所在平面内的一动点，且点 P 满足, 0,ACACABABOAOP，则动点 P 一定过△ABC 的〔 〕 A、重心 B、垂心 C、外心 D、内心 精品资料 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢18 练习 2、已知 O 为平面内一点，A、B、C 平面上不共线的三点，动点 P 满足, 0,21BCABOAOP，则动点 P 的轨迹一定通过△ ABC 的〔 〕 A、重心 B 、垂心 C 、外心 D 、内心 例 4、已知 O 是△ABC 所在平面内的一点，动点P 满足, 0,coscosCACACBABABOAOP，则动点 P 一定过△ABC 的〔 〕 A、重心 B、垂心 C、外心 D、内心 练习 3、已知 O 是△ABC 所在平面内的一点，动点 P 满足, 0,coscos2CACACBABABOCOBOP，则动点 P 一定过△ABC的〔 〕 A、重心 B、垂心 C、外心 D、内心 例 5、已知点 G 是的重心，过 G 作直线与 AB、AC 分别相交于 M、N 两点，且ACyANABxAM••,，求证：311yx 6、作业 1）已知 O 是△ABC 内的一点，若0OCOBOA，则 O 是△ABC 的〔 〕 A、重心 B 、垂心 C 、外心 D 、内心 精品资料 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢19 2）若△ABC 的外接圆的圆心为 O，半径为 1，且0OCOBOA，则OBOA •等于〔 〕 A、21 B 、0 C、1 D 、21 3）已知 O 是△ABC 所在平面上的一点， A、B、C、所对的过分别是a、b、c若0•••OCcOBbOAa，则 O 是△ABC 的〔 〕 A、重心 B 、垂心 C 、外心 D 、内心 4）已知 P 是△ABC 所在平面内与 A 不重合的一点，满足APACAB3，则 P 是△ABC 的〔 〕 A、重心 B 、垂心 C 、外心 D、内心 5）平面上的三个向量OA、OB、OC满足0OCOBOA，1OCOBOA，求证：△ ABC 为正三角形。

6）在△ABC 中，O 为中线 AM 上的一个动点，若 AM＝2，求)(OCOBOA 三角形四心与向量的典型问题分析 一、“重心”的向量风采 【命题 1】 已知G是ABC△所在平面上的一点，若0GAGBGC，则G是ABC△的重心．如图⑴ . A'GCAB 图⑴ 图⑵ M PCBAO精品资料 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢20 【命题 2】 已知O是平面上一定点，A BC， ，是平面上不共线的三个点，动点P满足()OPOAABAC，(0)，，则P的轨迹一定通过ABC△的重心. 【解析】 由题意()APABAC，当(0)，时，由于()ABAC表示BC边上的中线所在直线的向量，所以动点P的轨迹一定通过ABC△的重心，如图⑵. 二、“垂心”的向量风采 【命题 3】 P是ABC△所在平面上一点，若PAPCPCPBPBPA，则P是ABC△的垂心． 【解析】 由PA PBPB PC，得()0PBPAPC，即0PB CA，所以PBCA⊥．同理可证PCAB⊥，PABC⊥．∴P是ABC△的垂心．如图⑶ . PABC 【命题 4】 已知O是平面上一定点，A BC， ，是平面上不共线的三个点，动点P满足coscosABACOPOAABBACC，(0)，，则动点P的轨迹一定通过ABC△的垂心． 图⑶ HFEMABCOP图⑷ 精品资料 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢21 【解析】 由题意coscosABACAPABBACC，由于0coscosABACBCABBACC， 即0coscosAB BCAC BCBCCBABBACC,所以AP表示垂直于BC的向量，即P点在过点A且垂直于BC的直线上，所以动点P的轨迹一定通过ABC△的垂心，如图⑷ . 三、“内心”的向量风采 【命题 5】 已知I为ABC△所在平面上的一点，且ABc，ACb，BCa ．若0aIA bIB cIC，则I是ABC△的内心． 【解析】 ∵IBIAAB，ICIAAC，则由题意得()0abc IAbABcAC， ∵ABACbABcACACABAB ACACABABAC， ∴bcABACAIabcABAC．∵ABAB与ACAC分别为AB和AC方向上的单位向量， ∴AI与BAC∠平分线共线，即AI平分BAC． 图⑸ 图ABCOPbacIACB精品资料 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢22 OCAB同理可证：BI平分ABC，CI平分ACB．从而I是ABC△的内心，如图⑸ . 【命题 6】 已知O是平面上一定点，A BC， ，是平面上不共线的三个点，动点P满足ABACOPOAABAC，(0)，，则动点P的轨迹一定通过ABC△的内心． 【解析】 由题意得ABACAPABAC，∴当(0)，时，AP表示BAC的平分线所在直线方向的向量，故动点P的轨迹一定通过ABC△的内心，如图⑹. 四、“外心”的向量风采 【命题 7】 已知O是ABC△所在平面上一点，若222OAOBOC，则O是ABC△的外心． 【解析】 若222OAOBOC，则222OAOBOC，∴OAOBOC，则O是ABC△的外心，如图⑺。

【命题 7】 已知O是平面上的一定点，A BC， ，是平面上不共线的三个点，动点P满足2coscosOBOCABACOPABBACC，(0)，，则动点P的轨迹一定通过ABC△的外心 图⑺ MOBCAP图⑻ 精品资料 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢23 【解析】 由于2OBOC过BC的中点，当(0)，时，coscosABACABBACC表示垂直于BC的向量（注意：理由见二、 4条解释所以P在BC垂直平分线上，动点P的轨迹一定通过ABC△的外心，如图⑻ 向 量 专 题 复 习 一、与三角形“四心”相关的向量问题 题 1：已知 O是平面上一定点， A、B、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足||||ABACOPOAABAC, [0,). 则 P 点的轨迹一定通过△ABC 的 A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心 解：由已知得||||ABACAPABAC，||ABAB是AB方向上的单位向量，||ACAC是AC方向上的单位向量，根据平行四边形法则知构成菱形，点 P 在∠BAC的角平分线上，故点P 的轨迹过△ABC 的内心，选 B. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 练习：在直角坐标系 xoy中，已知点 A(0,1)和点 B(–3, 4)，若点 C 在∠AOB的平分线上，且|| 2OC ，则OC=_________________. 精品资料 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢24 略解：点 C 在∠AOB 的平线上，则存在(0,)使()||||OAOBOCOAOB=3 4(0,1)(, )5 5=39(,)55, 而|| 2OC ，可得103，∴10 3 10(,)55OC  . 题 2：已知 O是平面上一定点，A、B、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足()OPOAABAC, [0,). 则 P 点的轨迹一定通过△ABC 的( ) A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心 解：由已知得()APABAC，设 BC 的中点为 D，则根据平行四边形法则知点 P 在 BC 的中线 AD所在的射线上，故 P 的轨迹过△ABC 的重心，选 C. 题 3：已知 O是平面上的一定点，A、B、C 是平面上不共线的三个点，动点 P 满足()||sin||sinABACOPOAABBACC,[0,), 则动点 P 的轨迹一定通过△ABC 的( ) A. 重心 B. 垂心 C. 外心 D. 内心 解：由已知得()||sin||sinABACAPABBACC， 由正弦定理知||sin||sinABBACC，∴()||sinAPABACABB， 设 BC 的中点为 D，则由平行四边形法则可知点 P 在 BC 的中线 AD 所在的射线上，所以动点 P 的轨迹一定通过△ABC 的重心，故选 A . 精品资料 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢25 题 4：已知 O是平面上的一定点，A、B、C 是平面上不共线的三个点，动点 P 满足()||cos||cosABACOPOAABBACC,[0,), 则动点 P 的轨迹一定通过△ABC 的( ) A. 重心 B. 垂心 C. 外心 D. 内心 解：由已知得()||cos||cosABACAPABBACC， ∴()||cos||cosAB BCAC BCAP BCABBACC =|| ||cos()|| ||cos()||cos||cosABBCBACBCCABBACC=( ||||)BCBC= 0， ∴APBC，即 AP⊥BC，所以动点 P 的轨迹通过△ABC 的垂心，选 B. 题 5：已知 O是平面上的一定点，A、B、C 是平面上不共线的三个点，动点 P 满足()2||cos||cosOBOCABACOPABBACC, [0,), 则动点 P 的轨迹一定通过△ABC 的( ) A. 重心 B. 垂心 C. 外心 D. 内心 解：设 BC 的中点为 D，则2OBOCOD， 则由已知得()||cos||cosABACDPABBACC， ∴()||cos|| cosAB BCAC BCDP BCABBACC =|| ||cos()|| ||cos()||cos||cosABBCBACBCCABBACC=( ||||)BCBC= 0 . 精品资料 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢26 ∴DP⊥BC，P 点在 BC 的垂直平分线上，故动点 P 的轨迹通过△ABC 的外心. 选 C . 题 6：三个不共线的向量,,OA OB OC满足()||||ABCAOAABCA=(||BAOBBA+||CBCB) =()||||BCCAOCBCCA= 0，则 O点是△ABC 的( ) A. 垂心 B. 重心 C. 内心 D. 外心 解：||||ABCAABCA表示与△ABC 中∠A的外角平分线共线的向量，由()||||ABCAOAABCA= 0 知 OA垂直∠A的外角平分线，因而 OA 是∠A的平分线，同理，OB和 OC 分别是∠B和∠C 的平分线，故选 C . 题 7：已知 A、B、C 是平面上不共线的三点，O为△ABC 的外心，动点 P满足1[(1)(1)(12 )]3OPOAOBOC(,0)R，则 P 的轨迹一定通过△ABC 的( ) A. 内心 B. 垂心 C. 重心 D. AB边的中点 解：CPOPOC=1[(1)(1)2(1)]3OAOBOC =1[()()]3OAOCOBOC=1()3CACB, 由平行四边形法则知CACB必过 AB边的中点，注意到0，所以 P 的轨迹在 AB边的中线上，但不与重心重合，故选 D. 精品资料 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢27 题 8：已知 O是△ABC 所在平面上的一点，若OAOBOC= 0, 则 O点是△ABC 的( ) A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心 解：若OAOBOC= 0, 则OAOBOC ，以OA、OB为邻边作平行四边形 OAC1B，设 OC1与 AB交于点 D，则 D 为 AB的中点，有1OAOBOC，得1OCOC ，即 C、O、D、C1四点共线，同理 AE、BF亦为△ABC 的中线，所以 O是△ABC 的重心. 选 C . 题 9：已知 O是△ABC 所在平面上的一点，若1()3POPAPBPC(其中P 为平面上任意一点), 则 O点是△ABC 的( ) A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心 解：由已知得3POOAOPOBOPOCOP， ∴33POOPOAOBOC，即OAOBOC= 0，由上题的结论知 O点是△ABC 的重心. 故选 C . 题 10：已知 O 是△ABC 所在平面上的一点，若OA OBOB OCOC OA，则 O点是△ABC 的( ) A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心 解：由OA OBOB OC，则0OA OBOB OC，即()0OBOAOC， 得0OB CA，所以OBCA. 同理可证OCAB，OABC. ∴O是△ABC 的垂心. 选 D. 题 11：已知 O 为△ABC 所在平面内一点，满足2222||||||||OABCOBCA=22||||OCAB，则 O点是△ABC的( ) A. 垂心 B. 重心 C. 内心 D. 外心 精品资料 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢28 解：由已知得2222||||||||OAOBCABC () ()OAOBOAOB=(CA) ()BCCABC ()BAOAOB=()CACBBA()BAOAOBACBC= 0 2BAOC= 0，∴OC⊥BA. 同理OACB，OBAC. 故选 A . 题 12：已知 O 是△ABC 所在平面上的一点，若()OAOBAB=()OBOCBC=()OCOACA= 0，则 O点是△ABC 的( ) A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心 解：由已知得： () ()OAOBOBOA=() ()OBOCOCOB=() ()OCOAOAOC= 0 2222OBOAOCOB=22OAOC= 0 || || ||OAOBOC. 所以 O点是△ABC 的外心. 选 A . 题 13：已知 O 是△ABC 所在平面上的一点，若aOAbOBcOC= 0，则O点是△ABC 的( ) A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心 解：∵OBOAAB，OCOAAC，则()abc OAbABcAC= 0，得()||||bcABACAOabcABAC. 因为||ABAB与||ACAC分别为AB和AC方向上的单位向量，设||||ABACAPABAC，则AP平分∠BAC. 又AO、AP共线，知AO平分∠BAC. 同理可证 BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，所以 O点是△ABC 的内心. 精品资料 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢29 题 14：已知 O 是△ABC 所在平面上的一点，若aPAbPBcPCPOabc(其中 P 是△ABC 所在平面内任意一点)，则 O 点是△ABC 的( ) A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心 解：由已知得bPBcPCcPAbPAPOPAabc=bABcACPAabc， ∴bABcACAOabc=()bcABACabccb=()||||bcABACabcABAC， 由上题结论知 O点是△ABC 的内心. 故选 B. 题 15：设 O为△ABC 的外心，G为△ABC 的重心，求证：1()3OGOAOBOC. 证明：根据题 9中 P 点的任意性即可证得. 证明略. 题 16：设 O为△ABC 的外心，H为△ABC 的垂心，则OHOAOBOC. 证明：在△ABC 的外接圆 O中作直径 BD，连接 AD、DC，则有：OBOD , AD⊥AB, DC⊥BC, 又 H是垂心，则 AH⊥BC, CH⊥AB, ∴CH∥AD, AH∥DC, 于是 AHCD是平行四边形， ∴AHDC. ∴OHOAAHOADCOAOCODOAOBOC. 练习 1：△ABC 的外接圆的圆心为 O，两边上的高的交点为 H，OH=()m OAOBOC，则实数 m =____________. 解 1：由上题结论知 m = 1. 解 2：∵O为△ABC 的外接圆的圆心，所以()OBOCBC，又 H为三角形的垂心，则AHBC，故AH∥()OBOC，设()AHOBOC. A B C O H D 精品资料 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢30 则OHOAAHOAOBOC，又OH=()m OAOBOC，所以 m=1. 练习 2：△ABC 中，AB=1, BC =6, CA = 2, △ABC 的外接圆的圆心为O，若AOABAC，求实数, 的值. 解：BCACAB，两边平方得12AB AC . 分别取 AB、AC 的中点M、N，连接 OM、ON. 则OMAMAO=1()2ABABAC=1()2ABAC. 又 O为△ABC 的外接圆的圆心，则OM AB= 0，即有1022. 同理有ON AC= 0，得2402. 解得45，35. 二、与三角形形状相关的向量问题 题 17：已知非零向量AB与AC满足()||||ABACBCABAC= 0且12|| ||ABACABAC，则△ABC 为( ) A. 三边均不相等的三角形 B. 直角三角形 C. 等腰非等边三角形 D. 等边三角形 解：由()||||ABACBCABAC= 0，知角 A的平分线垂直于 BC，故△ABC 为等腰三角形，即|AB| = |AC|；由12|| ||ABACABAC1cos2|| ||AB ACAABAC， ∴A= 600 . 所以△ABC 为等边三角形，选 D . 题 18：已知 O 为△ABC 所在平面内一点，满足|| |2|OBOCOBOCOA，则△ABC 一定是( ) A. 等腰直角三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等边三角形 精品资料 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢31 解：由已知得|| ||CBOBOAOCOA || ||ABACABAC，可知以 AB与 AC 为邻边的平行四边形是矩形，所以 AB⊥AC，选 B . 题 19：已知△ABC，若对任意tR，||BAtBC≥||AC，则△ABC( ) A. 必为锐角三角形 B. 必为钝角三角形 C. 必为直角三角形 D. 答案不确定 解法 1：∵CABABC，∴|| || ||CAACBABC， ∴||BAtBC≥||BABC……① ①式右边表示 A、C 两点之间的距离，记tBCBP，则①式左边表示直线BC 外一点 A与直线 BC 上动点 P 之间的距离，由||PA≥||CA恒成立知，A在直线 BC 上的射影就是 C 点，所以 AC⊥BC，故选 C . 解法 2：令ABC，过点 A作 AD⊥BC 于点 D, 由||BAtBC≥||AC，得222||2||BAtBA BCtBC≥2||AC，令 f (t) =222||2||BAtBA BCtBC，则f (t)≥2||AC恒成立，只要 f (t)的最小值大于或等于2||AC，而当 t =2||BA BCBC时，f (t)取最小值，此时： 22222||2|| coscos||BABABA≥2||AC， 即22|| sinBA≥2||AC，∴||sinBA≥||AC，从而有| AD |≥ | AC | , ∴2ACB, 故选 C. 题 20：已知 a, b, c分别为△ABC 中∠A, ∠B, ∠C 的对边，G为△ABC 的重心，且a GAb GBc GC  = 0, 则△ABC 为( ) A. 等腰直角三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等边三角形 精品资料 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢32 解：∵G是△ABC 的重心，∴GAGBGC= 0, 又a GAb GBc GC  = 0, ∴()aGAbGBc GAGB= 0, 即()()ac GAbc GB= 0 . ∵GA, GB不共线，∴a – c = b – c = 0, 即 a = b = c. ∴△ABC 为等边三角形. 选 D. 三、与三角形面积相关的向量问题 命题：平面内点 O是△ABC 的重心，则有::1:1:1OABOACOBCSSS . 题 21：已知点 O是△ABC 内一点，23OAOBOC= 0, 则： (1) △AOB与△AOC 的面积之比为___________________； (2) △ABC 与△AOC 的面积之比为___________________； (3) △ABC 与四边形 ABOC 的面积之比为_____________. 解： (1) 将 OB延长至 E，使 OE = 2OB，将 OC 延长至 F，使 OF = 3OC，则OAOEOF= 0, 所以 O是△AEF 的重心. ∴1139AOCAOFAEFSSS，1126AOBAOEAEFSSS，∴:3:2AOBAOCSS. (2) ∵11618BOCEOFAEFSSS， ∴ABCAOBAOCBOCSSSS=111()6918AEFS=13AEFS，又19AOCAEFSS, ∴:3:1ABCAOCSS . (3) ABOCAOBAOCSSS=115()6918AEFAEFSS，13ABCAEFSS ∴:6:5ABCABOCSS . 四、向量的基本关系(共线、垂直、夹角) 命题：A、B、C 三点共线OCOAOB，且1(O 为平面上任一点). 精品资料 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢33 题 22：在△ABC 中，已知 D是 AB边上一点，若2ADDB，13CDCACB，则=( ) A.23 B.13 C.13 D.23 解：由上述命题的结论可知选 A . 题 23：如图，在△ABC 中，点 O是 BC 的 中点，过点 O的直线分别交直线 AB、AC 于不同 的两点 M、N，若ABmAM，ACnAN，则 m + n =______. 解 1：取特殊位置. 设 M 与 B重合，N与 C 重合，则 m=n=1, 所以 m+n=2. 解 2：1122AOABAC=22mnAMAN，∵M、O、N 三点共线，∴122mn,∴m + n = 2. 解 3：过点 B作 BE∥AC, 则(1)BENCnAN，(1)BMm AM. 又||||||||BEBMANAM，∴1– m = n –1, ∴m + n = 2 . 题 24：如图，已知点 G是△ABC 的重心，若PQ过△ABC 的重心，记CA= a,CB= b, CP= ma , CQ= nb , 则11mn=__________. 解：23CGCM=13a +13b =1133CPCQmn, ∵P、G、Q三点共线， ∴11133mn，∴11mn= 3 . 题 25：(1)已知|| 1a , || 2b , a与b的夹角为 1200，求使akb与kab的夹角为锐角的实数 k的取值范围 . A B C M O N E G A B C M P Q 精品资料 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢34 (2) 已知(2,3)amm，(21,2)bmm，且a与b的夹角为钝角，求实数 m 的取值范围 . 解：(1) () ()akbkab=222(1)kaka bkb = k + (k2 + 1)×1×2×cos1200 + 4k = – k2 + 5k –1 , 依题意，得 – k2 + 5k –1＞0，∴52152122k. 又当akb与kab同向时，仍有() ()akbkab＞0，此时设()akbkab，显然a、b不共线，所以1k，k =, k ==1, 取 k ==1. ∴52152122k且 k≠1 . 精品资料 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢35 三角形“四心”的向量性质及其应用 1、 一、三角形的重心的向量表示及应用（中线交点） 命题一：已知ABC， ，是不共线的三点，G是ABC△内一点，若GAGBGC 0．则G是ABC△的重心． 命题二：点O是三角形ABC的重心则AOBBOCCOAS = S = S 变式：已知DEF， ，分别为ABC△的边BCACAB，，的中点．则ADBECF 0． 变式引申：如图 4，平行四边形ABCD的中心为O，P为该平面上任意一点， 则1()4POPAPBPCPD． 二、三角形的外心的向量表示及应用(外接圆圆心，边中垂线交点) 命题二：已知G是ABC△内一点，满足MCMBMA，则点M为△ABC的外心。

三、三角形的垂心的向量表示及应用：（高线交点） 例 1：已知G是ABC△内一点，满足GCGBGCGAGBGA，则点 G 为垂心 变式：若 H 为△ABC 所在平面内一点，且222222ABHCCAHBBCHA 则点 H 是△ABC 的垂心 四、三角形的内心的向量表示及应用（内角平分线交点，内切圆圆心） 命题四：O 是内心ABC的充要条件是 变式 1：如果记CA,BC,AB的单位向量为321e ,e ,e，则 O 是ABC内心的充要条件是0)ee(OC)ee(OB)ee(OA322131 0 ) | CB | CB | CA | CA ( OC ) | BC | BC | BA | BA ( OB ) AC AC | AB | AB ( OA          精品资料 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢36 变式 2：如果记CA,BC,AB的单位向量为321e ,e ,e，则 O 是ABC内心的充要条件也可以是0OCcOBbOAa 例 1、（2003 江苏）已知 O 是平面上一定点，A、B、C 是平面上不共线的三个点，满足)(ACACABABOAOP，, 0，则 P 的轨迹一定通过△ ABC 的内心 。

例 2、已知 P 是非等边△ABC 外接圆上任意一点，问当 P 位于何处时，PA2+PB2+PC2取得最大值和最小值 例 3.已知 O 是平面上一定点，A,B,C 是平面上不共线的三个点，动点 P 满足(),(0,)coscosABACOPOAABBACC,则动点 P的轨迹一定通过△ABC的（ D ） A .外心 B.内心 C 重心 D 垂心 变形：（1）(),(0,)sinsinABACOPOAABBACC C （2）sinsin(),(0,)ABCACBOPOAABAC C （3）(),(0,)coscosABACPBPCABBACC  A 例 4： 点 O 在△ABC 内部且满足220OAOBOC,则△ABC 面积与凹四边形ABOC 的面积之比（ C ）A 0 B 3/2 C 5/4 D 4/3 变形引申：0OAmOBnOC，求△ABC 面积与凹四边形 ABOC 的面积之比（ ） 例 2（03 年江苏卷）O 是平面上一 定点，A、B、C 是平面上不共线的三个点，动点 P 满足), 0(),||||(ACACABABOAOP，则 P 的轨迹一定通过△ABC的（ ） 精品资料 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢37 A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 （1）（05 年全国卷Ⅰ理）ABC的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为 H，)(OCOBOAmOH，则实数 m = ； （2）（05 年全国卷 I 文）点 O 是三角形 ABC 所在平面内的一点，满足OBOAOAOCOCOB，则点 O 是ABC的（ ） A．三个内角的角平分线的交点 B．三条边的垂直平分线的交点 C．三条中线的交点 D．三条高的交点 （3）(05 年湖南卷文)P 是△ABC 所在平面上一点，若PBPA=PCPB =PAPC ，则 P 是△ABC 的（ ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 （06 陕西理） 已知非零向量AB→与AC→满足(AB→|AB→| +AC→|AC→| )·BC→=0 且AB→|AB→| ·AC→|AC→| =12 , 则△ABC 为 ( ) A．三边均不相等的三角形 B ．直角三角形 C．等腰非等边三角形 D ．等边三角形 3．以“各种运算的几何意义”为代表的灵活运用阶段 （05 浙江卷）已知向量a≠e，|e|＝1，对任意 t∈R，恒有|a－te|≥|a－e|，则（C） (A) a⊥e (B) a⊥(a－e) (C) e⊥(a－e) (D) (a＋e)⊥(a－e) 精品资料 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢38 例 3．（06 湖南理）如图 1, ABOM //, 点P在由射线OM、 线段OB及AB的延长线围成的区域内(不含边界)运动, 且OByOAxOP,则x的取值范围是 ；当21x时, y的取值范围是 . （2）（07 陕西理）如图 4，平面内有三个向量OA、OB、OC，其中OA与OB的夹角为120°，OA与OC的夹角为30°，且1OAOB，2 3OC ．若()OCOAOBR，，则的值为 ． 例 4．（07 全国Ⅱ）设F为抛物线24yx的焦点，ABC， ，为该抛物线上三点，若0FCFBFA，则FAFBFC（ ） A．9 B．6 C．4 D．3 07 重庆理）如图 5，在四边形ABCD中，4ABBDDC，4DCBDBDAB，0DCBDBDAB，则ACDCAB)(的值为（ ） Ａ．2 Ｂ．2 2 Ｃ．4 Ｄ．4 2 （2007江西卷）15．如图，在ABC△中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点MN，，若ABmAM，ACnAN，则mn的值为 ． 图2FECDAOBPM图1MPBOAB A O N C M 精品资料 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢39 2009 年高考中的向量 选择题 1.（2009 广东卷理）一质点受到平面上的三个力123,,F F F（单位：牛顿）的作用而处于平衡状态．已知1F，2F成060角，且1F，2F的大小分别为 2和 4，则3F的大小为 A. 6 B. 2 C. 2 5 D. 2 7 【解析】28)60180cos(20021222123FFFFF，所以723F，选 D. 2.（2009 浙江卷理）设向量a，b满足：|| 3a，|| 4b，0a b．以a，b，ab的模为边长构成三角形，则它的边与半径为1的圆的公共点个数最多为 ( ) w.w.w.k.s.5.u.c.o.m A．3 B．4 C．5 D．6 答案：C 【解析】如果知道此三角形有一个半径为 1 的内切圆，本题立解． 3.（2009陕西卷文）在ABC中,M 是 BC 的中点，AM=1,点 P 在 AM 上且满足学2PAPM,则科网()PAPBPC等于 （A）49 （B）43 （C）43 (D) 49 答案:A. 解析:由2APPM知, p为ABC的重心,根据向量的加法 , 2PBPCPM则()APPBPC=2 142=2cos0 213 39APPMAPPM     故选 A 4.（2009 全国卷Ⅰ理）设a、b、c是单位向量，且a·b＝0，则 a cb c•的最小值为 ( D ) （A）2 （B）22 （C）1 (D)12 解: , ,a b c是单位向量 2()acbca bab cc• 精品资料 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢40 | | | 12cos,121 |abcab c   故选 D. 对照：（08 浙江卷 9）已知a，b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足0)()(cbca,则c的最大值是 C （A）1 （B）2 （C）2 （D）22 5.（2009 宁夏海南卷理）已知 O，N，P 在ABC所在平面内，且,0OAOBOC NANBNC，且PA PBPBPCPCPA•••，则点O，N，P 依次是ABC的 （A）重心 外心 垂心 （B）重心 外心 内心 （C）外心 重心 垂心 （D）外心 重心 内心 （注：三角形的三条高线交于一点，此点为三角型的垂心） 填空题 7.（2009 安徽卷理）给定两个长度为1的平面向量OA和OB，它们的夹角为120o. 如图所示，点 C 在以 O为圆心的圆弧AB上变动. 若,OCxOAyOB其中, x yR,则xy 的最大值是________. [解析]设AOC ,,OC OAxOA OAyOB OAOC OBxOA OByOB OB••••••，即01cos21cos(120)2xyxy  ∴02[coscos(120)]cos3sin2sin()26xy 精品资料 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢41 对比：2009 年石家庄高中毕业班第一次模拟考试试卷第 18 题： 在ABC中，2BC ，2AC  31AB ． (Ⅰ)求AB AC； (11)设ABC的外心为O，若ACmAOnAB，求m，n的值． 18．解: (Ⅰ)由余弦定理知 : 22( 31)42cos22 2( 31)A,………2 分 2cos2( 31)312AB ACABACA.……………5 分 (Ⅱ)由ACmAOnAB, 知,.AB ACmAB AOnAB ABAC ACmAC AOnAC AB 231( 31),2( 31) .mAB AOnmAC AOn …………………………………7 分 O为ABC的外心， 2112cos( 31)2ABAB AOABAOBAOABAOAO. 同理1AC AO.………………………………10 分 即22131( 31)( 31),22( 31) .mnmn ， 解得:31,3.mn  ……12 分 方法 1 考查了向量的数量积及灵活运用，并需要一定的计算技巧，检测出考生个体理性思维的广度和深度及进一步学习的能力，符合对数学能力考查的命题思想．方法 2 利用了向量的加法法则及平面向量基本定理，需要考生有较精品资料 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢42 强的数学基础和分析解决问题的能力．既能反映基础知识掌握情况又能考查考生的能力的题目．本题对向量的考查是非常到位的． 7.（2009 湖南卷文）如图 2，两块斜边长相等的直角三角板拼在一起，若ADxAByAC，则 x  312，y 32 . 图 2 解:作DFAB,设12ABACBCDE ，60DEB,6,2BD 由45DBF解得623,222DFBF故31,2x  3.2y  三角形“四心”的向量性质及其应用 一、三角形的重心的向量表示及应用 命题一 已知ABC， ，是不共线的三点，G是ABC△内一点，若GAGBGC 0．则G是ABC△的重心． 证明：如图 1 所示，因为GAGBGC 0， 所以 ()GAGBGC ． 以GB，GC为邻边作平行四边形BGCD， 则有GDGBGC，所以GDGA ． 精品资料 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢43 又因为在平行四边形BGCD中，BC交GD于点E， 所以BEEC，GEED． 所以AE是ABC△的边BC的中线． 故G是ABC△的重心． 点评：①解此题要联系重心的定义和向量加法的意义；②把平面几何知识和向量知识结合起来解决问题是解此类问题的常用方法． 例 1 如图 2 所示，ABC△的重心为GO，为坐标原点，OA a，OBb，OCc，试用abc， ，表示OG． 解：设AG交BC于点M，则M是BC的中点， GCOGcGBOGbGAOGa GCGBGAOGcba 而03OGcba3cbaOG 点评：重心问题是三角形的一个重要知识点，充分利用重心性质及向量加、减运算的几何意义是解决此类题的关键． 变式：已知DEF， ，分别为ABC△的边BCACAB，，的中点．则ADBECF 0． 证明：如图的所示， GCCFGBBEGAAD232323 )(23GCGBGACFBEAD 图 3 图 2 精品资料 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢44 0GCGBGA ADBECF0．． 变式引申：如图 4，平行四边形ABCD的中心为O，P为该平面上任意一点， 则1()4POPAPBPCPD． 证明：1()2POPAPC，1()2POPBPD， 1()4POPAPBPCPD． 点评：（1）证法运用了向量加法的三角形法则，证法 2 运用了向量加法的平行四边形法则．（2）若P与O重合，则上式变为OAOBOCOD0． 二、三角形的外心的向量表示及应用 命题二：已知G是ABC△内一点，满足MCMBMA，则点M为△ABC 的外心。

例 2 已知 G、M 分别为不等边△ABC 的重心与外心，点 A，B的坐标分别为 A（-1，0），B（1，0），且GM∥AB，（1）求点 C 的轨迹方程；（2）若直线l过点（0，1），并与曲线交于 P、Q两点，且满足0OQOP，求直线l的方程解 （1）设 C（x,y），则 G（3,3yx）， B A y x C M G 图5 其中0,yx， 由于GM∥AB， 精品资料 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢45 B C H A 图 6 故mym ， 外心 M（0，3y）， 为外心M MCMA ，得222)3(1)3()0(yyyx 轨迹 E的方程是3322 yx )0(xy （2）略 三、三角形的垂心的向量表示及应用 命题三：已知G是ABC△内一点，满足GCGBGCGAGBGA，则点G为垂心 2005 全国文 12） 证明:由0PCPBPBPAPCPBPBPA得. 即0, 0)(CAPBPCPAPB即 则ABPCBCPACAPB,,同理 所以 P 为ABC的垂心. 点评：本题将平面向量有关运算、“数量积为零，则两向量所在直线垂直”、三角形垂心定义等相关知识巧妙结合。

变式：若 H为△ABC 所在平面内一点，且222222ABHCCAHBBCHA 则点 H是△ABC 的垂心 证明: 2222BCCAHBHA BACBCABAHBHA••)()( •BACBCAHBHA)(得0 即•BAHCHC)(0 精品资料 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢46 HCAB  同理HBAC ，HABC  故 H是△ABC 的垂心 四、三角形的内心的向量表示及应用 命题四：O是内心ABC的充要条件是 0)|CB|CB|CA|CA(OC)|BC|BC|BA|BA(OB)ACAC|AB|AB(OA 变式 1：如果记CA,BC,AB的单位向量为321e ,e ,e，则 O是ABC内心的充要条件是0)ee(OC)ee(OB)ee(OA322131 变式 2：如果记CA,BC,AB的单位向量为321e ,e ,e，则 O是ABC内心的充要条件也可以是0OCcOBbOAa 例 4（2003 江苏）已知 O是平面上一定点， A、B、C 是平面上不共线的三个点，满足)(ACACABABOAOP，, 0，则 P 的轨迹一定通过 △ABC的内心 。

解： 如图APOAOP由已知 )(ACACABABOAOP， )(ACACABABAP ，, 0 , 0 设ADABAB，AEACAC， D、E在射线AB和 AC 上 AEADAP P E C O A B D 图 7 精品资料 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢47 AP 是平行四边行的对角线 又 AEAD  ， ADPE 是菱形 点 P 在EAD 即CAD 的平分线上 故 P 点的轨迹一定通过△ ABC 的内心 五、三角形外心与重心的向量关系及应用 命题五：设△ ABC 的外心为 O，则点 G为△ ABC 重心的充要条件为： )(31OCOBOAOG 证明：如图8，设 G为重心，连结AG并延长，交 BC 于 D，则 D为BC 的中点 ∴ )(3132ACABOAADOAAGOAOG )(31)(31OCOBOAOAOCOAOBOA 反之，若)(31OCOBOAOG，则由上面的证明可知：)(31ACABAG 设 D为 BC 的中点，则)(21ACABAD， 从而ADAG32， ∴G在中线 AD 上且 AG=32AD，即 G为重心。

六、三角形外心与垂心的向量关系及应用 GDOCBA图 8 精品资料 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢48 命题六：设△ ABC 的外心为 O，则点 H为△ ABC 的垂心的充要条件是OCOBOAOH 证明：如图 2，若 H为垂心，以 OB、OC 为邻边作平行四边形 OBDC， 则 OCOBOD ∵O为外心， ∴OB=OC， ∴平行四边形 OBDC 为菱形 ∴ OD⊥BC，而 AH⊥BC， ∴ AH∥OD， ∴存在实数，使得OCOBODAH ∴ OCOBOAAHOAOH① 同理，存在实数，，使得 OAOCOBBHOBOH ② OBOAOCCHOCOH③ 比较①、②、③可得，1， ∴ OCOBOAOH 反之，若OCOBOAOH，则OCOBAH， ∵ O 为外心，∴OB=OC ∴0||||)()(22••OCOBOCOBOCOBCBAH ∴AH⊥CB，同理，BH⊥AC ∴ H为垂心 例 6、已知 H是△ ABC 的垂心，且 AH=BC，试求∠A的度数 DHOBCA图 9 精品资料 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢49 解：设△ ABC 的外接圆半径为 R，点 O是外心。

∵ H是△ ABC 的垂心 ∴OCOBOAOH ∴OCOBOAOHAH ∴)2cos21(2)(||2222AROCOBAHAH ∵OBOCBC ， ∴)2cos21(2)(||2222AROBOCBCBC ∵AH=BC， ∴ AA2cos212cos21 ∴ 02cosA 而∠A为△ ABC 的内角， ∴ 0＜2A＜360° 从而 2A=90°或 270° ∴ ∠A的度数为 45°或 135° 七、三角形的外心、重心、垂心的向量关系及应用 命题七：△ ABC 的外心、重心、垂心分别为 O、G、H，则 O、G、H三点共线（O、G、H三点连线称为欧拉线），且 OG=21GH 证明：如图 10，由命题五、六知，连结 AG 并延长，交 BC 于 D，则 D 为 BC 的中点 )(31OCOBOAOG，OCOBOAOH， ∴OGOH3 ∴O、G、H三点共线，且 OG=21GH DGHOBCA图精品资料 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢50 OCBAP图 11 例 7、已知 O（0，0），B（1，0），C（b，c），是 OBC 的三个顶点。

试写出 OBC 的重心 G，外心 F，垂心 H的坐标，并证明 G、F、H 三点共线2002年全国） 解：重心 G为)3,31(cb ，设 H 点的坐标为),(0yb ∵BCOH ，BC=(b-1c)， 0) 1(0cybb，故cbby)1 (0 H 点的坐标为))1 (,(cbbb 设外心 F的坐标为),21(1y由|FO|=|FC|，得ccbby2) 1(21， 所以 F点的坐标为（ ，） 从而可得出 GH=（，），FH=（，） FH 32 GH ，GH∥FH，F、G、H 三点共线 点评：向量不仅是平面解析几何入门内容，而且是解在关数形结合问题的重要工具它一般通过概念的移植、转化，将坐标与向量结合起来，从而使一些难题在思路上获得新的突破 例 8、已知 P 是非等边△ ABC 外接圆上任意一点，问当 P 位于何处时，PA2+PB2+PC2取得最大值和最小值 解：如图 11，设外接圆半径为 R，点 O是外心，则 PA2+PB2+PC2=222)()()(OCPOOBPOOAPO )(262OCPOOBPOOAPOR )(262OCOBOAPOR OHPOR262（由命题六知： H为垂心，） ∴当 P 为 OH的反向延长线与外接圆的交点时，有最大值 6R2+2R·OH 精品资料 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢51 当 P 为 OH的延长线与外接圆的交点时，有最小值 6R2－2R·OH 。