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1、第第2424章章 圆圆24.3 24.3 圆周角圆周角第第2 2课时课时 圆周角和直径圆周角和直径 的关系的关系1课堂讲解课堂讲解直径所对的圆周角是直角直径所对的圆周角是直角直角所对的弦是直径直角所对的弦是直径2课时流程课时流程逐点逐点导讲练导讲练课堂课堂小结小结作业作业提升提升1.什么叫圆周角什么叫圆周角?2.圆周角定理的内容是什么圆周角定理的内容是什么?3.圆周角的度数与它所对的弧的度数有什么关系圆周角的度数与它所对的弧的度数有什么关系?4.圆周角定理的推论圆周角定理的推论1是什么是什么?1知识点知识点直径所对的圆周角是直角直径所对的圆周角是直角圆周角定理的推论圆周角定理的推论2：(1)半
2、圆或直径所对的圆周角是直角；半圆或直径所对的圆周角是直角；(2)90的圆周角所对的弦是直径的圆周角所对的弦是直径知知1 1讲讲例例1 如图，如图，ABC的三个顶点在的三个顶点在 O上，上，ADBC， D为垂足，为垂足，E是的中点，求证：是的中点，求证：12.知知1 1讲讲本题涉及的条件较多，图形比本题涉及的条件较多，图形比较复杂，因此解题的切入点就较复杂，因此解题的切入点就很多，切入点不同就有不同的很多，切入点不同就有不同的证法，实质不外乎从：等角代换；特殊圆周角相等证法，实质不外乎从：等角代换；特殊圆周角相等转化为它所对的弧相等；证角相等转化为它的等角转化为它所对的弧相等；证角相等转化为它的
3、等角(圆周角圆周角)所对的弧相等这几个方面去思考所对的弧相等这几个方面去思考导引：导引：方法一方法一：如图，连接：如图，连接OE.E为为 的中点，的中点，OEBC.又又ADBC于点于点D，OEAD，2E.OAOE，1E，12.知知1 1讲讲证明：证明：知知1 1讲讲方法二方法二：如图，延长：如图，延长AO交交 O于点于点G，延长，延长AD交交 O于点于点F，连接，连接FG.AG为为 O的直径，的直径，F90，即，即AFGF.ADBC于点于点D，CBFG， E为为 的中点，的中点，即即 ，12.方法三方法三：如图，延长：如图，延长AO交交 O于点于点F，延长，延长AD交交 O于点于点G，连接，连
4、接BF.AF为直径，为直径，ABF90.FC，ADBC于点于点D，34，E为为 的中点，的中点，知知1 1讲讲知知1 1讲讲方法四方法四：如图，延长：如图，延长AO交交 O于点于点G，连接，连接CG.AG为为 O的直径，的直径，ACG90，又又ADBC，BG，BADGAC，34.E为为 的中点，的中点，总总 结结知知1 1讲讲(1)常用作辅助线的方法：连接圆上两点、连半径、常用作辅助线的方法：连接圆上两点、连半径、 作直径构造直径所对的圆周角；作直径构造直径所对的圆周角；(2)垂径定理和圆周角定理以及它们的推论在解决圆垂径定理和圆周角定理以及它们的推论在解决圆 的有关问题中使用频率很高，要注意
5、灵活掌握的有关问题中使用频率很高，要注意灵活掌握例例2 如如图，在如如图，在ABC中，中，ABAC，以，以AB为直径的为直径的 O交交AC于点于点E，交，交BC于点于点D. 求证：求证： (1)D是是BC的中点；的中点； (2)BECADC； (3)BC22ABCE.知知1 1讲讲知知1 1讲讲(1)要证要证D是是BC的中点，已知的中点，已知ABAC，只要证，只要证 ADBC即可，根据圆周角定理的推论，即可，根据圆周角定理的推论，AB是直是直 径，所以径，所以ADB90，即可得证，即可得证(2)欲证欲证BECADC，通过观察发现两个三角形，通过观察发现两个三角形 已经具备一组角对应相等，即已经
6、具备一组角对应相等，即BCEACD， 此时，再证一组角对应相等即可此时，再证一组角对应相等即可(3)由由BECADC，易得，易得CDBCACCE， 又又D是是BC的中点，的中点，ABAC， 即可证即可证BC22ABCE.导引：导引：知知1 1讲讲(1)AB是是 O的直径，的直径， ADB90，即，即ADBC. 又又ABAC，D是是BC的中点的中点(2)CBE与与CAD是是 所对的圆周角，所对的圆周角， CBECAD， 又又BCEACD，BECADC.(3)由由(2)知知BECADC， ，即，即CDBCACCE. 由由(1)知知D是是BC的中点，的中点，CD BC. 又又ABAC, BCBCAB
7、CE，即，即BC22ABCE.证明：证明：总总 结结知知1 1讲讲证明四条线段成比例可以利用相似三角形解决。证明四条线段成比例可以利用相似三角形解决。1如图，如图，AB为为 O的直径，点的直径，点C在在 O上，若上，若A30，则，则B的度数为的度数为() A15 B30 C45 D60知知1 1练练2如图，如图， ABCD的顶点的顶点A，B，D在在 O上，顶点上，顶点C 在在 O的直径的直径BE上，上，ADC56，连接，连接AE，则，则 2 AEB的度数为的度数为()3A34 4B44 5C28 6D64知知1 1练练知知1 1练练3在半径为在半径为5的的 O中，弦中，弦AB6，点，点C是弦是
8、弦AB所对的所对的优弧上一点优弧上一点(不与不与A，B重合重合)，连接，连接AC，BC，4 则则cos C的值为的值为_2知识点知识点直角所对的弦是直径直角所对的弦是直径知知2 2讲讲90的圆周角所对的弦是直径的圆周角所对的弦是直径拓展：拓展：1. 确定圆心的方法：确定圆心的方法： 弦的垂直平分线过圆心；弦的垂直平分线过圆心； 90的圆周角所对的弦过圆心的圆周角所对的弦过圆心 2. 如果一个三角形一边上的中线等于这边的一如果一个三角形一边上的中线等于这边的一 半，那么这个三角形是直角三角形半，那么这个三角形是直角三角形知知2 2讲讲例例3 (黔西南州黔西南州)如图，如图，AB是是 O的直径，弦
9、的直径，弦CDAB于点于点E，点，点P在在 O上，上，1BCD. (1)求证：求证：CBPD； (2)若若BC3，sinP ，求，求 O的直径的直径 (1)要证明要证明CBPD，只需证明，只需证明1P， 根据同弧所对的圆周角相等，可以得到根据同弧所对的圆周角相等，可以得到 BCDP，又由，又由1BCD，即可得，即可得1P， 从而有从而有CBPD； (2)连接连接AC，根据题意可知，根据题意可知PCAB，则，则sinCAB ， 即即 ，从而可以求得，从而可以求得 O的直径的直径分析：分析： 知知2 2讲讲(1)证明：证明：同弧所对的圆周角相等，同弧所对的圆周角相等，BCDP. 又又1BCD，1P
10、，CBPD.(2)解：解：如图，连接如图，连接AC. AB为为 O的直径，的直径，ACB90. 又又CDAB， PCAB， sinCAB ，即，即 又又BC3， AB5，O的直径为的直径为5.总总 结结知知2 2讲讲在同圆或等圆中，弧、弦、圆心角、圆周角之间的在同圆或等圆中，弧、弦、圆心角、圆周角之间的等量关系可以相互转化，进而证明平行；涉及三角等量关系可以相互转化，进而证明平行；涉及三角函数则构造直角三角形函数则构造直角三角形.1已知等腰直角三角形已知等腰直角三角形ABC的一条直角边为的一条直角边为 ，求，求它的外接圆的半径它的外接圆的半径.2证明：如果三角形一边上的中线等于该边的一半，证明
11、：如果三角形一边上的中线等于该边的一半，那么这个三角形是直角三角形那么这个三角形是直角三角形.知知2 2练练3知知2 2练练3下列结论正确的是下列结论正确的是()A直径所对的角是直角直径所对的角是直角 B90的圆心角所对的弦是直径的圆心角所对的弦是直径C同一条弦所对的圆周角相等同一条弦所对的圆周角相等D半圆所对的圆周角是直角半圆所对的圆周角是直角 4 (中考中考兰州兰州)如图，已知经过原点的如图，已知经过原点的 P与与x轴、轴、y轴分轴分别交于别交于A，B两点，点两点，点C是劣弧是劣弧OB上一点，则上一点，则ACB等于等于()A80 B90 C100 D无法确定无法确定知知2 2练练5 (中考中考黔南州黔南州)如图，直径为如图，直径为10的的 A经过点经过点C(0，6)和点和点O(0，0)，与，与x轴的正半轴交于点轴的正半轴交于点D，B是是y轴右轴右侧圆弧上一点，则侧圆弧上一点，则cosOBC的值为的值为_知知2 2练练本节应掌握：本节应掌握：1.直径所对的圆周角是直角；直径所对的圆周角是直角；2.直角所对的弦是直径；直角所对的弦是直径；
