神奇的函数高一三班高一三班制作：制作：曾蜀童曾蜀童陈问歆陈问歆邹枘柯邹枘柯张倩旎张倩旎项筱涵项筱涵刘伯君刘伯君李惟婕李惟婕 函数的起源主讲：刘伯君 函数概念的起源 函数概念的萌芽，可以追溯到古代对图形轨迹的研究，随着社会的发展，人们开始逐渐发现，在所有已经建立起来的数的运算中，某些量之间存在着一种规律：一个或几个量的变化，会引起另一个量的变化，这种从数学本身的运算中反映出来的量与量之间的相互依赖关系，就是函数概念的萌芽在代数学的方程理论中，对不定方程的求解，使得人们对函数概念逐步由模糊趋向清晰 “函数”一词最初是由德国的数学家莱布尼茨在17世纪首先采用的，当时莱布尼茨用“函数”这一词来表示变量x的幂，即x2，x3，….接下来莱布尼茨又将“函数”这一词用来表示曲线上的横坐标、纵坐标、切线的长度、垂线的长度等等所有与曲线上的点有关的变量.就这样“函数”这词逐渐盛行.在中国，古时候的人将“函”字与“含”字通用，都有着“包含”的意思，清代数学家、天文学家、翻译家和教育家，近代科学的先驱者李善兰给出的定义是：“凡式中含天，为天之函数.”中国的古代人还用“天、地、人、物”4个字来表示4个不同的未知数或变量，显然，在李善兰的这个定义中的含义就是“凡是公式中含有变量x，则该式子叫做x的函数.”这样，在中国“函数”是指公式里含有变量的意思. 瑞士数学家雅克·柏努意给出了和莱布尼茨相同的函数定义.1718年，雅克·柏努意的弟弟约翰·柏努意给出了函数了如下的函数定义：由任一变数和常数的任意形式所构成的量叫做这一变数的函数.换句话说，由x和常量所构成的任一式子都可称之为关于x的函数.1775年，欧拉把函数定义为：“如果某些变量：以某一种方式依赖于另一些变量.即当后面这些变量变化时，前面这些变量也随着变化，我们把前面的变量称为后面变量的函数.”由此可以看到，由莱布尼兹到欧拉所引入的函数概念，都还是和解析表达式、曲线表达式等概念纠缠在一起. 首屈一指的法国数学家柯西引入了新的函数定义：“在某些变数间存在着一定的关系，当一经给定其中某一变数的值，其它变数的值也可随之而确定时，则将最初的变数称之为‘自变数’，其它各变数则称为‘函数’”.在柯西的定义中，首先出现了“自变量”一词.1834年，俄国数学家罗巴契夫斯基进一步提出函数的定义：“x的函数是这样的一个数，它对于每一个x都有确定的值，并且随着x一起变化.函数值可以由解析式给出，也可以由一个条件给出，这个条件提供了一种寻求全部对应值的方法.函数的这种依赖关系可以存在，但仍然是未知的”.这个定义指出了对应关系。
即条件的必要性，利用这个关系以求出每一个x的对应值. 1837年德国数学家狄里克雷认为怎样去建立x与y之间的对应关系是无关紧要的，所以他的定义是：“如果对于x的每一个值，y总有一个完全确定的值与之对应，则y是x的函数.”德国数学家黎曼引入了函数的新定义：“对于x的每一个值，y总有完全确定了的值与之对应，而不拘建立x，y之间的对应方法如何，均将y称为x的函数.” 上面函数概念的演变，我们可以知道，函数的定义必须抓住函数的本质属性，变量y称为x的函数，只须有一个法则存在，使得这个函数取值范围中的每一个值，有一个确定的y值和它对应就行了，不管这个法则是公式或图象或表格或其他形式.由此，就有了我们课本上的函数的定义：一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有惟一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数. 笛卡尔与函数主讲人：邹枘柯 笛卡尔出生于法国都伦的拉哈耶，贵族家庭的后裔，父亲是个律师他早年受教于拉福累歇的耶稣会学校1612年赴巴黎从事研究，曾于1617年和1619年两次从军，离开军营后旅行于欧洲，他的学术研究是在军旅和旅行中作出的。
自从欧几里德的《几何原本》问世以来，人们一直把代数限定在研究数及其关系的范畴内，把几何限定在研究位置和图形的范畴内代数和几何截然分家持续了几千年，犹如两座高山被万丈深渊分割 怎样连接代数和几何的桥梁将“数”和“形”紧密联系在 一起 ？ 1619年， 23岁的笛卡尔在一支德国部队服役，军营驻扎在多瑙河旁，11月的一天，他因病躺在了床上，无所事事的他默默地思考着…… ……他思考着，计算着，病中的他睡着了……梦中他继续在数学的广阔天地中驰骋，好像悟出了什么，又看到了什么，大梦醒来的笛卡尔茅塞顿开，一种新的思想初露端倪：在互相垂直的两条直线下(平面直角坐标系的雏形），一个点可以用到这两条直线的距离，也就是两个数来表示，这个点的位置就被确定了用数形结合的方式将代数与几何的桥梁联起来了 他想到了这个问题……抬头望着天花板，一只小小的蜘蛛从墙角慢慢地爬过来，吐丝结网，忙个不停从东爬到西，从南爬到北要结一张网，小蜘蛛该走多少路啊！笛卡尔突发奇想，算一算蜘蛛走过的路程他先把蜘蛛看成一个点，这个点离墙角多远？ 离墙的两边多远？ 有一天，瑞典的公主克里斯丁看到了他会算有一天，瑞典的公主克里斯丁看到了他会算算数，两个人聊得很投机，于是把他接到宫算数，两个人聊得很投机，于是把他接到宫里作为数学老师里作为数学老师然后，日久生情（最古老的师生恋？）然后，日久生情（最古老的师生恋？）法国发生黑死病期间，笛卡尔为了躲避感染上疾病在，法国发生黑死病期间，笛卡尔为了躲避感染上疾病在，流浪到瑞典。
流浪到瑞典在瑞典，他作为街头的乞丐，但不弹琴，只是在地上在瑞典，他作为街头的乞丐，但不弹琴，只是在地上算算数算算数20多年后 可是，国王看不懂那封信可是，国王看不懂那封信的含义国王叫了很多大臣来，他国王叫了很多大臣来，他们也看不懂们也看不懂最后没有办法，将最后一最后没有办法，将最后一封信给了公主封信给了公主公主看完了以后，泪流满公主看完了以后，泪流满面面不过，国王知道了这件事后十分震怒，把笛卡尔送回法国不过，国王知道了这件事后十分震怒，把笛卡尔送回法国在法国，笛卡尔很不幸的染上了黑死病在法国，笛卡尔很不幸的染上了黑死病于是，他就给克里斯丁公主写信，一共写了于是，他就给克里斯丁公主写信，一共写了12封，但都被国封，但都被国王没收了王没收了直到笛卡尔预感生命即将结束的时候，寄出了最后一封直到笛卡尔预感生命即将结束的时候，寄出了最后一封 函数与数学家主讲人：张倩旎 伽利略n n十七世纪伽俐略十七世纪伽俐略(G(G．．GalileoGalileo，，意大利，意大利，15641564－－1642)1642)在在《《两两门新科学门新科学》》一书中，几乎从头一书中，几乎从头到尾包含着函数或称为变量的到尾包含着函数或称为变量的关系这一概念，用文字和比例关系这一概念，用文字和比例的语言表达函数的关系的语言表达函数的关系. . 牛顿n n16731673年前后笛卡尔年前后笛卡尔(Descartes(Descartes，法，，法，15961596－－1650)1650)在他的解析几何在他的解析几何中，已经注意到了一个中，已经注意到了一个变量对于另一个变量的变量对于另一个变量的依赖关系，但由于当时依赖关系，但由于当时尚未意识到需要提炼一尚未意识到需要提炼一般的函数概念，因此直般的函数概念，因此直到到1717世纪后期牛顿、莱世纪后期牛顿、莱布尼兹建立微积分的时布尼兹建立微积分的时候，数学家还没有明确候，数学家还没有明确函数的一般意义，绝大函数的一般意义，绝大部分函数是被当作曲线部分函数是被当作曲线来研究的来研究的. . 笛卡尔 莱布尼茨、约翰·贝努利n n最早提出函数（最早提出函数（functionfunction）概念的，是）概念的，是1717世纪德国数学家莱布尼茨世纪德国数学家莱布尼茨. .最初莱布最初莱布尼茨用尼茨用“ “函数函数” ”一词表示幂一词表示幂. .以后，他以后，他又用函数表示在直角坐标系中曲线上又用函数表示在直角坐标系中曲线上一点的横坐标、纵坐标一点的横坐标、纵坐标.1718.1718年，莱布年，莱布尼茨的学生约翰尼茨的学生约翰· ·贝努利贝努利(BernoulliJohann(BernoulliJohann，瑞士，，瑞士，16671667－－1748) 1748) 在莱布尼兹函数概念的基础上，在莱布尼兹函数概念的基础上，对函数概念进行了明确定义：对函数概念进行了明确定义：“ “由某由某个变量及任意的一个常数结合而成的个变量及任意的一个常数结合而成的数量数量.” .”意思是凡变量意思是凡变量x x和常量构成的和常量构成的式子都叫做式子都叫做x x的函数，他强调函数要用的函数，他强调函数要用公式来表示公式来表示. . 莱布尼茨 n n17551755年，欧拉年，欧拉(L(L．．EulerEuler，瑞士，，瑞士，17071707－－1783) 1783) 把函数定义为：把函数定义为：“ “如果某些变量，以某一种方如果某些变量，以某一种方式依赖于另一些变量，即当后式依赖于另一些变量，即当后面这些变量变化时，前面这些面这些变量变化时，前面这些变量也随着变化，我们把前面变量也随着变化，我们把前面的变量称为后面变量的函数的变量称为后面变量的函数.” .”并给出了沿用至今的函数符号并给出了沿用至今的函数符号 . .n n n n18211821年，柯西年，柯西(Cauchy(Cauchy，法国，，法国，17891789－－1857) 1857) 给出了类似现在中学课本的给出了类似现在中学课本的函数定义：函数定义：“ “在某些变数间存在着一在某些变数间存在着一定的关系，当一经给定其中某一变数定的关系，当一经给定其中某一变数的值，其他变数的值可随着而确定时，的值，其他变数的值可随着而确定时，则将最初的变数叫自变量，其他各变则将最初的变数叫自变量，其他各变数叫做函数数叫做函数.” .” 在柯西的定义中，首在柯西的定义中，首先出现了自变量一词先出现了自变量一词. . 狄利克雷n n18371837年狄利克雷年狄利克雷( (DirichletDirichlet，，德国，德国，18051805－－1859) 1859) 认为怎样去认为怎样去建立建立x x与与y y之间的关系无关紧要，之间的关系无关紧要，他拓广了函数概念，指出：他拓广了函数概念，指出：“ “对对于在某区间上的每一个确定的于在某区间上的每一个确定的x x值，值，y y都有一个或多个确定的值，都有一个或多个确定的值，那么那么y y叫做叫做x x的函数的函数.” .”狄利克雷狄利克雷的函数定义，出色地避免了以往的函数定义，出色地避免了以往函数定义中所有的关于依赖关系函数定义中所有的关于依赖关系的描述，简明精确，以完全清晰的描述，简明精确，以完全清晰的方式为所有数学家无条件地接的方式为所有数学家无条件地接受受. .至此，我们已可以说，函数至此，我们已可以说，函数概念、函数的本质定义已经形成，概念、函数的本质定义已经形成，这就是人们常说的经典函数定义这就是人们常说的经典函数定义. . n n等到康托尔等到康托尔(Cantor(Cantor，德，，德，18451845－－1918)1918)创立的集创立的集合论被大家接受后，用集合对应关系来定义函数合论被大家接受后，用集合对应关系来定义函数概念就是现在高中课本里用的了概念就是现在高中课本里用的了. . 中文数学书上使用的中文数学书上使用的“ “函数函数” ”一词是转译词一词是转译词. .是我是我国清代数学家李善兰在翻译国清代数学家李善兰在翻译《《代数学代数学》》（（18951895年）年）一书时，把一书时，把“ “function”function”译成译成“ “函数函数” ”的的. . 中国古代中国古代“ “函函” ”字与字与“ “含含” ”字通用，都有着字通用，都有着“ “包包含含” ”的意思的意思. .李善兰给出的定义是：李善兰给出的定义是：“ “凡式中含天，凡式中含天，为天之函数为天之函数.” .”中国古代用天、地、人、物中国古代用天、地、人、物4 4个字个字来表示来表示4 4个不同的未知数或变量个不同的未知数或变量. .这个定义的含义这个定义的含义是：是：“ “凡是公式中含有变量凡是公式中含有变量x x，则该式子叫做，则该式子叫做x x的的函数函数.” .”所以所以“ “函数函数” ”是指公式里含有变量的意思是指公式里含有变量的意思. . 函数概念的发展历史主讲人：陈问歆 十七世纪伽俐略(G．Galileo，意，1564－1642)在《两门新科学》一书中，几乎全部包含函数或称为变量关系的这一概念，用文字和比例的语言表达函数的关系。
1637年前后笛卡尔(Descartes，法，1596－1650)在他的解析几何中，已注意到一个变量对另一个变量的依赖关系，但因当时尚未意识到要提炼函数概念，因此直到17世纪后期牛顿、莱布尼兹建立微积分时还没有人明确函数的一般意义，大部分函数是被当作曲线来研究的 1673年，莱布尼兹首次使用“function”（函数）表示“幂”，后来他用该词表示曲线上点的横坐标、纵坐标、切线长等曲线上点的有关几何量与此同时，牛顿在微积分的讨论中，使用 “流量”来表示变量间的关系十八世纪函数概念 1718年约翰·柏努利(Johann Bernoulli ，瑞，1667－1748)在莱布尼兹函数概念的基础上对函数概念进行了定义：“由任一变量和常数的任一形式所构成的量他的意思是凡变量x和常量构成的式子都叫做x的函数，并强调函数要用公式来表示 1748年，柏努利的学生欧拉在《无穷分析引论》一书中说：“一个变量的函数是由该变量的一些数或常量与任何一种方式构成的解析表达式 1755，欧拉(L．Euler，瑞士，1707－1783) 把函数定义为“如果某些变量，以某一种方式依赖于另一些变量，即当后面这些变量变化时，前面这些变量也随着变化，我们把前面的变量称为后面变量的函数。
早期函数概念 1818世纪中叶欧拉世纪中叶欧拉(L(L．．EulerEuler，瑞士，，瑞士，17071707－－1783)1783)给出了定给出了定义：义：“ “一个变量的函数是由这个变量和一些数即常数以任一个变量的函数是由这个变量和一些数即常数以任何方式组成的解析表达式何方式组成的解析表达式 ”他把约翰他把约翰· ·贝努利给出的函贝努利给出的函数定义称为解析函数，并进一步把它区分为代数函数和超数定义称为解析函数，并进一步把它区分为代数函数和超越函数，还考虑了越函数，还考虑了“ “随意函数随意函数” ”不难看出，欧拉给出的不难看出，欧拉给出的函数定义比约翰函数定义比约翰· ·贝努利的定义更普遍、更具有广泛意义贝努利的定义更普遍、更具有广泛意义十九世纪函数概念十九世纪函数概念 18211821年，柯西年，柯西(Cauchy(Cauchy，法，，法，17891789－－1857) 1857) 从定义变从定义变量起给出了定义：量起给出了定义：“ “在某些变数间存在着一定的关系，当在某些变数间存在着一定的关系，当一经给定其中某一变数的值，其他变数的值可随着而确定一经给定其中某一变数的值，其他变数的值可随着而确定时，则将最初的变数叫自变量，其他各变数叫做函数。
时，则将最初的变数叫自变量，其他各变数叫做函数 ”在柯西的定义中，首先出现了自变量一词，同时指出对函在柯西的定义中，首先出现了自变量一词，同时指出对函数来说不一定要有解析表达式不过他仍然认为函数关系数来说不一定要有解析表达式不过他仍然认为函数关系可以用多个解析式来表示，这是一个很大的局限可以用多个解析式来表示，这是一个很大的局限 18221822年傅里叶（年傅里叶（FourierFourier，法国，，法国，1768——18301768——1830）发现某）发现某些函数也已用曲线表示，也可以用一个式子表示，或用多些函数也已用曲线表示，也可以用一个式子表示，或用多个式子表示，从而结束了函数概念是否以唯一一个式子表个式子表示，从而结束了函数概念是否以唯一一个式子表示的争论，把对函数的认识又推进了一个新层次示的争论，把对函数的认识又推进了一个新层次 837837年狄利克雷年狄利克雷(Dirichlet(Dirichlet，德国，，德国，18051805－－1859) 1859) 突破了这一局限，突破了这一局限，认为怎样去建立认为怎样去建立x x与与y y之间的关系无关紧要，他拓广了函数概念，指之间的关系无关紧要，他拓广了函数概念，指出：出：“ “对于在某区间上的每一个确定的对于在某区间上的每一个确定的x x值，值，y y都有一个确定的值，都有一个确定的值，那么那么y y叫做叫做x x的函数。
的函数 ”这个定义避免了函数定义中对依赖关系的描这个定义避免了函数定义中对依赖关系的描述，以清晰的方式被所有数学家接受这就是人们常说的经典函数述，以清晰的方式被所有数学家接受这就是人们常说的经典函数定义 等到康托 等到康托(Cantor(Cantor，德国，，德国，18451845－－1918)1918)创立的集合论创立的集合论在数学中占有重要地位之后，维布伦在数学中占有重要地位之后，维布伦(Veblen(Veblen，美，，美，18801880－－1960)1960)用用“ “集合集合” ”和和“ “对应对应” ”的概念给出了近代函数定义，通过集合概念把的概念给出了近代函数定义，通过集合概念把函数的对应关系、定义域及值域进一步具体化了，且打破了函数的对应关系、定义域及值域进一步具体化了，且打破了“ “变量变量是数是数” ”的极限，变量可以是数，也可以是其它对象的极限，变量可以是数，也可以是其它对象现代函数概念现代函数概念 19141914年豪斯道夫年豪斯道夫(F(F．．Hausdorff)Hausdorff)在在《《集合论纲要集合论纲要》》中用不明确中用不明确的概念的概念“ “序偶序偶” ”来定义函数，其避开了意义不明确的来定义函数，其避开了意义不明确的“ “变量变量” ”、、“ “对应对应” ”概念。
库拉托夫斯基概念库拉托夫斯基(Kuratowski)(Kuratowski)于于19211921年用集合概念来定年用集合概念来定义义“ “序偶序偶” ”使豪斯道夫的定义很严谨了使豪斯道夫的定义很严谨了 1930 1930 年新的现代函年新的现代函数定义为数定义为“ “若对集合若对集合MM的任意元素的任意元素x x，总有集合，总有集合N N确定的元素确定的元素y y与之与之对应，则称在集合对应，则称在集合MM上定义一个函数，记为上定义一个函数，记为y=f(x)y=f(x)元素x x称为自变称为自变元，元素元，元素y y称为因变元称为因变元 ” 函数中的有趣图形主讲人：曾蜀童 除了笛卡尔的苦心函数表白，函数中有许多解析式可以构造出有趣的图形以下是几种心形图形 还有升级版3D版…… n n 现在有绘制三维函数的专用工具，所绘制的三维函数图形具有三维立体和透视感，能直观地观察三维函数的结构与变化关系，是中学教学的好帮手 Let’s Tryn n利用函数，绘制一个墨西哥帽子的图形．n n程序如下：n n[a,b]=meshgrid(8:.5:8)%c=sqrt(a.^2+b.^2)+epsz=sin(c)./cmesh(a,b,z)axis squaren n图像如下： n n下面来看国外网友对这张图示的评论吧：下面来看国外网友对这张图示的评论吧：n n The third to last panel is an imaginary number.Shouldn't it be -SQRT(x)?The third to last panel is an imaginary number.Shouldn't it be -SQRT(x)?n n 倒数第三张图是错的吧？难道不应该是 倒数第三张图是错的吧？难道不应该是-√x -√x 嘛？（根号中的数字不能为负值）嘛？（根号中的数字不能为负值）n n Only for x > 0. For x < 0 it is real.Only for x > 0. For x < 0 it is real.n n 这里 这里X X取小于零的数值就可以成立了取小于零的数值就可以成立了n n -SQRT(x) would be SQRT(x) flipped over the x axis.-SQRT(x) would be SQRT(x) flipped over the x axis.n n -√x-√x的函数图像与的函数图像与√ √x x的函数图象是关于的函数图象是关于Y Y轴对称的。
轴对称的n n He should have put sqrt(x2) - would have been a lot easier and could have formed a C!He should have put sqrt(x2) - would have been a lot easier and could have formed a C!n n 应该把 应该把√ √x2 x2 的图象放上去，那就是一个对称的的图象放上去，那就是一个对称的C C形！形！n n sqrt(x2 ) would be just like the absolute value. You want ±sqrt(x).sqrt(x2 ) would be just like the absolute value. You want ±sqrt(x).n n 楼上的你说错了， 楼上的你说错了，C C形的话应该是形的话应该是±√x±√x的图象n n Actually it doesn't matter if x is >0 or <0 because the number gets squared and then the - is applied.Actually it doesn't matter if x is >0 or <0 because the number gets squared and then the - is applied.n n X X大于零小于零都木有关系啦，总之都已经平方了，然后又加了负号。
大于零小于零都木有关系啦，总之都已经平方了，然后又加了负号n n The number is not squared.The number is not squared.n n 哪里有平方啊 哪里有平方啊………… 你认为，一个函数图象里是否有可能包含这个函数本身的“图象”？难以置信的是，还真有人构造了这样一个东西2001年，Jeff Tupper发表的一篇论文里提到了这样一个有趣的不等式： 在0 <= x <= 105，n <= y <= n + 16的范围内，这个不等式对应的图象是这个样子： n n其中，n = 960939379918958884971672962127852754715004339660129306651505519271702802395266424689642842174350718121267153782770623355993237280874144307891325963941337723487857735749823926629715517173716995165232890538221612403238855866184013235585136048 n n828693337902491454229288667081096184496091705183454067827731551705405381627380967602565625016981482083418783163849115590225610003652351370343874461848378737238198224849863465033159410054974700593138339226497249461751545728366702369745461014655997933798537483143786841806593422227898388722980000748404719 n n你会觉得这个很神奇吗？你也许会想，天哪，这个是怎么构造出来的啊！但仔细思考之后，你会发现这个一点都不神奇。
事实上明白了道理之后你可以构造出无数个这样的式子来现在给你一些时间让你思考一下，你能否看出其中的奥秘？ n n 就像魔术揭秘一样，说穿了真相后上面的这些东就像魔术揭秘一样，说穿了真相后上面的这些东西就一点意思都没有了在这个式子里，涉及到西就一点意思都没有了在这个式子里，涉及到x x和和y y的变量时都加上了取整符号，因此整个图象都的变量时都加上了取整符号，因此整个图象都是一格一格的这样，不等式右边的式子就简化是一格一格的这样，不等式右边的式子就简化为为y div 17 * 2^(-17x - y mod 17) mod 2y div 17 * 2^(-17x - y mod 17) mod 2，其中，其中x x和和y y都为整数接着观察，一个数乘以都为整数接着观察，一个数乘以2 2的负的负k k次方次方相当于对应的二进制数右移相当于对应的二进制数右移k k位，那么位，那么x * 2^(-k) x * 2^(-k) mod 2mod 2实质上就是二进制数实质上就是二进制数x x右起第右起第k k位上的数字位上的数字对于某个自然数对于某个自然数t t，当，当17t <= y < 17(t+1)17t <= y < 17(t+1)时，指时，指数数-17x - y mod 17-17x - y mod 17恰好对应所有的负整数，于是恰好对应所有的负整数，于是位于位于y=17ty=17t和和y=17t+16y=17t+16之间的图象的每个像素和之间的图象的每个像素和t t的二进制中的每一位数字一一对应。
随着的二进制中的每一位数字一一对应随着t t值的增值的增加，图形的像素会一点一点地变化当纵坐标足加，图形的像素会一点一点地变化当纵坐标足够大时，必然会出现一段高度为够大时，必然会出现一段高度为1717的图象，图象的图象，图象的样子和不等式本身的样子相同当然，你也可的样子和不等式本身的样子相同当然，你也可以在里面以在里面“ “找到找到” ”任何你想要的图象，只需要把任何你想要的图象，只需要把图象还原为二进制数并转换为十进制即可图象还原为二进制数并转换为十进制即可 n n综上所述，学好数学是王道所以说函数很神奇所以说函数很神奇同理可得数学很神奇同理可得数学很神奇笛卡尔等天才数学家们也很神奇。