统计方法与应用

《统计方法与应用》由会员分享，可在线阅读，更多相关《统计方法与应用（74页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。

1、第二章 統計分析方法與應用 講員：謝浩明 hmshiehmgt.ncu.edu.tw .tw Tel:(03)4257584; Fax:(03)4253137 目 一、緒一、緒.2-1 1.1 統計分析概述.2-1 1.2 統計品管.2-2 1.3 統計分析在公共工程品管上之應用.2-3 二、隨機抽機二、隨機抽機.2-3 2.1 隨機抽樣概述.2-3 2.2 隨機.2-4 2.3 隨機抽樣技術.2-8 三、據整三、據整.2-12 3.1 據一覽表.2-12 3.2 次分配表.2-14 3.3 直方圖.2-17 四、集中趨勢與散程四、集中趨勢與散程.2-19 4.1 集中趨勢與散程概述.2-19

2、 4.2 平均.2-20 4.3 標準差.2-21 4.4 變係.2-23 4.5 全距.2-24 4.6 計算機之統計計算功能.2-26 五、常態分配五、常態分配.2-28 5.1 常態分配概述.2-28 5.2 以常態分配估計機.2-31 5.3 平均之分配.2-35 、管制圖、管制圖.2-39 6.1 管制圖概述.2-39 6.2 平均值全距管制圖.2-41 6.3 個別值移動全距管制圖.2-43 6.4 ACI 混凝土抗壓強管制圖 .2-46 七、結語七、結語.2-53 考文獻考文獻.2-54 2-1 品質技術第二單元品質技術第二單元 統計分析方法與應用統計分析方法與應用 一、 緒一、

3、 緒 母體母體 （批，（批，N） - 抽樣（抽樣方法）抽樣（抽樣方法）- 樣本（樣本（n） X1 Xi.Xn 意抽樣、隨機抽樣 據： x1,xi,xn 母（母（, ） -估計、檢定（推）估計、檢定（推）（分層（分層隨機抽樣）- 學員（學員（n=5） X1 Xi.Xn N 、 5 % 、 CNS 據 ： 70,50,90,69,71 kg 母 （=母 （=x=70, =s=14.16） -估計估計-計值 （計值 （ R=40,s=14.16） x=70 據整 ： 次圖 、 百分比圖 2-2 1.1 統計分析概述 1.1 統計分析概述 名詞（）、CNS符號（國際通用）、標準化 批 (母體) - N

4、（批大小） 樣本 - n（樣本大小） 抽樣方法 - 意抽樣法 隨機抽樣法簡單、系統、分層隨機抽樣 據 - 檢驗特性的值 次圖, 百分比圖, 積次圖, 積百分比圖 計值 (統計) - 英文字母 估計, 檢定 母 (母體的 ) -希字母 , 計值檢驗 （為間斷型特性，以計點方式表示單位產品的特性值， 如一鑄件表面有幾個汽孔或砂眼，燈泡是否作用， 孔徑太大或太小）- MIL-STD-105E （單 雙 多次抽樣計畫） ,正常 (normal )嚴格檢驗減檢驗 (tightened) (reduced inspection) AQL (acceptable quality level) 買方可接受的最

5、高或百件缺點 嚴重缺點 （0.1% 或 0.1%） ；主要缺點 （1% 或 0.65%） 輕微缺點 （2.5% 或 4%） 2-3 單次抽樣計畫單次抽樣計畫 送驗批(N) 樣本(n) 允收 (Ac) 拒收(Re) 30,000 125 3 4 送驗批(N=30000) 樣本(n=125) 允收 (Ac=3) 拒收(Re=4) 從N中隨機抽取 n 個樣本加以檢驗 從樣本發現品 =4 合格允收 合格拒收 雙次抽樣計畫雙次抽樣計畫 樣本(n) 積樣本(n) 允收 (Ac) 拒收(Re)第一次抽樣 50 50 3 7 第二次抽樣 50 100 8 9 計值檢驗 （為續型特性，如件尺寸、軸的外徑、孔位與

6、 基準面的距 mm、電阻 電 電壓、屬加熱後的溫與硬） (MIL-STD-414; ANSI/ASQC Z1.9-1980) AQL (0.1% - 10%) 分為 特殊檢驗 (S3, S4), 一般檢驗 (I, II, III) 皆包含 正常、嚴格、減檢驗 九種同程之抽樣計畫 2-4 * 變未知之標準差法 、 變未知之平均全距法 、 已知變法 * 單邊規格界線 雙邊規格界線 作業平均值之估計及嚴格檢驗與減檢驗之準則 確定性問題處步驟： （1）收集經驗（可為過去的史資或現在特別去實驗產生） 。 （2）整經驗找出其變化規。 （3） 選擇冒險 （我們作任何決定會有干冒險性，失敗後果嚴重，冒險定低些

7、以求安全，失敗後果輕微，冒險定高些以求經濟） 。 （4）作決定。 作業簡單時可用一般商用計算機，以人工逐一按鍵操作， 工作稍大時可採用工程用計算機運算，只要鍵入據，可自動計算平均值、標準差、總和、相關係等。 大作業時，可用電腦作業，Microsoft Excel具甚多統計函，可作各種統計運算及繪製統計圖，相當方有效。 如果業務需要，亦可採用統計品管專用軟體，甚至可由檢驗儀器直接擷取據、自動作統計分析及繪製管制圖等。 1.2 統計品管1.2 統計品管 工程受到工程材、作業人員、施工機具及施工方法（4M因素）等許多因素影響，引發許多品質管上的問題，如： （1）如何選定檢驗樣本? （第二節） 抽樣方

8、法抽樣方法 （2）如何整檢驗結果? （第三節） 據整據整 表格、圖形表格、圖形 （3）如何評定工程品質水準? （第四節） 計值計值 （4）如何設定公差大小? （第五節） 常態分配常態分配 （5）如何估算合格? （第五節） 常態分配常態分配 （6）如何選定製程目標值? （第五節） 常態分配常態分配 （7）何種情況下製程應採改正措施? （第節）品質管制圖品質管制圖 以統計方法為基礎的品管技術稱為統計品管（以統計方法為基礎的品管技術稱為統計品管（statistical quality 2-5 control，簡稱，簡稱SQC）。 新近頒布之中國國家標準 （CNS） 和工程施工規範已逐漸納入統計方法，

9、工程師需要有統計之基礎知才能活應用。 1.3 統計分析在公共工程品管上之應用 1.3 統計分析在公共工程品管上之應用 公共工程雖然有些特徵與製造業同，但其基本程序仍然是相似，公共工程包括設計、進、施工、驗收及使用五大步驟，因此公共工程之全面品管（Total Quality Control，TQC）和製造業一樣包括五大管制，每一階段之品質管制均可使用適當的統計方法，簡述如下： （1） 設計管制 ： 訂定品質目標 、 設定材與施工公差 、 工程可靠分析等。 （2）進管制：進管制：隨機抽樣、管制圖製作等。 （3） 製程管制：製程管制：訂定製程目標、隨機抽樣、檢驗結果分析、管制圖製作等。 （4）驗收管

10、制：設計抽驗計畫、抽樣檢驗等。 （5）維護管制：相關因素迴歸分析、預測維護時機、工程可靠分析等。 二、隨機抽樣二、隨機抽樣 隨機抽樣的特性 隨機 () 的使用 簡單隨機抽樣 系統隨機抽樣 分層隨機抽樣 2.1 隨機抽樣概述 2.1 隨機抽樣概述 100%檢驗 (簡稱：全檢全檢) 抽樣檢驗 (簡稱：抽檢抽檢) 抽樣分意抽樣（purposive sampling）與隨機抽樣（random sampling） 2-6 （1）意抽樣：）意抽樣：由抽樣者在母體(population)中主觀選定代表性樣本（sample） ，抽樣快速 ，但難免會因抽樣者之主觀或抽樣習慣而之偏差，在統計品管上通常用意抽樣。

11、（2）隨機抽樣：）隨機抽樣：以隨機方式由母體客觀選定樣本的方法，一般所用之抽籤決定即為一種隨機抽樣。但某些特殊情況可能用隨機抽樣，如混凝土構造物之鑽心試驗。 隨機抽樣具以下特性：隨機抽樣具以下特性： (1) 母體中的每一個樣本單位被抽中機相同。 （1/N） (2) 可由樣本大小(sample size)控制抽樣誤差；抽愈多誤差愈小，其關係可由統計公式表示。 （n e） (3) 樣本統計可以偏估計母體。 （ = E（x） ） 註：偏估計(unbiased estimate)指估計值比真值偏高與偏低之機會相等。 (4) 抽驗過程客觀公平，檢驗結果較具服。 2.2 隨機 2.2 隨機 隨機(rand

12、om number)又稱，顧名思義為一組非常，工程品管之抽樣一般大，常用由0.001、0.002、至1.000共計一千個所組成之三位隨機。 2.2.1 自製隨機 （X，驗收大、價值高時，正式驗收鼓使用），驗收大、價值高時，正式驗收鼓使用） 準備十個相同的圓球、硬幣或卡片等，各分別標上0到9十個字，將該字球放入一容器，充分拌勻，隨機抽出一個登其上字，再置回容器，重複前述步驟直至獲得所需為止。 1 試以字卡片自製五個三位隨機。 步驟 1.以 0 到 9 共十個字之自製字卡片隨機抽得 15 個值，按抽得順序排如下： 5 9 8 3 2 9 0 0 4 6 3 2 1 0 3 步驟 2.依序每三組成一

13、隨機，並以小表示： 0.598 0.329 0.004 0.632 0.103 註：萬一產生重號，捨棄後者再抽取補足。 2-7 2.2.2 查隨機表查隨機表 統計手冊及工程規範常附有隨機表 ， 可供採用 。 表1 係ASTM D3665 營建工程材隨機抽樣法21所附的隨機表 ， 為由0.001、 0.002 、 1.000的1000個所組成，CNS 904215附有40頁之隨機表）。使用時，先以適當隨機方法選定一起點，然後依序取出所需個之隨機 （位置：位置： （，） ，順序：順序：通常由左往右取，由上往下，為為 0：100, max）。種子（種子（seed random number）：）：由

14、業主或主驗人員指定，作為指示位置之用。 2 試以表 1.之 ASTM D3665 隨機表查取五個隨機。 解： （1）以第 2.2.1 節方法，以字卡片以置回法隨機抽出三個作為起點指標，假設為368 ，以前二號代表號，第三號代表號。368 代表取用隨機起點之座標為第 36 第 8 。 註：隨機為 000，代表第 100 第 0 。 （2）由第 36 第 8 起續查取五個隨機如下： 0.136 0.585 0.038 0.814 0.594 2.2.3 以計算機產生隨機 （X，驗收大、價值高時，正式驗收鼓使用），驗收大、價值高時，正式驗收鼓使用） 掌上型工程用計算機大多具隨機產生功能，可顯示由0.

15、001到1.000間之隨機，工程品管上十分實用。 3 試以工程用掌上型計算機產生五個隨機。 解： 同廠牌與機型之計算機常有同按鍵方法，需詳閱計算機明書。以下為幾種機型之範： (1) CASIO fx-991 及 CASIO fx-3600P： 每按 INV 鍵及小點 (RAN#)鍵一次可產生一個隨機，重複五次得以下五個隨機： 0.887 0.213 0.768 0.533 0.022 (2) CASIO fx-4500P 及 CASIO fx-5500L： 先按 SHIFT 鍵及小點 (RAN#)鍵啟動隨機功能，再每按一次 EXE 鍵可得一個隨機，重複五次得以下五個隨機： 2-8 0.879

16、0.229 0.807 0.400 0.681 2.2.4 以試算表如以試算表如 EXCEL 產生隨機產生隨機 （=RAND()） 2-9 表1 隨機表 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0.272 0.519 0.098 0.459 1.000 0.554 0.2500.246 0.736 0.4322 0.994 0.978 0.693 0.593 0.690 0.028 0.8310.319 0.073 0.2683 0.039 0.449 0.737 0.501 0.960 0.254 0.2390.474 0.031 0.7204 0.144 0.695 0.339 0.6

17、21 0.128 0.032 0.4130.617 0.764 0.2575 0.312 0.138 0.670 0.894 0.682 0.061 0.8320.765 0.226 0.7456 0.871 0.838 0.595 0.576 0.096 0.581 0.2450.786 0.412 0.8677 0.783 0.874 0.795 0.430 0.265 0.059 0.2600.563 0.632 0.3948 0.358 0.424 0.684 0.074 0.019 0.345 0.6180.176 0.352 0.7489 0.494 0.839 0.337 0.3

18、25 0.669 0.083 0.0430.809 0.981 0.49910 0.642 0.514 0.297 0.869 0.744 0.824 0.5240.656 0.608 0.40811 0.485 0.240 0.292 0.335 0.088 0.589 0.1270.396 0.401 0.40712 0.728 0.819 0.557 0.050 0.152 0.816 0.4040.079 0.703 0.49313 0.029 0.262 0.558 0.159 0.767 0.175 0.9790.521 0.781 0.84314 0.918 0.348 0.31

19、1 0.232 0.797 0.921 0.9950.225 0.397 0.35615 0.641 0.013 0.780 0.478 0.529 0.520 0.0930.426 0.323 0.50416 0.208 0.468 0.045 0.798 0.065 0.315 0.3180.742 0.597 0.08017 0.346 0.429 0.537 0.469 0.697 0.124 0.5410.525 0.281 0.96218 0.900 0.206 0.539 0.308 0.480 0.293 0.4480.010 0.836 0.23319 0.228 0.369

20、 0.513 0.762 0.952 0.856 0.5740.158 0.689 0.57920 0.746 0.170 0.974 0.306 0.145 0.139 0.4170.195 0.338 0.90121 0.363 0.103 0.931 0.389 0.199 0.488 0.9150.067 0.878 0.64022 0.663 0.942 0.278 0.785 0.638 0.002 0.9890.462 0.927 0.18623 0.545 0.185 0.054 0.198 0.717 0.247 0.9130.975 0.555 0.55924 0.360

21、0.349 0.569 0.910 0.420 0.492 0.9140.115 0.881 0.45225 0.789 0.815 0.464 0.484 0.020 0.007 0.5470.941 0.365 0.26126 0.279 0.609 0.086 0.852 0.890 0.108 0.0760.089 0.662 0.60727 0.680 0.235 0.706 0.827 0.572 0.769 0.3100.036 0.329 0.47728 0.078 0.444 0.178 0.651 0.423 0.672 0.5710.660 0.657 0.97229 0

22、.676 0.830 0.531 0.888 0.305 0.421 0.3070.502 0.112 0.80830 0.861 0.899 0.643 0.771 0.037 0.241 0.5820.578 0.634 0.07731 0.111 0.364 0.970 0.669 0.548 0.687 0.6390.510 0.105 0.54932 0.289 0.857 0.948 0.980 0.132 0.094 0.2980.870 0.309 0.44133 0.961 0.893 0.392 0.377 0.864 0.472 0.0090.946 0.766 0.28

23、734 0.637 0.986 0.753 0.566 0.213 0.807 0.0170.460 0.515 0.63035 0.834 0.121 0.255 0.453 0.376 0.583 0.4220.371 0.399 0.36636 0.284 0.490 0.402 0.151 0.044 0.436 0.7470.694 0.136 0.58537 0.038 0.814 0.594 0.911 0.324 0.322 0.8950.411 0.160 0.36738 0.351 0.283 0.027 0.220 0.685 0.527 0.9430.556 0.853

24、 0.61239 0.143 0.384 0.645 0.479 0.489 0.052 0.1870.990 0.912 0.75040 0.512 0.056 0.018 0.122 0.303 0.803 0.5530.729 0.205 0.92541 0.296 0.705 0.156 0.616 0.534 0.168 0.5640.866 0.739 0.85042 0.451 0.536 0.768 0.513 0.481 0.880 0.8350.734 0.427 0.84743 0.837 0.405 0.591 0.370 0.104 0.848 0.0040.414

25、0.354 0.70744 0.724 0.153 0.841 0.829 0.470 0.391 0.3880.163 0.817 0.79045 0.665 0.825 0.671 0.623 0.770 0.400 0.0680.440 0.019 0.94446 0.573 0.716 0.266 0.456 0.434 0.467 0.6030.169 0.721 0.77947 0.332 0.702 0.300 0.570 0.945 0.968 0.6490.097 0.118 0.24248 0.755 0.951 0.937 0.550 0.879 0.162 0.7910

26、.810 0.625 0.67449 0.439 0.491 0.855 0.446 0.773 0.542 0.4160.350 0.957 0.41950 0.700 0.877 0.442 0.286 0.526 0.071 0.1540.988 0.333 0.626摘自 ASTM D366521 2-10 表1 隨機表（續） 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 51 0.523 0.613 0.752 0.733 0.528 0.072 0.8200.929 0.777 0.46152 0.905 0.182 0.567 0.249 0.227 0.229 0.6040.304

27、0.217 0.14253 0.373 0.120 0.602 0.793 0.692 0.863 0.9540.873 0.107 0.67554 0.057 0.953 0.041 0.090 0.223 0.508 0.8060.438 0.203 0.58655 0.967 0.040 0.708 0.271 0.189 0.342 0.7400.801 0.985 0.26356 0.917 0.715 0.758 0.005 0.666 0.599 0.9340.100 0.987 0.08557 0.131 0.646 0.659 0.047 0.051 0.562 0.4350

28、.731 0.362 0.31758 0.326 0.605 0.443 0.601 0.386 0.560 0.3780.172 0.445 0.63659 0.299 0.106 0.237 0.732 0.796 0.476 0.0990.804 0.735 0.95060 0.101 0.055 0.776 0.686 0.171 0.533 0.9360.095 0.982 0.21161 0.267 0.598 0.754 0.658 0.274 0.215 0.1770.218 0.330 0.62862 0.471 0.102 0.454 0.568 0.963 0.357 0

29、.8820.507 0.157 0.58063 0.535 0.881 0.014 0.966 0.958 0.190 0.1800.759 0.433 0.35564 0.277 0.458 0.295 0.196 0.772 0.148 0.4660.291 0.688 0.04665 0.719 0.167 0.181 0.653 0.328 0.070 0.0150.155 0.631 0.06366 0.385 0.858 0.713 0.883 0.916 0.084 0.5610.999 0.379 0.66867 0.862 0.928 0.822 0.812 0.977 0.

30、395 0.7880.920 0.673 0.69868 0.486 0.938 0.757 0.749 0.991 0.219 0.2640.932 0.898 0.00669 0.091 0.872 0.959 0.922 0.727 0.811 0.0750.374 0.133 0.73070 0.146 0.482 0.930 0.611 0.179 0.011 0.2480.886 0.344 0.92671 0.709 0.184 0.390 0.409 0.191 0.117 0.8600.135 0.406 0.13472 0.996 0.896 0.760 0.347 0.0

31、53 0.372 0.1930.756 0.565 0.91473 0.971 0.859 0.147 0.114 0.418 0.889 0.7920.064 0.652 0.28874 0.202 0.538 0.026 0.949 0.696 0.008 0.8460.259 0.415 0.42575 0.212 0.321 0.778 0.940 0.496 0.231 0.6640.903 0.473 0.90976 0.207 0.799 0.487 0.022 0.813 0.891 0.5000.368 0.725 0.43777 0.818 0.503 0.906 0.22

32、4 0.904 0.892 0.4550.343 0.924 0.19778 0.701 0.984 0.174 0.141 0.704 0.908 0.0480.828 0.997 0.05879 0.035 0.380 0.001 0.381 0.251 0.497 0.2140.794 0.552 0.58880 0.221 0.200 0.587 0.353 0.584 0.270 0.8850.110 0.956 0.71181 0.647 0.403 0.530 0.738 0.280 0.457 0.6500.276 0.661 0.97382 0.667 0.722 0.327

33、 0.723 0.410 0.635 0.0120.907 0.316 0.67783 0.644 0.590 0.021 0.269 0.042 0.062 0.3870.183 0.964 0.54484 0.302 0.123 0.116 0.282 0.851 0.256 0.6480.845 0.782 0.99385 0.633 0.933 0.331 0.546 0.842 0.016 0.2360.164 0.923 0.97686 0.060 0.681 0.683 0.755 0.624 0.955 0.1260.655 0.919 0.11387 0.165 0.532

34、0.431 0.341 0.092 0.244 0.2220.336 0.034 0.21688 0.875 0.691 0.383 0.382 0.596 0.301 0.2750.188 0.868 0.80589 0.726 0.902 0.252 0.130 0.238 0.398 0.7630.463 0.615 0.14090 0.273 0.393 0.285 0.161 0.619 0.865 0.5510.030 0.571 0.25891 0.253 0.821 0.600 0.023 0.606 0.849 0.6100.577 0.082 0.77492 0.340 0

35、.654 0.173 0.495 0.498 0.992 0.1920.506 0.751 0.12993 0.194 0.290 0.592 0.983 0.509 0.998 0.5220.627 0.741 0.54094 0.166 0.450 0.210 0.204 0.840 0.826 0.8330.516 0.965 0.37595 0.712 0.314 0.033 0.823 0.629 0.939 0.8870.066 0.743 0.08196 0.622 0.800 0.710 0.575 0.678 0.465 0.8020.969 0.150 0.78497 0.

36、313 0.294 0.897 0.718 0.614 0.876 0.0250.049 0.620 0.12598 0.137 0.087 0.003 0.483 0.201 0.209 0.3200.935 0.447 0.78799 0.243 0.679 0.844 0.069 0.024 0.543 0.7140.234 0.505 0.428100 0.361 0.359 0.230 0.761 0.334 0.149 0.5110.475 0.854 0.119摘自 ASTM D366521 2-11 2.3 隨機抽樣技術 母體（母體（population）抽樣檢驗上將母體稱作批

37、（批（lot） 樣本單位（樣本單位（sample unit）。如某一天將產製320m3混凝土， 分成80輛攪拌送抵工地，則此320m3混凝土為母體， 可將每一輛攪拌視作為一個樣本單位。 2.3.1 簡單隨機抽樣簡單隨機抽樣 簡單隨機抽樣(simple random sampling)亦稱單純隨機抽樣， 係將母體中之每一樣本單位分別編號 （實務上並非真的填上號碼，只要能按一定順序找到任一號所代表的樣本單位即可） 4 假設某瀝青混凝土面工程，按規定以 1000m 為一檢驗批，應抽驗五點之厚，某批起點樁號為 10K+000。請用簡單隨機抽樣法選定檢驗位置之樁號。 解： 由業主或主驗人員指定種子種子，

38、作為指示位置之用 步驟 1. 依所示位置循序取依所示位置循序取 n 個：個：由表 1 查得五個隨機（引用 2結果） ： 0.136 0.585 0.038 0.814 0.594 步驟 2. 以以 n 個乘以批大小個乘以批大小 （N） ，四捨五入，調整為原編號：） ，四捨五入，調整為原編號：將總長 1000m 分別乘以各隨機，即得各檢驗點與起點之距，再分別加上起點樁號即為取樣點樁號，計算如表 2 所示。 簡單隨機抽樣為最基本方法，但抽樣大時作業，有時抽樣位置會局部集中，宜盡避免採用。但抽樣大時作業，有時抽樣位置會局部集中，宜盡避免採用。 2-12 表2 簡單隨機抽樣法計算 (1) (2) (3

39、) (4) No. 總長 隨機 起點距 取樣點樁號 (1)(2) 10K+000+(3) 1 1000 0.136 136 10K+136 2 1000 0.585 585 10K+585 3 1000 0.038 38 10K+038 4 1000 0.814 814 10K+814 5 1000 0.594 594 10K+594 2-13 2.3.2 分層抽樣分層抽樣 （比抽樣，（比抽樣，proportional sampling） 分層抽樣（straitified sampling）係將母體按預定樣本大小分為干層按預定樣本大小分為干層（抽樣檢驗上稱作小批稱作小批sublot），然後從每

40、一層中，以簡單隨機抽樣法各抽出一件樣本。 5 假設某瀝青混凝土面工程，按規定以 1000m 為一檢驗批，應抽驗五點之厚，某批起點樁號為 10K+000。請用分層抽樣法選定檢驗位置之樁號。 解： 依其他特性分層依其他特性分層 N1, N2, N3, Ns, 步驟 1. 計算各小批計算各小批 n1, n2, n3, ns, 將檢驗批均分為五小批，每小批長： 1000/5=200 （ns,= Ns / N ） 各小批起點樁號分別為 10K+000、10K+200、10K+800 步驟 2.由表 1.查得五個（n）隨機如下(引用 2結果)： 0.136 0.585 0.038 0.814 0.594

41、步驟 3. 以簡單隨機抽樣法分別自各層抽樣以簡單隨機抽樣法分別自各層抽樣以小批長乘各隨機，計算得取樣點樁號，如表 3 所示： 表3 分層抽樣法計算 (1) (2) (3) (4) (5) No. 小批長 隨機 距 小批起點 取樣樁號 =(1)(2) =(3)+(4) 1 200 0.136 27 10K+000 10K+027 2 200 0.585 117 10K+200 10K+317 3 200 0.038 8 10K+400 10K+408 4 200 0.814 163 10K+600 10K+763 5 200 0.594 119 10K+800 10K+919 分層抽樣法計算較麻

42、煩，但可確保樣本分散到母體的各層，容被接受，在其他特性有所區別或抽樣多時最宜採用在其他特性有所區別或抽樣多時最宜採用。 2-14 2.3.3 系統抽樣系統抽樣 系統抽樣(systematic sampling)亦稱等距抽樣亦稱等距抽樣，係將母體按樣本大小均分，然後從第一等分中，以簡單隨機抽樣法抽出一件樣本，然後每隔與等分同長處抽取一件。 2-15 6 假設某瀝青混凝土面工程，按規定以 1000m 為一檢驗批，應抽驗五點之厚，某批起點樁號為 10K+000。請用系統抽樣法選定檢驗位置之樁號。 解： 步驟 1.計算第一等分長： （k = N / n, k 為抽樣距）為抽樣距） 1000/5=200

43、 步驟 2.由表 1.查得一個隨機為： （以簡單隨機抽樣法自第一等分決定起始值）（以簡單隨機抽樣法自第一等分決定起始值） 0.136 步驟 3.計算第一點位置： （調整第一點編號為（調整第一點編號為 A） 10K+000 + 2000.136 = 10K+027 步驟 4.計算各取樣點樁號如表 4 ： （計算（計算 A, A+k, A+2k, , A+(n-1)k） 表4 系統抽樣法計算 No. 計 算 取樣樁號 1 10K+027 2 10K+027+200 10K+227 3 10K+227+200 10K+427 4 10K+427+200 10K+627 5 10K+627+200 1

44、0K+827 系統抽樣法最適於抽樣很大之情況最適於抽樣很大之情況。但母體成週期性變化，且變化週期恰為抽樣間距的倍時，會發生嚴重偏差，可採用。但母體成週期性變化，且變化週期恰為抽樣間距的倍時，會發生嚴重偏差，可採用。製程管制上亦應避免採用，以免作業手預知取樣時機而預作準備，影響樣本之代表性。 以上三種抽樣結果之樁號如圖1所示。 2-16 2315410K+00011K+000(a)簡單隨機抽樣法10K+00011K+00010K+20010K+40010K+60010K+80012345(b)分層抽樣法10K+00011K+00012345(c)系統抽樣法10K+200 圖 1 三種隨機抽樣結果

45、之樁號 編號間距編號間距 樣本分布樣本分布 順序性順序性 簡單隨機抽樣簡單隨機抽樣 相等相等 均勻均勻 沒有沒有 系統隨機抽樣系統隨機抽樣 相等相等 均勻均勻 有有 分層隨機抽樣分層隨機抽樣 相等相等 依各層比依各層比 依各層順序依各層順序 2-17 平面抽樣平面抽樣 （向抽樣）（向抽樣） 前三僅計算出檢驗位置之樁號（縱座標），至於橫斷面上之位置（橫座標），需另以隨機抽樣決定，假設面寬為15m，另查得五個隨機為0.530、0.738、0.280、0.457、0.650，將其分別乘以15m，獲得五個橫座標7.95、11.07、4.20、6.86、9.75m，即在前三中所得之檢驗位置之樁號點，距側

46、上述橫斷面距處取樣（註：由何側起可事先約定，如順樁號右側）。 以5分層抽樣法所得樁號，配合以上計算得之橫座標，可得抽樣位置如下（圖2）： 表5 橫斷面簡單隨機抽樣法計算 取樣點編號 樁號 橫距（m） 1 10K+027 7.95 2 10K+317 11.07 3 10K+408 4.20 4 10K+763 6.86 5 10K+919 9.75 0369121501002003004005006007008009001000縱斷面橫斷面 10K+00011K+000圖 2 實際抽樣位置圖 2-18 三、據整三、據整 （分組資）（分組資） 母體母體 （批，（批，N） - 抽樣（抽樣方法）抽樣

47、（抽樣方法）- 樣本（樣本（n） X1 Xi.Xn 意抽樣、隨機抽樣 據： x1,xi,xn =? 據整：據整： 表格、圖形表格、圖形 據 整成 據一覽表 據一覽表 橫軸整 橫軸整 求出全距 （R）= max - min 求出組 （k） 求出組距 （c,w = R/k） , 組中點 （m） 組界 (下界= m-c/2, 上界=m+c/2), - 以表格整 以表格整 縱軸整縱軸整 畫記 （tally） 計算 次, 百分比, 積次, 積百分比 作圖作圖 製製作直方圖 （以組界、組中點為橫軸，分別以次, 百分比, 積次, 積百分比為縱軸） 計算計值 計算計值 計算 分組資 平均值, 標準差 2-19

48、 3.1 據一覽表據一覽表 據整之第一步為將據按品管需要適當分據整之第一步為將據按品管需要適當分(如：按工程別、源別、檢驗項目別、檢驗期間別等分如：按工程別、源別、檢驗項目別、檢驗期間別等分)，將重要項目依時間順序登記製成 據一覽表。，將重要項目依時間順序登記製成 據一覽表。 表6所示為某預拌混凝土廠之28天齡期之圓柱試體抗壓強檢驗據（規定強fc=210 kgf/cm2）。該預拌混凝土廠每次模鑄二只試體，按規定養治至28天齡期並檢測其抗壓強。按CNS 3090預拌混凝土14規定以該二只試體強之平均值作為該次之試驗結果（test result）。 註：依CNS 3090之定義，每一試驗結果為一個

49、別值，而其源為同一次取樣所做各圓柱試體強之平均值。 據一覽表係將原始報表中之相同部份集中在一起，可方閱，並於作進一步分析。由表6中得知試驗結果之最大值為312（No.17），最小值為173（No.9），故知此三十次之抗壓強於173312之間。 2-20 表6 混凝土抗壓強據一覽表 抗壓強(kgf/cm2) (1) No. (2) 取樣日期 (3) 樣品代號 (4) 試體 1(5) 試體 2(6) 試驗結果（x） (7) 試驗全距（試驗全距（R）1 85.7.1 P5-1 260 249 255 11 2 85.7.1 P5-2 246 260 253 14 3 85.7.2 P7-1 255

50、272 264 17 4 85.7.2 P7-2 305 290 298 15 5 85.7.3 P3-1 294 275 285 19 6 85.7.3 P3-2 266 278 272 12 7 85.7.4 P4-1 224 242 233 18 8 85.7.4 P4-1 225 204 215 21 9 85.7.5 P6-1 177 169 173（最小） 8 10 85.7.5 P6-2 198 210 204 12 11 85.7.6 P1-1 209 231 220 22 12 85.7.6 P1-2 236 214 225 22 13 85.7.7 C1-1 257 243

51、 250 14 14 85.7.7 C1-2 260 280 270 20 15 85.7.8 C1-3 226 252 239 26 16 85.7.8 P8-1 286 271 279 15 17 85.7.8 P8-2 313 310 312（最大） 3 18 85.7.9 P8-3 274 273 274 1 19 85.7.9 S3-1 243 248 246 5 20 85.7.10 S3-2 184 201 193 17 21 85.7.10 S3-3 230 207 219 23 22 85.7.11 S3-4 209 190 200 19 23 85.7.11 S3-5 24

52、1 257 249 16 24 85.7.13 C3-1 286 296 291 10 25 85.7.13 C3-2 271 246 259 25 26 85.7.14 W3-1 220 236 228 16 27 85.7.14 G6-1 272 281 277 9 28 85.7.14 G6-2 307 300 304 7 29 85.7.15 G6-3 266 258 262 8 30 85.7.15 G6-4 248 272 260 24 x = 250 R = 15 2-21 3.2 次分配表次分配表 原始據龐大時，可按值大小適當加以分組製作次分配表，以初步瞭解其分配況，並可進一步

53、供繪製直方圖繪製直方圖等統計圖之用，次分配表製作步驟如下： 7 試以表 6 據製作次分配表（表 7） 。 解： 步驟 1.計算據之全距。 全距（全距（R）=最大值（最大值（max）最小值（）最小值（min）=312173=139 步驟 2.估計組。 （方法一）史特吉斯（Sturges）3經驗公式： k=13.32log(n) （1） 式中，k=分組組，n=據個 （方法二）經驗公式： nk =（建議（建議 符合符合 2k = n 之之 k 最小值）最小值） （2） （方法三）經驗表3： n 50100 100250 250 以上 k 610 711 1014 本採用方法一：n=30，則k=1+3

54、.32log(30)=5.9，可試分6組。 註：此公式僅提供一試用初值，實際採用組尚需考慮使用之方性及所呈現之分配況等。（建議（建議5 k 1 15） 步驟 3.計算組距。 （建議（建議 c,w = R/kc,w = R/k 優先序：優先序：1. 可整除者可整除者 2. 距整最近者）距整最近者） 2-22 組距=全距/組=139/6=23.2 考計算及製圖方性，常取用 5 之倍。 考各分組重疊，常取用奇（奇除以 2 會比原據往下多一位有效，請步驟 6.後之附註） 。 本經以上考慮，組距選定 25。 步驟 4.計算第一組之組中點。計算第一組之組中點。 第一組之組中點最小值組距/2=17325/2

55、=185.5 考計算方性，常取用整或 5 之倍。本採用 180。 步驟 5.計算其餘各組之組中點。計算其餘各組之組中點。 各組之組中點=前一組之組中點組距 本：18025=205，20525=230，。 步驟 6.計算各組之界限（組範圍） 。計算各組之界限（組範圍） 。 下限下限=組中點組距組中點組距/2 上限上限=組中點組距組中點組距/2 本第一組：下限=18025/2=167.5 上限=18025/2=192.5 第二組：下限=20525/2=192.5 上限=20525/2=217.5 註：第一組上限與第二組下限同為 192.5，因原據僅記至個位，會有 192.5 出現，故此二組會重疊。

56、 步驟 7.登劃記（tally）及計算次。 將表 6 之第(6)試驗結果依所屬組範圍登劃記於表7 之第(4)，依序寫成正字（如票選之開票作業） ，登完成後，再計算各組次(如第 5 )並計算總。本第一據 253，位於 242.5-267.5 間，故於組中點為 255 之組劃一筆，其餘推。本總為 30。 註：劃記可依國人習慣寫成 正寫成 正 字或依西式劃成似 冊字之四豎線及一斜線符號（圖 3） ，本教材因涉及電腦字型之通用，第（4）僅象徵性表示筆畫，未依實際手寫順序表示。 圖 3 西式劃記符號 1 2 3 4 5 2-23 步驟 8.計算各組佔總之百分比、積次、積百分比。、積次、積百分比。 各組佔

57、總之百分比=各組次/總100 本第一組百分比=1/30100=3.3 第二組百分比=4/30100=13.3 由本次分配表可以大致看出： (1) 大部份值於 180 至 305 之間。 (2) 組中點255 上下之次相近，估計平均值約為 255。 表 7 次分配表 (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) 組中點 下限 上限 劃記次 百分比積次積次 積百分比積百分比180 167.5 192.5 一 1 3.3 1 205 192.5 217.5 止 4 13.3 230 217.5 242.5 正一 6 20 255 242.5 267.5 正止 9 30 280 26

58、7.5 292.5 正丁 7 23.4 305 292.5 317.5 下 3 10 3 合計 30 100 2-24 3.3 直方圖 （histogram） 以表7之第(1) 組中點 為橫座標，第(5) 次 或第(6) 百分比為縱座標，以其相應資（如1801、2054等，或1803.3%、20513.3%等）以長方形表示，繪成直方圖(histogram)（圖4）。 直方圖常用於初步分析或簡報資之用，由直方圖可以快速看出據分配況。如由圖4可初步辨如下： （1）直方圖呈現左右約對稱的山形，近似常態分配之鐘形，可判定此批材屬正常變化。 （2）由面積之左右對稱中心橫座標（約255） ，可估計此批混凝

59、土之平均抗壓強約為255kgf/cm2。 （3）由小於210之面積（斜線部分）約佔總面積的七分之一，估計抗壓強小於210kgf/cm2之百分比約為15%。 除以上介紹之統計圖之外，尚有許多種統計圖可配合分析或表現需要常被採用，如以Microsoft Excel可以輕產生 圖5 所各種統計圖，每種圖還可細分二至七個式樣，者可多加活用。圖4直方圖係以直條圖繪製，第節之各管制圖則應用XY散佈圖繪製。 0246810155180205230255280305330抗壓強 gf/cm2次255 210 圖4混凝土抗壓強直方圖 2-25 以表6.第(1)之組上限為橫座標與第(6)積百分比為縱座標,標示相應

60、資(如187.5-3.3%,202.5-10.0%)之座標點,將各座標點結成折線或平曲線,即為積次分配圖(Ogive)(圖3.),由積次分配圖可以估計此批據之一些統計,如: (1)由縱座標50%所對應橫座,標估計平均約為253。 (2)由圖2.知此批據近似積常態曲線(詳第五節),由縱座16-84%之相對應橫座標區間(284-215=69)除以2,估計標準差約為34.5。 註:常態分配平均之上下各一個標準差之積機,分別約為16%與84%(詳第五節)。 (3)由橫座標210所對應之縱座標,估計出抗壓強於210之百分比約為13%。 以表6.第(1)之組上限為橫座標與第(6)積百分比為縱座標,標示相應

61、資(如187.5-3.3%,202.5-10.0%)之座標點,將各座標點結成折線或平曲線,即為積次分配圖(Ogive)(圖3.),由積次分配圖可以估計此批據之一些統計,如: (1)由縱座標50%所對應橫座,標估計平均約為253。 (2)由圖2.知此批據近似積常態曲線(詳第五節),由縱座16-84%之相對應橫座標區間(284-215=69)除以2,估計標準差約為34.5。 註:常態分配平均之上下各一個標準差之積機,分別約為16%與84%(詳第五節)。 (3)由橫座標210所對應之縱座標,估計出抗壓強於210之百分比約為13%。 2-26 以試算表製作以試算表製作 茲以Microsoft Exce

62、l繪製圖4直方圖為明基本步驟如下： （1）啟動Microsoft Excel，在工作表鍵入據如下： A B 1 155 0 2 180 1 3 205 4 4 230 6 5 255 9 6 280 7 7 305 3 8 330 0 （2）按工作插入 ，選圖表 ，選直條圖 ，點下一步 。 （3）選 ，選新增 ，點收值捲，拖曳值表B1至B8 ，點放捲。點收別X軸標籤捲，拖曳值表A1至A8 ，點放捲，點下一步 。 （4）選標題 ，在別X軸方框填入抗壓強,kgf/cm2 ，在值Y軸方框填入次 ，點下一步 。 （5）點工作表中的物件 ，點完成 。則出現直條圖，此圖中各直條間有空隙，續以下步驟消除之。

63、 （6）點任意一直條，按鼠右鍵，點資格式 ，點選項 ， 別間距修正為0，點確定 。如此即可產生直方圖，必要時仍可進修正圖形顏色、格式等。 2-27 圖5 Microsoft Excel 繪圖所製統計圖 0 2 4 6 8 1 01 21 41 61 2 3 45 6 051014S051015S1S2S1S21.直條圖 2.橫條圖 3.折線圖 4.圓形圖 5.XY散佈圖6.區域圖 7.環圈圖 8.達圖 9.曲面圖 10.泡泡圖 11.股票圖 12.圓柱圖 13.圓錐圖 14.字塔圖 2-28 四、四、計值：計值：集中趨勢與散程集中趨勢與散程 （傾斜、寬窄）（傾斜、寬窄） 未分組資計值（統計）包

64、含未分組資計值（統計）包含 集中趨勢集中趨勢 - 中間值 中間值 樣本平均值 (x)樣本移動平均值 （mx） xi / n 樣本中位 (Md) n = 偶, 為 n/2及 n/2 + 1 位置對應值的平均值 n = 奇, 為 (n+1)/2 位置 的對應值 樣本眾 (Mo) 發生次最多者,可多於一個 分散程分散程 (品質均勻品質均勻) 樣本全距 R = 最大值-最小值 樣本變 s2 標準差 s s2 = (x x)2 / (n-1) 樣本變係 Cv, v v = s / x * 100% 分組資標準差的計算 分組資標準差的計算 S = R / d2 (n) 2-29 4.1 集中趨勢與散程概述

65、集中趨勢與散程概述 同一母體之品質特性大部份會出現在某一中心值附近，開中心值越遠，出現機越少，如圖4之直方圖成單峰山形，這種現象稱集中趨勢，工程品管上常用平均（亦稱平均值）表示該中心值平均（亦稱平均值）表示該中心值。 以平均為中心，上下分布，其散布之寬窄稱散程散布之寬窄稱散程。品質越均勻，散程越明顯，工程品管上常以標準差、變係、全距表示散程。工程品管上常以標準差、變係、全距表示散程。 圖6 品質據之散 255285平均271264253最小值253298最大值2982502552602652702752802852902953003050123456據編號抗壓強kgf/cm2全距據編號 抗壓強

66、 Kgfcm2 2-30 4.2 平均平均 統計上有種平均，通常未特別指明時，平均平均(mean)係指算術平均係指算術平均(arithmetic mean)，平均亦稱為平均值。 假設由一母體抽取n個樣本，其個別值分別為nxxx,.,21，其平均計算如下： =+ +=niinxnxxxnx1211)(1 (3) 式中，x =平均 xi=據個別值，i=1n n=樣本大小(據個) 平均(x，唸x bar)係由樣本據求得，稱為樣本平均，一般簡稱平均。而母體中所有的平均稱之母體平均以母體平均以(唸唸mu)表示。表示。工程實務上，甚少作甚少作100%檢驗，母體平均檢驗，母體平均()無法得知，無法得知，而必

67、須採用抽樣檢驗，計算樣本平均（x），再用樣本平均（用樣本平均（x）估計母體平均）估計母體平均()。 2-31 8 請計算表 6 前五次混凝土抗壓強試驗結果之平均： xi=255,253,264,298,285 kgf/cm2 解： x=(255+253+264+298+285)/5=271 kgf/cm2 我們經常以平均表示一群確定值之中間值，如平均身高、平均氣溫、平均強等。 工程規範中常以平均表示工程品質水準，規定每批抽驗干件，其平均得小於某一定值。如，工程規範中常以平均表示工程品質水準，規定每批抽驗干件，其平均得小於某一定值。如，CNS 1178混凝土空心磚檢驗法混凝土空心磚檢驗法12第第

68、3.3節規定：節規定： 全斷面抗壓強檢驗：已知標準差時採樣三個，知標準差時採樣七個混凝土空心磚進試驗，滿足下公式時，該批為合格 6 . 1+LSx (4) 式中,x=平均值 SL=規格下限值（CNS 8905混凝土空心磚規定，A 種磚：SL=40 kgf/cm2，B 種磚：SL=60 kgf/cm2，C 種磚：SL=80 kgf/cm2） =母體標準差(知標準差時以樣本標準差 s 估計之，詳第4.3 節) 工程品管上也常取續干之移動平均移動平均（mx），以顯示品質之變動趨勢以顯示品質之變動趨勢。所謂移動平均係由起點開始，續取指定個個別值之平均，然後逐次往下推進一，每前進一同時放棄最後一。如以下

69、五值（255,253,264,298,285）之三移動平均如下： xi= 255 253 264 298 285 mx= 257.3271.6282.3 明： （255+253+264）/3=257.3 （253+264+298）/3=271.6 （264+298+285）/3=282.3 2-32 4.3 標準差標準差 標準差(standard deviation)用於表示資之散程表示資之散程，由母體中抽取 n個樣本，其值分別為nxxx,.,21，其樣本標準差樣本標準差計算如下： 1)(2=nxxsi (5) 式中，s =樣本標準差 xi=據個別值，i=1n x=平均 n =樣本大小(據個)

70、 標準差(s)係由樣本據求得 ，稱為 樣本標準差 ，一般簡稱 標準差 。測得母體中之每一個體值，則可據以計算母體標準差母體標準差(，唸，唸sigma)如下： Nxi=2)( (6) 式中，=母體標準差 xi=據個別值，i=1N =母體平均 N=母體中之個體（批） 工程實務上，甚少作100%檢驗，母體標準差()無法得知，而必須採用抽樣檢驗，計算樣本標準差（s），再用樣本標準差估計母體標準差()。 標準差用以表示一群據之散程，標準差愈大表示各據互相差愈大；據為品質特性，標準差愈大表示品質愈均勻標準差愈大表示各據互相差愈大；據為品質特性，標準差愈大表示品質愈均勻。教育部公布統計學名詞及CNS 257

71、9品質管制詞彙均將standard deviation譯為標準差，部份土木建築CNS及社會人士則依日本用語稱標準偏差標準偏差。 2-33 9 試計算表 6 之前五次混凝土抗壓強試驗結果之標準差。 xi=255,253,264,298,285 kgf/cm2 解：由 8得知x=271，茲以(5)式用表格計算如下： 表8 標準差計算表 xi xxi 2)(xxi 255 -16 256 253 -18 324 264 -7 49 298 27 729 285 14 196 合計 1554 1554/(5-1)= 388.5 =5 .388 19.7 2-34 4.4 變係變係 （V, Cv） 變係

72、 （coefficient of variation） 為標準差對平均之比值，標準差對平均之比值，計算公式如下： )%100(=xsV (7) 式中，V=變係（亦可用小表示） s=標準差 x=平均 10試計算表 6 之前五次混凝土抗壓強試驗結果之變係。 解： （1）由 8及 9計算得： s=19.7，x=271 （2）代入（7）式，得： %3 . 7073. 02717 .19=V 工程品管上常以標準差或變係表示工程品質之均勻性，其值愈大表示愈均勻。至於採用標準差或變係表示，需視所應用之情況下何者較能反應品質水準而定（表9實）。標準差可視為散程之絕對值，而變係則為散程對平均之相對值，變係保持一

73、定，平均大者其相對應之標準差亦大。 表9為ACI 21419建議用以評估混凝土管制水準之準則，明如下： （1）全面變（）全面變（overall variation） ：） ：為各次試驗結果之差，以標準差表示，用於評估混凝土品質之均勻性，標準差愈大，表示混凝土品質愈均勻，管制水準愈差。全面變之標準差以各次之試驗結果以（5）式計算得之。 （2） 組內變 （） 組內變 （within-test variation） ： 為一次試驗中各試體強間之差，以變係表示，用於評估試驗之密 （） ： 為一次試驗中各試體強間之差，以變係表示，用於評估試驗之密 （precision） 。） 。其變係由於各試體之製作、

74、養治及試驗等差而引起，組內變與試驗操作及試驗儀器穩定性有關，但與混凝土品質無關。組內變係需先計算試驗內之標準差，因一組試體之多，宜用（5）式計算標準差，需以（9）式估計之（詳12） 。 2-35 表9 ACI 214混凝土管制水準評估準則混凝土管制水準評估準則 全面變全面變（overall variation） 標準差標準差，psi (kgf/cm2) 作業 最佳 很好 可以 尚可 等級 Excellent Very GoodGood Fair Poor 700 工地工地 試驗試驗 (49.2) 350 試驗室試驗室 試拌試拌 (24.6) 組內變組內變（within-test variati

75、on） 變係變係，% 作業 最佳 很好 可以 尚可 等級 Excellent Very GoodGood Fair Poor 工地 試驗 6.0 試驗室 試拌 5.0 統計分析雖可獲得客觀證據，但作業等級標準則賴人為制定，其制定應考慮生產能及消費者滿意，我國尚無正式之混凝土管制水準評估準則，表9作業等級之中文係引用土木水學會之混凝土工程施工規範第3.7節之解（土木402-88）10。茲以（5）式計算得表6之30次試驗結果之標準差為34.2 kgf/cm2，對照表9可判定該工程之施工水準屬很好等級。 2-36 4.5 全距全距 全距(range)為據中最大值與最小值之差，其計算公式如下： min

76、maxxxR= (8) 式中，R=全距 xmax=最大值 xmin=最小值 11 試計算下五次混凝土抗壓強試驗結果之全距。 xi= 255,253, 264, 298, 285 kgf/cm2 解： 298max=x，253min=x R= 298253 = 45 kgf/cm2 全距用於表示據之散程，其計算容，日常生活及品管實務上常用以表示品質之散程。 分組資標準差的計算分組資標準差的計算 標準差和平均全距（R）有相當好的統計關係，在樣本少之情況下，常用樣本之平均全距（R）估計母體標準差，公式如下： =Rd2 (9) kRRi= (10) 式中，=母體標準差 k=樣本組，通常要求 k10，使

77、推估結果較為想 Ri=第 i 組之全距 d2 =統計係，和每組之樣本大小(n)有關，如表 10所示 2-37 表10 d2係 樣本大小(n) d2 2 1.128 3 1.693 4 2.059 5 2.326 6 2.534 7 2.704 8 2.847 9 2.970 10 3.078 12 請以表 6前 10次之混凝土抗壓強計算組內變之標準差及變係。 解： 表11 以平均全距估計標準差 組 別 x1 x2 試驗結果 （x）R 1 260 249255 11 2 246 260253 14 3 255 272264 17 4 305 290298 15 5 294 275285 19 6

78、 266 278272 12 7 224 242233 18 8 225 204215 21 9 177 169173 8 10 198 210204 12 R 2452 147 R 147/10= 245.2 14.7 d2 查表 10，由 n=2 得 1.128 s1 14.7/1.128= 13 x 計算十次試驗之平均 245 1V 13/245100%= 5.3% 註 ： ACI 214以s1及V1分別表示組內變之標準差及變係。 2-38 對照表9得知該組內變（V1=5.3%）屬尚可水準（5.0-6.0%），表示同一次試驗之試體強間相差尚大 ， 需要檢討試驗作業之穩定性與增進試驗密。

79、4.6 計算機之統計計算功能計算機之統計計算功能 目前工程用之電子計算機大多具基本統計計算功能，據大時，十分實用，其主要操作步驟如下： (1)開機。 (2)轉入統計功能。 (3)鍵入據。 (4)查詢所需之統計。 各廠牌及型號計算機之操作方法常各有同，請者自閱各計算機所附之操作手冊。以下僅以一種常計算機為明之。 13 試以計算機計算以下據之平均與標準差。 xi=255,253,264,298,285 kgf/cm2 解：茲以 CASIO fx-991 計算機為明之。 表12 計算機之統計運算 按 鍵 顯 示 明 INV MODE SD 進入統計功能 255 M+(x) 255 鍵入據 253 M

80、+(x) 253 鍵入據 264 M+(x) 264 鍵入據 298 M+(x) 298 鍵入據 285 M+(x) 285 鍵入據 INV 6(n) 5 顯示：已鍵入五個據 INV 7(x) 271 顯示：平均 INV 9(n1) 19.71 顯示：樣本標準差 INV 8(n) 17.62 顯示：母體標準差 註：按鍵（）中所示為計算機按鍵上方之提示字。 2-39 如果據龐大或經常分析時， 可用電腦程式分析， 茲以如果據龐大或經常分析時， 可用電腦程式分析， 茲以EXCEL計算計算13明如下：明如下： （1）開啟EXCEL，在值格鍵入據如下： A 1 255 2 253 3 264 4 298

81、 5 285 （2）在A6格鍵入=AVERAGE(A1:A5)，按確定 ，格中出現271，即為平均。 （3）在A7格鍵入=STDEV(A1:A5) ，按確定 ，格中出現19.71，即為樣本標準差。EXCEL顯示結果如下： A 1 255 2 253 3 264 4 298 5 285 6 271 7 19.71 2-40 五、常態分配五、常態分配 （計值檢驗）（計值檢驗） 常態分配的特性 常態分配的特性 為百分比圖（面積為 100%, 特性橫軸 -,）、 鐘形形、土堆 （中心點有眾 Mo） 左右對稱 （中心點有平均值， 中位 Md）、 距中心點一個標準差s各有一反曲點、 （作圖時應注意）（作圖

82、時應注意） 樣本分布經驗公式 （0.6826, 0.9544, 0.9974） 如何查表及運用: 標準常態分配 如何查表及運用: 標準常態分配 = 0 = 1 一般常態分配及標準常態分配的轉換一般常態分配及標準常態分配的轉換 N(, s2) vs N(0,1) z = (x )/; （如應用於計值檢驗）（如應用於計值檢驗） x = + z * （如應用於計值檢驗）（如應用於計值檢驗） 常態分配平均的標準差 常態分配平均的標準差 x= = x （= x 的平均） xn= 為 CNS-3090 預拌混凝土, CNS-1289混凝土配比設計準則, 及土木水施工規範使用 注意注意: 橫軸為橫軸為 平均

83、值 平均值 2-41 5.1 常態分配概述 繪製直方圖 （圖4） 時，如果據個逐漸增加，則分組亦可相對增加，則組距逐漸變小，所繪之直方圖將逐漸趨近於平曲線，當據個趨近於無限多時，很多品質特性之分配曲線常呈左右對稱之鐘形曲線（如圖7所示），稱為常態分配曲線（normal distribution curve），並可用(11)式之常態分配之機密函表示： 2)(2121)(=xexf -x (11) 式中，x=變 e=2.718281828(自然對) =母體平均 =母體標準差 10015020025030035040002468100.0000.0040.0080.012f(x;,)=f(x;250

84、.3,34.225) x，抗壓強 (kgf/cm2) 圖7 直方圖與常態分配曲線 工程品質實際分配況為人所無法獲知，實務上常將其假設為常態分配 ， 以此項假設為基礎 ， 我們可以設定公差大小 、 預定製程目標 、 製作管制圖、建抽樣檢驗計畫、評估製程能等，用途廣泛。 2-42 常態分配曲線有以下特質： (1) 常態分配曲線為單峰型，峰頂所對應之水平座標值為母體平均()。 (2) 常態分配曲線為左右對稱於x=之垂直軸，側各有一個反曲點，各反曲點與平均之水平距為一個母體標準差() （如圖8所示） 。 (3) 側以水平軸為漸近線，所涵蓋範圍為-至+。 (4) 常態分配有個，分別為平均()和標準差()

85、，曲線形由此決定： a. 平均()決定常態分配曲線中心線之水平位置： 平均變大時，中心線往右平移；反之，平均變小時，中心線往左平移（圖9.a） 。 b. 標準差()決定曲線分散寬窄： 標準差大時，曲線平緩，分布寬闊；反之，標準差小時，曲線尖銳，分布狹窄（圖9.b） 。 +1 +2+3 +4 -2-3 -4 -111圖8 常態分配曲線 1 2 (a)標準差固定，平均改變(b)平均固定，標準差改變 1 2圖9 常態分配曲線的變化 2-43 (5) 常態分配曲線總覆蓋面積 （水平座標由-至+） 為所有值之出現機，設定為1。水平軸上任何座標點（xa及xb）所夾曲線面積，為此座標值間之出現機Pxaxxb

86、 。 (6) 平均=，標準差=之常態分配 （用),(2N表示，2為標準差之平方， 統計名詞為 變 ） 可轉換為=0、 =1之標準常態分配 （用) 1 , 0(N表示） 。 轉換前後之組對應座標點所夾曲線面積佔其總面積之比相同，標準常態分配之面積可查表取得。 圖圖11 常態分配轉換成標準常態分配 常態分配轉換成標準常態分配 (1)常態分配 (2)標準常態分配 ),(2N ) 1 , 0(N xa xbxza 0 zb z xa xb Pxaxxb x圖10 座標點所夾曲線面積 2-44 5.2 以常態分配估計機 工程品管上常假設品質特性為常態分配，我們可據以估計某一定範圍內的機（亦稱或然、概），

87、如合格（品質特性在規格界限內之機）、合格（品質特性超出規格界限之機）等。 假設某品質特性以x表示，且知其呈現常態分配，經抽驗n次並計算得樣本平均(x)及樣本標準差(s)，今欲估計該品質特性出現在xa及xb間之機，Pxaxxb。估計方法如下： (1)以樣本平均(x)估計母體平均()。 (2)以樣本標準差(s)估計母體標準差()。 (3)確定所求值之上下限範圍：xa及xb。 (4)分別計算xa和xb與平均()之差距，以標準差()表示： =aaxz (12) =bbxz (13) (5)查標準常態分配表（表13） ，分別求得由-到za與zb之積機： Pzza ：z 在za以下之積機 Pzzb ：z

88、在zb以下之積機 (6)相減二積機，即可得解： Pxaxxb=PzzbPzza (14) Pzza為標準常態分配之積機，可由(15)式計算，人工作業實務上，係由查表13 標準常態分配表 得之。 =aztaadtezFzzP22121)( (15) 式中，F(za)代表標準常態分配由-到 za之積機。 常態分配曲線為左右對稱，標準常態分配表通常僅右半部份(z0 部份)，需用 z6% 尚可 V1=56% 可以 V1=45% 很好 V1=34% 最佳 V13% 個別值管制圖 抗壓強 (kgfcm2) 抗壓強 (kgfcm2) 三點移動平均管制圖 抗壓平均全距 (kgfcm2) 十點移動平均全距管制圖

89、 試驗編號 16.914.111.38.5 2-68 七、結語七、結語 統計方法係用以蒐集、分析及顯示大值資之最有效方法，但是，統計方法並非萬能，基本上有以下限制，使用時應注意： 1. 統計方法僅適用於可化之資。統計方法僅適用於可化之資。 2. 統計方法雖然係客觀方法，但統計分析結果之解仍需工程專業背景，工程品管人員需具所任工作之工程專業基礎，才能正確判統計分析結果。 3. 透過統計分析僅可顯示工程品質況，但必須正確設計與施工等實執才能確保工程品質。 4. 採用統計分析必須先有正確可靠之據，亦即檢驗樣品應經正確取樣手續、按標準方法製成試體、並以規定方法檢驗，所得之據經正確之統計分析才具實際意義

90、。採用統計分析必須先有正確可靠之據，亦即檢驗樣品應經正確取樣手續、按標準方法製成試體、並以規定方法檢驗，所得之據經正確之統計分析才具實際意義。 統計方法在工程品管之應用甚廣，本課程介紹一般公共工程常用部份，品管人員宜隨時應用及多加學習，技術才能持續進與熟，市面上有許多統計品管書籍可供選。者宜將所學即付之實用，開始時可擇簡單者，待有相當經驗，可再學習新技術及提昇應用層次。 2-69 考文獻考文獻 1 戴久永,1995,統計概與方法,三民書局,台 2 白賜清,1981,品質管制之統計方法,中華民國品質學會 3 白賜清,1986,品質管制,中華民國品質學會 4 張果為等編,1989,統計學,雲五社會

91、科學大辭典,台灣商務書局,台 5 洪華生與鄧漢忠原著,蔡超譯,1979,工程或然,中國土木水工程學會,台 6 張鏡清,1986,麼是統計,建興出版社,台 7 張鏡清,1986,麼是統計分析,建興出版社,台 8 陳式毅,1988,統計方法在工程品管上之應用,台市政府捷運工程局 9 王文中,1997,EXCEL於資分析與統計學的運用,博碩公司,台 10 中國土木水工程學會,1999,混凝土工程施工規範,土木402-88 11 內政部,1989,建築技術規則 12 CNS 1178-1987,混凝土空心磚檢驗法 13 CNS 2580-1987,生產過程中管制品質用之管制圖法 14 CNS 3090

92、-1994,預拌混凝土 15 CNS 9042-1982,隨機抽樣法 16 CNS 12891-1991,混凝土配比設計準則 17 Miller,I.and Freund,J.E.,1984,Probability and Statistics for Engineers 18Walpole,R.and Myers,R.H.,1972,Probability and Statistics for Engineers and Scientists, Macmillan Publishing Co. 19ACI 214-77（Reapproved 1997）,Recommended Practice for Evaluation of Strength Test Results of Concrete, ACI Manual of Concrete Practice 1998 Part 2 20 ACI 318-1995,Building Code Requirement for Reinforced Concrete 21ASTM D3665-1994,Standard Practice for Random Sampling of Construction Materials,1998 Annual Book of ASTM Standards Vol.04.03