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1、1第一节第一节 多元函数的基本概念多元函数的基本概念一一、 Rn 空间的有关概念空间的有关概念二、二元函数的概念二、二元函数的概念三、二元函数的极限三、二元函数的极限四、二元函数的连续性四、二元函数的连续性 第六章第六章 2一、一、 Rn 空间的有关概念空间的有关概念1 1、n n维空间维空间 R Rn n3说明：说明：1) n维空间中的维空间中的线性运算线性运算 即为即为 x 与与 y 的的线性运算线性运算 .2) n维空间中两点间维空间中两点间距离公式距离公式 当当 n=1 , 2 , 3 时，时， 为数轴、平面、空间两点间的距离为数轴、平面、空间两点间的距离设两点为设两点为3) x a记
2、为记为 x a .x a 的的充要条件充要条件是是 xi ai ( i=1,2,n) .41) 邻域邻域点的点的去心去心 邻域邻域，记为，记为2 2、R R2 2的有关概念的有关概念52) 内点、边界点和聚点内点、边界点和聚点67(1) 内点一定是聚点；内点一定是聚点；说明说明：(2) 边界点可能是聚点；边界点可能是聚点；例例(0,0)既是既是边界点也是聚点边界点也是聚点(3)点集点集E的聚点可以属于的聚点可以属于E，也可以不属于也可以不属于E例如例如,(0,0) 是聚点但不属于集合是聚点但不属于集合例如例如,边界上的点都是聚点也都属于集合边界上的点都是聚点也都属于集合83) 开集与闭集开集与
3、闭集例如：例如：即为开集即为开集例如：例如：即为闭集即为闭集既非开集也非闭集既非开集也非闭集9是有界点集；是有界点集；是无界点集是无界点集例如：例如：4) 有界集与无界集有界集与无界集105) 区域、闭区域区域、闭区域连通的开集称为区域或开区域连通的开集称为区域或开区域例如，例如，11连通的开集称为区域或开区域连通的开集称为区域或开区域例如，例如，例如，例如，12有界闭区域；有界闭区域；无界开区域无界开区域例如：例如：133 3、 n n维空间维空间R Rn n中邻域、区域等概念中邻域、区域等概念内点、边界点、区域、聚点等概念也可类似定义内点、边界点、区域、聚点等概念也可类似定义邻域：邻域：4
4、 4、 直线与线段直线与线段14二、二元函数的概念二、二元函数的概念1.二元函数的定义二元函数的定义二元函数由二元函数由对应法则对应法则 f 和定义域和定义域 D 两要两要素素确定。确定。 规规定定 二二元元函函数数的的自自然然定定义义域域是是使使算算式式所所表表达达的的函数有意义的函数有意义的x,y所对应的点所对应的点P(x,y)的全体的全体. . 15类似地可定义三元及三元以上函数类似地可定义三元及三元以上函数多元函数中也有定义域、值域、自变量、因变量等概念多元函数中也有定义域、值域、自变量、因变量等概念.例例3 求求 的定义域的定义域 例例4 求求 的定义域的定义域练习练习 求求 的定义
5、域的定义域16练习练习 求求 的定义域的定义域解解所求定义域为所求定义域为181.1.多元函数也有单值性与多值性的概念多元函数也有单值性与多值性的概念. . 例如：例如：单值分支单值分支 2.2.一一元元函函数数的的单单调调性性、奇奇偶偶性性、周周期期性性等等性性质质的的定定义义在在多多元元函函数数中中不不再再适适用用，但但有有界界性性的的定定义义仍仍适适用用：设设有有n元元函函数数y=f(x)，其其定定义义域域为为D Rn，集集合合X D. .若若存存在在正正数数M，使使对对 x X，有有|f(x)| M，则则称称f(x)在在X上有界，上有界，M称为称为f(x)在在X上的一个界上的一个界.
6、.关于多元函数的几点说明关于多元函数的几点说明19二元函数二元函数 的的图形图形 空间点集空间点集 这个点集称为二元函数的图形这个点集称为二元函数的图形. 2.二元函数的几何意义二元函数的几何意义二元函数的图形通常是一张曲面二元函数的图形通常是一张曲面.20例如例如,图形如右图图形如右图.例如例如,左图球面左图球面.单值分支单值分支:补例补例 已知已知 求求 . .二元函数也有复合函数二元函数也有复合函数22三、二元函数的极限三、二元函数的极限23说明：说明：(1) 定义中定义中 的方式是的方式是任意的任意的；(2) 二元函数的极限也叫二元函数的极限也叫二重极限二重极限(3) 二元函数的极限运
7、算法则与一元函数类似二元函数的极限运算法则与一元函数类似一元函数求极限的许多方法一元函数求极限的许多方法可搬到可搬到求二元函数的极求二元函数的极限上来如四则运算法则、无穷小替代、两个重要限上来如四则运算法则、无穷小替代、两个重要极限、夹逼定理等极限、夹逼定理等 .区别：区别： 二次极限二次极限24例例5 5 讨论讨论 在在 的极限的极限. 例例6 6 判断当判断当 时，函数时，函数 的极限是否存在的极限是否存在. 一元函数求极限的许多方法一元函数求极限的许多方法可搬到可搬到求二元函数的极求二元函数的极限上来如四则运算法则、无穷小替代、两个重要限上来如四则运算法则、无穷小替代、两个重要极限、夹逼
8、定理等极限、夹逼定理等 .25确定极限确定极限不存在不存在的方法：的方法：26补例补例 设设证明证明 不存在不存在解解取取其值随其值随k的不同而变化，的不同而变化，极限不存在极限不存在28 从从极极限限定定义义知知，多多元元函函数数的的极极限限与与一一元元函函数数极极限限相相同同，所所以以可可以以把把一一元元函函数数求求极极限限的的许许多方法搬到多元函数的极限上来多方法搬到多元函数的极限上来. .练习练习 求求30四、二元函数的连续性四、二元函数的连续性如果函数在如果函数在D上上各点处各点处都连续都连续, , 则称此函数则称此函数在在D上连续上连续. .31例例7 7 讨论函数讨论函数在在(0
9、,0)的连续性的连续性函数在函数在(0,0)处不连续处不连续点点(0,0)为其间断点为其间断点又如又如, , 函数函数在圆周在圆周 上间断上间断. .35 多元初等函数：由多元多项式及基本初等多元初等函数：由多元多项式及基本初等函数经过有限次的函数经过有限次的四则运算四则运算和和复合步骤复合步骤所构成所构成的可用一个式子表示的函数。的可用一个式子表示的函数。一切多元初等函数在其定义区域内是连续的一切多元初等函数在其定义区域内是连续的定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域补例补例 求求37闭区域上连续函数的性质闭区域上连续函数的性质（1）有界性定理）有界
10、性定理 在有界闭区域在有界闭区域D上的多元连续函数必定上的多元连续函数必定在在D上必有界上必有界 在有界闭区域在有界闭区域D上的多元连续函数，在上的多元连续函数，在D上至少取得它的最大值和最小值各一次上至少取得它的最大值和最小值各一次 在有界闭区域在有界闭区域D上的多元连续函数，如上的多元连续函数，如果在果在D上取得两个不同的函数值，则它在上取得两个不同的函数值，则它在D上上取得介于这两值之间的任何值至少一次取得介于这两值之间的任何值至少一次（2）最大值和最小值定理）最大值和最小值定理（3）介值定理）介值定理38多元函数极限的概念多元函数极限的概念多元函数连续的概念多元函数连续的概念闭区域上连续函数的性质闭区域上连续函数的性质（注意趋近方式的（注意趋近方式的任意性任意性）五、小结五、小结多元函数的定义多元函数的定义39作业P1742024/8/131.（2）（）（4）2.（1）4.（2）（）（4）
