利用导数求零点

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1、利用导数求零点利用导数求零点1已知函数fx ax33x21,若fx存在三个零点,则a的取值范围是A.,2 B.2,2C.2, D.2,00,22已知x0是方程2x2e2xlnx 0的实根,则关于实数x0的判断正确的是A.x0 ln2 B.x0 C.2x0lnx0 0 D.2exlnx0 001e3设函数𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥 𝑎𝑥,𝑎是常数若𝑎 = 1,且曲线𝑦 = 𝑓 (𝑥)的切线𝑙经过坐标原点(0,0),

2、求该切线的方程；讨论𝑓(𝑥)的零点的个数4设函数fx lnxm,mR.x当m ee为自然对数的底数时,若函数fx在a1,a1(a 1)上有极值点,求实数a的范围；若函数gx f x有两个零点,试求m的取值范围.5已知函数fx ax x2xlnaba,bR,a 1,e是自然对数的底数当a e,b 4时,求函数fx的零点个数；若b1,求fx在1,1上的最大值6设𝑓(𝑥) = ln𝑥,𝑓(𝑥)是𝑓(𝑥)的导数,若𝑔(𝑥) =

3、𝑓(𝑥) 点,则实数 的取值范围是_参考答案参考答案1D 解析很明显a 0,由题意可得：f x3ax26x 3xax2,则由f x0可得x1 0,x22,a2𝑓(𝑥)x3 𝑎有两个不相同的零由题意得不等式：fx1fx281242,即：1 01,a 4,2 a 2,222aaa综上可得a的取值范围是2,00,2.本题选择 D 选项.点睛：函数零点的求解与判断1 直接求零点：令fx0,如果能求出解,则有几个解就有几个零点2 零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间a,b上是连续不断的曲线 ,且fafb0,还必须结合函数

4、的图象与性质如单调性、奇偶性才能确定函数有多少个零点3 利用图象交点的个数： 将函数变形为两个函数的差,画两个函数的图象,看其交点的横坐标有几个不同的值,就有几个不同的零点2 C 解析令fx xex(x 0),则f xexx10,函数fx在定义域内单调递增,22x方程即：2x0e lnx0,2x0e2xelnxlnx0,即f2x0 flnx0,000结合函数的单调性有：2x0 lnx0,2x0lnx0 0 .本题选择 C 选项.点睛：1 利用导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符号2若可导函数fx在指定的区间D上单调递增减,求参数范围问题,可转化为fx0或fx0 恒成立问题,从而构建不

5、等式,要注意“”是否可以取到3 1𝑦 = (𝑒 1)𝑥 20 𝑎 𝑒时,𝑓(𝑥)无零点；𝑎 𝑒时,𝑓(𝑥)有两个零点解析试题分析： 将𝑎代入后对函数求导,求出此时的导数即切线斜率,可得切线方程；函数求导后可得𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥 𝑎,对𝑎按𝑎 0,𝑎 = 0,𝑎 0

6、时,由𝑓/(𝑥) = 0得𝑥 = 𝑙𝑛𝑎𝑎 0时,若𝑥 𝑙𝑛𝑎,则𝑓/(𝑥) 𝑙𝑛𝑎,则𝑓/(𝑥) 0;函数𝑓(𝑥)在区间(，𝑙𝑛𝑎)单 调 递 减 , 在 区 间(𝑙𝑛𝑎，+ )单

7、调 递 增 ,𝑓(𝑥)的 最 小 值 为𝑓(𝑙𝑛𝑎) =𝑎(1 𝑙𝑛𝑎)0 𝑎 0,𝑓(𝑥)无零点𝑎 = 𝑒时,𝑓(𝑙𝑛𝑎) = 𝑎(1 𝑙𝑛𝑎) = 0,𝑓(𝑥)只有一个零点𝑎 &#

8、119890;时,𝑓(𝑙𝑛𝑎) = 𝑎(1 𝑙𝑛𝑎) 0与函数的单调性 ,𝑓(𝑥)在区间(，𝑙𝑛𝑎)和(𝑙𝑛𝑎，+ )各有一个零点 ,𝑓(𝑥)共有两个零点𝑎 = 0时,𝑓(𝑥) =𝑒𝑥,𝑓(𝑥)无零点

9、𝑎 0时,由𝑓(𝑥) = 0得,𝑒𝑥= 𝑎𝑥,由函数图象知,曲线𝑦 = 𝑒𝑥与𝑦 = 𝑎𝑥只有一个交点,所以𝑓(𝑥)只有一个零点;综上所述,0 𝑎 𝑒时,𝑓(𝑥)无零点；𝑎 𝑒时,𝑓(𝑥)有两个零点41e1 a e120 m 解析试

10、题分析：1 由题意得导函数在a1,a1(a 1)上a1 e有零点 ,由导函数等于零得x e,因此有a1 e,解得e1 a e12 化简方程a 111gx0,得m x3 x,利用导数研究函数hx x3 x图像：先减后增再减 ,3323结合趋势可得m的取值范围.试题解析：解：I 当m e时,fx lnx,其定义域为0.1exexe22,当0 x e时,f x2 0；xxxxxe当x e时,f x2 0故fx在0,e上单调递减,在e,上单调递增xf xex若函数a1 e上有极值点,须a1 e,解得e1 a e1a 13x3m x3x1mxIIgx f x2,其定义域为0,3x23xx3令gx0,得m

11、 x3 x,令hx x3 x,其定义域为0,.则gx的零点为hx与y m的公共点的横坐标.hx x21 x1x10,1单增2313131极大值单减故当x 1时,hx取得最大值h1,又x 0,时,hx0；x时,hx,所以当0 m 2时,gx有两个零点352；见解析.解析试题分析：f xex2x1,f 00,由导数性质得fx是 0,+上的增函数,是-,0 上的减函数,由此能求出 fx 的零点个数当 x-1,1 时,f x axlna2xlna 2xax1lna,由导数性质得 fx 是-1,0上的减函数,0,1 上的增函数,由此利用导数性质和构造法能求出 a 的取值范围试题解析：fxex x2x4,

12、f xex2x1,f 00,当x 0时,ex1,f x0,故fx是0,上的增函数,当x 0时,ex1,f x0,故fx是,0上的减函数,f1e40,f2e220,存在x11,2是fx在0,上的唯一零点；f211,2 0f 1 2 0,存在x22,1是fx在,0上的唯一零 2ee点,所以fx的零点个数为 2f x axlna2xlna 2xax1lna,当x 0时,由a 1,可知ax1 0,lna 0,f x0,当x 0时,由a 1,可知ax1 0,lna 0,f x0,当x 0时,f x0,fx是1,0上的减函数,0,1上的增函数,当x1,1时,fxmin f0,fxmax为f1和f1中的较大

13、者而f1 f1 a2lna,设gx x2lnxx 1,121gx121 0当且仅当x 1时等号成立,gx在0,上单调xxx21a1x递增,而g10,当x 1时,gx0,即a 1时,a2lna 0,f1 f1fx在1,1上的最大值为f1 alna.6(,1 ln2)解析𝑔(𝑥) = ln𝑥 2𝑥 𝑎 = 0?𝑎 = ln𝑥 2𝑥 𝑦 = ln𝑥 2𝑥, 𝑦= 2 = 0?𝑥 =,所以𝑦 ln 1,结合图像知𝑎 ln 1𝑥22211111a点睛：利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法1 利用零点存在的判定定理构建不等式求解.2 分离参数后转化为函数的值域最值问题求解.3 转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题,从而构建不等式求解.