数学解题策略与数学解题教学的几点浅见沈文选

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1、数学解题策略与数学解题数学解题策略与数学解题教学的几点浅见教学的几点浅见1. 1.数学解题策略问题数学解题策略问题2. 2.数学解题教学问题数学解题教学问题1 1 数学解题策略问题数学解题策略问题1.1 1.1 解题策略的解题策略的3 3大支柱子系统大支柱子系统1.2 1.2 解题的几种重要策略方法解题的几种重要策略方法1 1 数学解题策略问题数学解题策略问题解解题实践表明：数学解践表明：数学解题是一种高是一种高级心理活心理活动的思的思维过程。通程。通过研究，研究，发现在在这个思个思维过程中，人程中，人们的思的思维活活动有一个有一个监控控结构，它的功能主构，它的功能主要表要表现为三个：定向、控

2、制和三个：定向、控制和调节。定向：是确定思。定向：是确定思维的意向即确定思的意向即确定思考考过程的方向；控制：是控制思程的方向；控制：是控制思维活活动内外的信息量，排除思内外的信息量，排除思维课题外外的干的干扰和暗示，和暗示，删除思除思维过程中多余和程中多余和错误的因素；的因素；调节：是及：是及时调节思思维活活动的的进程，修改行程，修改行动的方的方针、方式和方法，提高思、方式和方法，提高思维活活动的效率的效率和速度。那么，人和速度。那么，人们在解在解题思思维决策决策过程中，以什么程中，以什么为依据来依据来进行数学行数学解解题策略的定向、控制和策略的定向、控制和调节呢？呢？这就是数学解就是数学解

3、题策略策略应遵循的原遵循的原则：明确的目的性原明确的目的性原则、熟悉化原、熟悉化原则（定向）；（定向）；简单化原化原则、具体化原、具体化原则（控制）；和（控制）；和谐化原化原则，审查分析分析问题的全面性原的全面性原则（包括逆向思（包括逆向思维原原则）（）（调节）。）。1.1 1.1 解题策略的解题策略的3 3大支柱子系统大支柱子系统根据数学解根据数学解题思思维活活动过程中的程中的监控控结构，我构，我们把数学解把数学解题策略系策略系统的子系的子系统分分为三大支柱子系三大支柱子系统：侧重于定向的重于定向的归结为模式运作、化生模式运作、化生为熟子熟子系系统；侧重于控制的重于控制的归结为聚焦切入、活化

4、中介聚焦切入、活化中介子系子系统；侧重于重于调节的的归结为差异分析、适差异分析、适时转化子系化子系统。1.1.1 1.1.1 模式运作，化生为熟模式运作，化生为熟学学习数学的数学的过程中，所程中，所积累的知累的知识经验经过加工，加工，会得出有会得出有长久保存价久保存价值或基本重要性的典型或基本重要性的典型结构构与重要与重要类型型这就是模式。将其有意就是模式。将其有意识地地记忆下来，下来，并做有目的的并做有目的的简单编码，当遇到一个新，当遇到一个新问题时，我我们辨辨认它属于哪一种基本模式，它属于哪一种基本模式，联想起一个已想起一个已经解决的解决的问题，以此，以此为索引，在索引，在记忆贮存中提取存

5、中提取出相出相应的方法来加以解决，的方法来加以解决，这就是模式运作的解就是模式运作的解题策略。策略。这一策略子系一策略子系统体体现了定向的思了定向的思维，遵循，遵循的是化生的是化生为熟的熟的“熟悉化熟悉化”原原则以及以及“明明确的目的性确的目的性”原原则。模式运作常包括模式运用、模式模式运作常包括模式运用、模式变换、模、模式迁移、模式突式迁移、模式突变等。等。1.1.2 1.1.2 聚焦切入，活化中介聚焦切入，活化中介剖析众多的数学剖析众多的数学问题，尤其是，尤其是综合性合性较强的数学的数学问题，常因条件，常因条件之之间的的联系比系比较隐蔽，关系松散或表蔽，关系松散或表现错综复复杂不易想通，此

6、不易想通，此即成即成为“难”。这时，我，我们就像放大就像放大镜的聚焦作用一般仔的聚焦作用一般仔细分分析比析比较题设条件或条件与条件或条件与结论间的异同点或蛛的异同点或蛛丝马迹，以及潜迹，以及潜存着的数量关系或位置关系上的特殊存着的数量关系或位置关系上的特殊联系，抓住其中系，抓住其中联接点，接点，提提炼其中的共性点，作其中的共性点，作为承上启下、左右逢源的承上启下、左右逢源的“中介中介”（即（即中中间问题或或辅助助问题），），围绕它来展开活化（它来展开活化（转换）并推演和）并推演和运算，常能方便的找到解运算，常能方便的找到解题途径，恰当而又适途径，恰当而又适时地将各条件地将各条件纳入解入解题过程

7、，并运用各有关条件和定理、性程，并运用各有关条件和定理、性质，灵活的，灵活的获得所得所需的需的结论，这就是就是“聚焦切入活化中介聚焦切入活化中介”的解的解题策略，策略，简称称“聚焦活化聚焦活化”策略。策略。 这一策略子系统体现了这一策略子系统体现了“ “析取析取” ”的思维，遵循的是简单化、的思维，遵循的是简单化、具体化的原则。具体化的原则。“聚焦活化聚焦活化”的策略其核心是活化中介。因而的策略其核心是活化中介。因而这里的活化常与里的活化常与分（分步，分分（分步，分类等），比（等），比（对比，比，类比等），引（引参，引比等），引（引参，引理等），理等），调（调整，整，协调等）切等）切换，推演息

8、息相关。因而，推演息息相关。因而，我我们可从可从寻找中介、找中介、辅设中介、中介、认清中介、清中介、联想中介、想象想中介、想象中介、中介、调整中介、切整中介、切换中介等方面研究一些具体的策略。中介等方面研究一些具体的策略。1.1.3 1.1.3 差异分析，适时转化差异分析，适时转化运用分析条件与运用分析条件与结论之之间的差异、的差异、处理手段的差异等，以不断减少目理手段的差异等，以不断减少目标差来完成解差来完成解题的策略，称的策略，称为差异分析，使用差异分析，使用这种策略通常要求：种策略通常要求：（1）通通过分析分析题目的条件与目的条件与结论中所出中所出现的数量特征（如元素个数、的数量特征（如

9、元素个数、字母的系数或指数等）、关系特征（如大于或等于、平行或垂直等）、字母的系数或指数等）、关系特征（如大于或等于、平行或垂直等）、位置特征等去位置特征等去寻找目找目标差。差。（2）题目一旦出目一旦出现目目标差就主差就主动做出减少目做出减少目标差的反差的反应。（3）减少目）减少目标差的差的调节要一次又一次地要一次又一次地发挥作用，使得目作用，使得目标差的减少差的减少能能积累起来。累起来。（4）减少目）减少目标差的差的调节常体常体现在在处理手段差异的理手段差异的调节与与转化。化。这一策略子系一策略子系统体体现了了调节的思的思维，遵循，遵循的是和的是和谐化、分析化、分析问题的全面性原的全面性原则

10、。进退互用，倒退互用，倒顺相通，相通，这是差异分析、适是差异分析、适时转化策略的灵活运用。化策略的灵活运用。1.2 1.2 数学解题的几种重要策略方法数学解题的几种重要策略方法1.2.1 1.2.1 化归与转化化归与转化1.2.2 1.2.2 分解与组合分解与组合1.2.3 1.2.3 数形互助数形互助1.2.4 1.2.4 筛选缩围筛选缩围1.2 1.2 数学解题的几种重要策略方法数学解题的几种重要策略方法在数学解在数学解题中，有些方法本身也是一种策略，例如中，有些方法本身也是一种策略，例如数形互助，它既是一种非常重要的解数形互助，它既是一种非常重要的解题方法，又是方法，又是一种重要的解一种

11、重要的解题策略，且策略，且这种策略属于定向型的模种策略属于定向型的模式运作，化生式运作，化生为熟子系熟子系统。也正因。也正因为这样，我，我们介介绍几个既是重要的解几个既是重要的解题方法又是重要的解方法又是重要的解题策略的策略的数学解数学解题策略方法：化策略方法：化归转换、分解整合、数形互、分解整合、数形互助、助、筛选缩围。1.2.1 1.2.1 化归与转化化归与转化人人们认识事物的事物的过程是一个程是一个渐进的逐步深化的的逐步深化的过程，往往会呈程，往往会呈现相相对的的阶段性，因此段性，因此对于于认识的的对象，在数学中就是所研究的象，在数学中就是所研究的问题总是会有最是会有最为熟悉和比熟悉和比

12、较生疏之分，因此，在面生疏之分，因此，在面临一个一个较生疏或不易直接生疏或不易直接处理的理的问题化化归为熟悉的熟悉的问题转换为易于易于处理的理的问题。“化化归”是是转化回化回归的的简称，其基本思想是：将待解决的称，其基本思想是：将待解决的问题A通通过某种某种转化手段化手段归结为另一个另一个问题B，再通，再通过对问题B的解决而得到原的解决而得到原问题A的解答。用框的解答。用框图可直可直观表表示示为：转化转化待待解解决决的的问问题题A易易解解决决的的问问题题B（化归途径）（化归途径）问题问题A的解决的解决（化归对象）（化归对象）问题问题B的解决的解决（化归目标）（化归目标）还原还原说明明 等价等价

13、变形是一种重要的形式形是一种重要的形式转换也可称也可称为同向化同向化归。数学符号化、。数学符号化、形式化后，每一种数学形式化后，每一种数学语义，或者是每一个数学概念、关系等一般都有，或者是每一个数学概念、关系等一般都有一种确定的数学符号表示。但数学符号表示与数学一种确定的数学符号表示。但数学符号表示与数学语义解解释不是一不是一 一一对应的，即一种数学符号可能有多于一种的数学的，即一种数学符号可能有多于一种的数学语义的解的解释，这就就为语义转换的策略的的策略的实施提供了客施提供了客观基基础。例1： 化简： 解：设22223=a, 11112=b, 则11111=a-b, 于是原式例2 已知正数求

14、证： 证明：易知条件 (*)据对称性，不妨设于是由（*）知 满足可以为三角形的三边.则即有故可以为三角形的三边.1.2.2 1.2.2 分解与整合分解与整合 数学解数学解题中的中的“分解分解”与与“整合整合”策略，是策略，是辩证思思维的重要内容之一，由于矛的重要内容之一，由于矛盾存在于一切事物之中，盾存在于一切事物之中，“分分”与与“合合”这对矛盾在数学解矛盾在数学解题中也是无中也是无时不有无不有无处不在不在. . “分解分解”策略，就是在解策略，就是在解题时，将待解决的，将待解决的问题适当分解、分域或分步、分适当分解、分域或分步、分类等，或将等，或将图形分割成易于形分割成易于讨论的几个互相契

15、合的的几个互相契合的图形，然后一一形，然后一一证之或解之之或解之. .这种策略常可使一种策略常可使一时难以捉摸无法下手的以捉摸无法下手的问题变得明朗清楚得明朗清楚. . “整合整合”策略，也是一种整体策略策略，也是一种整体策略. .解解题时，将待解决的，将待解决的问题的条件的条件组合起合起来，叠加起来，从来，叠加起来，从统一的角度，用整体的一的角度，用整体的观点来考点来考虑如何达到目如何达到目标. .这可使我可使我们更更为透透彻地和有条理地了解地和有条理地了解问题中所包含的各种信息，中所包含的各种信息，这对于比于比较自然，比自然，比较有有把握地把握地发现解解题途径无疑大有好途径无疑大有好处.

16、.例例3 3 分解因式：分解因式： 解：设 原式 则例4 已知 证明：设 由算术-几何均值不等式的以下4个不等式: 将上述4个不等式相加，得 约去3，然后两边三次方，整理得 故原不等式获证. 说明用上述方法，此例可推广为：若求证：求证：且例5 已知 证明：记则试证明：即整理得从而原不等式获证.1.2.3 1.2.3 数形互助数形互助 数和形数和形这两个基本概念，是数学的两两个基本概念，是数学的两块基石基石. .全部数学大体上都是全部数学大体上都是围绕这两个概念的提两个概念的提炼、演、演变、发展而展开的展而展开的. .在数学的在数学的发展展进程中，程中，数和形常常数和形常常结合在一起，在内容上互

17、相合在一起，在内容上互相联系，在方法上互相渗透，在系，在方法上互相渗透，在一定条件下互相一定条件下互相 转化、化、补充充. .在数学史上在数学史上还可看到：当数和形孤立研可看到：当数和形孤立研究究时，进程就程就缓慢；当数和形慢；当数和形结合起来，数学研究就会取得突破合起来，数学研究就会取得突破. . 数形互助解数形互助解题法包括三个方面法包括三个方面: :以形助数、以数助形、数形互助以形助数、以数助形、数形互助. .例6 已知点证明：证法1 如图1，过点P作知因点Q的坐标满足方程组即将上述方程组中两个方程的两边分别平方后，相加得因和直线求证：点P到直线于点则PQ的方程为从而的距离 证法2： 设

18、是直线上任意一点，过P作于点Q，则直线的方向向量为直线 的法向量为亦即向量向量在向量上的射影即为点P到直线距离 由向量的射影公式，有 说明：上述两种证法借助于数式的推演，给出了点到直线的距离公式的推导.其实该例还有20种推演的方法，可参见沈文选老师的著作数学眼光透视，哈尔滨工业大学出版社出版.的例7 设MN、PQ是两条线段，则 证明：证法1 如图2(1)、(2)，设R、S、T、K、E、F分别为QN、NP、PM、MQ、PQ、MN的中点，将这些中点两两连接，则四边形KFSE、RFTE及KRST均为平行四边形. 由平行四边形性质，有 于是，的充分必要条件是（*）注意有平行四边形KRST为矩形注意到(

19、*)式，有注意到三角形中位线性质，有证法2：注意到新来的运算，有 说明：上述的证明对平面、空间的情形均成立.在平面情形中的必要性即为定比幂线定理.在空间中即“有一组对棱互相垂直的四面体（或三棱锥）的充要条件是另两组对棱的平方和相等”的结论.于是2.4 2.4 筛选缩围筛选缩围 不少数学不少数学问题，由于，由于给定的条件和定的条件和结论不相匹配，它表不相匹配，它表现出条件出条件较宽或或较少，一开始或当解少，一开始或当解题进行到某一步后，不能再行到某一步后，不能再进行下去，需要我行下去，需要我们进行恰到行恰到筛选有关条件或有关条件或筛选从有关条件推出的从有关条件推出的结论. .恰当恰当选择是是至关

20、重要的至关重要的. . “收收缩并分割，再并分割，再围而而歼之之”，这是是孙子兵法中的一种重要子兵法中的一种重要战略略战术，而而“缩小包小包围圈圈”的解的解题策略正是策略正是这种种军事思想在解事思想在解题中的具体运用中的具体运用. .“缩小包小包围圈圈”的策略可以表的策略可以表现在：放在：放缩夹逼，限定范逼，限定范围；分；分类讨论，逐一，逐一击破；提破；提炼特征，减元特征，减元缩围；肢解减化，分；肢解减化，分别处理；等等理；等等. .例8 已知证明：因为均为正数，求证：均为正数，所以又所以说明：本题通过放缩进行筛选缩围说明：本题通过放缩进行筛选缩围. .例9 已知数列解：设满足求展开后，得由解

21、得或当时，条件式可故数列是以为首项，为公比的等比数列，则问题变为利用累加法求数列的通所以，当时，同理可得说明：本题通过提炼特征进行筛选缩围求解说明：本题通过提炼特征进行筛选缩围求解. .变为项的问题，解得2 2 数学解题教学问题数学解题教学问题2.1 2.1 重重视数学数学审题教学教学2.2 2.2 抓好抓好语义转化教学化教学2.3 2.3 加加强解解题素养教学素养教学2.4 2.4 关注一关注一题多解教学多解教学2 2 数学解题教学问题数学解题教学问题 著名数学家、数学教育家波利著名数学家、数学教育家波利亚认为，把，把“数学解数学解题”作作为培养学生的数学才能和培养学生的数学才能和教会他教会

22、他们思考的一种手段和途径，思考的一种手段和途径，这种种观点得到了国点得到了国际数学教育界的广泛数学教育界的广泛赞同同. .我国广大我国广大教学教育工作者也逐步教学教育工作者也逐步认识到，到，应将数学解将数学解题教学置于数学教学的中心地位，教学置于数学教学的中心地位，认为这是是由数学教学的目的及解由数学教学的目的及解题本身的意本身的意义所决定所决定. .数学教学的目的在于，使学生在数学知数学教学的目的在于，使学生在数学知识、数学能力、数学素养（包括情感、意志、数学能力、数学素养（包括情感、意志、态度等非智力因素）等方面都得到充分的度等非智力因素）等方面都得到充分的发展，展，以促以促进良好品格良好

23、品格结构的形成构的形成. .而解而解题教学正是达到上述目教学正是达到上述目标的最好手段，解的最好手段，解题对建立和建立和发展数学知展数学知识结构，形成和增构，形成和增进数学思数学思维能力、培养和造就能力、培养和造就创造精神等方面起着不可取代造精神等方面起着不可取代的重要作用的重要作用. .解数学解数学题是学是学习数学的主要形式，是学数学的主要形式，是学习数学数学课程的一个程的一个“实践性践性”环节. .2.1 2.1 重视数学审题教学重视数学审题教学2.1.1 2.1.1 为什么什么审？2.1.2 2.1.2 审什么？什么？2.1.3 2.1.3 怎么怎么审？2.1 2.1 重视数学审题的教学

24、重视数学审题的教学所所谓审题就是弄清就是弄清题意，意，这是解是解题的起点，即解的起点，即解题的第一的第一阶段。在段。在这个个阶段，解段，解题者必者必须了解了解问题的文字叙述，剖析的文字叙述，剖析出出问题的主要部分，即的主要部分，即证明明题的前提和的前提和结论，求解，求解题的未的未知、已知和条件，并能准确地流利地重新叙述所面知、已知和条件，并能准确地流利地重新叙述所面临的的问题，然后通，然后通过观察、分析、察、分析、综合、画合、画图等，把由文字、符等，把由文字、符号、号、图形等形等发出的信息正确地接收下来，把出的信息正确地接收下来，把细节与与细节之之间联系起来，把每个系起来，把每个细节与整个与整

25、个问题联系起来，充分挖掘系起来，充分挖掘题设的内涵，的内涵，审清清问题的的结构特征，判明构特征，判明题型，从而型，从而为解解题途径提供方向，途径提供方向，为选择解法提供决策依据。解法提供决策依据。审题教学教学应抓抓为什么什么审？审什么？怎么什么？怎么审？2.1.1 2.1.1 为什么审？为什么审？（1）审题不不仅首先存在于解首先存在于解题工作的开工作的开头，而且，而且继续存在于思路探求的存在于思路探求的过程中和解法初步得出后的回程中和解法初步得出后的回顾反思里。没有后反思里。没有后续的的审题，思路会中途，思路会中途受阻；没有全受阻；没有全过程的程的审题，认识会停留在表会停留在表层或或现象上。象

26、上。（2）审题不不仅要弄清条件，弄清要弄清条件，弄清结论，而且，而且还要弄清条件与要弄清条件与结论的初步的初步（或基本）（或基本）联系，即系，即题目的关系目的关系结构（更具体，更明确的构（更具体，更明确的联系由思路探系由思路探究去完成）究去完成）,题目的条件和目的条件和结论是是组成成这个个结构的构的,不可或缺的两不可或缺的两类原材料原材料.(3) 审题不不仅要弄清要弄清题目的浅目的浅层结构，而且构，而且还要努力弄清要努力弄清题目的深目的深层结构构,这个深个深层结构有一个逐步明晰的构有一个逐步明晰的过程，程，还常常有不同的表征，不要常常有不同的表征，不要毕其其功于一役功于一役 。（4）审题不不仅

27、要要获得得题目的解，而且寄希望于目的解，而且寄希望于对“解解”的的进一步分析而一步分析而增增强数学能力，数学能力，优化化认知知结构，提高思构，提高思维素素质，学会数学的思，学会数学的思维（最（最终是通是通过数学学会思数学学会思维）。）。2.1.2 2.1.2 审什么？审什么？怎怎样才算才算审清清题意了呢？我意了呢？我们说，主要是弄清，主要是弄清题目已目已经告告诉了你什么，又了你什么，又需要你去做什么，从需要你去做什么，从题目本身目本身获取取“怎怎样解解这道道题”的的逻辑起点，推理目起点，推理目标以及沟通起点与目以及沟通起点与目标之之间联系的更多信息。系的更多信息。题目的条件和目的条件和结论是两

28、个信是两个信息源，息源，为了从中了从中获取尽可能多的信息，我取尽可能多的信息，我们要逐字逐句地分析条件、分析要逐字逐句地分析条件、分析结论、分析条件与、分析条件与结论 之之间的关系，常常的关系，常常还要要辅以以图形或形或记号，以求得号，以求得目目标与手段的与手段的统一。具体一。具体说来，要抓好来，要抓好审题的的“三个要点三个要点”：（1）弄清）弄清题目的条件是什么，一共有几个，其数学含目的条件是什么，一共有几个，其数学含义又如何。又如何。（2）弄清）弄清题目的目的结论是什么，一共有几个，其数学含是什么，一共有几个，其数学含义如何。如何。（3）弄清）弄清题目的条件和目的条件和结论有哪些数学有哪些

29、数学联系，是一种什么系，是一种什么样的的结构。构。除了除了审条件，条件，审结论，审结构，构，还要要审范范围，审特殊数特殊数值等。等。 2.1.3 2.1.3 怎么审怎么审审题的程序可的程序可细致地分致地分为“四个步四个步骤”：（1）读题-弄清字面含弄清字面含义。（2）理解）理解-弄清数学含弄清数学含义。（3）表征）表征-识别题目目类型。型。（4）深化）深化-接近深接近深层结构。构。综上，上，审题教学教学应关注解关注解题目目标，抓，抓审题的目的性；关注的目的性；关注题中关中关键字句，字句，抓抓审题的准确性；关注的准确性；关注语句句转换，抓，抓审题的关的关键性；关注性；关注题设内涵，抓内涵，抓审题

30、的深刻性。的深刻性。2.2 2.2 抓好语义转换教学抓好语义转换教学2.2.1 2.2.1 认识语义转换在解在解题教学中的意教学中的意义2.2.2 2.2.2 培养学生培养学生语义转换能力的能力的对策策2.2 2.2 抓好语义转换教学抓好语义转换教学 数学解题中的语义转换，就是将题目中的有关信息转换，数学解题中的语义转换，就是将题目中的有关信息转换，让题目中的已知条件和未知量走得更远一些，更通俗易懂一些让题目中的已知条件和未知量走得更远一些，更通俗易懂一些.2.2.1 语义转换在解题教学中的意义 （一）通过语义转换激活学生的创造性思维 在解决数学问题时，引导学生观察分析表达式的结构，通过语义转

31、换活跃学生的思维，可得到新颖别致的解题方法.这可以提高学生的创造性思维能力. 例10 已知解法1：不等式两边取对数，原不等式就等价于不等式是正整数，且证明：即由语义转换构造函数在其图象上取点如图3，则直线OA、OB的斜率分别为如图，可知，所以故原不等式成立.说明：符号语言转换为图形语言解法2：原不等式等价于不等式联想到均值不等式在不等式两边同时乘以可得到的形式，构造即说明：符号语言化归为公式语言所以( (二二) )语义转换为解题提供新视野语义转换为解题提供新视野 不少数学不少数学题的解的解题方法不止一种，而探究新的解方法不止一种，而探究新的解题方法需要方法需要进行行合理的合理的语义转换. .由

32、于数学由于数学语义转换的的“一式多一式多义性性”，即，即对同一形同一形式可以式可以进行不同的行不同的语义解解释. .例如，例如， 可表示可表示与与的平方和的算术平方根，也可表示点的平方和的算术平方根，也可表示点到原点到原点(0,0)的距离的距离. .又如，符号又如，符号“|”有四种不同的含义，即有四种不同的含义，即绝对值、向量的模、复数模、两点间距离绝对值、向量的模、复数模、两点间距离. .例11 设点P是边长为1的正方形ABCD内任一点，求 解析解析1 1：此：此题可通可通过语义转换，转换为图形形语言，言，进而利用而利用图形的几何形的几何性性质求解求解. .的最小值.由三角形的性质可得所以即

33、的最小值是 解析2：建立直角坐标系，如图4，设点P坐标公式，列出方程求最小值.直接求值会有一定难度，但如果将正方形ABCD置于复平面之中，构建复数模型，问题就简单多了.然后根据两点间距离将正方形ABCD置于复平面之中，构建复数模型.当且仅当时取等号，所以的最小值是2.2.2 2.2.2 培养学生培养学生语义转换能力的能力的对策策 数学解数学解题涉及涉及语义转换，数学，数学语义转换又又牵涉涉学生的数学学生的数学语言能力言能力. .学生的数学学生的数学语言能力不足言能力不足会影响数学会影响数学语言之言之间是相互是相互转换，这自然会使学自然会使学生学生学习困困难. .因此在教学中，教因此在教学中，教

34、师要指要指导学生准学生准确使用数学确使用数学语言，掌握文字言，掌握文字语言、符号言、符号语言、言、图形形语言各自的特点，将言各自的特点，将这三种三种语言的言的优势互互补，学会互相学会互相转换. .（一）掌握三种语言的特点使之完美互译（一）掌握三种语言的特点使之完美互译 在在进行三种行三种语言之言之间的互的互译前，先理解它前，先理解它们各自的特各自的特点是很有必要的，知道各自的点是很有必要的，知道各自的优势后后进行相互行相互转换，才能，才能达到达到优势互互补. .了解三种了解三种语言的特点是数学言的特点是数学语言言间互互译的的方向方向标. .(1)(1)文字文字语言的特点及其言的特点及其转换；(

35、2)(2)符号符号语言的特点及其言的特点及其转换；(3)(3)图形形语言的特点及其言的特点及其转换. .例12 用一个平行于圆锥底面的平面截此圆锥，截得圆台上、下底面的面积之比为 解析：依据题意，画出图形如图5，这一过程是将文字语言转化为图形语言再结合图4和题意，写出已知条件和未知条件，已知截去的圆锥的母线长是3，求圆台的母线长.求此过程是将文字语言和图形语言转化为符号语言.最后结合图形根据相似三角形的性质解出答案.（二）重视使用多种语言进行知识的讲解（二）重视使用多种语言进行知识的讲解 斯斯图里里亚尔指出，数学教学也就是数学指出，数学教学也就是数学语言的教学言的教学. .教教师在教学中在教学

36、中要善于运用文字要善于运用文字语言、符号言、符号语言和言和图形形语言等多种数学言等多种数学语言言进行知行知识的的讲解，解，对于定理、定于定理、定义、性、性质等内容采用三种等内容采用三种语言同言同时讲授，授，让它它们的的优势互互补和有机融合，更易使学生和有机融合，更易使学生对知知识达到融会达到融会贯通的程度通的程度. .例如： 集合A为集合B的子集(文字语言) （符号语言）（图形语言）（三）鼓励学生多说多读（三）鼓励学生多说多读学生的数学学生的数学阅读能力和能力和说的能力比的能力比较弱，不少学生在弱，不少学生在课堂上堂上不愿意不愿意说、不敢、不敢说，说不清。不清。课堂上教堂上教师对说和和读的的训

37、练也也不不够重重视，致使其阻碍了学生的数学，致使其阻碍了学生的数学语言能力的言能力的发展。展。阅读可以帮助思可以帮助思维进行行进一步加工、提一步加工、提炼，使之更准确、更具有，使之更准确、更具有条理，使学生的数学条理，使学生的数学语言水平得以提高，不断完善，言水平得以提高，不断完善，规范自范自己的数学己的数学语言系言系统。对于学生的不愿于学生的不愿说、不敢、不敢说的的现象，首象，首先要培养学生的先要培养学生的兴趣，趣，让每一位学生愿意每一位学生愿意说、敢于、敢于说。因此。因此在在课堂上，教堂上，教师要要积极极创设情境，激情境，激发学生学生说和和读的的兴趣，趣，调动学生的好奇心，求知欲，学生的好

38、奇心，求知欲，让学生愿意学生愿意说数学，数学，读数学数学 。2.3 2.3 加强解题素养教学加强解题素养教学2.3.1 2.3.1 数学知识素养的培养教学数学知识素养的培养教学2.3.2 2.3.2 数学观念素养的培养教学数学观念素养的培养教学2.3.3 2.3.3 解题策略方法素养的培养教学解题策略方法素养的培养教学2.3 2.3 加强解题素养教学加强解题素养教学数学素养已成数学素养已成为现阶段段时代背景、文化需求下我国中学生代背景、文化需求下我国中学生应具具备的基本素养之一，也是素的基本素养之一，也是素质教育的重要教育的重要组成内容，而解成内容，而解题是数学教学与学是数学教学与学习的重要的

39、重要组成部分。美籍匈牙利数学家、成部分。美籍匈牙利数学家、数学教育家数学教育家G波利波利亚认为：“掌握数学就意味着善于解掌握数学就意味着善于解题 ”；我国著名教；我国著名教师、教育研究者、教育研究者张乃达先生主乃达先生主张：“数学教数学教育育应该以解以解题为中心中心”，“达到教学目的的最好手段就是解达到教学目的的最好手段就是解题教学教学”。因此，数学解。因此，数学解题素养的提升是数学素养培养的核素养的提升是数学素养培养的核心内容心内容 。2.3.1 2.3.1 数学知识素养的培养教学数学知识素养的培养教学 如果没有基如果没有基础知知识做做铺垫，数学解，数学解题根本无从根本无从谈起。中起。中学数

40、学知学数学知识可可认为主要是主要是经由算子性知由算子性知识、关、关联性知性知识和策和策略性知略性知识交交汇、融合而成。算子性知、融合而成。算子性知识主要是由于教材中的主要是由于教材中的数学概念和数学原理（公理，定理，公式和法数学概念和数学原理（公理，定理，公式和法则等）等）组合而合而成。关成。关联性知性知识主要是指内主要是指内隐或游离于数学教材体系中与数或游离于数学教材体系中与数学教学、数学学学教学、数学学习内容密切相关内容密切相关联的知的知识，如数学，如数学应用、数用、数学史、数学文化、数学美等，有益于学生学史、数学文化、数学美等，有益于学生对数学的价数学的价值产生生更深刻的更深刻的认识。策

41、略性知。策略性知识主要包含数学思想方法、数学思主要包含数学思想方法、数学思维模式、数学学模式、数学学习方法等，它是主体面方法等，它是主体面临问题时基于自身思基于自身思考所生成的解考所生成的解题策略及策略及对策略本身策略本身认识的知的知识 。 此此题是一个有关不等式是一个有关不等式类型的型的问题，且，且结论中中还涉及根号。基于此，涉及根号。基于此，学生不学生不难联想到可通想到可通过不等式两不等式两边同同时立方求立方求证，而，而这里由条件推里由条件推结论是是比比较困困难的，所以可用分析法从的，所以可用分析法从结论入手入手 。例13： 已知： ab0, 求证：证法1：要证因为 ab0,所以因此，只需

42、证即要证化简可得，只需证由于所以只要证：又由已知条件可知ab0, 所以显然成立，即原不等式成立，证毕说明：说明： 要素是算子性知识。要素是算子性知识。 证法2：要证 说明：这种证法主要利用因为所以只需证令并且可知因此只需证因为所以即从而原不等式成立，证毕这是一个数学结构美的体现，借由未知数的合理组织建构得到定值这是一个数学结构美的体现，借由未知数的合理组织建构得到定值. 证法3：令则题意转换为要证：又所以只需证由此可联想到函数的凹所以函数是一个凸函数.又则（其中从而推出是成立的，则即从而原不等式成立，证毕. 说明：证法3通过将不等式与函数建立联系，在函数的思想观点下借由图象的性质得到不等式的大

43、小比较.凸性质.如图7，因为函数）.因此2.3.2 2.3.2 数学观念素养的培养教学数学观念素养的培养教学 数学数学观念素养主要是指念素养主要是指对数学和数学学数学和数学学习有清晰、全面的有清晰、全面的认识，树立立动态的、多元的数学的、多元的数学观，能，能够把握数学的本把握数学的本质，理解数学学，理解数学学习的价的价值. .根据中学生根据中学生身心身心发展特点，他展特点，他们的数学的数学观念素养的培养念素养的培养应主要从量化主要从量化观、整体、整体观和和辩证观三个方面着手，使学生形成良好的解三个方面着手，使学生形成良好的解题意意识和和习惯. .量化量化观要求数学学要求数学学习主体主体能能够“

44、数学地数学地”思考思考问题，具，具备问题、抽象、化、抽象、化归、推理等数学意、推理等数学意识，做到心，做到心中有数中有数. .整体整体观要求数学学要求数学学习主体能主体能够全面地看待全面地看待问题，不局限于，不局限于问题的的细枝枝末末节，而是全局性地分析考，而是全局性地分析考查问题得到本得到本质. .辩证观则是指以是指以辩证的思想融入的思想融入数学解数学解题当中，如重当中，如重视特殊与一般、具体与抽象、整体与局部、特殊与一般、具体与抽象、整体与局部、对立与立与统一等一等各自互相之各自互相之间的内在的内在联系和系和转化途径化途径. .2.3.3 2.3.3 解题策略、方法素养的培养教学解题策略、

45、方法素养的培养教学 学生突破数学解学生突破数学解题瓶瓶颈需要加需要加强策略性知策略性知识的学的学习. .数学解数学解题策略方策略方 法我法我们已在前面作了一些介已在前面作了一些介绍，介，介绍了几种重要的解了几种重要的解题策略方法策略方法. .除此之除此之外，外，还学学习更多的策略、方法，以培养其素养更多的策略、方法，以培养其素养. . 认知心理学理知心理学理论认为，人，人脑中中对于知于知识有三种有三种类别的建构的建构. .这对应于于中学数学知中学数学知识是：算子性知是：算子性知识一般是一一般是一类描述性知描述性知识，主要回答是什么，主要回答是什么的的问题，学生的学，学生的学习体体现在是否在是否

46、记住和理解住和理解这些概念和内容；关些概念和内容；关联性知性知识一般是一一般是一类程序性知程序性知识，主要是一些公式及推理法，主要是一些公式及推理法则，学生的学，学生的学习体体现在是否能利用它在是否能利用它们进行推理运算；而策略性知行推理运算；而策略性知识，主要是指如何在描，主要是指如何在描述性知述性知识和程序性知和程序性知识的基的基础上上进行行综合思合思维，从而有效解决，从而有效解决问题. .例14 设 解析：关于这道题，一种解法是根据方差的概念进行数值计算，然后可以得到：随机变量取值的概率均为0.2，随机变量取值的概率也均为0.2，若记分别为的方差，讨论与小关系.所以第二种解法不直接计算只

47、要观察随机变量的取值，发现这组数据的离散程度比的离散程度大，据此即可判断的大2.4 2.4 关注一题多解教学关注一题多解教学 数学数学题“一一题多解多解”可以展示解可以展示解题者的火者的火热思考及智思考及智慧的慧的显露露. .2.4.12.4.1“一一题多解多解”的精彩解法来自不断的疑的精彩解法来自不断的疑问，优化于思考、化于思考、探索探索. . 思思维总是有是有问题开始的，而开始的，而经典典问题的探索常常是在排的探索常常是在排疑解疑解难的的过程中被激程中被激发出来，在出来，在优化改化改进的的过程中程中产生出生出来来. .思起于疑思起于疑问，问能解惑，能解惑，问能知新，能知新，问能激能激发，优

48、化化进化便可化便可产生精彩的解答方法生精彩的解答方法. .例15 已知 分析1：要证明求证： 本题是一道简明的不等式证明题，依据不等式的基本性质，可以从多途径、多角度去思考证明方法.只需证作差证此例怎么样？作差后好变形 证法1：（作差法）直接作差后不易变形，便采用“凑0”技巧有由于即得即故有处理吗？ 分析2 想不到采用“凑 0 ”技巧，又该怎么办？可以对原有条件进行同解变形吗？对求证式也可以同解变形吗？ 证法2：（作差法）因为所以又因为所以即 分析3：如上的证法，需要对求证式先乘以2，再作差.不乘以2，能不能证明呢？考虑到对称性，可以用排序的技巧处理吗？ 证法3：（做差法）由对称性，不妨设注意

49、到则有所以 证法4：（排序法）由对称性，不妨设注意到则有所以 分析5：作商怎么样？ 证法5（作商法）由可得于是所以分析4：如上的证法3也可以不用作差技能，改述为下面的证法.分析6，如上的作商法稍加改变，就可得到用不等式的叠加性质来证吗？证法6： （叠加法）由a2,b2可得 将这两个不等式叠加得 也就是a+ba+b。 分析7 如上的证法里，有“加、减、商的证法”，容易想到的是“乘”的证法吗？ 证法7： （叠乘法）由a2,b2可得a11,b11，所以（a1）（b1）1，即a b（a+b）0， 所以a b（a+b）。分析8 对条件里的2不分解，也可以直接去叠乘吗？证法8：（叠乘法）由a2,b2可得a

50、20,b20，再将这两个不等式叠乘，得（a2）（b2）0，即a b2（a+b）+40， 于是有 a b（a+b）（a2）+（b2）0所以a b（a+b）。分析9 由条件联想到增量换元法，可以这样证吗？证法9： （增量换元法）由a2,b2，设a=2+x,b=2+y,x0, y0, ab=(2+x)(2+y) =(2+x)+(2+y)+(x+y+xy) =a+b+(x+y+xy)a+b, 所以a b（a+b）。分析10 若将作差后a b（a+b）的代数式记为f (a), 构造一次函数，又获简明解法。 证法10 （构造函数法） 构造函数f (a)a b（a+b）（b1）ab。 因为b2，所以b110

51、，这说明函数f (a)（b1）ab是关于a的一次递增函数，并注意到a2，f (2)2（b1）bb20，所以f (a) f (2)0，故有a ba+b。 分析11 对a b（a+b）分离变量，使a、b分别位于不等号的两端，可以证吗？ 证法11： （分离变量法）对a b（a+b）变形得a（b1）b， 分离变量得因为b2，所以b11，得所以a b（a+b）。 上述一例，我们通过从不同的角度、不同侧面对题设条件上述一例，我们通过从不同的角度、不同侧面对题设条件进行设问，获得到了这一系列的精彩证法。进行设问，获得到了这一系列的精彩证法。 “一题多解一题多解”扮演着扮演着“促进解题方法的深化、广化的角色促

52、进解题方法的深化、广化的角色”；“一题多解一题多解”体现着变形处理的思维训练；体现着变形处理的思维训练；“一题多解一题多解”给解题者带来解题的乐趣与攻坚克难后的喜悦。给解题者带来解题的乐趣与攻坚克难后的喜悦。 2.4.2 “一题多解一题多解”可以训练数学思维演绎深化。可以训练数学思维演绎深化。 例16 已知点A（0，2），B（0，2），点P在圆(x-3)2+(y-4)2=1上，求|PA|2+|PB|2的最大值。 本题可从代数层次、几何层次、向量与导数层次演绎深化。若从代数层次而言，可从方程、函数、三角、复数等方面考虑。考虑到本题是与圆的方程有关的问题，可选择运用方程的方法作为思维的起点。解法1

53、： 由(x-3)2+(y-4)2=1，得x2+y2=6x+8 y24，又设|PA|2+|PB|2=t, 则 t= x2+(y-2)2+ x2+(y+2)2=12x+16 y40, 所以12x+16 y40t=0, 由 消去y得到关于x的二次方程400 x224（40+ t）x + t248 t +26240，由0，并化简得：t2120 t +32000 ，解得40 t 80， 因此|PA|2+|PB|2的最大值为80. 联想到圆的参数方程，可考虑运用三角方法解。 解法2：设P(x,y)是已知圆上任意一点，由于圆的参数方程为其中 联想到复数的几何意义和三角形式，可考虑用复数方法解。解法3： 由于

54、已知圆的复数方程为|z (3+4i)|=1,即z(3+4i)=cos+isin,所以z2i=（sin+3）+i（sin+2），z+2i=（cos+3）+i（sin+6）,则其中 考虑到曲线方程可转化或分割成函数，这时可考虑用函数方法求解，在求解过程考虑到曲线方程可转化或分割成函数，这时可考虑用函数方法求解，在求解过程中往往要用到数形结合。中往往要用到数形结合。 解法4：设P(x,y)是已知圆上任意一点，则在同一坐标中分别作出 (x3)2+y2=1和直线l，再作与l平行的圆的两条切线l1和l2，则对同一个x,y1和y2的差的最大值为直线l1和l的截距之差，可求得为5/4，因此|PA|2+|PB|

55、2的最大值为 的图像，即图9中的圆l2 111l1 111yO图9xl 从几何层面而言，可分别从解析几何和平面几何方面考虑，若从解析几何方面考虑，本题可考虑用点到直线的距离公式来解。 解法5： 根据解法1可知，12x+16y40t=0,所以P点既在圆(x3)2+(y4)2=1上，又在直线12x+16y40t=0上, 由圆与直线的位置关系可得解得40t80. 因此|PA|2+|PB|2的最大值为80.圆和直线是平面几何研究的对象，本题可考虑运用平面几何方法来解。解法6： 如图10所示，在圆C上任取一点P，连接AP、BP、OP，则由三角形中线长可得|PA|2+|PB|2=2|OA|2+2|OB|2

56、=8+2|OP|2。显然OP的最大值为5+16，因此|PA|2+|PB|2的最大值为80.最后从向量和导数层次考虑。解法7：设P(x,y)是已知圆上又设a=(12,16), b=(x,y), 则12x+16y=a b|a|b|=20|b|, 其中|b|表示已恬圆上的点P到原点的距离，显然|b|的最大值为5+16，从而12x+16y的最大值为120，因此的最大值为80. xyAPOB图10任意一点，则用导数来解决函数的单调性、极值和最值问题是行之有效的方法。解法8：设P(x,y)是已知圆上任意一点，则 对x求导，得此时有 得 或 由于x2,4, 当x=2或4时，|PA|2+|PB|280, 而闭

57、区间上的连续函数必有最大值，因此|PA|2+|PB|2的最大值为80.抓数学解抓数学解题教学，教学，还可以关注如下方面工作：可以关注如下方面工作：2.5 基于基于优化学生学化学生学习方式的解方式的解题教学教学2.6 关注数学解关注数学解题的高的高观点立意和低起点切入教学点立意和低起点切入教学以上浅以上浅见供大家参考！供大家参考！ 谢谢！谢谢！欢迎批迎批评指正！指正！附附 沈文选撰写新书目录告示沈文选撰写新书目录告示1. 数学精神巡礼数学精神巡礼 2. 数学数学眼光透眼光透视3. 数学思想数学思想领悟悟 4. 数学数学方法溯源方法溯源5. 数学解数学解题引引论 6. 数学数学技能操握技能操握7.

58、 数学数学应用展用展观 8. 数学数学建模建模尝试9. 数学数学竞赛采采风 10.数学数学测评探探营11.数学史数学史话览胜 12.数学数学欣欣赏拾趣拾趣13.从从Cramer法法则谈起起-矩矩阵论漫漫谈14.从从Stewart定理的表示定理的表示谈起起-向量理向量理论漫漫谈15.从高从高维Pythagoras定理定理谈起起-单形形论（三角形高（三角形高维推广）漫推广）漫谈以上以上书籍均由哈籍均由哈尔滨工工业大学出版社于大学出版社于2015-2016两年出版。两年出版。以上以上书籍是作者籍是作者为招展中学招展中学师生的数学生的数学视野，提高数学素养，丰富数学文化野，提高数学素养，丰富数学文化内容而撰写的。内容而撰写的。